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2014-2015学年江苏省淮安市清江中学高一(下)期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省淮安市清江中学高一(下)期中数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接 填写在答题纸的相应位置上. 1. (5 分) (2015 春?淮安校级期中)过点(1,0) ,且与直线 2x+y﹣10=0 的斜率相同的直线 方程是 2x+y﹣2=0 . 考点: 直线的斜率. 专题: 直线

与圆. 分析: 设所求的直线为:2x+y+m=0,把点(1,0)代入解得 m 即可得出. 解答: 解:设所求的直线为:2x+y+m=0, 把点(1,0)代入可得 2+0+m=0,解得 m=﹣2. ∴要求的直线方程为:2x+y﹣2=0, 故答案为:2x+y﹣2=0. 点评: 本题考查了直线的方程、斜率的求法,属于基础题. 2. (5 分) (2015 春?淮安校级期中)若直线 y=2x 与直线 x+ay﹣3=0 互相垂直,则实数 a 的值 是 2 . 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线的垂直关系可得 a 的方程,解方程可得. 解答: 解:∵直线 y=2x 可化为 2x﹣y=0, ∵直线 y=2x 与直线 x+ay﹣3=0 互相垂直, ∴2×1+(﹣1)a=0, 解得 a=2 故答案为:2 点评: 本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题. 3. (5 分) (2015 春?淮安校级期中)在等差数列{an}中,已知 a15=10,a45=90,a60= 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 设公差为 d,则 d= = ,而 a60=a45+(60﹣45)d,代入可得答案. 130 .

解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d,则 d= 故 a60=a45+(60﹣45)d=90+15× =130, 故答案为:130 点评: 本题考查等差数列的通项公式,属基础题.

= ,

4. (5 分) (2015 春?淮安校级期中)若经过点 A(1﹣t,1+t)和点 B(3,2t)的直线的倾斜 角为钝角,则实数 t 的取值范围是 (﹣2,1) . 考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得直线 AB 的斜率 解答: 解:由题意可得直线 AB 的斜率 整理可得 <0,等价于(t﹣1) (t+2)<0, <0,解关于 t 的不等式可得. < 0,

解得﹣2<t<1,即实数 t 的取值范围为(﹣2,1) , 故答案为: (﹣2,1) . 点评: 本题考查直线的倾斜角和斜率公式,涉及分式不等式的解法,属基础题. 5. (5 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=﹣2,S4=4S2,则 a3 的值为 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 根据等比数列的 S4=4S2,把数列的前 4 项和与前两项的和用数列的通项表示出来,合 并同类项整理得到第三项和第四项的和等于第一项和第二项的和的三倍,得到公比的平方是 3,得到第三项. 解答: 解:∵等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=﹣2,S4=4S2, ∴a1+a2+a3+a4=4(a1+a2) ∴a3+a4=3(a1+a2) , 2 ∴q =3, 2 ∴a3=a1q =﹣2×3=﹣6, 故答案为:﹣6 点评: 本题考查等比数列的前 n 项和与数列的通项,是一个基本量的运算问题,这种题目做 起来运算量不大,只要注意应用等比数列的性质就可以做对. 6. (5 分) (2014 春?徐州期末) 在△ ABC 中, 已知 a=2, ∠A=30°, ∠B=45°, 则 S△ ABC= +1 . ﹣6 .

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用两角和公式求得 sinC 的值,利用正弦定理求得 b 的值,最后利用三角形面积公式 求得答案. 解答: 解:∵∠A=30°,∠B=45°, ∴C=180°﹣30°﹣45°, ∴sinC=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°= × + × = ,

∵ ∴b=

=

, ?sinB= × =2 ,

∴S= absinC= ×2×2

×

=

+1

故答案为: +1 点评: 本题主要考查了正弦定理的运用.对正弦定理公式及变形公式能熟练掌握. 7. (5 分) (2014?兴庆区校级一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n ,某三角形三边之比为 a2:a3:a4,则该三角形最大角为 120° . 考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 2 分析: 由数列{an}的前 n 项和为 Sn=n 可以求得 a2,a3,a3,再利用余弦定理即可求得该三角 形最大角. 解答: 解:由 Sn=n 得 a2=s2﹣s1=4﹣1=3,同理得 a3=5,a4=7, ∵3,5,7 作为三角形的三边能构成三角形, ∴可设该三角形三边为 3,5,7,令该三角形最大角为 θ, = ,
2 2

又 0°<θ<180° ∴θ=120°. 故答案为:120°. 点评: 本题考查余弦定理,关键是利用等差数列的前 n 项和公式求得三角形三边之比为 a2: a3:a4,为容易题. 8. (5 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 a=2bcosC, 则 的值为 1 .

