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圆锥曲线中的最值问题


圆锥曲线中的最值与定值问题

圆锥曲线中的最值问题 【考点透视】 圆锥曲线的最值问题,常用以下方法解决: 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义, 可考虑利用数形结合法解; 函数值域 求解法:当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个 函数的最值. 利用代数基本不等式,结合参数方程,利用三角函数的有界性。 【题型分析】

/>
1.已知 P 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1在第一象限内的点,A(2,0) ,B(0,1) ,O 为原点,求四边形 4

OAPB 的面积的最大值

? ? ?? ? ) , 点 P 到 直 线 AB : x+2y=2 的 距 离 分 析 : 设 P ( 2 cos ? , sin ? ) , (0 2
| 2 c o? s? 5 2s ?i ? n | 2 2 s i? n( ? ?) 2 | 2| 4 ? ? 5

?

?

d?

2 ? 2 5

2

∴所求面积的最大值为

2 [来源:学。科。网]

(椭圆参数方程,三角函数,最值问题的结合) 2.已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 .记动点 P 的轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值. 解: (Ⅰ)依题意,点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支, 所求方程为:

??? ? ??? ?

x 2 y2 - =1 (x?0) 2 2

(Ⅱ)当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 的方程为 x=x0,

AO B ? 此时 A(x0, x 0-2 ) ,B(x0,- x 0-2 ) ,O
2 2

?? ?? ?

=2

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b,

x 2 y2 1 中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0 代入双曲线方程 - = 2 2
依题意可知方程 1?有两个不相等的正数根,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ?? ? 4k 2b 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? (?b 2 ? 2) ? 0 ? 2kb ? 解得|k|?1, ?0 ? x1 ? x2 ? 1? k 2 ? ? b2 ? 2 x x ? ?0 ? 1 2 k 2 ?1 ? ??? ? ??? ? 又 OA ? OB =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b) (kx2+b)
=(1+k )x1x2+kb(x1+x2)+b = 综上可知 OA ? OB 的最小值为 2 3.给定点 A(-2,2),已知 B 是椭圆 最小值时,试求 B 点的坐标。 解:因为椭圆的 e ?
2 2

2k 2+2 4 =2+ 2 ?2 2 k -1 k -1

??? ? ??? ?

5 x2 y 2 ? ? 1 上的动点,F 是右焦点,当 AB ? BF 取得 3 25 16

3 5 1 1 ,所以 AB ? BF ? AB ? BF ,而 BF 为动点 B 到左准 3 e e 5

线的距离。故本题可化为,在椭圆上求一点 B,使得它到 A 点和左准线的距离之和最小,过 点 B 作 l 的垂线,垂点为 N,过 A 作此准线的垂线,垂点为 M,由椭圆定义

| BF | | BF | 5 ? e ?| BN |? ? | BF | | BN | e 3
于是 AB ?

5 BF ?| AB | ? | BN |?| AN |? AM 为定值 3

其中,当且仅当 B 点 AM 与椭圆的定点时等点成立,此时 B 为 ( ? 所以,当 AB ?

5 3 , 2) 2

5 5 3 BF 取得最小值时,B 点坐标为 (? , 2) 3 2

4.若椭圆

x2 4

?

y2 3

椭圆上的点 M 使得 | MP | ?2 | MF | ? 1 内有一点 P ?1,1? ,F 为右焦点, (
2 6 3 ,1)

的值最小,则点 M 的坐标为 A. ( ?
2 6 3 ,1)

) C. (1, ? )

B. (

3 2

D. (1, )

3 2

提示:联系到 e ?

1 将 2 | MF | 用第一定义转化成点到相应准线的距离问题,利用垂线 2

段最短的思想容易得到正确答案。选 B 。思考:将题中的 2 去掉会怎样呢? 5.已知 P 点在圆 x +(y-2) =1 上移动,Q 点在椭圆
2 2

x2 ? y 2 ? 1上移动,试求|PQ| 的最大值。 9

解:故先让 Q 点在椭圆上固定,显然当 PQ 通过圆心 O1 时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最 大值,只要求|O1Q|的最大值.设 Q(x,y),则|O1Q| = x +(y-4) 因 Q 在椭圆上,则 x =9(1-y )
2 2 2 2 2 2 2




