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09数学思维策略和方法谈(一)探索法


数学思维策略和方法谈
数学问题的形式千变万化,结构错综复杂,寻找正确有效 的解题途径,意味着寻找一条摆脱困境,绕过障碍的途径.
数学思维优秀者之所以能有效的解题,无论是其推理论 证方法之美妙,还是其计算方法之灵巧,都在于有意识或无意 识地利用了各种转化. 匈牙利著名的数学家罗莎· 彼得在他的名著《无穷的玩艺》 中,通过一个十分生动而有趣的笑话,充分体现了转化—

—这 一数学家们的思维特点: 有人一群人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤气 灶、水龙头、水壶和火柴,你想烧开水,应当怎样去做?” 对此某人回答:“在壶中灌上水,点燃煤气,再把壶放到煤 气灶上。”提问者肯定了这一回答,但是,他又追问道: “如果其他的条件都没有变化,只是水壶中已经有了足够多 的水,那么你又应该怎么做?”这时,“灵活”的人可能说: “点燃煤气再把壶放到煤气灶上。”但是,这一回答却未能 1 继续 使提问者感到 探索法

满意。因为,提问者认为更为恰当的回答是:“只有物理 学家才会这样做,而数学家会倒去壶中的水,并声称他已 经后一问题转化成先前的已经得到解决的问题了。” “把水倒掉!”——这是一种多么简洁而夸张的回答, 然而它又恰恰体现了数学家的眼光和策略。 罗莎指出,这种转化的策略和方法 对数学家来说是十 分典型的。这就是说:“他们往往不是对问题实行正面的 攻击,而是不断地将它变形,转化问题的形式,从侧面或 反面寻找突破口,直到把它转化成已经能够得到解决的问 题。

从今天开始,我们将陆陆续续地通过一些 数学问题来体会解决问题中运用的数学思维 的策略和方法.
探索法
2

数学思维策略和方法谈(一)探索法
1.探索常从熟悉的地方开始 2.探索常从问题的结论或条件变形着手

3.探索常从考虑简单情形入手
4.探索须充分利用已有信息 5.探索也可以尝试 “跟着感觉走”

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数学思维的策略和方法(一)探索法 1.探索常从熟悉的地方开始 思考 1.(2004 年全国联赛题)如图设点 O 在 △ABC 内部,且 ??? ? ??? ? ??? ? ? 有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 △ABC 的面积与 △AOC 的面积 A 的比为( ) 3 5 D (A)2 (B) (C) 3 (D) 2 3

C

O

E

思考 2.(2003 年北京市竞赛题) 已知 x 、 是正整数,且满足 xy ? x ? y ? 71 , y x 2 y ? xy 2 ? 880 ,则 x 2 ? y 2 ? ___. 146
4

B

C

练习

练习: 1.已知 x ? (0, ) ,则 M ? 3 ?3 2 (A)2 (B)3 (C)4
sin2 x

?

cos 2 x

的整数部分是(

B)

(D)6 2? x 2.(2003 年北京市竞赛题)已知函数 f ( x ) ? , 1? x 1 1 1 )?n 记 f (1) ? f (2) ? ? ? f (1000) ? m , f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 2 3 1000 2998.5 则 m ? n ? ____

5

数学思维的策略和方法(一)探索法 2.探索常从问题的结论或条件变形着手 思 考 1. 设 ? x ? 为 不 超 过 x 的 正 整 数 , 则
? 10 20000 ? 3 ? 100 ? 的个位数字为_______. ? 10 ? 3 ? 思考 2.已知 x 、 、 为互不相等的实数,且 y z 1 1 1 2 2 2 1 x ? ? y ? ? z ? ,则 x y z ? ____ . y z x
练习
6

练习: 1.函数 f 定义在有序正整数对的集合上,且满足 下列性质: ⑴ f ( x, y ) ? x ;⑵ f ( x, y ) ? f ( y, x ) ; ⑶ ( x ? y ) f ( x, y ) ? yf ( x, x ? y ) 2006 则 f (2, 2006) =____. 2. O 是 △ABC 所 在 平 面 上 的 一 点 , 且 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则 O 是 △ABC 的( A ) (A)垂心 (B)重心 (C)内心 (D)外心

