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2016届高考数学大一轮复习 第3章 三角函数学案 文 新人教版


第三章

三角函数、三角恒等变换及解三角形
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 [基础知识深耕]

一、任意角 角的概念及分类 角的特点 从运动的角度看 从终边位置来看 (与 α )终边 相同的角 【拓展延伸】 1.对终边相同的角的理解与引申: (1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们

之间相差 360°的整数倍. (2)终边在一条直线上的角之间相差 180°的整数倍;终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差 90°的整数倍. 2.象限角与轴线角的表示 第一象限的角:{α |k?360°<α <k?360°+90°,k∈Z}; 第二象限的角:{α |k?360°+90°<α <k?360°+180°,k∈Z}; 第三象限的角:{α |k?360°+180°<α <k?360°+270°,k∈Z}; 第四象限的角:{α |k?360°-90°<α <k?360°,k∈Z}. 终边在 x 轴非负半轴上的角:{α |α =2kπ ,k∈Z}; 终边在 x 轴非正半轴上的角:{α |α =(2k-1)π ,k∈Z}.
? ? ? π 终边在 y 轴非负半轴上的角:?α ?α =2kπ + ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? π ? 终边在 y 轴非正半轴上的角:?α ?α =2kπ - ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ?; ? ? ? ? ?. ? ?

角的分类 角可分为正角、负角和零角 可分为象限角和轴线角 β =α +k?360°(k∈Z) (或 β =α +k?2π ,k∈Z)

终边在 x 轴上的角:{α |α =kπ ,k∈Z};
? ? π ? 终边在 y 轴上的角:?α ?α =kπ + ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ?. ? ? ? ? ?. ? ?

? 终边在坐标轴上的角:?α ?α =
? ?

? ?


2

?

,k∈Z

二、弧度制 在半径为 r 的圆中:
1

分类 1 弧度的角 角 α 的弧度数公式

定义(公式) 长度等于半径长的弧所对的圆心角,用符号 rad 表示 |α |= (弧长用 l 表示) π ①1°= rad 180

l r

角度与弧度的换算

②1 rad=? 弧长公式 扇形的面积公式 三、任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦

?180?° ? ?π ?

弧长 l=|α |r

S= lr= |α |?r2

1 2

1 2

正切

设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 定义

y 叫做 α 的正弦, 记作 sin x 叫做 α 的余弦, 记作 cos y 叫做 α 的正切,记作 tan α x α α
Ⅰ Ⅱ __+__ __+__ __-__ __-__ 口诀 __+__ __-__ __-__ __+__ 一全正,二正弦,三正切,四余弦 __+__ __-__ __+__ __-__

各象 限符号

Ⅲ Ⅳ

三角函 数线 有向线段 有向线段 有向线段

MP 为
正弦线

OM 为
余弦线

AT 为
正切线

[基础能力提升] 1.下列命题正确的是( A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角 C.锐角都是第一象限的角 D.小于 90°的角都是锐角 【解析】 法一:∵锐角的集合是{α |0°<α <90°},①.
2

)

第一象限的角的集合是{α |k?360°<α <k?360°+90°,k∈Z},②. 对于②,当 k=0 时,②与①相同,∴锐角都是第一象限的角.故选 C. 法二:对于 A,-60°和 300°是终边相同的角,它们并不相等,∴排除 A;对于 B,390°是第一象限的角,但它不是锐角,∴排除 B; 对于 B,-60°是小于 90°的角,但它不是锐角,∴排除 D. 【答案】 C π 5π π 4π π 5π 2.有三个说法:① 和 的正弦线相等;② 和 的正切线相等;③ 和 的余弦线相等.其中正确的有( 6 6 3 3 4 4 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 )

【解析】 由三角函数线的定义知①②正确,③错误. 【答案】 B 3.将钟表的分针拨快 10 分钟,则分针转过的弧度为 ( A. C. π 3 π 5 π B.- 3 π D.- 5 )

2π π 【解析】 分针拨快为负角,∴- ?10=- . 60 3 【答案】 B 2π 4.半径为 2 cm,中心角为 的扇形面积为( 3 A. C. π 2 cm 3 4π 2 cm 3 ) 2π 2 B. cm 3 D. 8π 2 cm 3

