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2014年江苏高考数学填空题专题突破


江苏高考数学填空题丏项突破
江苏高考对填空题知识点的考查相对稳定,共有 14 道,分值 70 分,填空题的得分 多少,决定了整个试卷的成败,本专题通过对高考填空题的题型进行分类,同时穿插方 法的指导,提高解题的速度和正确率. 填空题没有备选项.因此,解答时既有不受诱误的干扰之好处,又有缺乏提示的帮 助之不足,对考生独立思考和求解,在能力要求上会高一些,只要求写出结果,

不要求 写出解答过程,不设中间分,更易失分,因而在解答过程中应力求准确无误. 【应对策略】 解填空题时,要有合理的分析和判断,要求推理、运算的每一步骤都正确无误,还 要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答 填空题的基本要求. 数学填空题, 绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质) 判断型的试题, 应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断.求解填 空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫.要想又快又准地答好填空题,除 、 、 直接推理计算外,还要讲究解题策略,尽量避开常规解法. 解题的基本方法一般有:①直接求解法;②数形结合法;③特殊化法(特殊值法、 特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、特殊点法、特殊方程法、特殊 模型法);④整体代换法;⑤类比、归纳法;⑥图表法等. 一、考查以集合为背景的试题
【例 1】 (2012· 南通模拟)已知集合 U={1,3,5,9}, A={1,3,9}, B={1,9}, U(A∪B)=________. 则? 解析 易得 A∪B=A={1,3,9},则?U(A∪B)={5}. 答案 {5} 【例 2】 已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C? B 的集合 C 的个数为________. 解析 A={1,2},B={1,2,3,4},故满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数即为集合{3,4}的子集个 2 数 2 =4(个). 答案 4

解题方法技巧:直接求解法
直接从题设条件出发,利用定义、性质、定理、公式等,经过变形、推理、计算、判断得到结 论的一种解题方法.它是解填空题常用的基本方法,使用直接法解填空题,要善于透过现象抓本质, 自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法. 【突破训练 1】 若 A={x∈R||x|<3},B={x∈R|2x>1},则 A∩B=________. 解析 因为 A={x|-3<x<3},B={x|x>0},所以 A∩B={x|0<x<3}. 答案 {x|0<x<3} x2 y2 【例 3】 设集合 A={(x, ? 4 +16=1 }, y)? B={(x, y)|y=3x}, A∩B 的子集的个数是________. 则 2 2 x y 解析 画出椭圆 + =1 和指数函数 y=3x 图象, 可知其有两个不同交点, 记为 A1, 2, A∩B A 则 4 16 的子集应为?,{A1},{A2},{A1,A2}共四种. 答案 4 【例 4】 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若 A∩B=?,则实数 a 的取值范围 是________. 解析 由|x-a|<1 得-1<x-a<1,即 a-1<x<a+1.如图,要使 A∩B=?成立,由图可知 a +1≤1 或 a-1≥5,所以 a≤0 或 a≥6.
1

答案 a≤0 或 a≥6

解题方法技巧:数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题,若能根据题目条件的特点,作出符合题意的图形,做到数中 思形,以形助数,并通过对图形的直观分析、判断,则往往可以简捷地得出正确的结果.数形结合, 能使抽象的数学问题转化成直观的图形,使抽象思维和形象思维结合起来.这种思想是近年来高考 的热点之一,也是解答数学填空题的一种重要策略. 【突破训练 2】 已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 为实数,且 x+y=1},则 A∩B 的元素个数为________. 解析 集合 A 表示由圆 x2+y2=1 上所有点组成的集合,集合 B 表示直线 x+y=1 上所有点的 1 1 集合,∵直线过圆内点?2,2?,∴直线与圆有两个交点,即 A∩B 的元素个数为 2. ? ? 答案 2 【突破训练 3】 设集合 A={(x,y)|x+a2y+6=0},B={(x,y)|(a-2)x+3ay+2a=0},若 A∩B =?,则实数 a 的值为________. 解析 由 A,B 集合的几何意义可知,A,B 集合表示的是两条直线,A∩B=?,则两直线平行, a-2 3a 2a 故 = 2 ≠ ,解得 a=-1,又经检验 a=0 时也满足题意. 1 a 6 答案 0 或-1

二、考查复数的运算
【示例】 (2012· 南京、盐城模拟)已知复数 z 满足(2-i)z=5i(其中 i 为虚数单位),则复数 z 的模 是________. 解析 |(2-i)z|=|5i|,即 5|z|=5,解得|z|= 5. 答案 5 解题方法技巧:直接求解法 ?1?给出的复数是一个算式时,都是要把复数化简为a+bi形式,再求参数. ?2?已知复数的特征求参数时,要列出特征的充要条件,直接求解参数. 2-bi 【突破训练】 如果复数 (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 1+2i 等于________. 2-bi ?2-bi??1-2i? ?2-2b?-?b+4?i 2 解析 = = ,由题意得 2-2b=b+4,解得 b=- . 5 3 1+2i ?1+2i??1-2i? 2 答案 b=- 3

三、考查抽样方法与总体分布的估计
【示例】? 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,抽取了总成绩介于 350 分到 650 分之间的 10 000 名学生成绩,并根据这 10 000 名学生的总成绩画了样本的频率分布直方 图(如图),则总成绩在[400,500)内共有________人.

解析 由频率分布直方图可求得 a=0.005, 故[400,500)对应的频率为(0.005+0.004)×50=0.45, 相应的人数为 4 500(人). 答案 4 500

解题方法技巧:图表法
先识别图表类型,然后借助图表提供的信息进行解题的一种方法,本例中的图表应注意以下几

2

点: (1)样本的频率分布直方图中,小长方形的面积之和为 1. (2)要注意纵轴数据是:频率/组距. (3)小矩形的面积就是表示相应各组的频率.