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数学思维的策略和方法(一)探索法 3.探索常从考虑简单变形着手 华罗庚先生曾经指出:善于“退” ,足够的 “退” ,退到最原始而又不失去重要性的地方, 是学好数学的一个诀窍。 这段话给我们以深刻的 启示: 当我们遇到一道难题束手无策时, 不妨采 用 “退” 的方法先退到一种简单的情况进行考虑, 然后通过判断、推理,进而使问题得到解决。 具体地说来,从简单情况考虑可以分为从复 杂退到简单,从一般退到特殊,从抽象退到具体, 从整体退到部分,从陌生退到熟悉等.
8

先看一个游戏

尝试

思考练习

做一个游戏: 两人坐在一张长方形桌子旁,相继轮流在桌子上放入同样大 小的硬币.条件是硬币一定要平放在桌子上,后放的硬币不能压在 先放的硬币上,直到桌子上再也放不下一枚硬币为止.谁放入了最 后一枚硬币谁获胜.问:先放的人有没有必定取胜的策略?

分析:如果桌子大小只能容纳一枚硬币, 那么 注意到长 先放的人能够取胜. 然后设想桌面变大, 方形有一个对称中心,先放者将第一枚硬币放在 桌子的中心,继而把硬币放在后放者所放位置的 对称位置上,这样进行下去,必然轮到先放者放 最后一枚硬币. 9
尝试

试用这种思想解决下面的问题:
1.现在,请你用一条直线将一个矩形分成面积相等的 两部分.当然,这样的直线我们能画出很多条,你能 说出所有这些直线的特征吗?

2.当 n 是正整数时,你能说出 n 2 ? n 的整数部分是 多少吗?
3.1000 个学生坐成一圈, 依次编号为 1, 3, 1000。 2, ?, 现在进行 1,2 报数:1 号学生报 1 后立即离开,2 号学 生报 2 并留下,3 号学生报 1 后立即离开,4 号学生报 2 并留下??学生们依次交替报 1 或 2,凡报 1 的学生 立即离开,报 2 的学生留下,如此进行下去,直到最后 还剩下一个人.问:这个学生的编号是几号?
10

思考练习

1.现在,请你用一条直线将一个矩形分成 面积相等的 两部分 .当然,这样的直线我们能画出很多条,你能 说出所有这些直线的特征吗? 这个问题也许你不能立刻回答, 那你不妨先退到最 简单的情况, 先画出一些特殊的直线 , 例如矩形的对角 线、 矩形对边中点的连线, 这些直线都能把矩形分成 面 积相等的两部分 .如果我们把这些直线画在同一图形中 (如图),你就会发现,它们都经过矩形的对称中心 O, 这时你 马上会注意到 ,经过矩形对称中心 O 的直线 l, 一定能将矩形分成 面积相等 的两部分 (如图). 于是猜想:所有把 矩形分成面积相等的直 线一定过中心.

证明是不会太困难的. 11

2.当 n 是正整数时,你能说出 n 2 ? n 的整数部分是 多少吗? 我们同样先把问题退到最简单的情况:

你马上就会发现

......

这个发现正确吗?当然还需要进行证明:

由此我们知道,当 n 为正整数时,它的整数部分是 n 12

3.1000 个学生坐成一圈,依次编号为 1,2,3,?,1000。现在 进行 1,2 报数:1 号学生报 1 后立即离开,2 号学生报 2 并留下, 3 号学生报 1 后立即离开, 号学生报 2 并留下??学生们依次交 4 替报 1 或 2,凡报 1 的学生立即离开,报 2 的学生留下,如此进行 下去,直到最后还剩下一个人.问:这个学生的编号是几号?