考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 根据余弦定理把所给的式子,转化为只含有边得式子,再进行变形求出 b 和 c 的关系. 解答: 解:由余弦定理得,a=2bcosC=2b× ∴a =a +b ﹣c ,∴b ﹣c =0 则 b=c,即 =1, 故答案为:1. 点评: 本题主要考查了利用余弦定理的应用,即利用余弦定理把角转化为边,判断三角形的 形状和边之间的关系,常采用的一种方法.
2 2 2 2 2 2



9. (5 分) (2015 春?淮安校级期中)直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有公共点,其中 A(﹣2,3) , B(3,2) ,则实数 m 的取值范围为 .

考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意得直线 y=﹣mx﹣2 过定点(0,﹣2) ,作出图象求出边界直线的斜率,根据图 象和条件求出实数 m 的取值范围. 解答: 解:由题意得,直线 mx+y+2=0 化为 y=﹣mx﹣2, 则直线 y=﹣mx﹣2 过定点 P(0,﹣2) ,画出图象: ∴直线 PA 的斜率是 = ,直线 PB 的斜率是 = ,

∵直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有公共点, ∴直线 mx+y+2=0 在直线 PA 和直线 PB 之间,且直线 PB 按逆时针转动,直线 PA 按顺时针转 动, 则实数 m 的取值范围是 故答案为: . ,

点评: 本题考查直线的斜率公式的应用,以及直线过定点的问题,数形结合是解决问题的关 键,属基础题. 10. (5 分) (2015 春?淮安校级期中)已知:在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 对应的边分 别是 a,b,c,若 ,则角 B 为 .

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由条件利用余弦定理可得 sinB=
2 2 2

,再由 ABC 为锐角三角形,解得 B 的值. , 由余弦定理可得 2ac?cosB?sinB= ac,

解答: 解: 在△ ABC 中, ∵ (a +c ﹣b ) tan B= ∴sinB= ,∴B= 或 .

再由 ABC 为锐角三角形,可得 B= 故答案为 .



点评: 本题主要考查余弦定理的应用,同角三角函数的基本关系,根据三角函数的值求角, 属于中档题. 11. (5 分) (2015?淮安一模)已知 a,b 均为正数,且直线 ax+by﹣6=0 与直线 2x+(b﹣3) y+5=0 互相平行,则 2a+3b 的最小值是 25 . 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由两直线平行的条件得到 ,由 2a+3b=(2a+3b) ( )展开后利用基本不等

式求得最值. 解答: 解:∵直线 ax+by﹣6=0 与直线 2x+(b﹣3)y+5=0 互相平行, ∴a(b﹣3)﹣2b=0 且 5a+12≠0, ∴3a+2b=ab,即 则 2a+3b=(2a+3b) ( ,又 a,b 均为正数, )=4+9+ .

当且仅当 a=b=5 时上式等号成立. 故答案为:25. 点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系,训练了利用基本不等式求最值,是 基础题. 12. (5 分) (2015?盐城校级二模)设等比数列{an}的公比为 q(0<q<1) ,前 n 项和为 Sn,若 a1=4a3a4,且 a6 与 a4 的等差中项为 a5,则 S6= .

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 由已知得

,由 0<q<1,解得

,由此能求出 S6.

解答: 解:∵等比数列{an}的公比为 q(0<q<1) ,前 n 项和为 Sn, a1=4a3a4,且 a6 与 a4 的等差中项为 a5,





由 0<q<1,解得



∴S6=

=



故答案为:



点评: 本题考查等比数列的前 6 项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列 的性质的合理运用. 13. (5 分)如果满足∠ABC=60°,AB=8,AC=k 的△ ABC 有且只有两个,那么 k 的取值范围 是 ( ,8) . 考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 由已知条件∠ABC 的度数, AB 及 AC 的值, 根据正弦定理用 k 表示出 sinC, 由∠ABC 的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ ABC 有两个 C 的范围,然后根据 C 的范围,利用特 殊角的三角函数值即可求出 sinC 的范围,进而求出 k 的取值范围. 解答: 解:由正弦定理得: = ,即 = ,

变形得:sinC=



由题意得:当 C∈(90°,120°)时,满足条件的△ ABC 有两个, 所以 < <1,解得:4 <k<8,

则 a 的取值范围是( 4 ,8) . 故答案为: ( 4 ,8) . 点评: 此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值.要求学生掌握正弦函数的图象与性质, 牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件.