【突破训练】 某个容量为 N 的样本频率分布直方图如右图所示,已知在区间[4,5)上频数为 60, 则 N=________. 解析 组距为 1, 在区间[4,5)上频率为 1-0.4-0.15-0.10-0.05=0.3, 在区间[4,5)上频数为 60, 60 则 =0.3?N=200. N 答案 200

四、考查古典概型与几何概型
【例 1】? (2012· 南京、盐城模拟)若将一颗质地均匀的骰子(各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的 正方体玩具)先后抛掷两次,向上的点数依次为 m,n,则方程 x2+2mx+n=0 无实数根的概率是 ________. 解析 共有 36 种等可能基本事件,其中要求方程 x2+2mx+n=0 无实根,即 m2<n 的事件为 7 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)共 7 个基本事件,因此所求概率为 . 36 7 答案 36

命题趋势:古典概型和几何概型是填空题考查的重点,在知识网络交汇处设计试题是高考命
题的新特点和大方向,如将概率问题与函数、方程、数列、不等式及几何等问题交叉渗透,考查学 生处理信息的能力和综合运用数学知识分析、解决问题的能力. 【突破训练 1】 (2012· 南通模拟)豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因 记为 D,决定矮的基因记为 d,则杂交所得第一子代的一对基因为 Dd,若第二子代的 D,d 的基因 遗传是等可能的(只要有基因 D 则其就是高茎,只有两个基因全是 d 时,才显示矮茎),则第二子代 为高茎的概率为________. 【突破训练 1】 解析 第二子代的一对基因的所有等可能情形为 DD,Dd,dD,dd,其中高茎 3 的有 DD,Dd,dD 共 3 种,则所求概率为 . 4 3 答案 4 【例 2】? 已知 Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向 区域 Ω 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为________.

1 1 解析 分别画出两个集合表示的区域如图可知 SΩ= ×6×6=18,SA= ×4×2=4,由几何概 2 2 SA 4 2 型概率计算可得 P= = = . SΩ 18 9 2 答案 9

3

解题方法技巧:图形法,图形法解题是解决几何概型问题的一种常见方法,
根据条件画出所求事件所满足的图形,然后利用几何概型中,事件的概率计算公 式求解.通常是构成事件 A 的区域长度?面积、体积?与试验的全部结果所构成的区 域长度?面积、体积?的比. 【突破训练 2】 已知平面区域 Ω={(x, 2+y2≤1}, y)|x M={(x, y)|x≥0, y≥0, x+y≤1},若在区域 Ω 上随机投一点 P,则点 P 落在区域 M 内的概率为________. 【突破训练 2】 解析 满足约束条件 x+y≤1,x≥0,y≥0 的区域为△ABO 内部(含边界),与 SM 1 单位圆 x2+y2=1 的公共部分如图中阴影部分所示,则点 P 落在区域 M 内的概率为 P= = . S单位圆 2π 1 答案 2π

五、考查流程图与伪代码
【示例】? (2012· 南京、盐城模拟)根据如图所示的流程图,若输入 x 的 值为-7.5,则输出 y 的值为________. 解析 当 x=-7.5 时,运行一次,x=-5.5,继续循环,直到 x=0.5 时跳出循环,此时 y=-1. 答案 -1

命题趋势:算法是新课标的新增内容,已成为高考考查的热点,考查
侧重于对变量赋值的理解,对循环结构的运用,阅读流程图,说明算理与算 法.由于算法与其它知识之间有较强的联系,所以算法与知识的 结合是高考的热点,同时也体现了算法的工具性. 【突破训练】 (2012· 南通模拟)如图,Ni 表示第 i 个学生的 学号,Gi 表示第 i 个学生的成绩,已知学号在 1~10 的学生的 成绩依次为 401,392,385,359,372,327,354,361,345,337, 则打印出 的第 5 组数据是________. 解析 打印出的第 5 组数据是学号为 8 号,且成绩为 361, 故结果是 8,361. 答案 8,361

六、考查命题真假的判断
【示例】? 对于△ABC,有如下四个命题: ①若 sin 2A=sin 2B,则△ABC 为等腰三角形; ②若 sin B=cos A,则△ABC 是直角三角形; ③若 sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC 是钝角三角形; a b c ④若 = = ,则△ABC 是等边三角形. A B C cos cos cos 2 2 2 其中正确的命题个数是________. 解析 ①不对,可能 2A+2B=π;②不对,如 B=120° ,A=30° ;③不对,仅能说明 C 为锐角; A B C ④对,由正弦定理可得 sin =sin =sin ,即 A=B=C. 2 2 2 答案 1

解题方法技巧:特殊值法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示 答案是一个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数、或特殊 角、特殊数列、 图形特殊位置、特殊点、特殊方程、 特殊模型等)进行处理, 从而得出探求的结论.这 样可大大地简化推理、论证的过程. 【突破训练】 有四个关于三角函数的命题:

4

x x 1 p1:?x∈R,sin2 +cos2 = ;p2:?x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y; 2 2 2 1-cos 2x π p3:?x∈[0,π], =sin x;p4:sin x=cos y?x+y= .其中假命 2 2 题的是________. x x 1 解析 p1:?x∈R,sin2 +cos2 = 是假命题;p2 是真命题,如 x=y=0 时 2 2 2 1-cos 2x 成立;p3 是真命题,∵?x∈[0,π],sin x≥0,∴ = sin2x=|sin x|=sin x;p4 是假命题, 2 π π 如 x= ,y=2π 时,sin x=cos y,但 x+y≠ . 2 2 答案 p1,p4

七、考查充分必要条件
【示例】 (2012· ? 南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中, “直线 y=x+b, b∈R 与曲线 x= 1-y2 相切”的充要条件是“________”. |b| 解析 易得 =1,且 b<0,即 b=- 2. 2 答案 b=- 2

解题方法技巧:分析推理法
要理解必要不充分条件、 充分不必要、 充分必要条件的意义, 准确判断命题之间的相互关系. 如 果 p?q,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;如果 p?q 且 q?/ p,p 是 q 的充分而不必要条件; 如果 p?/ q 且 q?p,p 是 q 的必要而不充分条件,如果 p?q,p 是 q 的充分必要条件. 【突破训练】 已知 a∈R,则“a>2”是“a2>2a”成立的______条件.

