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2015-2016四校第一次联考文科数学试题


“四校”2015—2016 学年度高三第一次联考试题

文科数学
本试卷共 4 页,24 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 2015.9.11 注意事项: 1.答卷前,考生用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和学号填写在答题卷上. 2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动,

用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先填选做题题号,再作答.漏填的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡、答题卷的整洁.考试结束后,将试卷与答题卷一并交回. 参考公式:半径为 R 的球的表面积公式: S球 ? 4?R
2

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
2 1、已知集合 A ? {0, b}, B ?{ x ? Z x ?3 x ? 0}, 若 A ? B ? ?, 则 b 等于(



A.1

B.2

C. 3

D. 1 或 2 )

2、已知 i 为虚数单位,且 |1 ? ai |? 5 ,则实数 a 的值为( A.1 B.2 C.1 或-1 D.2 或-2 3、双曲线

y2 ? x 2 ? 1的渐近线方程为( 3 3 x A. y ? ? 3x B. y ? ? 3


C.

y ? ?2 x


D.

y??

4、函数 f ( x ) ? sin( x ? A. x ?

?

2 3 x 3

?

4

) 的图像的一条对称轴方程是(

4 2 4 2 ?1, x ? 0 ?1, x为有理数 ? 5、设 f ( x ) ? ?0, x ? 0 , g ( x ) ? ? ,若 f ( g (a)) ? 0 ,则( ) ?0, x为无理数 ?? 1, x ? 0 ? A. a 为无理数 B. a 为有理数 C. a ? 0 D. a ? 1 6、设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中正确的
是( ) A. f ( x) g(x) 是偶函数 C. f (? x) 是奇函数 B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | g ( x) | 是奇函数 )

B. x ?

?

C. x ? ?

?

D. x ? ?

?

7、已知点 D 为等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 的中点,则下列等式中恒 成立的是( .

??? ? ??? ? ??? ? CA CB ? ? ??? ? A. CD ? ??? | CA | | CB |

B.AC ? AC ?AB

??? ?

??? ? ??? ?

C.BC ? BC ?BA

??? ?

??? ? ??? ?

D. (CA ? CB)? (CA ? CB) ? 0

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

2 015-2016“四校”第一次联考文科数学试题

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8、我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米 内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批 米内夹谷约为( ) 输入 a , b 是 开始

A、1365 石 B、338 石 C、169 石 D、134 石 9、对任意非零实数 a , b ,定义 a ? b 的算法原理 如程序框图所示。设 a 为函数 y ? x2 ? 2x ? 3

a ? b? 否

b 为抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 ( x ? R) 的最小值,
到准线的距离,则计算机执行该运算后输出结 果是( )

a ?b ?

b ?1 a
输出 a ? b 结束

a ?b ?

a ?1 b

2 A、 3

3 B、 2

7 C、 2

1 D、 2

10、已知一个几何体的主视图及左视图均是边长 为 2 的正 三角形,俯视图是直径为 2 的圆,则 此几何体的外接球的表面积为( ) A.

第9题

4 16 4 ? ? ? C. D. 3 9 9 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 11、已知满足 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 的 ( x, y ) 使 x2 ? ( y ?1)2 ? m 恒成立,则 m 的取值范围是( ? x? y?2?0 ?
B. A. m ? 1 B. m ? 2
3 2

16 ? 3



C. m ? 2

D. m ? 5 )

12、若函数 f ( x ) ? x ? bx ?

1 有且仅有两个不同零点, 则 b 的值为( 2
3

A. 2

B.

3 2

C.

2 2

D.不确定

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13、如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下 降 1 米后,水面宽 米. 14、已知等比数列{ an }为递增数列.若 a1 >0,且 2(a4 ? a6 ) ? 5a5 ,则数列{ an } 的公比 q =_____. 15、 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a = 2, cos C = -

第 13 题

16、若正数 x,y 满足 3x ? y ? 5 xy ,则 4 x ? 3 y 的最小值是 三、解答题:本大题共 8 小题,满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17、(本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 , 3sin A = 2sin B ,则 c =____. 4 .

1 ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值. an an?1
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2 015-2016“四校”第一次联考文科数学试题

18、 (本题满分 12 分) 空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中,呈现出足 够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象.全世界也越 来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位: ?g / m3 )为 0 ~ 50 时,空气质量级别为一级, 空气质量状况属于优;当空气污染指数为 50 ~ 100 时,空气质量级别为二级,空气质量状况属于 良;当空气污染指数为 100 ~ 150 时,空气质量级别为三级,空气质量状况属于轻度污染;当空 气污染指数为 150 ~ 200 时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于中度污染;当空气污染指 数为 200 ~ 300 时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污染;当空气污染指数为 300 以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染.2015 年 8 月某日某省 x 个监测点数 据统计如下: 空气污染指数 0,50? ? 50,100? ?100,150? ?150, 200? (单位: ?g / m3 ) ?
[

监测点个数

15

40

y

10

(Ⅰ)根据所给统计表和频率分布直方图 中的信息求出 x, y 的值,并完成频率分布直方图; (Ⅱ)在空气污染指数分别为 50 ~ 100 和 150 ~ 200 的监测点中,用分层抽样的方法抽取 5 个监测点,从中任意选取 2 个监测点,事件 A“两个都为良”发生的概率是多少?
频率 组距

0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 50 100 150 200

空气污染指数 ( ?g / m )
3

19 题

19、 (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中, AE ? DE , CD ? 平面 ADE , AB ? 平面 ADE , CD ? DA ? 6 , DE ? 3 . (Ⅰ)求 证 : AB ∥平面 CDE ; (Ⅱ)求 证 : 平面 ACE ? 平面 CDE ; (Ⅲ)求 三棱锥 E ? ACD 的 体 积 ; 20、 (本小题满分 12 分)

y 2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的离心率互为倒数,且内切 a 2 b2 2 2 于圆 x ? y ? 4 。 (1)求椭圆 M 的方程; (2)已知 A(?2, 2) , F 是椭圆 M 的下焦点,在椭圆 M 上是否存在点 P,使 ? AFP 的周长最 大?若存在,请求出 ? AFP 周长的最大值,并求此时 ? AFP 的面积;若不存在,请说明理由。
设椭圆 M :

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21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? ax ? 3(a ? 0) (1)求函数 f ( x ) 的极值; (2)若对于任意的 a ? [1, 2] ,若函数 g ( x ) ? x ?
3

x2 [m ? 2 f ?( x )] 在区间 ?a,3? 上有最值,求实 2

数 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清题号. 22、选修 4-1:几何证明选讲(本题满分 10 分) 如图, AB 是圆 O 的直径, AC 是弦, ?BAC 的平分线 AD 交圆 O 于 点 D , DE ? AC ,交 AC 的延长线于点 E , OE 交 AD 于点 F . (1)求证: DE 是圆 O 的切线; (2)若 ?CAB ? 600 , ? O 的半径为 2, EC ? 1 ,求 DE 的值.

23、选修 4—4:坐标系与参数方程(本题满分 10 分) 在平面直角坐标系中,直线 l 过点 P(2, 3) 且倾斜 角为 ? ,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴 为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos(? ? 两点; (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若 | AB |? 13 ,求直线 l 的倾斜角 ? 的值。

?
3

) ,直线 l 与曲线 C 相交于 A, B

24、选修 4 - 5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 7 | ?1。 (1)求不等式 f ( x) ? x 的解集; (2)若存在 x 使不等式 f ( x) ? 2 | x ? 1|? a 成立,求实数 a 的取值范围。

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