2π 4π 【解析】 由 l=α ?r= ?2= cm, 3 3 1 4π 2 ∴S= lr= cm . 2 3 【答案】 C

3

1.两个技巧——三角函数的定义及单位圆的应用技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上异于原点的任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r 一定是正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 2.三个易误点 (1)易混概念:第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、三类是区间角. (2)利用 180°=π rad 进行互化时,易出现度量单位的混用. (3)三角函数的定义中,当 P(x,y)是单位圆上的点时有 sin α =y,cos α =x,tan α = ,但若不是单位圆时,如圆的半径为 r, 则 sin α = ,cos α = ,tan α = . 第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式 [基础知识深耕] 一、同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin α +cos α =1. π sin α ? α ≠ +kπ ,k∈Z? 2.商数关系:tan α = ? ?. 2 cos α ? ? 【拓展延伸】 公式常见变形与使用时的注意事项: (1)公式常见变形:sin α =1-cos α ,cos α =1-sin α ,sin α =± 1-cos α ,cos α =± 1-sin α ,sin α =cos α tan α , sin α cos α = 等. tan α (2)注意:①当角 α 的终边与坐标轴重合时,平方关系也成立;当 α =kπ + ②只要是同一个角,基本关系式就成立,不拘泥于角的形式. 二、六组诱导公式
4
2 2 2 2 2 2 2 2

y x

y r

x r

y x

π (k∈Z)时,商数关系不成立. 2

组数 角 正弦 余弦 正切

一 2kπ +α (k∈Z) sin α cos α tan α

二 π +α -sin_α -cos_α tan_α

三 -α -sin_α cos_α -tan_α

四 π -α sin_α -cos_α -tan_α

五 π -α 2 cos_α sin_α

六 π +α 2 cos_α -sin_α

【方法技巧】 诱导公式记忆口诀 对于角“


2

±α ”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当 k 为奇数时,正弦变余弦,

余弦变正弦;当 k 为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时,原函数值的符号”. [基础能力提升] 1.下列结论正确的是(
2

)
2

A.对任意角 α ,sin 3α +cos 3α =1 都成立 sin α B.对任意角 α ,tan α = 都成立 cos α C.对任意角 α ,β ,有 sin α +cos β =1 D.sin α 与 sin α 所表达的意义相同 【解析】 由同角三角函数的基本关系知 A 正确,B、C 错误;D 显然错误. 【答案】 A 2.下列变形正确的是( π? ? A.sin?α - ?=cos α 2? ? B.cos[-(α -β )]=-cos(α -β ) C.在△ABC 中,sin(A+B)=sin C D.若 sin 70°=a,则 cos 160°=a π? ? ?π ? 【解析】 sin?α - ?=-sin? -α ?=-cos α , A 错; cos[-(α -β )]=cos(α -β ), B 错; 在△ABC 中, sin(A+B)=sin(180° 2? ? ?2 ? -C)=sin C,C 正确;若 sin 70°=a, 则 cos 160°=cos(90°+70°)=-sin 70°=-a,D 错. 【答案】 C 3 3.已知 α 为第二象限的角,cos α =- ,则 tan α = 5 ( A. 4 3 4 B.- 3 C. 3 4 3 D.- 4 ) )
2 2 2 2

3 4 4 【解析】 ∵α 为第二象限角,cos α =- ,故 sin α = ,∴tan α =- . 5 5 3
5

【答案】 B 3 4.已知 cos α = ,则 sin(3π +α )?cos(2π -α )?tan(π -α )等于( 5 3 A.± 5 C. 9 25 4 B.± 5 D. 16 25 )

【解析】 原式=sin(π +α )?cos(-α )?tan(-α ) 3 16 2 2 2 =-sin α ?cos α ?(-tan α )=sin α ,由 cos α = ,得 sin α =1-cos α = . 5 25 【答案】 D

1.两个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时,要注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要注意判断三角函数值的符号. 2.三种方法 在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α = 进行弦、切互化. cos α (2)和积转换法:利用(sin θ ±cos θ ) =1±2sin θ cos θ 的关系进行变形、转化. (3)巧用“1”的变换:1=sin θ +cos θ =cos θ (1+tan θ )=tan
2 2 2 2 2

π 等. 4

第三节 三角函数的图象与性质 [基础知识深耕] 一、五点法

6

在函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象上,起关键作用的五个点是(0,0),?

?π ,1?,(π ,0),?3π ,-1?,(2π ,0). ? ? 2 ? ?2 ? ? ?

