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示范教案(球的体积和表面积)


1.3.2 球的体积和表面积 整体设计 教学分析 本节教材直接给出了球的表面积和体积公式,并用两个例题来说明其应用.值得注意的 是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上,这是高考的重点. 三维目标 掌握球的表面积和体积公式,并能应用其解决有关问题,提高学生解决问题的能力,培 养转化与化归的数学思想方法. 重点难点 教学重点:球的表面积和体积公式的应用. 教学难点:关于球

的组合体的计算. 课时安排 约 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨,有一座新异奇秀的半球形建筑.由香 港好世界饮食服务(中国)有限公司等三方合资兴建,1996 年 9 月正式开业,既是岛城饮 食服务业的“特一级”店,又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积 11 380 平方米,现酒店 管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店, 那么, 需要多少面积的 这种化学材料呢? 思路 2.球既没有底面,也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的 表面积与体积呢?球的大小与球的半径有关, 如何用球半径来表示球的体积和面积?教师引 出课题:球的体积和表面积. 推进新课 新知探究 球的半径为 R,它的体积和表面积只与半径 R 有关,是以 R 为自变量的函数.事实上, 如果球的半径为 R,那么 S=4π R2,V= ?R .
3

4 3

注意:球的体积和表面积公式的证明以后证明. 应用示例 思路 1 例 1 如图 1 所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:

图1

2 (1)球的体积等于圆柱体积的 ; 3
(2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 活动:学生思考圆柱和球的结构特征,并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读 懂图形.

证明: (1)设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R,高为 2R. 则有 V 球= ?R ,V 圆柱=π R2· 2R=2π R3,所以 V 球= V圆柱 .
3

4 3

2 3

(2)因为 S 球=4π R2,S 圆柱侧=2π R· 2R=4π R2,所以 S 球=S 圆柱侧. 点评:本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组 合体的结构特征. 变式训练 1.如图 2(1)所示,表面积为 324π 的球,其内接正四棱柱的高是 14,求这个正四棱柱的表面 积.

图2 解:设球的半径为 R,正四棱柱底面边长为 a,则轴截面如图 2(2) ,所以 AA′=14,AC= 2a , 又∵4π R2=324π ,∴R=9. ∴AC=

AC' 2 ?CC' 2 ? 8 2 .∴a=8.

∴S 表=64× 2+32× 14=576,即这个正四棱柱的表面积为 576. 2 有一种空心钢球,质量为 142 g,测得外径(直径)等于 5 cm,求它的内径(钢的密度为 7.9 g/cm3,精确到 0.1 cm). 解:设空心球内径(直径)为 2x cm,则钢球质量为

4? 5 3 4? 3 ?( ) ? x ]=142, 3 2 3 5 3 142 ? 3 ∴x3= ( ) ? ≈11.3,∴x≈2.24,∴直径 2x≈4.5. 2 7.9 ? 4 ? 3.14
7.9· [ 答:空心钢球的内径约为 4.5 cm. 例 2 如图 3 所示,表示一个用鲜花做成的花柱,它的下面是一个直径为 1 m、高为 3 m 的 圆柱形物体,上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花 150 朵,那么装饰这个花柱 大约需要多少朵鲜花(π 取 3.1)?

图3 活动:学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积(不含下底 面)与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积. 解:圆柱形物体的侧面面积 S1≈3.1×1×3=9.3(m2),

半球形物体的表面积为 S2≈2×3.1×(

1 2 ) ≈1.6(m2), 2

所以 S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m2). 10.9×150≈1 635(朵). 答:装饰这个花柱大约需要 1 635 朵鲜花. 点评:本题主要考查球和圆柱的组合体的应用,以及解决实际问题的能力. 变式训练 有一个轴截面为正三角形的圆锥容器,内放一个半径为 R 的内切球,然后将容器注满 水,现把球从容器中取出,水不损耗,且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体,问容 器中水的高度为多少? 分析:转化为求水的体积.画出轴截面,充分利用轴截面中的直角三角形来解决. 解:作出圆锥和球的轴截面图如图 4 所示,

图4 圆锥底面半径 r=

R ? 3R , tan 30?

圆锥母线 l=2r= 2 3R ,圆锥高为 h= 3r =3R, ∴V 水=

?
3

r 2h ?