八、考查空间几何体的面积、体积的计算
解析 a>2 可以推出 a >2a;a2>2a 可以推出 a>2 或 a<0 不一定推出 a>2.所以“a>2”是 “a2>2a”的充分不必要条件. 答案 充分不必要 【例 1】? (2012· 南通模拟)设正四棱锥的侧棱长为 1,则其体积的最大值为________. 1 x2 2 解析 法一 设正四棱锥的底面边长为 x, 则体积 V= x2 1- = x4?2-x2?, y=t2(2 记 3 2 6 4 32 4 3 -t),t>0,利用导数可求得当 t= 时,ymax= ,此时 Vmax= ; 3 27 27 1 2 法二 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为 θ,则 V= ×2cos2θ×sin θ= (1-sin2θ)×sin θ,0<θ 3 3 π 3 2 3 4 3 < ,记 y=(1-t2)t,0<t<1,利用导数可求得当 t= 时,ymax= ,此时 Vmax= . 2 3 9 27 4 3 答案 27 【例 2】? 有一个各条棱长均为 a 的正四棱锥,现用一张正方形包装纸将其完全包住,不能剪 裁,但可以折叠,则包装纸的最小边长是________. 解析 如图,是某正四棱锥的平面展开图,等腰△ABC 的底边 BC 即为所求正方形包装纸的边 6+ 2 长的最小值,由余弦定理得 BC= a2+a2-2a2cos 150° = a. 2 6+ 2 答案 a 2
2

解题方法技巧:图形分析、直接计算法,?1?通过分析图形元素之间的数量关系,建立数学模
型, 求出计算面积或体积所需要的相关要素.,?2?利用平面展开图求空间几何体的面积是常用方法.,?3? 等体积法是处理体积问题的常用方法.
5

【突破训练】 (2012· 南通模拟)某圆锥的侧面展开图是半径为 1 cm 的半圆,则该圆锥的体积是 ________cm3. 1 1 3 解析 设圆锥的底面圆的半径为 r,高为 h,则由 2πr=π 得 r= ,h= 12-?2?2= ,所以 ? ? 2 2 1 1 3 3π 该圆锥体积 V= π×?2?2× = ; ? ? 2 3 24 3π 答案 24

九、考查三角求值问题
3 【示例】? 若 cos αcos(α+β)+sin αsin(α+β)=- ,β 是第二象限的角,则 tan 2β=________. 5 3 解析 ∵cos αcos(α+β)+sin αsin(α+β)=cos(α+β-α)=cos β=- ,且 β 是第二象限的角,∴ 5 4 4 2tan β 24 sin β= ,tan β=- ,所以 tan 2β= = . 5 3 1-tan2β 7 24 答案 7

命题趋势:两角和与差的正弦、余弦和正切在高考中要求为 C 级,故这部分内容及与其相关
的内容要予以高度重视,它们将是今后高考命题的热点. π 5π 3 【突破训练】 若 sin?4-2α?= ,则 sin? 4 +2α?=________. ? ? 5 ? ? π 5π 3π 解析 ∵?4-2α?+? 4 +2α?= , ? ? ? ? 2 5π π 3π ?π 4 ∴sin? 4 +2α?=sin? 2 -?4-2α??=-cos?4-2a?=± . ?? ? ? ? ? 5 ? 4 答案 ± 5

十、考查三角函数的图象与性质
π 【示例】? 如图所示为函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, ≤φ≤π)的部分图象,其中 A,B 两点之 2 间的距离为 3,那么 f(-1)=________. 解析 由函数图象求解析式,再求函数值.由 A,B 两点之间的距离为 3 T 2π π π 5 得 =3?T=6= ?ω= ,又 f(0)=2sin φ=1,且 ≤φ≤π,所以 φ= π,所 2 ω 3 2 6 π 5π? 以 f(x)=2sin?3x+ 6 ?, ? π 5π π 故 f(-1)=2sin?-3+ 6 ?=2sin =2. ? ? 2 答案 2

解题方法技巧:由图象挖掘性质
三角函数的图象与性质具有密不可分的关系,如振幅 A、最大值、最小值、周期、单调性、奇 偶性、对称性等重要性质都在图象上有所反映,要充分利用图象研究三角函数性质. π 3 【突破训练】 若函数 f(x)= 2sin?ωx+4?(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离是 , 则实 ? ? 2 数 ω 的值是________. π 3 2π 解析 由 f(x)= 2sin?ωx+4?的相邻两个对称中心间的距离是 ,得函数周期为 3,故 =3,解 ? ? 2 ω 2π 得 ω= . 3
6

答案

2π 3

十一、考查解三角形问题
【示例】? 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c,或 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B,则 A=________. 解析 由 sin C=2 3sin B 及正弦定理得 c=2 3b,代入 a2-b2= 3bc 得 a2-b2= 3b· 3b= 2 2 2 2 2 2 6b ,即 a =7b ,又 c =12b , b2+c2-a2 b2+12b2-7b2 6 3 由余弦定理 cos A= = = = , 2 2bc 2 4 3b 4 3 又 A∈(0° ,180° ),所以 A=30° . 答案 30°

命题趋势:解三角形时考题灵活多样,要熟练运用已知条件,根据正、
余弦定理,列出方程进而求解,最后还要检验是否符合题意. 【突破训练】 在△ABC 中,已知 B=45° ,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6, 则 AB 的长为________. 解析 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, AD2+DC2-AC2 100+36-196 1 由余弦定理得 cos∠ADC= = =- , 2AD· DC 2 2×10×6 所以∠ADC=120° ,∠ADB=60° ; 在△ABD 中,AD=10,∠B=45° ,∠ADB=60° , AB AD 由正弦定理得 = , sin∠ADB sin B 3 10× 2 AD· sin∠ADB 10 sin 60° 所以 AB= = = =5 6. sin B sin 45° 2 2 答案 5 6

十二、考查函数零点问题
1 【例 1】? 函数 f(x)= -2sin 2πx,x∈[-1,2]所有的零点之和等于________. 1-2x 解析 作出两个函数的图象如图,由图象可知,函数 y= 1 与y 1-2x

1 =2sin 2πx,x∈[-1,2]的图象有 8 个交点,两两关于点 A?2,0?对称, ? ? 所以每两个对称点的横坐标之和为 1, 故所有交点的横坐标之和为 1×4 =4. 答案 4

解题方法技巧:数形结合在函数零点中的应用
方程根的个数的判断、已知方程根的个数,确定参数的取值范围,或者利用二分法确定函数的 零点所在的区间都可能成为考点,尤其是利用数形结合解决与方程根的个数有关的问题更加是重要 考点,要正确应用数形结合将函数零点、方程的根、图象交点横坐标三者之间相互转化. 【突破训练 1】 若函数 f(x)满足 f(x+1)=f(x-1), 且当 x∈[-1,1]时, f(x)=x2, 则函数 F(x)=f(x) -|log4x|的零点个数为________. 解析 根据条件作出函数 f(x),y=|log4x|,x>0 的图象,由两个函数图象的交点个数确定函数 零点个数.因为 f(x+1)=f(x-1),所以函数,f(x)的周期为 2,且 x∈[-1,1]时,f(x)=x2,在同一坐 标系中作出函数 f(x),y=|log4x|,x>0 的图象如图,由图象可知,交点个数是 4,即 F(x)的零点个数 为 4.
7

答案 4
? x ?2 -1,x≤0, 【例 2】? 已知函数 f(x)=? 若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根, ?f?x-1?,x>0. ? 则实数 a 的取值范围是________.


