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浙江省杭州学军中学2012届高三第一次月考试题数学文


2011 学年杭州学军中学高三年级第一次月考 数学( 数学(文)试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题 目要求的) 1.记集合 M = x x > 4 ,N = x x ? 3 x ≤ 0 ,则 N ∩ M = ( ▲ )
2 2

{

}

{

}

A. x 2 < x ≤ 3

{

} }

B. x x > 0 或x < ?2 D. x 0 < x < 2

{

}

C. x ?2 < x ≤ 3 A. f ( x ) = sin x C. f ( x ) =

{

{

}
2? x 2+ x

2.下列函数既是奇函数,又在区间 [?1,1] 上单调递减的是( ▲ ) B. f ( x ) = ? | x + 1 | D. f ( x ) = ln

1 x (a + a ? x ) 2
1 x

3.函数 y = 2 ? 3 的值域是( ▲ ) A. ( ?∞,1)∪(1, 2 )
x

B. { y | y ≠ 2}
a

C. ( ?∞, 2 )

D. ( 2, +∞ )

4.已知函数 f1 ( x ) = a , f 2 ( x ) = x , f 3 ( x) = log a x (其中 a > 0 且 a ≠ 1 ) ,在同一坐标系中画出其中 两个函数在 x≥0 且 y≥0 的范围内的大致图像,其中正确的是( ▲ )

y

y

y

y

1

1

1 1

1 1

O

x
A
x

O

x

O

x

O

1

x

B
2

C

D

5.已知函数 f ( x ) = e ? 1 , g ( x ) = ? x + 4 x ? 3 ,若有 f ( a ) = g (b) ,则 b 的取值范围是( ▲ ) A. (1, 3) B. [1, 3] C. ( 2 ?

2, 2 + 2)

D. [ 2 ?

2, 2 + 2 ]

6.对于实数 a 和 b ,定义运算“?”: a ? b = ?

?a , a ? b ≤ 1 ,设函数 f ( x ) = ( x 2 ? 2) ? ( x ? 1) , x ∈ R , ?b, a ? b > 1

若函数 y = f ( x ) ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( ▲ )
A. (?1,1] ∪ ( 2,+∞) B. ( ?2, ? 1] ∪ (1, 2]

C. (?∞, ? 2) ∪ (1, 2]
x

D. [ ?2, ? 1]

7.函数 f ( x ) = log a (2 + b ? 1)( a > 0,a ≠ 1) 的图象如图所示,则 a,b 满足的关系是( ▲ ) y A. 0 < a C. 0 < b
?1

< b <1 < a < ?1

B. 0 < b < a D. 0 < a
?1

?1

<1
O

x

?1

< b ?1 < 1

?x ? ( x ≥ 0) 8.已知 f ( x ) = ? 2 ,则 f [ f ( x )] ≥ 1 的解集是( ▲ ) 2 ? x ( x < 0) ?
A. ( ?∞, ? 2] 9.设函数 f ( x) = ? A.1 B. [4 2, +∞) C. (?∞, ?1] ∪ [4 2, +∞)

?1

D. ( ?∞, ? 2] ∪ [4, +∞)

x≤0 ,则函数 g ( x ) = f ( x ) ? x 的零点的个数为( ▲ ) f ( x ? 1), x > 0 ? ? x2 ,
B.2
3

C.3

D.4

10.若函数 f ( x ) = log a ( x ? ax) (a > 0, a ≠ 1) 在区间 (?
9 A. ( , +∞) 4

1 , 0) 内单调递增,则 a 的取值范围是( ▲ ) 2
D. [ 1 ,1) 4

B.(1,

9 ) 4

C. [

3 ,1) 4

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 填空题
11.函数 f ( x ) =

1 + lg( x + 1) 的定义域是 1? x
2

▲ ▲ ▲

12.若函数 f ( x) = x ? x + a 为偶函数,则实数 a = 13.若 f ( x ) =

ax + 1 在区间 ( ?2, +∞ ) 上是增函数,则实数 a 的取值范围 x+2
3 2

14.已知 f ( x ) = x ? ax + 4 x 有两个极值点 x1 、 x2 ,且 f ( x ) 在区间(0,1)上有极大值,无极小值,

则 a 的取值范围是

▲ ▲

15.已知关于 x 的方程 4 x ? 2 x +1 + 3m ? 1 = 0 有实根,则 m 的取值范围是

16.设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x < 0 时, f ′( x ) > 0 ,且 f ( ? ) = 0 ,

1 2

则不等式 f ( x) < 0 的解集为



17.定义在 (? ∞,+∞ ) 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x +1) = ? f ( x ) ,且在 [? 1,0] 上是增函数,下面是关于 f ( x )

的判断:

① f ( x ) 关于点 P(

1 ,0 )对称 2

② f ( x ) 的图像关于直线 x = 1 对称; ④ f (2 ) = f (0 ) .