4? 3 ? 4? 3 5? 3 R ? · R ? R , 3R2· 3R ? 3 3 3 3

球取出后,水形成一个圆台,下底面半径 r= 3R ,设上底面半径为 r′, 则高 h′=(r-r′)tan60°= 3( 3R ? r ' ) , ∴

5? 3 ? R ? h' (r2+r′2+rr′),∴5R3= 3( 3R ? r ' )(r ' 2 ? 3Rr'?3R 2 ) , 3 3

∴5R3= 3(3 3R 3 ? r '3 ) , 解得 r′= 3

4 3

R ?6

16 R, 3

∴h′=( 3 ? 3 12 )R. 答:容器中水的高度为( 3 ? 3 12 )R. 思路 2 例 1 (2006 广东高考,12)若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积 为____________. 活动:学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形. 分析:画出球的轴截面可得,球的直径是正方体的对角线,所以球的半径 R=

3 3 ,则该球 2

的表面积为 S=4π R2=27π . 答案:27π 点评:本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径 R 的函数.对于 和球有关的问题,通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键. 变式训练 1.(2006 全国高考卷Ⅰ,理 7)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16, 则这个球的表面积是( ) A.16π B.20π C.24π D.32π 分析:由 V=Sh,得 S=4,得正四棱柱底面边长为 2.画出球的轴截面可得,该正四棱柱的对 角线即为球的直径,所以,球的半径为 R=

1 2 2 ? 2 2 ? 4 2 ? 6 ,所以球的表面积为 2

S=4π R2=24π . 答案:C 2.(2005 湖南数学竞赛,13)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a, 则这个球的体积为_____________. 分析:把正四面体补成正方体的内接正四面体,此时正方体的棱长为

2 a ,于是球的半径 2



2 2? 3 a ,V= a . 4 24 2? 3 a 24

答案:

3.(2007 天津高考,理 12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三 条棱的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为___________. 分析:长方体的对角线为 12 ? 22 ? 32 ? 14 ,则球的半径为

14 , 则球的表面积为 2

4π (

14 2 ) =14π . 2

答案:14π 例 2 图 5 是一个底面直径为 20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直 径为 6 cm, 高为 20 cm 的一个圆锥形铅锤, 当铅锤从水中取出后, 杯里的水将下降几厘米?

图5 活动:学生思考杯里的水将下降的原因,通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是圆柱 形的,所以铅锤取出后,水面下降部分实际是一个小圆柱,这个圆柱的底面与玻璃杯的底面 一样,是一直径为 20 cm 的圆,它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积,这个小圆柱的高就是 水面下降的高度.

解:因为圆锥形铅锤的体积为 ? ? ? ( ) × 20=60π (cm3) ,
2

1 3

6 2

设水面下降的高度为 x,则小圆柱的体积为 ? (

20 2 ) x =100π x( cm3). 2

所以有 60π =100π x,解此方程得 x=0.6( cm). 答:杯里的水下降了 0.6 cm. 点评:本题主要考查几何体的体积问题,以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的 形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型.本题的 数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列 出方程的关键. 变式训练 1.一个空心钢球,外直径为 12 cm,壁厚 0.2 cm,问它在水中能浮起来吗?(钢的密度为 7.9 g/cm3)和它一样尺寸的空心铅球呢?(铅的密度为 11.4 g/cm3) 分析:本题的关键在于如何判断球浮起和沉没,因此很自然要先算出空心钢球的体积,而空 心钢球的体积相当于是里、 外球的体积之差, 根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积, 从而算出空心钢球的质量, 然后把它与水的质量相比较即可得出结论, 同理可以判断铅球会 沉没. 解:空心钢球的体积为 V 钢=

4? 4? 4? ? 63 ? ? 5.8 3 ? ×20.888≈87.45(cm3), 3 3 3

∴钢的质量为 m 钢=87.45× 7.9=690.86(g). ∵水的体积为 V 水=

4? 3 × 6 =904.32(cm3), 3

∴水的质量为 m 水=904.32× 1=904.32(g)>m 钢. ∴钢球能浮起来,而铅球的质量为 m 铅=87.45× 11.4=996.93(g)>m 水. ∴同样大小的铅球会沉没. 答:钢球能浮起来,同样大小的铅球会沉没. 2.(2006 全国高中数学联赛试题第一试,10)底面半径为 1 cm 的圆柱形容器里放有四个半 径为

1 cm 的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使 2

水面恰好浸没所有铁球,则需要注水___________cm3. 分析:设四个实心铁球的球心为 O1、O2、O3、O4,其中 O1、O2 为下层两球的球心,A、B、 C、D 分别为四个球心在底面的射影,则 ABCD 是一个边长为

2 cm 的正方形,所以注水 2

高为(1+

4? 1 3 1 2 2 2 ( ) ?( ? ) π cm3. ) cm.故应注水 π (1+ )-4× 3 2 3 2 2 2
1 2 + )π 3 2


答案: (

知能训练 1.三个球的半径之比为 1∶2∶3, 那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 ( A.1 倍 B.2 倍 C.

9 倍 5

D.