2
2

1? ? 将②代入①得|O1Q| = 9(1-y )+(y-4) ? ?8 ? y ? ? ? 27 2? ?
因为 Q 在椭圆上移动,所以-1?y?1,故当 y ? 此时 PQ max ? 3 3 ? 1

1 时, O1Q max ? 3 3 2

【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关; 2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法, 其中所涉及到的函数最常见的有二 次函数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视 。 ....................... 6.已知△ OFQ 的面积为 2 6 , OF ? FQ ? m 值的取值范围; (2) 设以 O 为中心, F 为焦点的双曲线经过点 Q (如图) , | OF |? c, m ? ( 取得最小值时,求此双曲线的方程。 解析 : (1)设 ?OFQ ? ?

??? ? ??? ?

(1)设 6 ? m ? 4 6 ,求 ?OFQ 正切

??? ?

???? 6 ? 1)c 2 当 | OQ | 4

??? ? ??? ? ?| OF | ? | FQ | cos(? ? ? ) ? m 4 6 ? ? tan ? ? ? ? ??? ? ? 1 ??? m ? ? | OF | ? | FQ | sin ? ? 2 6 ?2
?4 ? tan ? ? ?1
(2)设所求的双曲线方程为

? 6 ? m ? 4 6???

??? ? x2 y 2 ? ? 1( ? a ? 0, b ? 0), Q ( x , y ), ? 则 FQ ? ( x1 ? c, y1 ) 1 1 a 2 b2

∴ S ?OFQ ?

? 1 ??? 4 6 | OF | ? | y1 |? 2 6 ,∴ y1 ? ? 2 c

又∵ OF ? FQ ? m ,∴ OF ? FQ ? (c,0) ? ( x1 ? c, y1 ) ? ( x1 ? c) ? c ? (

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

6 ? 1??c 2 4

? x1 ?

???? 6 96 3c2 c,???? | OQ |? x12 ? y12 ? 2 ? ? 12. 4 c 8

当且仅当 c ? 4 时, | OQ | 最小,此时 Q 的坐标是 ( 6, 6) 或 ( 6, ? 6)

????

?6 6 ?a 2 ? 4 x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 ? ,所求方程为 ? ? 1. ?? a b ?????? ? 2 4 12 ? ?b ? 12 ?a 2 ? b2 ? 16 ?
(借助平面向量,将三角形、圆锥曲线最值、求曲线方程、基本不等式等多个知识点有机 的结合起来,综合考察学生应用相关知识点解题的能力)

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,过 F2 的直线与椭圆相交于 A、 B 两 7.如图所示,设点 F 1 , F2 是 3 2
点,求△ F1 AB 的面积的最大值,并求出此时直线的方程。 分析: S? F AB
1

? S? F1F2 A ? S? F1F2B ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则

S? F1 AB ? | F1 F2 | ? | y1 ? y2 |?| y1 ? y2 |???(? c ? 1)
设 直 线 AB 的 方 程 为 x ? ky ? 1 代 入 椭 圆 方 程 得

1 2

(2k 2 ? 3) y 2 ? 4ky ? 4 ? 0 ? y1 ? y2 ?
即 | y1 ? y2 |??

?4k ?4 ,?? y1 y2 ? 2 2 2k ? 3 2k ? 3
1 k 2 ?1

4 3(k 2 ? 1) 2k ? 3
2

?

4 3 2 k 2 ?1 ?

令 t ? k 2 ? 1 ? 1,∴ S? F AB
1

?

1 4 3 , 2t ? ( t ? 1 )利用均值不等式不能区取“=” 1 t 2t ? t

∴利用 f (t ) ? 2t ? ( t ? 1 )的单调性易得在 t ? 1 时取最小值

1 t

S? F1AB 在 t ? 1 即 k ? 0 时取最大值为

4 3 ,此时直线 AB 的方程为 x ? 1 3

(三角形问题、直线方程、最值问题、函数单调性的综合应用) (从特殊入手,求出定点(定值) ,再证明这个点(值)与变量无关。 ) 8.设椭圆方程为 x ?
2

y2 ? 1 ,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 是坐标原点, 4

? ??? ? 1 ??? 1 1 ( OA ? OB) ,点 N 的坐标为 ( , ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求(1)动点 P 2 2 2 ??? ? 的轨迹方程; (2) | NP | 的最小值与最大值.
点 P 满足 OP ?