解:如果有 2n 个人,那么报完第 1 圈后,剩下的是 2 的倍数 2 号; 报完第 2 圈后, 剩下的是 2 的倍数号……报完第 n 圈后, 剩下的是 2n 的倍数号,此时,只剩下一人,是 2n 号. n n 如果有(2 +d)(1≤d<2 )人,那么当有 d 人退出圈 n 子后还剩下 2 人.因为下一个该退出去的是(2d+1)号,所 以此时的第(2d+1)号相当于 2n 人时的第 1 号,而 2d 号相 当于 2n 人时的第 2n 号,所以最后剩下的是第 2d 号. 由 1000=29+488 知,最后剩下的学生的编号是 488×2=976(号).
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思考练习

思考练习: 1.线段 AB 上有 2007 个点(包括 A,B 两点),将点 A 染成红色,点 B 染成蓝色,其余各点染成红色或蓝色.这 时,图中共有 2006 条互不重叠的线段.问: 两个端点颜 色相异的小线段的条数是奇数还是偶数?为什么?
x ? x3 2.求函数 y ? 的值域. 4 2 2( x ? 2 x ? 1)

3.在 6×6 的正方形网格中,把部分小方格涂成红色. 然后任意划掉 3 行和 3 列, 使得剩下的小方格中至少有 1 个是红色的.那么,总共至少要涂红多少小方格?

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1.线段 AB 上有 2007 个点(包括 A,B 两点),将点 A 染成红色,点 B 染成蓝色,其余各点染成红色或蓝色.这 时,图中共有 2006 条互不重叠的线段.问: 两个端点颜 色相异的小线段的条数是奇数还是偶数?为什么?
分析:从最简单的情况考虑:如果中间的 2005 个点全部染 成红色,这时异色线段只有 1 条,是一个奇数。然后我们 对这种染色方式进行调整:将某些红点改成蓝点并注意到 颜色调整时, 异色线段的条数随之有哪些变化.由于颜色的 调整是任意的,因此与条件中染色的任意性就一致了.
解:如果中间的 1996 个点全部染成红色,这时异色线段仅有 1 条,是 一个奇数。将任意一个红点染成蓝色时,这个改变颜色的点的左右两侧 相邻的两个点若同色,则异色小线段的条数或者增加 2 条(相邻的两个 点同为红色),或者减少 2 条(相邻的两个点同为蓝色);这个改变颜 色的点的左右两侧相邻的两个点若异色,则异色小线段的条数不变.

综上所述,改变任意个点的颜色,异色线段的条数的改变 总是一个偶数,从而异色线段的条数是一个奇数. 15

x ? x3 2.求函数 y ? 的值域. 4 2 2( x ? 2 x ? 1)

通过三角换元达到简单化的目的.
1 2 x 1 ? x2 原函数变形为: y ? ? , ? 2 2 4 1? x 1? x

从形式上联想到三角公式,令 x ? tan ? ? ? ? ( ?
1 则 y ? sin 4? 8 1 1 ∴值域为 ( ? , ) 8 8

? ?

, ) 2 2

16

3.在 6×6 的正方形网格中,把部分小方格涂成红色. 然后任意划掉 3 行和 3 列, 使得剩下的小方格中至少有 1 个是红色的.那么,总共至少要涂红多少小方格?

分析与解:先考虑每行每列都有一格涂红,比较方便的涂法是在一条对角线 上涂 6 格红色的,如图 1。任意划掉 3 行 3 列,可以设想划行划列的原则是: 每次划掉红格的个数越多越好。对于图 1,划掉 3 行去掉 3 个红格,还有 3 个红格恰在 3 列中,再划掉 3 列就不存在红格了。 所以,必然有一些行有一些列要涂 2 个红格,为了尽可能地少涂红格, 那么每涂一格红色的,一定要使多出一行同时也多出一列有两格红色的。 先考虑有 3 行中有 2 格涂红,如图 2。显然,同时也必然有 3 个列中也 有 2 格涂红。这时,我们可以先划掉有 2 格红色的 3 行,还剩下 3 行,每行 上只有一格涂红,每列上也只有一格涂红,那么在划掉带红格的 3 列就没有 红格了。 为了使得至少余下一个红格,只要再涂一格。此红格要使图中再增加一 行和一列有两个红格的,如图 3。结论是:至少需要涂红 10 个方格。