7 倍 4

分析:根据球的表面积等于其大圆面积的 4 倍,可设最小的一个半径为 r,则另两个为 2r、 3r,所以各球的表面积分别为 4π r2、16π r2、36π r2, 答案:C 2.(2006 安徽高考,理 9)表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球 的体积为( A. ) B.

36?r 2 9 ? (倍). 2 2 5 4?r ? 16?r

2? 3

? 3

C.

2? 3

D.

2 2? 3

分析:此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形,所以由 8×

3a 2 ? 2 3 知,a=1,则 4

此球的直径为 2 . 答案:A 3.(2007 北京西城抽样,文 11)若与球心距离为 4 的平面截球所得的截面圆的面积是 9π , 则球的表面积是____________. 分析: 画出球的轴截面, 则球心与截面圆心的连线、 截面的半径、 球的半径构成直角三角形, 又由题意得截面圆的半径是 3,则球的半径为

42 ? 32 =5 , 所 以 球 的 表 面 积 是

4π × 52=100π . 答案:100π 4.某街心花园有许多钢球(钢的密度是 7.9 ?g/cm3?),每个钢球重 145 kg,并且外径等于 50 cm,试根据以上数据, 判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的, 请你计算出它的内径 (π 取 3.14,结果精确到 1 cm). 解:由于外径为 50 cm 的钢球的质量为 7.9×

4? 50 3 ? ( ) ≈516 792(g), 3 2

街心花园中钢球的质量为 145 000 g,而 145 000<516 792, 所以钢球是空心的. 设球的内径是 2x cm,那么球的质量为 7.9· [

4? 50 3 4? 3 ?( ) ? x ]=145 000, 3 2 3

解得 x3≈11 240.98,x≈22.4,2x≈45(cm). 答:钢球是空心的,其内径约为 45 cm. 5.(2007 海南高考,文 11)已知三棱锥 S—ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上,球 心 O 在 AB 上,SO⊥底面 ABC,AC= 2r ,则球的体积与三棱锥体积之比是( A.π B.2π C.3π D.4π )

分析:由题意得 SO=r 为三棱锥的高,△ABC 是等腰直角三角形,所以其面积是 所以三棱锥体积是 ? r ? r ?
2

1 × 2r× r=r2, 2

1 3

r3 4?r 3 ,又球的体积为 ,则球的体积与三棱锥体积之比是 3 3

4π . 答案:D 点评:面积和体积往往涉及空间距离,而新课标对空间距离不作要求,因此在高考试题中其 难度很低,属于容易题,2007 年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、 三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算. 我们应高度重视这方面的应用. 拓展提升 问题:如图 6,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球) 球心 O,且与 BC,DC 分别截于 E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱 锥 A—BEFD 与三棱锥 A—EFC 的表面积分别是 S1,S2,则必有( )

A.S1<S2 B.S1>S2 D.S1,S2 的大小关系不能确 定 探究:如图 7,连 OA、OB、OC、OD,则 VA—BEFD=VO—ABD+VO—ABE+VO—BEFD+VO—ADF, VA—EFC=VO—AFC+VO—AEC+VO—EFC,又 VA—BEFD=VA—EFC,而每个小三棱锥的高都是原四面 体的内切球的半径,故 S△ABD+S△ABE+SBEFD+S△ADF=S△AFC+S△AEC+S△EFC,又面 AEF 是公 共面,故选 C.

图6 C.S1=S2

图7 答案:C 课堂小结 本节课学习了: 1.球的表面积和体积. 2.计算组合体的体积时,通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积. 3.空间几何体的表面积与体积的规律总结: (1)表面积是各个面的面积之和,求多面体表面积时,只需将它们沿着若干条棱剪开后展 成平面图形,利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时,可从回忆旋转体的生 成过程及其几何特征入手,将其展开求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的 侧面展开图中的边长关系,注意球面不可展开. (2)在体积公式中出现了几何体的高,其含义是: 柱体的高: 从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线, 这点和垂足间的距离称为柱体 的高; 锥体的高:从锥体的顶点向底面作垂线,这点和垂足间的距离称为锥体的高;

台体的高: 从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线, 这点和垂足间的距离称为台体 的高. 注意球没有高的结构特征. (3)利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题的 常用手段. (4)柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章 点、直线、平面位置关系的载体,高考试 题中,通常是用本模块第一章的图,考查第二章的知识. (5)与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一,常以选择题或填空题的形式出现, 属于低档题. 作业 课本本节练习 1、2、3. 设计感想 本节教学结合高考要求,主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积.值得注意的 是其中的题目没有涉及球的截面问题(新课标对球的截面不要求) ,在实际教学中,教师不 要增加球的截面方面的练习题,那样会增加学生的负担.


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