??? ?

【专家解答】 (1)法 1:直线 l 过点 M(0,1)设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. 记 A(x1,y1),B(x2,y2),由题设可得点 A、B 的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组 ①

? y ? kx ? 1 ? ? 2 y2 ?1 ?x ? 4 ?

的解. 将①代入②并化简得(4+k )x +2kx-3=0, ②

2

2

2k ? x1 ? x 2 ? ? , ? ? 4? k2 所以 ? ?y ? y ? 8 . 1 2 ? 4? k2 ?
于是 OP ?

x ? x2 y1 ? y 2 1 ?k 4 (OA ? OB) ? ( 1 , )?( , ). 2 2 2 2 4? k 4? k2

设点 P 的坐标为(x,y), 则

?k ? x? , ? ? 4? k2 2 2 消去参数 k 得 4x +y -y=0 ? ?y ? 4 . ? 4? k2 ?
所以点 P 的轨迹方程为 4x +y -y=0
2 2



当 k 不存在时,A、B 中点为坐标原点(0,0) ,也满足方程③,

解法二:设点 P 的坐标为(x,y),因 A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上,所以

x12 ?

y12 ? 1, 4
2


2

2 x2 ?

2 y2 ? 1. 4



④—⑤得 x1 ? x 2 ?

1 2 2 ( y1 ? y 2 ) ? 0, 4 1 ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0. 4

所以 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ?

当 x1 ? x 2 时,有 x1 ? x2 ?

y ? y2 1 ( y1 ? y 2 ) ? 1 ? 0. 4 x1 ? x2



? x1 ? x 2 , ?x ? 2 ? y ? y2 ? , 并且 ? y ? 1 2 ? ? y ? 1 y1? y2 ? x ? x ?x . 1 2 ?



将⑦代入⑥并整理得 4x +y -y=0

2

2



当 x1=x2 时,点 A、B 的坐标为(0,2) 、 (0,-2) ,这时点 P 的坐标为

1 ( y ? )2 x 2 ? 1. (0,0)也满足⑧,所以点 P 的轨迹方程为 ? 1 1 16 4
2

(2)由点 P 的轨迹方程知 x ?
2

1 1 1 , 即 ? ? x ? . 所以 16 4 4

1 1 1 1 1 7 | NP | 2 ? ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ( x ? ) 2 ? ? 4 x 2 ? ?3( x ? ) 2 ? 2 2 2 4 6 12
故当 x ?

1 1 , | NP | 取得最小值,最小值为 ; 4 4 1 21 时, | NP | 取得最大值,最大值为 . 6 6

当x??

9.椭圆 E 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,其离心率 e ?

2 , 过点 C(-1,0)的直线 l 与 3

椭圆 E 相交于 A、B 两点,且满足点 C 分向量 AB 的比为 2. (1)用直线 l 的 斜率 k ( k≠0 ) 表示△OAB 的面积; (2)当△OAB 的面积最大时,求 椭圆 E 的方程。

x2 y2 c 2 解: (1)设椭圆 E 的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0 ),由 e = ? a b a 3
∴a =3b
2 2

故椭圆方程 x + 3y = 3b

2

2

2

设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点 C(-1,0)分向量 AB 的比为 2,

? x1 ? 2 x 2 ? ?1 ① ? 3 ∴? ? ? y1 ? 2 y 2 ? 0 ② ? 3 ?
由?

即?

? x1 ? 1 ? ?2( x 2 ? 1) ? y1 ? ?2 y 2

? x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 消去 y 整理并化简得 y ? k ( x ? 1 ) ?

(3k +1)x +6k x+3k -3b =0

2

2

2

2

2

由直线 l 与椭圆 E 相交于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点得:

? ?? ? 0恒成立(点C是 AB的内分点) ? 6k 2 ? ③ ? x1 ? x 2 ? ? 2 3 k ? 1 ? ? 3k 2 ? 3b 2 ? x1 x 2 ? ④ 3k 2 ? 1 ?



