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【2015届高考数学二轮复习 专题2 第1讲 三角函数的概念、图象与性质素能训练(文、理)


【成才之路】2015 届高考数学二轮复习 专题 2 第 1 讲 三角函数的 概念、图象与性质素能训练(文、理)

一、选择题 π 1.(2013·北京海淀期中)下列四个函数中,以 π 为最小正周期,且在区间( ,π ) 2 上为减函数的是( A.y=sin2x C.y=cos 2 [答案] D [解析] 逐个判断, 用排除法. y=cos 的最小正周期为 4π

, 故 C 排除; 函数 y=sin2x 2 π π 在区间( ,π )上不具有单调性,故 A 排除;函数 y=2|cosx|在区间( ,π )上是增函数, 2 2 故 B 排除;D 正确. 4 π 2 2.如果 sinα = ,那么 sin(α + )- cosα 等于( 5 4 2 A. C. 2 2 5 4 2 5 2 2 B.- 5 4 2 D.- 5 ) ) B.y=2|cosx| D.y=tan(-x)

x

x

[答案] A π 2 [解析] sin(α + )- cosα 4 2 π π 2 4 2 2 2 =sinα cos +cosα sin - cosα = × = . 4 4 2 5 2 5 3.(文)(2014·唐山市二模)已知 sinα + 2cosα = 3,则 tanα =( A. 2 2 2 2 B. 2 D.- 2 )

C.-

[答案] A [解析] ∵sinα + 2cosα = 3, ∴sin α +2 2sinα cosα +2cos α =3,
2 2



sin α +2 2sinα cosα +2cos α =3, 2 2 sin α +cos α
2

2

2

tan α +2 2tanα +2 2 2 ∴ =3,∴2tan α -2 2tanα +1=0,∴tanα = . 2 tan α +1 2 (理)(2013·浙江理,6)已知 α ∈R,sinα +2cosα = A. 4 3 B. 3 4 10 ,则 tan2α =( 2 )

3 C.- 4 [答案] C

4 D.- 3

[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系. 将 sinα +2cosα = 10 两边平方可得, 2

5 2 2 sin α +4sinα cosα +4cos α = , 2 3 2 ∴4sinα cosα +3cos α = . 2 将左边分子分母同除以 cos α 得, 3+4tanα 3 1 = ,解得 tanα =3 或 tanα =- , 2 1+tan α 2 3 ∴tan2α = 2tanα 3 =- . 2 1-tan α 4
2

4.(文)(2014·浙江理,4)为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图像,可以将函数 y= 2 sin3x 的图像( ) π B.向左平移 个单位 4 π D.向左平移 个单位 12

π A.向右平移 个单位 4 π C.向右平移 个单位 12 [答案] D [解析]

本题考查三角函数图象变换.y=sin3x+cos3x= 2sin(3x+

π ),只需将函 4

π 数 y= 2sin3x 的图象向左平移 个单位,选 D. 12 π (理)(2014·福建文,7)将函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=f(x) 2 的图象,则下列说法正确的是( A.y=f(x)是奇函数 )

B.y=f(x)的周期为 π π C.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 2 D.y=f(x)的图象关于点(- [答案] D [解析] 本题考查了正弦函数图象平移变换、余弦函数图象性质. π 平移后图象对应函数为 y=sin(x+ ), 即 y=cosx, 则由 y=cosx 图象性质知 D 正确. 2 5.(2014·新乡、许昌、平顶山调研)已知函数 f(x)=cosxsin x,下列结论中错误的是 ( ) A.f(x)既是偶函数又是周期函数 B.f(x)最大值是 1 π C.f(x)的图像关于点( ,0)对称 2 D.f(x)的图像关于直线 x=π 对称 [答案] B [解析] f(-x)=cos(-x)sin (-x)=cosxsin x=f(x), ∴f(x)为偶函数. f(x+2π ) =cos(x+2π )sin (x+2π )=cosxsin x,∴2π 是 f(x)一个周期,故 A 选项正确.f(x)= cosxsin x=-cos x+cosx,令 t=cosx 则 t∈[-1,1],g(t)=-t +t,g′(t)=-3t +1 令 g′(t)=0,则 t=± 上单调递增,在( 3 3 3 3 ,易知 f(x)在区间[-1,- )上单调递减,在(- , ) 3 3 3 3
2 3 3 2 2 2 2 2 2

π ,0)对称 2

3 3 2 3 ,1]上单调递减,g(-1)=0,g( )= , 3 3 9

2 3 ∴g(t)max= ≠1,故 B 项错误. 9 π π 6. (文)(2013·天津文, 6)函数 f(x)=sin(2x- )在区间[0, ]上的最小值为( 4 2 A.-1 2 2 B.- 2 2 )

C.