解析 画出函数图象,利用数形结合的方法求解.若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实 数根,即函数 y=f(x)与 y=x+a 的图象有两个不同的交点,由图象可知 a<1. 答案 (-∞,1)

命题趋势:对分段函数的考查正逐步成为热点,讨论分段函数的
零点也成为趋势,主要考查应用数形结合的方法确定方程根的个数、参 数的取值范围等.在高考中的题型是填空题, 难度可以中档题或难题要求 对基本函数的图象熟练掌握. ?ln x-x2+2x,x>0 ? 【突破训练 2】 函数 f(x)=? 的零点个数是________. ? ?2x+1,x≤0 1 解析 根据条件分 x>0 和 x≤0 分别求零点.当 x≤0 时,函数 f(x)有 1 个零点- ;作出函数 y 2 =ln x,y=x2-2x,x>0 的图象,可知两个函数图象有 2 个交点,即 x>0 时函数 f(x)有 2 个零点, 故函数 f(x)有 3 个零点. 答案 3

十三、考查函数的性质
bx+c 【例 1】? (2012· 苏州调研)已知函数 f(x)= 2 (a,b,c∈R,a>0)是奇函数,若 f(x)的最小 ax +1 1 2 值为- ,且 f(1)> ,则 b 的取值范围是________. 2 5 bx+c bx 解析 由函数 f(x)= 2 (a,b,c∈R,a>0)是奇函数得 c=0,所以 f(x)= 2 (a>0),当 x ax +1 ax +1 b b b 1 b 2 2 <0 时, f(x)= ≥ (a>0), 所以 f(x)的最小值为 =- ?a=b , 所以 f(1)= 2 > ? 1 -2 a 2 b +1 5 -2 a ax+ x 1 2b2-5b+2<0? <b<2. 2 1 答案 <b<2 2

命题趋势 1:新颖的具体函数的性质,由基本初等函数构成的一些新颖函数的性质是函数性质
的命题趋势之一,解题方法是根据函数的概念、性质等建立不等式或方程求解,很多时候画出函数 图象可以帮助直观解题. 3f?-x?-2f?x? 【突破训练 1】 设奇函数 f(x)在(0, +∞)上为单调递减函数, f(2)=0, 且 则不等式 5x ≤0 的解集为________. 解析 由奇函数的定义化简解析式,再利用分类讨论的方法解不等式.因为函数 f(x)是奇函数, ?x>0, ?x<0, ? ? 3f?-x?-2f?x? -3f?x?-2f?x? -f?x? 所以 = = ≤0,?? 或? 又奇函数 f(x)在(0,+∞) 5x 5x x ? ? ?f?x?≥0 ?f?x?≤0, 上递减,f(2)=0,所以在(-∞,0)上递减,f(-2)=0,作出函数 f(x)的大致示意图可得原不等式的 解集为[-2,0)∪(0,2]. 答案 [-2,0)∪(0,2] 【例 2】? 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是偶函数,给出下列关 于 f(x)的判断:①f(x)是周期函数;②f(x)关于直线 x=1 对称;③f(x)是[0,1]上的增函数;④f(x)在[1,2]

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上是减函数;⑤f(2)=f(0).以上命题中正确的是________.(写出所有正确命题的编号) 解析 由 f(x+1)=-f(x)=f(x-1),得函数 f(x)是周期为 2 的周期函数,故①正确;因为 f(2-x) =f(1+1-x)=-f(1-x)=f(-x)=f(x), 所以 f(x)关于 x=1 对称, 故②正确; 因为 f(x)是偶函数, 且[- 1,0]递增,周期是 2,所以在[0,1]上递减,在[1,2]上递增,故③④均错误,⑤正确,故正确的是①② ⑤. 答案 ①②⑤ 命题趋势 2:抽象函数性质的考查,没有提供解析式的函数通常称为抽象函数,这类函数的性质 一般比较抽象,对能力要求较高,需要对函数性质有比较清楚的理解,可以借助函数图象直观解题. 1 【突破训练 2】已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x), 且在[0,1]上递增, a=f?2?, 记 ? ? b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系是________. 解析 由条件可得 f(x+1)=-f(x)=f(x-1), 所以函数 f(x)周期为 2, b=f(2)=f(0), c=f(3)=f(1), 1? 而函数 f(x)在[0,1]上递增,所以 f(0)<f?2?<f(1),即 c>a>b. ? 答案 c>a>b

十四、考查指数、对数函数问题
【示例】? 已知函数 f(x)= ________. 3 解析 a>1 时 a-1>0,3-ax 递减, ∴f(x)递减, 3-ax>0 在(0,1]内恒成立得 >1∴1<a<3; 由 a 0<a<1 时 a-1<0,3-ax 递减,∴f(x)递增,不合题意;a<0 时,a-1<0,3-ax 递增,∴f(x)递 减,此时 3-ax>0 在(0,1]内恒成立;a=0 或 a=1 时均不合题意,故 a 的取值范围是 a<0 或 1<a <3. 答案 (-∞,0)∪(1,3) lg?3-ax? 在区间(0,1]上是单调递减函数,则实数 a 的取值范围是 a-1

命题趋势:指数、指数函数与对数、对数函数在高考中都是 B 级要求,主要考查指数函数、
对数函数的概念、性质,试题难度中等偏下.

