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2014年江苏高考数学填空题专题突破


江苏高考数学填空题丏项突破
江苏高考对填空题知识点的考查相对稳定,共有 14 道,分值 70 分,填空题的得分 多少,决定了整个试卷的成败,本专题通过对高考填空题的题型进行分类,同时穿插方 法的指导,提高解题的速度和正确率. 填空题没有备选项.因此,解答时既有不受诱误的干扰之好处,又有缺乏提示的帮 助之不足,对考生独立思考和求解,在能力要求上会高一些,只要求写出结果,

不要求 写出解答过程,不设中间分,更易失分,因而在解答过程中应力求准确无误. 【应对策略】 解填空题时,要有合理的分析和判断,要求推理、运算的每一步骤都正确无误,还 要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答 填空题的基本要求. 数学填空题, 绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质) 判断型的试题, 应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断.求解填 空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫.要想又快又准地答好填空题,除 、 、 直接推理计算外,还要讲究解题策略,尽量避开常规解法. 解题的基本方法一般有:①直接求解法;②数形结合法;③特殊化法(特殊值法、 特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、特殊点法、特殊方程法、特殊 模型法);④整体代换法;⑤类比、归纳法;⑥图表法等. 一、考查以集合为背景的试题
【例 1】 (2012· 南通模拟)已知集合 U={1,3,5,9}, A={1,3,9}, B={1,9}, U(A∪B)=________. 则? 解析 易得 A∪B=A={1,3,9},则?U(A∪B)={5}. 答案 {5} 【例 2】 已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C? B 的集合 C 的个数为________. 解析 A={1,2},B={1,2,3,4},故满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数即为集合{3,4}的子集个 2 数 2 =4(个). 答案 4

解题方法技巧:直接求解法
直接从题设条件出发,利用定义、性质、定理、公式等,经过变形、推理、计算、判断得到结 论的一种解题方法.它是解填空题常用的基本方法,使用直接法解填空题,要善于透过现象抓本质, 自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法. 【突破训练 1】 若 A={x∈R||x|<3},B={x∈R|2x>1},则 A∩B=________. 解析 因为 A={x|-3<x<3},B={x|x>0},所以 A∩B={x|0<x<3}. 答案 {x|0<x<3} x2 y2 【例 3】 设集合 A={(x, ? 4 +16=1 }, y)? B={(x, y)|y=3x}, A∩B 的子集的个数是________. 则 2 2 x y 解析 画出椭圆 + =1 和指数函数 y=3x 图象, 可知其有两个不同交点, 记为 A1, 2, A∩B A 则 4 16 的子集应为?,{A1},{A2},{A1,A2}共四种. 答案 4 【例 4】 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若 A∩B=?,则实数 a 的取值范围 是________. 解析 由|x-a|<1 得-1<x-a<1,即 a-1<x<a+1.如图,要使 A∩B=?成立,由图可知 a +1≤1 或 a-1≥5,所以 a≤0 或 a≥6.
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答案 a≤0 或 a≥6

解题方法技巧:数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题,若能根据题目条件的特点,作出符合题意的图形,做到数中 思形,以形助数,并通过对图形的直观分析、判断,则往往可以简捷地得出正确的结果.数形结合, 能使抽象的数学问题转化成直观的图形,使抽象思维和形象思维结合起来.这种思想是近年来高考 的热点之一,也是解答数学填空题的一种重要策略. 【突破训练 2】 已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 为实数,且 x+y=1},则 A∩B 的元素个数为________. 解析 集合 A 表示由圆 x2+y2=1 上所有点组成的集合,集合 B 表示直线 x+y=1 上所有点的 1 1 集合,∵直线过圆内点?2,2?,∴直线与圆有两个交点,即 A∩B 的元素个数为 2. ? ? 答案 2 【突破训练 3】 设集合 A={(x,y)|x+a2y+6=0},B={(x,y)|(a-2)x+3ay+2a=0},若 A∩B =?,则实数 a 的值为________. 解析 由 A,B 集合的几何意义可知,A,B 集合表示的是两条直线,A∩B=?,则两直线平行, a-2 3a 2a 故 = 2 ≠ ,解得 a=-1,又经检验 a=0 时也满足题意. 1 a 6 答案 0 或-1

二、考查复数的运算
【示例】 (2012· 南京、盐城模拟)已知复数 z 满足(2-i)z=5i(其中 i 为虚数单位),则复数 z 的模 是________. 解析 |(2-i)z|=|5i|,即 5|z|=5,解得|z|= 5. 答案 5 解题方法技巧:直接求解法 ?1?给出的复数是一个算式时,都是要把复数化简为a+bi形式,再求参数. ?2?已知复数的特征求参数时,要列出特征的充要条件,直接求解参数. 2-bi 【突破训练】 如果复数 (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 1+2i 等于________. 2-bi ?2-bi??1-2i? ?2-2b?-?b+4?i 2 解析 = = ,由题意得 2-2b=b+4,解得 b=- . 5 3 1+2i ?1+2i??1-2i? 2 答案 b=- 3

三、考查抽样方法与总体分布的估计
【示例】? 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,抽取了总成绩介于 350 分到 650 分之间的 10 000 名学生成绩,并根据这 10 000 名学生的总成绩画了样本的频率分布直方 图(如图),则总成绩在[400,500)内共有________人.

解析 由频率分布直方图可求得 a=0.005, 故[400,500)对应的频率为(0.005+0.004)×50=0.45, 相应的人数为 4 500(人). 答案 4 500

解题方法技巧:图表法
先识别图表类型,然后借助图表提供的信息进行解题的一种方法,本例中的图表应注意以下几

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点: (1)样本的频率分布直方图中,小长方形的面积之和为 1. (2)要注意纵轴数据是:频率/组距. (3)小矩形的面积就是表示相应各组的频率.