D.0

[答案] B [解析] 本题考查正弦型函数的最值. π π π 3π π 令 t=2x- ,因为 x∈[0, ],所以 t∈[- , ],f(x)=sin(2x- )变为 y= 4 2 4 4 4

π 2 sint,由正弦函数的图象可知,当 t=- ,即 x=0 时,f(x)取得最小值为- . 4 2 (理)用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ω x+φ )的简图时,若所得五个点的横坐标从小 3π 到大依次为 x1、x2、x3、x4、x5 且 x1+x5= ,则 x2+x4( 2 A. C. π 2 3π 2 B.π D.2π )

[答案] C [解析] 由函数 f(x)=Asin(ω x+φ )的图象性质可知 x1、x5 关于 x3 对称,x2、x4 也关 3π 于 x3 对称,∴x2+x4=x1+x5= ,故选 C. 2 二、填空题 π 7.(2014·陕西文,13)设 0<θ < ,向量 a=(sin2θ ,cosθ ),b=(1,-cosθ ),若 2

a·b=0,则 tanθ =________.
[答案] 1 2

[解析] 本题考查向量垂直、向量坐标运算等. ∵a·b=0,∴sin2θ -cos θ ,即 cosθ (2sinθ -cosθ )=0. π 又 0<θ < , 2 1 ∴cosθ ≠0,∴2sinθ =cosθ ,∴tanθ = . 2 π 8.(2013·宝鸡二模)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )的部分图象如 2 图所示,则 f(x)=________.
2

[答案]

π π 2sin( x+ ) 8 4

[解析] 由题意得 A= 2,函数的周期为 T=16, 2π π π 又 T= ? ω = ,此时 f(x)= 2sin( x+φ ), ω 8 8

π π 又 f(2)= 2,即 sin( ×2+φ )=sin( +φ )=1, 8 4 π π π 解得 +φ =2kπ + ? φ =2kπ + ,k∈Z, 4 2 4 π π 又|φ |< ,所以 φ = . 2 4 π π 所以函数的解析式为 f(x)= 2sin( x+ ). 8 4 9.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给 出下列四个函数: ①f(x)=sinx+cosx; ②f(x)= 2(sinx+cosx); ③f(x)=sinx; ④f(x)= 2sinx+ 2. 其中为“互为生成”函数的是________(填序号). [答案] ①④ [解析] 首先化简题中的四个解析式可得:①f(x)= 2sin(x+ π ),②f(x)=2sin(x 4

π + ),③f(x)=sinx,④f(x)= 2sinx+ 2,可知③f(x)=sinx 的图象要与其他的函数 4 图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以③f(x)=sinx 不能 与其他函数成为“互为生成”函数,同理①f(x)= 2sin(x+ + π )的图象与②f(x)=2sin(x 4

π π )的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而④f(x)= 2sinx+ 2的图象向左平移 个 4 4

π 单位,再向下平移 2个单位即可得到①f(x)= 2sin(x+ )的图象,所以①④为“互为生 4 成”函数. 三、解答题 1 2 10.(文)(2013·北京文,15)已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; (2)若 α ∈?

?π ,π ?,且 f(α )= 2,求 a 的值. ? 2 ?2 ?