?4-8?x-2?,1≤x≤2, ? ? 【突破训练】 已知定义在[1, +∞)上的函数 f(x)=? 1 x ?2f?2?,x>2, ? ?
3


给出下列结论:

1 ①函数 f(x)的值域为[0,4];②关于 x 的方程 f(x)=?2?n(n∈N*)有 2n+4 个不相等的实数根;③当 ? ? x∈[2n 1,2n](n∈N+)时,函数 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 S=2;④存在 x0∈[1,8],使 得不等式 x0f(x0)>6 成立;其中正确结论的序号有________. 解析 由题意画出函数 f(x)的部分图象如图,由图象可知,函数 f(x)的值域为[0,4],故①正确; 1 - 当 n=1 时,关于 x 的方程 f(x)= 有 7 个不相等的实数根,故②错误;当 x∈[2n 1,2n](n∈N+)时,函 2 1 - - - 数 f(x)的图象与 x 轴围成的图形是三角形,高为 23 n,所以面积 S= ×2n 1×23 n=2,故③正确; 2 6 由图象可知不等式 f(x)> 在[1,8]上无解,故④错误. x

答案 ①③

9

十五、考查导数的几何意义与运算
【示例】? 设曲线 y=x (n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则 x1·2·3?x2 x x 012 的值为________. 解析 先求出切线方程,令 y=0,得 xn,再求乘积.因为 y′=(n+1)xn,所以在点(1,1)处的切 n 1 2 3 线斜率为 n+1, 切线方程为 y-1=(n+1)(x-1), y=0, xn= 令 得 , 所以 x1·2·3?x2 012= × × x x 2 3 4 n+1 2 012 1 ×?× = . 2 013 2 013 1 答案 2 013
n+1

命题趋势:导数的几何意义与其它知识的综合,导数的运算与其它知识的综合是常见考题,
可以将导数的几何意义与数列、方程、不等式恒成立、基本不等式等知识综合,考查等价转化、函 数与方程、分离参数等数学思想方法. 1 【突破训练】 已知 M 是曲线 y=ln x+ x2+(1-a)x 上任意一点,若曲线在 M 点处的切线的倾 2 π 斜角是均不小于 的锐角,则实数 a 的取值范围是________. 4 π π 解析 设 M(x,y)(x>0),因为在 M 点处切线的倾斜角的范围是?4,2?,所以切线的斜率是[1, ? ? 1 1 +∞),即 y′= +x+1-a≥1,x∈(0,+∞)恒成立,分离参数得 a≤ +x,x∈(0,+∞)恒成立, x x 1 ? 1 所以 a≤?x+x?min,x∈(0,+∞)时,由基本不等式得 +x≥2,所以 a≤2. ? x 答案 (-∞,2]

十六、考查利用导数解决函数的极值与最值
【示例】? 设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值点,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 利用导数将问题转化为导函数在(0,+∞)有零点,再利用分离参数的方法求解.由条件 可得 y′=ex+a=0 在(0,+∞)有解,所以 a=-ex<-1. 答案 (-∞,-1)

解题方法技巧:分离参数法,导数经常与函数有极值点、不等式恒成立等综合应用,函数有
极值点等价转化为导函数等于 0 有解,而不等式恒成立又是通过分离参数转化为函数最值,体现了 导数的工具作用. 【突破训练】 设函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范围 是________. 解析 由题意可知 f′(x)=3x2+2ax+a+6=0 有两个不等实根,所以 Δ=(2a)2-4×3×(a+6) >0,解得 a<-3 或 a>6. 答案 (-∞,-3)∪(6,+∞)

十七、考查不等式的求解
? ?x -2,x≤0, 【示例】? 已知 f(x)=? 若|f(x)|≥ax 在 x∈[-1,1]上恒成立,则实数 a 的取值范 ? ?3x-2,x>0, 围是________. 2 解析 当 x∈[-1,0]时,|f(x)|=2-x2≥ax,所以 a≥?x-x?max=-1;当 x∈(0,1]时,|f(x)|=|3x ? ? -2|≥ax 恒成立, 作出图象即可得 a≤0, 所以对 x∈[-1,1]上恒成立时, 实数 a 的取值范围是[-1,0]. 答案 [-1,0] 10
2

命题趋势:分段函数与不等式,分段函数是函数的热点问题,将分段函数与解不等式、不等
式恒成立等综合又是最新命题点,需要利用分段函数的解析式将问题转化为一般不等式问题,注意 何时取交集、并集. - ?21 x,x≤1, ? 【突破训练】 设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是________. ? ?1-log2x,x>1, 1 - 解析 当 x≤1 时,解 21 x≤2 得 0≤x≤1,当 x>1 时,解 1-log2x≤2 得 x≥ ,得 x>1,因此, 2 满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是 x≥0. 答案 [0,+∞)

十八、考查基本不等式的应用
x y - 【示例】? 已知函数 y=a2x 4+1(a>0,a≠1)的图象过定点 A,且点 A 在直线 + =1(m>0, m n n>0)上,则 m+n 的最小值为________. x y 2 2 - 解析 因为函数 y=a2x 4+1 恒过点(2,2),所以(2,2)在直线 + =1(m>0,n>0)上,所以 + m n m n 2 2 2n 2m 2n 2m =1(m>0,n>0),故(m+n)?m+n?=4+ + ≥8,当且仅当 = ,即 m=n=4 时,m+n 取 ? ? m n m n 得最小值 8. 答案 8

解题方法技巧:构造法,分析已知与所求之间的关系,利用“1”的代换构造基本不等式使用
的条件,进而利用基本不等式求最值. 【突破训练】 设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是________.

十九、考查简单的线性规划问题
1 10 解析 由于 1=4x2+y2+xy≥2×2xy+xy=5xy,即 xy≤ ,当且仅当 2x=y= 时 xy 取得最大 5 5 1 10 10 2 10 值 ,此时 2x+y 也取得最大值 + = . 5 5 5 5 2 10 答案 5

?y≥0, ? 【例 1】? (2012· 扬州期末检测)已知 x,y 满足不等式组?y≤x, ?x+y-4≤0, ?
________.