1 1 3 3 3 | y1 ? y 2 |? | ?2 y 2 ? y 2 |? | y 2 |? | k ( x2 ? 1) |? | k || x2 ? 1 | 2 2 2 2 2 2 3| k | (k ? 0) 由①③得:x2+1=- 2 ,代入⑤得:S△OAB = 3k ? 1 3k 2 ? 1
而 S△OAB ? (2)因 S△OAB=



3| k | ? 3k 2 ? 1

3 3| k | ? 1 |k|

?

3 2 3

?

3 , 2

当且仅当 k ? ?

3 , S△OAB 取得最大值 3
x1 ? 2 x 2 =-1 3
∴x1=1,x2 =-2

此时 x1 + x2 =-1, 又∵ 将 x1,x2 及 k =
2

1 2 2 2 代入④得 3b = 5 ∴椭圆方程 x + 3y = 5 3

10.我们把由半椭圆

x2 y2 y2 x2 ( x ≥ 0 ) ? ? 1 ? ? 1 ( x ≤ 0 ) 合成的曲线称作 与半椭圆 a2 b2 b2 c2

2 2 2 “果圆” ,其中 a ? b ? c , a ? 0 , b ? c ? 0 . 如图,设点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆

的焦点,

A1 , A2 和 B1 , B2 是“果圆” 与 x , y 轴的交点, M 是线段 A1 A2 的中点.

(1) 若 △F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形, (2) 求该“果圆”的方程; (2)设 P 是“果圆”的半椭圆 最小值时, P 在点 B1,B2 或 A1 处; (3)若 P 是“果圆”上任意一点,求 PM 取得最小值时点 P 的横坐标.
0), F1 0, ? b2 ? c 2 , F2 0, b2 ? c 2 , 解: (1)? F0 ( c,
? F0 F2 ?

y2 x2 ? ? 1 ( x ≤ 0) 上任意一点.求证:当 PM 取得 b2 c2

?

?

?

?

?b

2

3 7 ? c 2 ? ? c 2 ? b ? 1, F1 F2 ? 2 b 2 ? c 2 ? 1 ,于是 c2 ? , a2 ? b2 ? c2 ? , 4 4

4 4 所求 “果圆” 方程为 x2 ? y 2 ? 1 ( x ≥ 0) ,y 2 ? x2 ? 1 ( x ≤ 0) . 7 3
y ) ,则 (2)设 P ( x,

y
B2

a?c? ? 2 | PM | ? ? x ? ? ?y 2 ? ?
2

2

A1

.F . . O M . F
2

0

A2

x

F1

B1

? b2 ? ( a ? c )2 ? ? 1 ? 2 ? x2 ? ( a ? c ) x ? ? b2, ? c ≤ x ≤ 0 , c 4 ? ?

? 1?

b2 ? 0 ,? | PM | 2 的最小值只能在 x ? 0 或 x ? ?c 处取到. 2 c

即当 PM 取得最小值时, P 在点 B1,B2 或 A1 处. (3)? | A1 M |?| MA2 | ,且 B1 和 B2 同时位于“果圆”的半椭圆 和半椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1 ( x ≤ 0) 上,所以,由(2)知,只需研究 P 位于“果圆”的半椭圆 b2 c 2

x2 y 2 ? ? 1( x ≥ 0) 上的情形即可. a 2 b2

c2 ? a 2 (a ? c) ? (a ? c) 2 a 2 (a ? c) 2 a?c? ? 2 2 ? b ? ? . | PM | ? ? x ? ? ? y ? 2 ?x? ? 4 a ? 2c 2 ? 4c 2 2 ? ?
2

2

2

当x?

a (a ? c) a 2 ( a ? c) 2 时取到, ≤ a ,即 a ≤ 2c 时, | PM | 的最小值在 x ? 2 2c 2c 2
2

此时 P 的横坐标是

a 2 (a ? c) . 2c 2

当x ?

a 2 (a ? c) ? a ,即 a ? 2c 时,由于 | PM | 2 在 x ? a 时是递减的,| PM | 2 的最小 2 2c

值在 x ? a 时取到,此时 P 的横坐标是 a .

a 2 (a ? c) 综上所述,若 a ≤ 2c ,当 | PM | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 ; 2c 2
若 a ? 2c ,当 | PM | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 a 或 ? c . 11. P、Q、M、N 四点都在椭圆 x ?
2

? y2 ? 1 上,F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点。已知 PF 2
? ?