?π ? ?3π ? 在函数 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象上,起关键作用的五个点是(0,1),? ,0?,(π ,-1),? ,0?,(2π ,1). 2 ? ? ? 2 ?
五点法作图有三步:列表、描点、连线(注意光滑). 二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

图象

定义域 值域

x∈R
[-1,1] π π 递增区间是 2kπ - ,2kπ + 2 2

x∈R
[-1,1] π 递减区间是 2kπ + ,2kπ + 2 3π (k∈Z) 递增区间是 kπ - 2 π π ,kπ + (k∈Z) 2 2

x∈R 且 x≠ +kπ ,k∈Z
R

π 2

单调性

递增区间是[2kπ -π ,2kπ ](k ∈Z),

(k∈Z),递减区间是[2kπ ,2kπ +π ](k∈Z)

最值 奇偶性 对称性 对称中心 对称轴 最小正周期

ymax=1;ymin=-1
奇函数 (kπ ,0),k∈Z

ymax=1; ymin=-1
偶函数

无最大值和最小值 奇函数

?kπ +π ,0?,k∈Z ? ? 2 ? ?
x=kπ ,k∈Z


?kπ ,0?,k∈Z ? 2 ? ? ?
无对称轴 π

x=kπ + ,k∈Z


π 2

【方法技巧】 三角函数奇偶性的判断技巧: (1)若 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ≠0),则 π ①f(x)为偶函数的充要条件是 φ = +kπ (k∈Z); 2 ②f(x)为奇函数的充要条件是 φ =kπ (k∈Z). (2)若 f(x)=Acos(ω x+φ )(A,ω ≠0),则 ①f(x)为偶函数的充要条件是 φ =kπ (k∈Z); π ②f(x)为奇函数的充要条件是 φ = +kπ (k∈Z). 2

7

[基础能力提升] 1.对于余弦函数 y=cos x 的图象,下列说法错误的是 ( A.向左、右无限延伸 B.与 y=-cos x 的图象形状相同,只是位置不同 C.与 x 轴有无数个交点 D.关于原点对称 【解析】 余弦曲线 y=cos x 关于 y 轴对称,D 错误. 【答案】 D 2.若 f(x)=cos ,则 f(x)的最小正周期为( 2 A.2π B.π π C. 2 )

x

) D.4π

2π 【解析】 T= =4π . 1 2 【答案】 D 3.函数 y=-3cos x+2 的值域为( A.[-1,5] 【解析】 ∵-1≤cos x≤1,∴-1≤-3cos x+2≤5. 【答案】 A 4.已知 a=tan 2,b=tan 3,c=tan 5,不求值,判断下列大小关系正确的是( A.a>b>c C.b>a>c B.a<b<c D.b<a<c ) ) B.[-5,1] C.[-1,1] D.[-3,1]

π 3π ? π 3π ? 【解析】 ∵c=tan 5=tan(5-π ),又∵ <5-π <2<3< ,且 y=tan x 在? , ?上为增函数,∴tan(5-π )<tan 2<tan 2 ? 2 2 ?2 3,即 b>a>c. 【答案】 C

8

1.两个易误点 (1)三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结. (2)研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件. 2.两条性质 (1)若 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ≠0),则 π ①f(x)为偶函数的充要条件是 φ = +kπ (k∈Z); 2 ②f(x)为奇函数的充要条件是 φ =kπ (k∈Z). (2)对称性:正、余弦函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形且最值点在对称轴上,正切函数的图象只是中心对称图形.

第四节 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及三角函数模型的应用 [基础知识深耕] 一、y=Asin(ω x+φ )的有关概念

y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0), x∈[0,+∞)表示一个振动量时

振幅

周期

频率

相位 ω x+φ

初相 φ

A

T=

2π ω

f= = T 2π

1

ω

二、用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示:

x

φ - ω 0 0

π -φ 2 ω π 2

π -φ ω π 0

3 π -φ 2 ω 3π 2 -A

2π -φ ω 2π 0
9

ω x+φ

y=Asin(ω x+φ )

A

三、由 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)的图象

(1)先平移变换后伸缩变换 (2)先伸缩变换后平移变换

【方法技巧】 两种变换的差异 先平移变换后伸缩变换,平移的量是|φ |个单位,而先伸缩变换再平移变换,平移的量是 缩变换都是对 x 而言的. [基础能力提升] 1.下列说法正确的有( ) |φ | (ω >0)个单位,原因是平移变换与伸 ω