则 2x-y 的最小值为

解析 作出不等式组对应的平面区域如图,将斜率为 2 的直线平移,当经过点(0,0)时,目标函 数取得最小值 0. 答案 0 【例 2】? 设实数 x,y 满足

?x-y-2≤0, ? ?x+2y-5≥0, ?y-2≤0, ?

x+y 则 u= 的取值范围是________. x

11

y 1 4 解析 不等式组对应的可行域如图,u=1+ ,过图中点(3,1)时,umin=1+ = ,过图中点(1,2) x 3 3 4 ? 时,umax=1+2=3,故 u 的取值范围是?3,3?. ? 4 ? 答案 ?3,3? ?

命题趋势:线性规划与其它知识的综合,将线性规划与函数、导数、不等式等知识的综合,
为线性规划的考查注入了新的活力,成为又一知识交汇点,需要根据相关知识逐个突破.同时,在约 束条件或者目标函数中含有参数,也是线性规划的一个热点. 1 1 【突破训练】 已知函数 f(x)= x3+ ax2+bx+c 在 x1 处取得极大值,在 x2 处取得极小值,满足 3 2 a+2b+4 x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则 的取值范围是________. a+2

解析

由条件可得 f′(x)=x2 +ax+b=0 的一个实根在(-1,0),一个实根在(0,1)上,所以 对应的可行域如图中三角形区域(不含边界),目标函数即为 a+2+2b+2 =1+ a+2

?1-a+b>0, ? ?b<0, ?1+a+b>0, ?

b+1 b+1 b+1 2× , 其中 的几何意义是可行域上的点(a, b)与点(-2, -1)的连线的斜率, 由图可知 ∈ a+2 a+2 a+2 a+2b+4 (0,1),故 ∈(1,3). a+2 答案 (1,3)

二十、考查平面向量的运算与应用

→ → → → → → 【例 1】? 如图,在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60° ,CM=MD,ND=2BN,则AM· AN =________. → → 1→ → → 2 → → 解析 利用向量的线性运算、 数量积运算的定义求解. 因为AM=AD+ AB, =AD+ DB=AD AN 2 3 1 → ? ?1 → 2 → ? 2 5 1 13 2 → → 2→ 1 → → → → + (AB-AD)= AB+ AD,所以AM· =?AD+2AB?·3AD+3AB?= + × = . AN ? ? 3 3 3 3 6 2 12 13 答案 12 → → → 【例 2】? 已知AB=(-4,2),C(2,a),D(b,4)是平面上的两个点,O 为坐标原点,若OC∥AB, → → → 且OD⊥AB,则CD=________. → → → 解析 利用向量平行、垂直的条件建立方程解出 a,b,再求CD.因为OC∥AB?2×2-(-4a) → → → =0?a=-1,OD⊥AB?-4b+2×4=0?b=2,所以 C(2,-1),D(2,4),故CD=(0,5).
12

答案 (0,5)

命题趋势: 平面向量的数量积在高考中的要求为 C 级.目前,小题大多考查平面向量的基础知
识,如 2011,2012 年都是有关平面向量数量积的运算问题. 【突破训练】 如图,在直角梯形 ABCD 中,已知 BC∥AD,AB⊥AD,AB=4,BC=2,AD=4, →→ 若 P 为 CD 的中点,则PA· 的值为________. PB

解析 建立坐标系,应用坐标运算求数量积.以点 A 为坐标原点,AD、AB 所在直线为 x、y 轴 →→ 建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(0,4),C(2,4),D(4,0),P(3,2),所以PA· =(-3,-2)· PB (-3,2) =5. 答案 5

二十一、考查推理与证明
【示例】? 现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形, a2 其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间,有两个棱 4 长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ________.

解析 该题简单考查平面到空间的类比推理以及空间想象能力,由平面到空间类比面积如果为 a3 平方一般体积即为对应的立方,因此,应该填 . 8 a3 答案 8

解题方法技巧:类比推理法
合情推理的精髓是“合情”, 即得到的结论符合“情理”, 其中主要是归纳推理与类比推理. 归 纳推理是由部分得到整体的一种推理模式,这种推理在由部分得到整体时 要符合问题的发展规律,得到的整体结论不但要涵盖已知的部分的结论,而且符合部分结论的 自然推广;类比推理是由此及彼的推理模式,这种推理模式是由彼此类似的两类事物,其中一种事 物具有某些性质,从而得到另一种事物也具有一些性质,这种推理得到的结论也应该合乎“情 理”.解决合情推理问题要重视这个“合情性”的要求,并借助于演绎推理对得到的结论进行一般 性的证明. S△AEC AC 【突破训练】 在平面中△ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分△ABC 面积所成的比 = ,将 S△BEC BC 这个结论类比到空间:在三棱锥 A BCD 中,平面 DEC 平分二面角 A - - 且与 AB 交于 E,则类 CD B 比的结论为________.

解析

此类问题由平面类比空间,应该面积类比体积,长度类比面积,由
13

S△AEC AC = ,类比得 S△BEC BC

S△ACD VA CDE = . VB S△BDC CDE S△ACD VA CDE 答案 = VB S△BDC CDE

二十二、考查等差数列与等比数列
Sn 【例 1】? (2012· 苏北四市质量检测)已知等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若 = Tn 7n+45 an ,且 是整数,则 n 的值为________. b2n n+3 解析 由题意可知 Sn=kn(7n+45),Tn=kn(n+3),所以 an=Sn-Sn-1=kn(7n+45)-k(n-1)(7n +38)=14n+38, an 7n+19 7 1 31 b2n=T2n-T2n-1=2kn(2n+3)-k(2n-1)(2n+2)=4n+2,所以 = = + × ∈Z, b2n 2n+1 2 2 2n+1 所以 2n+1=31,解得 n=15. 答案 15