14. (5 分)若实数 a,b,c 成等比数列,且 a+b+c=1,则 a+c 的取值范围是 [ ,1)∪(1, 2] . 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 依题意设公比为 q,则可分别表示出 a 和 c,进而可用 q 表示出 b,对 q>0 和 q<0 两 种情况分类讨论,利用基本不等式求得 b 的范围;然后根据 a+c=1﹣b 即可求出结果. 解答: 解:设公比为 q,显然 q 不等于 0 a+b+c=b( +1+q)=1

∴b=

当 q>0 时,q+ ≥2 ∴0<b≤ 当 q<0 时,q+ ≤﹣2 0>b≥﹣1 又∵a+c=1﹣b

=2

∴a+c 的取值范围:[ ,1)∪(1,2] 故答案为:[ ,1)∪(1,2]. 点评: 本题考查学生掌握等比数列的性质,以及会求一元二次不等式的解集,是一道综合 题.学生做题时应注意考虑 b≠0 的情况. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分) (2015 春?淮安校级期中)已知直线 x﹣my+2m+1=0. (1)求证:无论 m 为何实数,直线总经过第二象限; (2)为使直线不经过第四象限,求 m 的取值范围. (3)若直线交 x 轴于负半轴、交 y 轴于正半轴,交点分别为 A、B,求直线与坐标轴围成的 三角形的面积的最小值,并求出此时的直线方程. 考点: 直线的一般式方程;直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)直线 x﹣my+2m+1=0 可化为 x+1+(2﹣y)m=0,由 可得直线所过定点

(﹣1,2)在第二象限,可得直线总经过第二象限; (2)由题意要使直线不经过第四象限,则需直线无斜率或斜率>0,解关于 m 的不等式可得; (3)由方程可得截距,可得 立的条件可得. 解答: 解: (1)直线 x﹣my+2m+1=0 可化为 x+1+(2﹣y)m=0, 由 可解得 , ,由基本不等式等号成

∴直线过定点(﹣1,2) ,在第二象限, ∴直线总经过第二象限; (2)由(1)知直线直线过定点(﹣1,2) , 要使直线不经过第四象限,则需直线无斜率或斜率>0,

∴m=0,或 >0,解得 m≥0; (3)由题意可得 m>0,把 x=0 代入 x﹣my+2m+1=0 可得 y= 把 y=0 代入 x﹣my+2m+1=0 可得 x=﹣(2m+1) , ∴ 当且仅当 时“=”成立, , ,

此时直线方程为 y=2x+4,即 2x﹣y+4=0 点评: 本题考查直线的一般式方程和截距式方程,涉及基本不等式求最值,属中档题. 16. (14 分) (2015 春?淮安校级期中)等比数列{an}满足 a3a4a5=512,a3+a4+a5=28,公比为大 于 1 的数. (1)求{an}通项公式; (2)设 bn=2n﹣1,求{an+bn}前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析:(1) 由 (2)化简 可得 a4=8, 从而可得 ,从而求前 n 项和 . 解答: 解: (1)∵ ∴a4=8, ∴a3a5=64,a3+a5=20; ∴ 又∵q>1, ∴ ; , , ;

(2)∵ ∴

, .

点评:本题考查了等比数列的通项公式的求法及等比数列与等差数列的前 n 项和的公式应用, 属于基础题.

17. (15 分) (2015 春?淮安校级期中)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c, 若 b=1,B= ,

(1)若 a+c=2,解此三角形; (2)求△ ABC 面积的最大值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)根据题意和正弦定理求出 a 和 c,代入已知条件后利用内角和定理、两角和与差 的正弦公式化简,由角 A 的范围求出角 A,再求出角 C,即可求出 a、b、c; (2)根据题意和余弦定理列出方程,再利用基本不等式求出 ac 的范围,代入三角形的面积公 式即可求出它的最大值. 解答: 解: (1)∵b=1,B= 则 ∵a+c=2,∴ ∵C=π﹣A﹣B= 则 ∴ ∴ ,∴ ,即 =1,由 0<A<π 得,A+ ,同理可得 =2, , , ,则 A= , ,∴由正弦定理得 , ,

,则△ ABC 是等边三角形,即 a=b=c=1; ,
2 2 2

(2)∵b=1,B=

∴由余弦定理得,b =a +c ﹣2accosB, 2 2 ∴1=a +c ﹣ac≥2ac﹣ac=ac,即 ac≤1,当且仅当时 a=c 等号成立, 则△ ABC 面积 S= ∴△ABC 面积的最大值为 = ≤ ,