与 FQ 共线, MF 与 FN 共线,且 PF · MF ? 0 。求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大 值。 分析:显然,我们只要把面积表示为一个变量的函数,然后求函数的最值即可。 解:如图,由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点 F(0,1) ,且 PQ⊥MN,直 线 PQ、MN 中至少有一条存在斜率,不妨设 PQ 的斜率为 k,又 PQ 过点 F(0,1) ,故 PQ 方程

?

?

?

为 y ? kx ? 1 。代入椭圆方程得 2 ? k

?

2

?x

2

? 2 kx ? 1 ? 0

设 P、Q 两点的坐标分别为 x1 ,y1 , x2 ,y2 ,则:

?

? ?

?

x1 ?

? k ? 2k ? 2 ? k ? 2k ? 2 ,x2 ? 2 2?k 2 ? k2
2 2
2

从而 PQ

? ? x1 ? x 2 ? ? ? y1 ? y 2 ? ?
2 2

8 1? k 2

? ? ?2 ? k ?

2

2 2

, PQ ?

2 2 1? k 2 2?k
2

?

?

①当 k ? 0 时,MN 的 斜率为 ?

1 ,同上可推得 k

? ? 1?2? 2 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? k? ? ? MN ? 2 ? 1? 2 ? ?? ? ? k?
1 ? ? 2 ? 2 4 1 ? k ?1 ? 2 ? 4? 2 ? k ? ? ? ? 1 k PQ · MN ? ? 故四边形面积 S ? 1 ? 2 2 ? 5 ? 2k 2 ? 2 ? k ?2 ? 2 ? ? ? k

?

?

?

?

1 ? 2 ? k ? 2 2 k

令u ? k ?
2

4? 2 ? u ? 1 1 ? ? ,得 S ? ? 2? 1 ? ? 2 ? 5 ? 2u 5 ? 2u ? k
16 1 ? 2 ,此时 k ? ?1,u ? 2 ,S ? ,且 S 是以 u 为自变量的增函 2 9 k

因为 u ? k ?
2

数,所以

16 ? S ? 2。 9

②当 k ? 0 时,MN 为椭圆长轴, MN ? 2 2 , PQ ?

2

S?

1 PQ · MN ? 2 2 16 。 9

综合①②知,四边形 PMQN 面积的最大值为 2,最小值为
2

12. 已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? ,过 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与抛物线交于不同的 两点 A、B, AB ? 2 p 。 (1)求 a 的取值范围;

(2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大值。 分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1) ,可以设法得到关于 a 的不 等式,通过解不等式求出 a 的范围,即“求范围,找不等式” 。或者将 a 表示为另一个变量 的函数,利用求函数的值域求出 a 的范围。对于(2)首先要把△NAB 的面积表示为一个变 量的函数,然后再求它的最大值。 解: (1)直线 l 的方程为: y ? x ? a ,将 y ? x ? a 代入抛物线方程 y ? 2 px ,设得
2

x ? 2?a ? p? x ? a ? 0
2 2

设直线 l 与抛物线两交点的坐标分别为 A x1,y1 ,B x2 ,y2 ,则

?

?

?

?

?4? a ? p ? 2 ? 4 a 2 ? 0 ? ? ? x1 ? x 2 ? 2?a ? p ? ,并且 y1 ? x1 ? a,y2 ? x2 ? a ? 2 ? ? x1 x 2 ? a
AB ?

?x

1

? x 2 ? ? ? y1 ? y 2 ? ? 2 ? x 1 ? x 2 ? ? 4 x 1 x 2 ? 8 p ? p ? 2 a ?
2 2 2

?

?

又 0 ? AB ? 2 p,8 p? p ? 2a ? ? 0 所以 0 ?

8 p? p ? 2 a ? ? 2 p

解得: ?

p p ?a?? 2 4

(2)令 AB 中点为 Q,

S ?NAB ?

1 2 2 AB · QN ? p·| AB| ? p· 2 p ? 2 p 2 2 2 2
2

即△NAB 的面积的最大值为 2 p 。


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