①将函数 y=sin ω x 的图象向右平移 φ (φ >0)个单位长度,得到函数 y=sin(ω x-φ )的图象; ②要得到函数 y=sin ω x(ω >0)的图象,只需将函数 y=sin x 上所有点的横坐标变为原来的 ω 倍; ③将函数 y=sin x 图象上各点的纵坐标变为原来的 A(A>0)倍,便得到函数 y=Asin x 的图象; π ④将函数 y=sin x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=cos x 的图象. 2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

【解析】 由图象变换的规则知①②错误,③④正确. 【答案】 B π? ? 2.用“五点法”作函数 y=cos?4x- ?在一个周期内的图象时,第四个关键点是( 6? ? A.? C.? )

?15π ,0? ? ? 12 ? ?15π ,1? ? ? 12 ?

? 15π ,1? B.?- ? ? 12 ? ? 15π ,0? D.?- ? ? 12 ?

π 3π 5π ? 5π ? 【解析】 令 4x- = ,∴x= .∴该点坐标为? ,0?. 6 2 12 ? 12 ?
10

【答案】 A 1 π 3.将函数 f(x)=sin x 图象上所有点向左平移 个单位长度,得到 y=g(x)的图象,则 g(x)=( 3 4 )

?1 π ? A.sin? x+ ? 4? ?3 ?1 π ? C.sin? x+ ? ?3 12?
1? π ? ?1 π ? 【解析】 g(x)=sin ?x+ ?=sin? x+ ?. 4? 3? ?3 12? 【答案】 C

?1 π ? B.sin? x- ? 4? ?3 ?1 π ? D.sin? x- ? ?3 12?

1 4.如图 3?4?1 是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 周期后,乙的位置将移至( 2

)

图 3?4?1 A.甲 C.丙 B.乙 D.丁

1 1 3 【解析】 点乙经过 周期移至甲, 周期移至丙, 周期移至丁,C 选项正确. 4 2 2 【答案】 C

1.一种方法
11

由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= 确定. 2.两种技巧

M-m
2

, b=

M+m

2π ,ω 由周期确定,即由 T= 求出 ω ,φ 由特殊点 2 ω

(1)由函数 y=sin x 图象变换得到 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象的技巧; (2)“五点法”作图的列表技巧:表中“五点”相邻两点的横向距离均为 . 4 3.三个易误点 (1)函数图象变换要明确,要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象; (2)要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数;

T

?φ ? (3)由 y=Asin ω x 的图象得到 y=Asin(ω x+φ )的图象时,需平移的单位数应为? ?,而不是|φ |. ?ω ?
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 [基础知识深耕] 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.六个公式 ①sin(α ±β )=sin_α cos_β ±cos_α sin_β ; ②cos(α ±β )=cos_α cos_β ?sin_α sin_β ; tan α ±tan β ③tan(α ±β )= . 1?tan α tan β 2.公式 T(α ±β )的变形 ①tan α +tan β =tan(α +β )(1-tan_α tan_β ); ②tan α -tan β =tan(α -β )(1+tan_α tan_β ). 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.三个公式 ①sin 2α =2sin_α cos_α ; ②cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tan α ③tan 2α = . 2 1-tan α 2.公式 S2α 、C2α 的变形 1 ①sin α cos α = sin 2α ; 2 1 2 ②sin α = (1-cos 2α ); 2 1 2 ③cos α = (1+cos 2α ). 2 【拓展延伸】 三角化简中的常用技巧
2 2 2 2

12

π 2 2 2 2 (1)“1”的代换:1=sin α +cos α ,1=2cos α -cos 2α ,1=cos 2α +2sin α ,1=tan 等. 4 (2)用“弦化切”,“切化弦”的方法来减少函数的种类. (3)巧变角:利用拆角、拼角的方式实现角的变化.

b? ? 2 2 (4)辅助角公式:将形如 asin α +bcos α 的式子化为只含一个三角函数的形式 a +b sin(α +φ )?其中tan φ = ?.

?

a?