1 2 [解析] (1)因为 f(x)=(2cos x-1)sin2x+ cos4x 2 1 =cos2xsin2x+ cos4x 2 1 = (sin4x+cos4x) 2



2 π sin(4x+ ) 2 4

π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 (2)因为 f(α )= 2 π ,所以 sin(4α + )=1. 2 4

π 因为 α ∈( ,π ), 2 π 9π 17π 所以 4α + ∈( , ), 4 4 4 π 5π 9π 所以 4α + = ,故 α = . 4 2 16 (理)(2014·甘肃三诊)已知 f(x)= 3sinω x-2sin π 3π (1)当 x∈[ , ]时,求函数 f(x)的最小值; 2 4 (2)在△ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin B=cosB+cos(A-C),求 sinA 的值. 1- [解析] ∵f(x)= 3sin(ω x)-2· ωx 2
2 2

ωx (ω >0)的最小正周期为 3π . 2

π = 3sin(ω x)+cos(ω x)-1=2sin(ω x+ )-1, 6 由 2π 2 2 π =3π 得 ω = ,∴f(x)=2sin( x+ )-1. ω 3 3 6

π 3π π 2 π 2π (1)由 ≤x≤ 得 ≤ x+ ≤ , 2 4 2 3 6 3 2 π 3 3 ∴当 sin( x+ )= 时,f(x)min=2× -1= 3-1. 3 6 2 2 2 π (2)由 f(C)=2sin( C+ )-1 及 f(C)=1,得 3 6 2 π sin( C+ )=1, 3 6 而 π 2 π 5π 2 π π π ≤ C+ ≤ , 所以 C+ = ,解得 C= . 6 3 6 6 3 6 2 2

π 在 Rt△ABC 中,∵A+B= , 2 2sin B=cosB+cos(A-C), ∴2cos A-sinA-sinA=0, -1± 5 2 ∴sin A+sinA-1=0,解得 sinA= . 2
2 2

∵0<sinA<1,∴sinA=

5-1 . 2

一、选择题 π π π 11.若 f(x)=2sin(ω x+φ )+m,对任意实数 t 都有 f( +t)=f( -t),且 f( ) 8 8 8 =-3,则实数 m 的值等于( A.-1 C.-5 或-1 [答案] C π π [解析] 依题意得,函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称,于是 x= 时,函数 f(x) 8 8 取得最值,因此有±2+m=-3,∴m=-5 或 m=-1,选 C. 12.(2013·浙江文,6)函数 f(x)=sinxcosx+ ( ) A.π ,1 C.2π ,1 [答案] A [解析] 本题考查了辅助角公式、倍角公式和正弦型函数的性质. B.π ,2 D.2π ,2 3 cos2x 的最小正周期和振幅分别是 2 ) B.±5 D.5 或 1

f(x)= sin2x+

1 2

3 π cos2x=sin(2x+ ),周期 T=π ,振幅为 1,故选 A. 2 3

π π 13.函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )的图象关于直线 x= 对称,它 2 3 的最小正周期为 π ,则函数 f(x)图象的一个对称中心是( π A.( ,1) 3 5π C.( ,0) 12 [答案] B [解析] 由题意知 T=π ,∴ω =2, π π π π 由函数图象关于直线 x= 对称,得 2× +φ = +kπ (k∈Z),即 φ =- +kπ (k 3 3 2 6 ∈Z). π π 又|φ |< ,∴φ =- , 2 6 π B.( ,0) 12 π D.(- ,0) 12 )

π ∴f(x)=Asin(2x- ), 6 π π k 令 2x- =kπ (k∈Z),则 x= + π (k∈Z). 6 12 2 π ∴一个对称中心为( ,0),故选 B. 12 14.(2013·广东佛山二模 ) 如图所示为函数 f(x) = 2sin(ω x + φ )(ω >0,0≤φ ≤π )的部分图象,其中 A、B 两点之间的距离为 5, 那么 f(-1)等于( A.2 C.- 3 [答案] A [ 解析 ] 设函数 f(x) 的最小正周期为 T ,因为 A , B 两点之间的距离为 5 ,所以 ) B. 3 D.-2

T
2

2

2π π 2 +4 =5,解得 T=6.所以 ω = = .又图象过点(0,1),代入得 2sinφ =1,所 T 3

π 5π π 5π 以 φ =2kπ + 或 φ =2kπ + (k∈Z).又 0≤φ ≤π ,所以 φ = 或 φ = .故 f(x) 6 6 6 6 π π π 5π π π =2sin( x+ )或 f(x)=2sin( x+ ).对于函数 f(x)=2sin( x+ ),当 x 略微大 3 6 3 6 3 6 π π 5π 于 0 时,有 f(x)>2sin =1,与图象不符,故舍去;综上,f(x)=2sin( x+ ). 6 3 6 π 5π 故 f(-1)=2sin(- + )=2.故选 A. 3 6 二、填空题 π 15.(2013·新课标Ⅱ文,16)函数 y=cos(2x+φ )(-π ≤φ <π )的图象向右平移 个 2 π 单位后,与函数 y=sin(2x+ )的图象重合,则 φ =________. 3 [答案] 5π 6