17

思考练习

数学思维的策略和方法(一)探索法 4.探索须充分利用已有信息 思维优秀的解题者喜欢将信息重新编排 (如各种各样的解释,由此及彼的联想),已知 条件是信息;在中间过程得到的结果或引理 也是信息;要证的结论,要求解的目标等更是 重要的信息.如果题做不出,最好再看看这些 东西,或许会有新的发现.
思考 1:已知 ?、? 、? 为锐角, sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? ? ? 3? 求证: ? ? ? ? ? ? ? 2 4
18

练习1、2

练习3

练习 1:已知 ?、? ? (0, ) ,且 sin ? ? ? cos(? ? ? ) ? sin ? 2
(? ? ? ?

?

?

2

) ,求 tan ? 的最大值.

3 当 ? ? ? ? 时, tan ? 取到最大值 . 3 6
练 习 2: 已 知 ?、? 是 锐 角 , 且 ? ? ? ?

?

?
3

,试求

1 sin ? ? cos ? ? 3 sin ? cos ? 的值. 4
2 2

19

(1999 年数学奥林匹克题) 设 a、b、c 是正实数,且 abc ? a ? c ? b , 2 2 3 ? 2 ? 2 试确定 p ? 2 的最大值. a ?1 b ?1 c ?1

提示: abc ? a ? c ? b 可联想到三角变换 试试看!

10 3

20

数学思维的策略和方法(一)探索法 5.探索也可以尝试 “跟着感觉走”
探索就意味着必须自己去找路.“从某种程度 上,某种意义上说,解题者必须靠他的无法说得清的 感觉。(波利亚语) ” “这种感觉,常可以帮助你估计 方向或猜出结果。 ”事实上, “任何认真考虑过他的问 题的人对于解接近程度和问题的进展的步子都会有 一种明确的感觉,他或许没有用言词去表达,但是他 会敏感到比如: ‘这样做是对的, 解可能就在这附近’ , 或者‘这样太慢了,解还是离得很远’ ,或者‘我卡 住了, 一点没有进展’ 或者 , ‘我正在偏离问题的解’ , 等等”(波利亚语) 。
21

思考1

2答案

3答案

思考 1(第 31 届 IMO 国家集训题) 2 实 数 x 、 、 满足 x ? y ? z ? 1 , xy ? z ? 7 z ? 14 , y z 2 2 2 2 问 x ? y 的最大值是什么?在 z 为何值时 x ? y 取最大值?

当 z ? 5 时, x ? y 取得最大值为 8.
2 2

22

思考 2.实数 ? ? ? 满足 ? ? 3? ? 5? ??? ? ? , 3 2 ? ? 3? ? 5? ? 11 ? 0 ,求 ? ? ? 的值.
? ?

? ? ? ? ??

23

思考 3: (2005 年湖南省数学竞赛试题) (1 ? x 2 )(1 ? y 2 ) 记 Axy ? ,若 a ? b ? c ? abc , xy 则 A ? Abc ? Aca ? Aab 的值为____.

4

24

课外思考: 1.任给 13 个不同的实数,求证:至少存在两个,不妨设 x? y ? 2? 3 . x 和 y 满足不等式: 0 ? 1 ? xy 2.在数列 ? x n ? 中, x1 ? 2, x2 ? 7 , x n ? 2 等于 xn xn?1 的个

4 位数,则 x2007 ? ______. 3.(第 28 届俄罗斯数学奥林匹克题)设 a 、 、 为正数, b c
有 a ? b ? c ? 3 ,证明: a ? b ? c ≥ ab ? bc ? ca 4.(第 26 届俄罗斯数学奥林匹克题)设 a 、 、 为三个 b c 不同的实数,使得方程 x 2 ? ax ? 1 ? 0 和 x 2 ? bx ? c ? 0 有 一 个 相 同 的 实 根 , 并 且 使 方 程 x2 ? x ? a ? 0 和 x 2 ? cx ? b ? 0 也有一个相同的实根,试求 a ? b ? c . 25

a ? b ? c ? ?3


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