[基础能力提升] 1.下列算式正确的是( )

A.cos(60°-30°)=cos 60°-cos 30° B.cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=0 1 C.cos 44°sin 14°-sin 44°cos 14°= 2 tan α +tan β D.对? α ,β ∈R,tan(α +β )= 1-tan α tan β 【解析】 A 显然不对;cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=cos(120°-30°)=cos 90°=0,B 正确;cos 44°sin 14°- 1 π sin 44°cos 14°=-sin(44°-14°)=-sin 30°=- ,C 错;D 中 α ,β ≠kπ + ,(k∈Z),所以 D 错. 2 2 【答案】 B 2.已知 α ,β 均为锐角,且 cos(α +β )=sin(α -β ),则角 α 的值为( A. π 4 π B.- 4 C.0 D.无法确定 )

【解析】 由题意有 cos α cos β -sin α sin β =sin α cos β -cos α sin β , ∴cos α (cos β +sin β )=sin α (cos β +sin β ), π ∴cos α =sin α ,又 α 为锐角,∴α = . 4 【答案】 A 3.已知 tan α +tan β =2,tan(α +β )=4,则 tan α tan β 等于( A.2 C. 1 2 tan α +tan β , 1-tan α tan β B.1 D.4 )

【解析】 ∵tan(α +β )= 2 ∴4= . 1-tan α tan β 1 ∴tan α tan β = . 2 【答案】 C

4. 2-sin 2+cos 4的值是( A.sin 2

2

) B.-cos 2
13

C. 3cos 2
2

D.- 3cos 2
2

【解析】 原式= ?1-sin 2?+?1+cos 4?= 3cos 2=- 3cos 2. 【答案】 D

1.两个技巧:拼角、凑角的技巧 (1)用已知角表示未知角 2α =(α +β )+(α -β );2β =(α +β )-(α -β ); α =(α +β )-β =(α -β )+β ; α +β α -β α +β α -β α = + ,β = - ; 2 2 2 2 β ? ?α α -β ? ? =?α + ?-? +β ?等. 2? ?2 2 ? ? (2)互余与互补关系

?π +α ?+?π -α ?=π ;?π +α ?+?π -α ?=π ;?3π -α ?+?π +α ?=π ;?π +α ?+?5π -α ?=π ;? ?4 ? ?4 ? 2 ?3 ? ?6 ? 2 ? 4 ? ?4 ? ?6 ? ? 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2.三种变换:应用公式解决问题的三个变换角度 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”; (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式: 根据式子的结构特征进行变形, 使其更贴近某个公式或某个期待的目标, 其手法通常有: “常值代换”、 “逆用变用公式”、 “通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 第六节 正弦定理和余弦定理
14

[基础知识深耕] 一、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理

a2=b2+c2-2bc?cos_A,
内容 = = =2R sin A sin B sin C

a

b

c

b2=c2+a2-2ca?cos_B, c2=a2+b2-2ab?cos C.

①a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,

cos A=

c=2Rsin_C;
变形形式 ②a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C; ③

b2+c2-a2 ; 2bc

c2+a2-b2 cos B= ; 2ca
cos C=

a+b+c a = . sin A+sin B+sin C sin A
①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;

a2+b2-c2 . 2ab
①已知三边,求各角;

解决问题

②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角.

②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

【拓展延伸】 在△ABC 中,已知 a,b 和角 A 时,解的情况

A 为锐角

A 为钝角或直角

图形

关系式 解的 个数

a=bsin A
一解

bsin A<a<b
两解

a≥b
一解

a>b
一解

由上表可知,当 A 为锐角时,a<bsin A,无解.当 A 为钝角或直角时,a≤b,无解. 二、三角形常用面积公式 1 1.S= a?ha(ha 表示边 a 上的高). 2 1 1 1 2.S= absin C= acsin B= bcsin A. 2 2 2 1 3.S= r(a+b+c)(r 为内切圆半径). 2 【拓展延伸】 三角形中的常见结论 在△ABC 中,常有下列结论: (1)A+B+C=π . (2)在三角形中大边对大角,大角对大边. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4)有关三角形内角的三角函数关系式:
15

sin(A+B)=sin C; cos(A+B)=-cos C; tan(A+B)=-tan C; sin cos

A+B
2

=cos ; 2

C C

A+B

=sin . 2 2

(5)在△ABC 中,tan A+tan B+tan C=tan A?tan B?tan C. [基础能力提升] 1.以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( A.在△ABC 中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC 中,若 sin 2A=sin 2B,则 a=b C.在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A>B;若 A>B,则 sin A>sin B 都成立 )

a b+c D.在△ABC 中, = sin A sin B+sin C
【解析】 由正弦定理得 = = 知, sin A sin B sin C

a

b

c

a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,
∴a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C, 且

a b+c = . sin A sin B+sin C

∴A、D 正确,又 sin A>sin B 时 a>b, ∴A>B,反之也成立,∴C 正确. π 由 sin 2A=sin 2B 可得 A=B 或 A+B= ,∴B 错误. 2 【答案】 B 2.在△ABC 中,a=6,b=8,A=30°,则满足条件的三角形有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 )