[解析] 本题考查三角函数的平移变换

y=cos(2x+φ )的图象向右平移 个单位得, y = cos[2(x -
π π ) + φ ] = cos(2x - π + φ ) = sin(2x - π + φ + ) = sin(2x + φ - 2 2

π 2

π π π π 5π ),而它与函数 y=sin(2x+ )的图象重合,令 2x+φ - =2x+ 得,φ = ,符合 2 3 2 3 6 题意.

16. (2013·合肥第一次质检)定义一种运算: (a1, a2)?(a3, a4)=a1a4-a2a3, 将函数 f(x) =( 3, 2sinx)?(cosx, cos2x)的图象向左平移 n(n>0)个单位长度所得图象对应的函数为偶 函数,则 n 的最小值为________. [答案] 5π 12

π [解析] f(x)= 3cos2x-2sinxcosx= 3cos2x-sin2x=2cos(2x+ ), 将 f(x)的图 6 π 象向左平移 n 个单位长度对应的函数解析式为 f(x)=2cos[2(x+n)+ ]=2cos(2x+2n+ 6 π π kπ π ),要使它为偶函数,则需要 2n+ =kπ (k∈Z),所以 n= - (k∈Z),因为 n>0, 6 6 2 12 5π 所以当 k=1 时,n 有最小值 . 12 三、解答题 1+cos2x 1 3 2 17.(文)已知向量 m=(sin x+ ,sinx),n=( cos2x- sin2x,2sinx),设 2 2 2 函数 f(x)=m·n,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)若 x∈[0, ],求函数 f(x)的值域. 2 [解析] (1)∵cos2x=2cos x-1, 1+cos2x 2 ∴m=(sin x+ ,sinx)=(1,sinx), 2
2

f(x)=m·n= cos2x-

1 2

3 1 3 π 2 sin2x+2sin x=1- cos2x- sin2x=1-sin(2x+ ). 2 2 2 6

2π ∴其最小正周期为 T= =π . 2 π (2)由(1)知 f(x)=1-sin(2x+ ), 6 π π π 7π ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ], 2 6 6 6 π 1 ∴sin(2x+ )∈[- ,1]. 6 2 3 ∴函数 f(x)的值域为[0, ]. 2 π 1 2 (理)(2014·中原名校第二次联考)已知函数 f(x)=sinx·cos(x- )+cos x- . 6 2 (1)求函数 f(x)的最大值,并写出 f(x)取最大值 x 时的取值集合;

1 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A)= ,b+c=3.求 a 的最小 2 值. [解析] (1)f(x)=sinx( 3 1 1 3 1 2 2 cosx+ sinx)+cos x- = sinxcosx+ cos x 2 2 2 2 2

1 3 1 1 1 π 1 = ( sin2x+ cos2x)+ = sin(2x+ )+ . 2 2 2 4 2 6 4 3 π ∴函数 f(x)的最大值为 .当 f(x)取最大值时 sin(2x+ )=1, 4 6 π π π ∴2x+ =2kπ + (k∈Z),解得 x=kπ + ,k∈Z. 6 2 6 π 故 x 的取值集合为{x|x=kπ + ,k∈Z}. 6 1 π 1 1 π 1 (2)由题意 f(A)= sin(2A+ )+ = ,化简得 sin(2A+ )= . 2 6 4 2 6 2 π π 13π π 5π π ∵A∈(0,π ),∴2A+ ∈( , ),∴2A+ = ,∴A= . 6 6 6 6 6 3 π 2 2 2 2 在△ABC 中,根据余弦定理,得 a =b +c -2bccos =(b+c) -3bc. 3 由 b+c=3,知 bc≤(

b+c

9 9 2 2 ) = ,即 a ≥ . 2 4 4

3 3 ∴当 b=c= 时,a 取最小值 . 2 2

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