.…(15 分)

点评: 本题考查正弦、余弦定理,基本不等式,以及两角和与差的正弦公式的应用,属于中 档题. 18. (15 分) (2015 春?淮安校级期中)已知函数 f(x)=x +ax+3 (1)若 f(x)>0 的解集为{x|x<1 或 x>3},求实数 a 的值. (2)若 f(x)≥0 对 x∈[1,2]恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 f(x)≥a 对 a∈[﹣3,﹣1]恒成立,求实数 x 的取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用.
2

分析: (1)由题意得到不等式组解出即可; (2)问题转化为
2

对 x∈[1,2]恒

成立,从而求出 a 的范围; (3)令 g(a)=(x﹣1)a+x ﹣3,得到 g(a)≥0 对 a∈[﹣3,﹣1] 恒成立,得到不等式组,解出 x 的范围即可. 解答: 解: (1)根据题意,得 解得 a=﹣4…(5 分) (2)由题意 x +ax+3≥0 对 x∈[﹣2,1]恒成立, 则 ∵ 对 x∈[1,2]恒成立, ,当且仅当 时“=”成立 …(8 分) ,
2

…(3 分)

∴ …(10 分) (或分类讨论求函数 y=f(x)的最小值) 2 (3)由题可得(x﹣1)a+x +3≥0 对 a∈[﹣3,﹣1]恒成立 …(11 分) 2 令 g(a)=(x﹣1)a+x ﹣3, 则 g(a)≥0 对 a∈[﹣3,﹣1]恒成立 …(12 分) 则 …(14 分)

得 x∈(﹣∞,0]∪[3,+∞)…(15 分) 点评: 本题考查了二次函数的性质,考查函数恒成立问题,考查转化思想,本题是一道中档 题. 19. (16 分) (2014?南京模拟)扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底 边成角为 60° (如图) , 考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素, 设计其横断面要求面积为 平方米,且高度不低于 米.记防洪堤横断面的腰长为 x(米) ,外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y(米) . (1)求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; (2)要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? (3)当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最 小)?求此时外周长的值.

考点: 函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题;压轴题. 分析: (1)先由横断面积用 x 表示 BC,从建立 y 关于 x 的函数关系式,定义域由线段必须 大于零和高度不低于 米求解; (2)解 y≤10.5 分式不等式; (3)求函数 y 的最小值,根据函数特点及条件可选用不等式解决.

解答: 解: (1) ∴ ,得

,其中 ,







,得 2≤x<6

∴ (2)

; (6 分) 得 3≤x≤4∵[3,4]?[2,6)

∴腰长 x 的范围是[3,4](10 分) (3) 当并且仅当 ,即 , 时等号成立.

∴外周长的最小值为 米,此时腰长为 米. (15 分) 点评: 本题主要考查利用平面图形建立函数模型以及解模的能力,属于中档题. 20. (16 分) (2015 春?淮安校级期中)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=n +n,数列{bn}的通 n﹣1 项公式为 bn=x . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 cn=anbn,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn; (3) 设 dn= , Hn=d1+d2+…+dn (n∈N ) , 是否存在最大的整数 m, 使得对任意 n∈N ,
* * 2

均有 Hn> 成立?若存在,求出 m,若不存在,请说明理由.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: (1)化简 an= (2)化简 cn=anbn=2nx 和即可; (3)化简 问题为最值问题即可. 解答: 解: (1)an= (2)cn=anbn=2nx
n﹣1 n﹣1

=
2 3

=2n 即可;
n﹣1

,从而可得 Tn=2+4x+6x +8x +…+2nx

,利用错位相减法求前 n 项

,从而由裂项求和法求前 n 项和,再由单调性化恒成立

= ,

=2n;

Tn=2+4x+6x +8x +…+2nx ,① 2 3 4 n 则 xTn=2x+4x +6x +8x +…+2nx ,② 2 n﹣1 n ①﹣②,得(1﹣x)Tn=2+2x+2x +…+2nx ﹣2nx , 当 x≠1 时, (1﹣x)Tn=2× ﹣2nx ,
n

2

3

n﹣1

则 Tn=
2



当 x=1 时,Tn=2+4+6+8+…+2n=n +n. (3)由(1)可得 则 =(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ =1+ ﹣ ﹣ ; , ) ,

显然 Hn 为关于 n 的增函数,故 于是欲使 则 , 恒成立,

∴存在最大的整数 m=5 满足题意. 点评: 本题考查了数列的通项公式的求法及前 n 项和的求法,同时考查了恒成立问题及最值 问题,属于难题.


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