【解析】 由正弦定理 sin B=

bsin A 8?sin 30° 2 = = . a 6 3

∵a<b,∴B 可以为锐角,也可以为钝角,故满足条件的三角形有两个. 【答案】 C 3.在△ABC 中,sin A=2cos Bsin C,则△ABC 是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 【解析】 由题意,a=2? 【答案】 A
16

) B.直角三角形 D.等边三角形

a2+c2-b2 2 2 ?c,∴b =c ,即 b=c,∴△ABC 为等腰三角形. 2ac

4.在△ABC 中,a=6,B=30°,C=120°,则△ABC 的面积是( A.9

)

B.8 C.9 3 D.18 3

1 1 【解析】 由题意得 A=30°,a=b=6,∴S△ABC= absin C= ?6?6?sin 120°=9 3. 2 2 【答案】 C

1.两个方法 (1)把握三角形中的边角关系 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. (2)选用正弦定理或余弦定理的原则 如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特 征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. 2.两个注意点 (1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角,进而求出其他的边和角时,有时可能出现一解、两解或 无解,所以要进行分类讨论. (2)在判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解. 第七节 正弦定理、余弦定理的应用举例 [基础知识深耕] 测量中的术语 术语名称 术语意义 图形表示

17

在目标视线与水平视线所成的角中, 目标视线在水平 仰角与俯角 视线上方的叫做仰角, 目标视线在水平视线下方的叫 做俯角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线 方位角 之间的水平夹角叫做方位角.方位角的范围是(0°, 360°)

方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角, 通常表 达为北(南)偏东(西)?度

例:(1)北偏东 m°

(2)南偏西 n°; 坡角 坡面与水平面的夹角 设坡角为 α ,坡度为 i,则 i= =tan

h l

坡度

坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比 α

视角

观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角

【方法技巧】 解三角形实际应用题的步骤:

[基础能力提升] 1.下列说法正确的有( )

? π? ①俯角是铅垂线与视线的夹角,其范围为?0, ?; 2? ?
18

②方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系;

? π? ③方位角的大小范围是[0,2π ),方向角的大小范围是?0, ?; 2? ?
④坡角就是坡度. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

【解析】 ②③正确,①④错误. 【答案】 B 2.从 A 处望 B 处的仰角为 α ,从 B 处望 A 处的俯角为 β ,则 α 与 β 之间的关系是( A.α >β C.α =β 【解析】 如图所示,由图可知 α =β . B.α <β D.α +β =90° )

【答案】 C 3. 两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等, 灯塔 A 在观察站南偏西 40°, 灯塔 B 在观察站南偏东 60°, 则灯塔 A 在灯塔 B 的( A.北偏东 10° C.南偏东 80° B.北偏西 10° D.南偏西 80° )

【解析】 如图所示,由题意,∠CAB=∠CBA=40°,∠CBD=30°,故∠ABD=10°,∴点 A 在 B 的南偏西 80°位置上.

【答案】 D 4.如图 3?7?1 所示,在河岸 AC 测量河的宽度 BC,下列四组数据,较适宜的是( )

图 3?7?1 A.a 和 c C.c 和 β B.c 和 b D.b 和 α

【解析】 在河的一岸测量河的宽度,关键是选准基线,在本题中 AC 可看作基线,在△ABC 中,能够测量到的边角为 b,α . 【答案】 D

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1.一个步骤:解三角形应用题的一般步骤

2.两种情形:解三角形应用题的两种情形
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(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解条件足够的三角形,然 后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 3.三个注意点:解三角形应用题应注意的问题 (1)注意方位角与方向角的概念不能混淆. (2)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形,如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等,这样可以优化解题过程. (3)解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据(原始数据),少用间接求出的量.

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