命题趋势 1:等差、等比数列基本量的计算,填空题经常考查等差、等比数列的通项公式、前
n 项求和、性质等重要内容,考查运算求解的能力,合理应用等差、等比数列的性质可以简化运算, 所以性质的灵活应用是等差、等比数列的重要考点. 【突破训练 1】 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,则数列前 n 项和最大时,n=________. 解析 因为 S17=S9?S17-S9=a10+a11+?+a17=4(a13+a14)=0,又 a1=25>0,所以 a13=- a14>0,即该数列前 13 项是正数,从第 14 项开始为负数,所以前 13 项的和最大. 答案 13 1 【例 2】? (2012· 徐州质量检测)在等比数列{an}中,已知 a1+a2= ,a3+a4=1,则 a7+a8+a9 2 +a10 的值为________. 1 1 解析 等比数列{an}相邻两项的和构成 为首项, 为公比的等比数列, 2 所以 a7+a8+a9+a10= 2 2 ×(23+24)=4+8=12. 答案 12 2 【突破训练 2】 (2012· 常州期末)已知等比数列{an}的各项均为正数,且 a1+2a2=3,a4=4a3a7, 则数列{an}的通项公式为________. a5 1 3 解析 a2=4a3a7=4a2,又 an>0,所以 a4=2a5?q= = ,所以 a1+2a2=a1+a1=3?a1= , 4 5 a4 2 2 3 ?1?n-1 3 所以 an= ×?2? = n. 2 2 3 答案 an= n 2 【例 3】? 等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)?(x-an),则 f′(0)的值 是________. 解析 由条件得 f′(0)=a1a2?a8=(a1a8)4=84=212. 答案 212 sin2a3-sin2a7 【例 4】? 等差数列{an}的公差 d∈(0,1),且 =-1,当 n=10 时,数列{an}的前 n sin?a3+a7? 项和 Sn 取得最小值,则首项 a1 的取值范围为________. sin2a3-sin2a7 ?sin a3+sin a7??sin a3-sin a7? 解析 因为{an}是等差数列,所以 = = sin 2a5 sin?a3+a7? 2sin a5cos 2d?-2cos a5sin 2d? π kπ =-sin 4d=-1,得 d= + ,k∈Z,又 d∈(0,1),所以 k=0,即 sin 2a5 8 2

14

π d= .又由 S10 是{Sn}中的最小项,所以 8 5 9 答案 ?-4π,-8π? ? ?

?a ? ?a

10=a1+

9π ≤0, 8

11=a1+

5π ≥0, 4

5 9 解得- π≤a1≤- π. 4 8

命题趋势 2:等差、等比数列与其他知识的综合应用,填空题中等差数列、等比数列还经常在
数列内部,或者与函数、导数、不等式、恒等式、三角恒等变换等知识综合,构成中高档题,这类 题的训练为数列解答题的求解积累方法和技巧. 【突破训练 3】 下表给出一个“直角三角形数阵” 1 4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16 ?? 满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第 i + 行第 j 列的数为 aij(i≥j,i,j∈N ),则 a83 等于________. 1 1 解析 由条件得 a81= +7× =2,又从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相 4 4 1?2 1 1 1 等,都为 ,所以 a83=a81?2? =2× = . ? 2 4 2 1 答案 2

二十三、考查数列的综合应用
1 - 【例 1】? 若{an}满足 a1=1,an+an+1=?4?n(n∈N*),设 Sn=a1+4a2+42a3+?+4n 1an,则 5S2 ? ? -42a2=________;类比课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法,可求得 5Sn-4nan=________. 1 解析 由条件可得 5S2-42a2=5(a1+4a2)-42a2=a1+4(a1+a2)=1+4× =2. 4 2 n-1 在 Sn=a1+4a2+4 a3+?+a an,①,两边同时乘以 4 得 - 4Sn=4a1+42a2+43a3+?+4n 1an-1+4nan,②,①+②得 - 2 5Sn=a1+4(a1+a2)+4 (a2+a3)+?+4n 1(an-1+an)+4nan=1+n-1+4nan,故 5Sn-4nan=n. 答案 2 n a2k+1 a2k 【例 2】? 数列{an}满足 a1=1, =2, =3(k≥1,k∈N*),则 a3+a4=________,其前 a2k a2k-1 n 项和 Sn=________. 解析 由条件分别求出 a3,a4,再求和,利用分组求和法求 Sn.由条件可得 a2=2,a3=6,a4= 12, 所以 a3+a4=6+12=18.因为数列{an}相邻两项的和构成以 6 为公比的等比数列, 所以当 n 为偶 n? 3?1-62? ? n 3 n 数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+?+(an-1+an)=3+18+?+3×6 -1= = ?62-1?;当 n ? 2 5? 1-6 为奇数时, n-1 Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+?+(an-1+an)=3+8+48?+8×6 -1 2 n-1? n-1 8?1-6 8×6 -3 2 ? 2 ? 8 ? n-1 ? = 1 + = 1 + = , 故 Sn = 5 ?6 2 -1? 5 1-6

15

?5?62-1?,n=2k,k∈N ?? ? ?8×6n-1-3 ? 52 ,n=2k-1.k∈N ?
3 n
*

*

答案 18

?5?62-1?,n=2k,k∈N ?? ? ?8×6n-1-3 ? 52 ,n=2k-1.k∈N ?
3 n
*

*

解题方法技巧:类比法的应用,一般数列的通项与求和方法是类比等差数列、等比数列的通
项公式、求和公式的推导,如等差数列通项公式的推导方法是累加法,类比到 an+1-an=f?n?,都可 以用累加法,其它如累乘法、数列的错位相减法、裂项相消法等,也是由课本中一些基本的知识、 方法类比得到,所以理解课本决不能流于形式,这个过程真的很重要. 【突破训练 1】 在数列{an}中,a1=1,an-an-1=n,n∈N*,则 a8 的值为________. 解析 根据累加法求 a8.由题意可得 a2-a1=2,a3-a2=3,?,a8-a7=8,累加得 a8-a1=2 7×10 +3+4+?+8= =35,所以 a8=36. 2 答案 36 F?n,1? 【突破训练 2】 定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0),设数列{an}满足 an= ,设 Sn 为数列 F?2,n?