【突破训练】 某个容量为 N 的样本频率分布直方图如右图所示,已知在区间[4,5)上频数为 60, 则 N=________. 解析 组距为 1, 在区间[4,5)上频率为 1-0.4-0.15-0.10-0.05=0.3, 在区间[4,5)上频数为 60, 60 则 =0.3?N=200. N 答案 200

四、考查古典概型与几何概型
【例 1】? (2012· 南京、盐城模拟)若将一颗质地均匀的骰子(各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的 正方体玩具)先后抛掷两次,向上的点数依次为 m,n,则方程 x2+2mx+n=0 无实数根的概率是 ________. 解析 共有 36 种等可能基本事件,其中要求方程 x2+2mx+n=0 无实根,即 m2<n 的事件为 7 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)共 7 个基本事件,因此所求概率为 . 36 7 答案 36

命题趋势:古典概型和几何概型是填空题考查的重点,在知识网络交汇处设计试题是高考命
题的新特点和大方向,如将概率问题与函数、方程、数列、不等式及几何等问题交叉渗透,考查学 生处理信息的能力和综合运用数学知识分析、解决问题的能力. 【突破训练 1】 (2012· 南通模拟)豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因 记为 D,决定矮的基因记为 d,则杂交所得第一子代的一对基因为 Dd,若第二子代的 D,d 的基因 遗传是等可能的(只要有基因 D 则其就是高茎,只有两个基因全是 d 时,才显示矮茎),则第二子代 为高茎的概率为________. 【突破训练 1】 解析 第二子代的一对基因的所有等可能情形为 DD,Dd,dD,dd,其中高茎 3 的有 DD,Dd,dD 共 3 种,则所求概率为 . 4 3 答案 4 【例 2】? 已知 Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向 区域 Ω 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为________.

1 1 解析 分别画出两个集合表示的区域如图可知 SΩ= ×6×6=18,SA= ×4×2=4,由几何概 2 2 SA 4 2 型概率计算可得 P= = = . SΩ 18 9 2 答案 9

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解题方法技巧:图形法,图形法解题是解决几何概型问题的一种常见方法,
根据条件画出所求事件所满足的图形,然后利用几何概型中,事件的概率计算公 式求解.通常是构成事件 A 的区域长度?面积、体积?与试验的全部结果所构成的区 域长度?面积、体积?的比. 【突破训练 2】 已知平面区域 Ω={(x, 2+y2≤1}, y)|x M={(x, y)|x≥0, y≥0, x+y≤1},若在区域 Ω 上随机投一点 P,则点 P 落在区域 M 内的概率为________. 【突破训练 2】 解析 满足约束条件 x+y≤1,x≥0,y≥0 的区域为△ABO 内部(含边界),与 SM 1 单位圆 x2+y2=1 的公共部分如图中阴影部分所示,则点 P 落在区域 M 内的概率为 P= = . S单位圆 2π 1 答案 2π

五、考查流程图与伪代码
【示例】? (2012· 南京、盐城模拟)根据如图所示的流程图,若输入 x 的 值为-7.5,则输出 y 的值为________. 解析 当 x=-7.5 时,运行一次,x=-5.5,继续循环,直到 x=0.5 时跳出循环,此时 y=-1. 答案 -1

命题趋势:算法是新课标的新增内容,已成为高考考查的热点,考查
侧重于对变量赋值的理解,对循环结构的运用,阅读流程图,说明算理与算 法.由于算法与其它知识之间有较强的联系,所以算法与知识的 结合是高考的热点,同时也体现了算法的工具性. 【突破训练】 (2012· 南通模拟)如图,Ni 表示第 i 个学生的 学号,Gi 表示第 i 个学生的成绩,已知学号在 1~10 的学生的 成绩依次为 401,392,385,359,372,327,354,361,345,337, 则打印出 的第 5 组数据是________. 解析 打印出的第 5 组数据是学号为 8 号,且成绩为 361, 故结果是 8,361. 答案 8,361

六、考查命题真假的判断
【示例】? 对于△ABC,有如下四个命题: ①若 sin 2A=sin 2B,则△ABC 为等腰三角形; ②若 sin B=cos A,则△ABC 是直角三角形; ③若 sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC 是钝角三角形; a b c ④若 = = ,则△ABC 是等边三角形. A B C cos cos cos 2 2 2 其中正确的命题个数是________. 解析 ①不对,可能 2A+2B=π;②不对,如 B=120° ,A=30° ;③不对,仅能说明 C 为锐角; A B C ④对,由正弦定理可得 sin =sin =sin ,即 A=B=C. 2 2 2 答案 1

解题方法技巧:特殊值法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示 答案是一个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数、或特殊 角、特殊数列、 图形特殊位置、特殊点、特殊方程、 特殊模型等)进行处理, 从而得出探求的结论.这 样可大大地简化推理、论证的过程. 【突破训练】 有四个关于三角函数的命题:

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x x 1 p1:?x∈R,sin2 +cos2 = ;p2:?x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y; 2 2 2 1-cos 2x π p3:?x∈[0,π], =sin x;p4:sin x=cos y?x+y= .其中假命 2 2 题的是________. x x 1 解析 p1:?x∈R,sin2 +cos2 = 是假命题;p2 是真命题,如 x=y=0 时 2 2 2 1-cos 2x 成立;p3 是真命题,∵?x∈[0