{

anan+1}的前 n 项和,则 Sn________1(填“>”、“=”、“<”). 1 1 1 1 1 1 1 解析 由题意可得 an= 2,所以 anan+1= = - ,其前 n 项和 Sn=?1-2?+?2-3? ? ? ? ? n n n+1 n?n+1? 1 1 1 +?+?n-n+1?=1- <1. ? ? n+1 答案 <

二十四、考查直线、圆及其关系问题
【示例】? (2012· 苏锡常镇调研)将函数 y= -x2+2x+3- 3(x∈[0,2])的图象绕坐标原点逆时 针旋转 θ(θ 为锐角),若所得曲线仍是一个函数的图象,则 θ 的最大值为________. 解析 作出函数 y= -x2+2x+3- 3(x∈[0,2])的图象(圆(x-1)2+(y+ 3)2=4 的一部分,落 在 x 轴及其上方) |k+ 3| 3 考虑圆(x-1)2+(y+ 3)2=4 在点(0,0)处的切线 y=kx,由 2 =2?k= ,θ 的最大值为切 3 k +1 π 线 y=kx 逆时针旋转到与 y 轴重合时所转过的角,∴θ 的最大值为 . 3 π 答案 3

解题方法技巧:数形结合,对于一些含有几何背景的填空题,若能根据题目条件的特点,作
出符合题意的图形,做到数中思形,以形助数,并通过对图形的直观分析、判断,则往往可以简捷 地得出正确的结果. 【突破训练】 直线 y=x+b 与曲线 x= 1-y2 有且仅有一个公共点,则 b 的取值范围是 ________.

16

【突破训练】 解析 y=x+b 是斜率为 1 的直线,曲线 x= 1-y2是以原点为圆心,1 为半径 的圆的右半圆,画出他们的图象如右图,由图可以看出:两种情况两个曲线有且仅有一个公共点, 当 b=- 2时相切,当-1<b≤1 时,相交且有唯一公共点. 答案 (-1,1]∪{- 2}

二十五、考查圆锥曲线的定义、方程及性质
【例 1】? 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离 心率为________.

解析 如图,A、F 分别为顶点、焦点, |OF| |FC| c 6 则 = ,即 = =3. |OA| |AB| a 2 答案 3 x2 y2 3a 【例 2】 设 F1F2 是椭圆 E: 2+ =1(a>b>0)的左、 ? 右焦点, 为直线 x= 上一点, 2PF1 P △F a b2 2 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为________.

解析 因为△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则有|F2F1|=|F2P|,因为∠PF1F2=30° ,所以∠ 1 1 3a 1 3a c 3 PF2D=60° ,∠DPF2=30° ,所以|F2D|= |PF2|= |F1F2|,即 -c= ×2c=c,所以 =2c,即 = , 2 2 2 2 2 a 4 3 所以椭圆的离心率为 e= . 4 3 答案 4

命题趋势:虽然新课标对圆锥曲线的要求降低了,但是还要引起足够的重视,特别是对圆锥
曲线的定义和几何性质、应用加以重视,三大圆锥曲线在高考中的要求分别为:椭圆为 B 级要求, 双曲线和抛物线为 A 级要求. 【突破训练】 已知曲线 C:y=2x2,点 A(0,-2)及点 B(3,a),从点 A 观察点 B,要使视线不 被曲线 C 挡住,则实数 a 的取值范围是________. 解析 点 A 在抛物线外部,则 a<2×32=18,设过点 A 的抛物线的切线方程为 y=kx-2,代入 抛物线方程得 2x2-kx+2=0,由 Δ=k2-16=0,得 k=± 4,结合图形取 k=4,即要求 AB 连线的斜 a+2 率小于 4,即 <4,解得 a<10. 3 答案 (-∞,10)

二十六、考查有关新定义的问题
【例 1】? 若直角坐标平面内两点 P,Q 满足条件: ①P,Q 都在函数 f(x)的图象上; ②P,Q 关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数 f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)
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?2x +4x+1,x<0, ? 看作同一个“友好点对”).已知函数 f(x)= ? 2 则 f(x)的“友好点对”有 ?ex,x≥0, ?
________个.

2

解析 根据题意:“友好点对”,可知,只需作出函数 y=2x2+4x+1(x<0)的图象关于原点对 2 称的图象,看它与函数 y= x(x≥0)交点个数即可. e 如图, 观察图象可得:它们的交点个数是 2. 即 f(x)的“友好点对”有 2 个. 答案 2 f?x1?+f?x2? 【例 2】? 设函数 f(x)的定义域为 D,如果对于任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使 2 =C(C 为常数)成立,则称函数 f(x)在 D 上均值为 C,下列五个函数: ①y=4sin x;②y=x3;③y=lg x;④y=2x;⑤y=2x-1.则满足其定义域上均值为 2 的所有函数 的序号是________. 4sin x1+4sin x2 解析 对于①,若 =2,则 sin x1+sin x2=1,因为 x2 不唯一,①不合题意;对于 2
3 x1+x3 lg x1+lg x2 3 104 2 3 ②,若 =2,则 x2= 4-x1是唯一的,②符合题意;对于③,若 =2,则 x2= 是 2 2 x1 2x1+2x2 唯一的,③符合题意;对于④,若 =2,2x1+2x2=4,则 x2 可能不存在,④不合题意;对于 2 2x1-1+2x2-1 ⑤,若 =2,则 x2=3-x1 是唯一的,⑤符合.故填②③⑤. 2 答案 ②③⑤

解题方法技巧:巧妙应用新定义型填空题,新定义型填空题,是指新定义一个数学问题?新概
念、新公式、新定理、新法则、新运算?并给出了以定义的新概念或新性质或新运算所满足的条件, 要求应用所学的数学知识和方法迁移到这段材料中, 从而使问题得到解决的一类题.解新定义型填空 题,要仔细阅读分析所给材料,捕捉相关信息,紧扣定义,围绕定义与条件,结合所学的数学知识 和方法,通过归纳、探索、推理发现解题方法.做此类题型的前提:认真阅读、审题,紧扣新信息的 意义,把定义问题“翻译”成熟悉的情境,化抽象为直观,化难为易. 【突破训练 1】 定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合 A={0,1},B= {2,3},则集合 A⊙B 的所有元素之和为________. 解析 当 x=0 时,z=0,当 x=1,y=2 时,z=6,当 x=1,y=3 时,z=12,故所有元素之和 为 18. 答案 18 【突破训练 2】 在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“⊕”如下:当 a≥b 时,a ⊕b=a; a<b 时, 当 a⊕b=b2.则函数 f(x)=(1⊕x)· x-(2⊕x)(x∈[-2,2])的最大值等于________. ” (“· 和“-”仍为通常的乘法和减法) ? ?x-2?-2≤x≤1?, 解析 由定义知,f(x)=? 3 f(x)在区间[-2,2]上单调递增,所以 f(x)的最大值 ? ?x -2?1<x≤2?, 为 6. 答案 6

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