③ f ( x ) 在[0,1]上是增函数;

其中正确的判断是____ ▲_____(把你认为正确的判断都填上) 解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 三、解答题 18. (本小题满分 14 分)
2 已知条件 p : x ∈ A = x | x ? 2 x ? 3 ≤ 0, x ∈ R ,

{

}

条件 q : x ∈ B = x | x 2 ? 2mx + m 2 ? 4 ≤ 0, x ∈ R, m ∈ R (Ⅰ)若 A ∩ B = [ 0,3] ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 A ? C R B ,求实数 m 的取值范围.

{

}

19. (本小题满分 14 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) = (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若对任意的 t ∈ R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) + f (2t 2 ? k ) < 0 恒成立,求 k 的取值范围;

?2 x + b 是奇函数。 2 x +1 + a

20. (本小题满分 14 分) 已知 x 满足不等式 (log 2 x) ? log 2 x ≤ 0 ,求函数 y = 4
2 2
x? 1 2

a2 ? a?2 + + 1 的最小值. 2
x

21. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) = x 3 + 2 x 2 ? ax + 1 . (I)若函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 4,求实数 a 的值; (II)若函数 f (x ) 在区间 (?1,1) 上是单调函数,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) = x 2 ln | x | , (Ⅰ)判断函数 f (x ) 的奇偶性; (Ⅱ)求函数 f (x ) 的单调区间;

(Ⅲ)若关于 x 的方程 f ( x ) = kx ? 1 有实数解,求实数 k 的取值范围.

2011 学年杭州学军中学高三年级第一次月考 数学( 数学(文)答卷
一、选择题:答案请涂在答题卡上 选择题: 填空题: 二、填空题 11. . 13. . 15. . 17. . ; ; ; ; 12. . 14. . 16. . ; ; ;

小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 三、解答题:本大题共 5 小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 解答题: 18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

2011 学年杭州学军中学高三年级第一次月考 数学( 数学(文)答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题 目要求的) 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 B 7 A 8 D 9 B 10 C

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 填空题 11.

x > ?1 且 x ≠ 1
2 3

12. a = 0

13. a >

1 2

14. a >

7 2

15. m ≤

16. {x x < ?

1 1 或 0< x< } 2 2

17.①、②、④

) 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答题 18. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) A = [?1, 3] , B = [?2 + m, 2 + m] ,若 A ∩ B = [ 0,3] ,则 ? 则 3 < ?2 + m 或 2 + m < ?1 , 19. (本小题满分 14 分) (Ⅱ) C R B = ( ?∞, ? 2 + m) ∪ ( 2 + m, + ∞) ,若 A ? C R B , 故 m < ?3 或 m > 5

?? 2 + m = 0 ,故 m = 2 ? 2+m ≥ 3

?1+ b = 0 ,b =1 解: (Ⅰ) f (x ) 是定义域为 R 的奇函数, f (0) = 2+a

? 2x +1 f ( x) = x +1 2 +a

1 ? +1 ? 2 +1 =? 2 又 f (1) = ? f ( ?1) ,即 ,解得 4+a 1+ a
(Ⅱ)因为 f ( x ) =

a=2

? 2x +1 ? 2x ?1+ 2 1 1 = =? + x 是在 R 上的单调递减函数 x +1 x 2 2 +1 2 +2 2(2 + 1)
2 2

而 f (t ? 2t ) < ? f ( 2t ? k ) = f ( k ? 2t )
2

所以 t ? 2t > k ? 2t ,即 k < 3t ? 2t
2 2 2

而 3t ? 2t = 3(t ? ) ?
2 2

1 3

1 1 ≥? 3 3



k<?

1 3
x

20. (本小题满分 14 分) 解:解不等式 (log 2 x ) 2 ? log 2 x 2 ≤ 0 ,得 1 ≤ x ≤ 4 ,所以 2 ≤ 2 ≤ 16

y=4

x?

1 2

? a ? 2x +

1 1 a2 a2 + 1 = (2 x ) 2 ? a ? 2 x + + 1 = (2 x ? a) 2 + 1 2 2 2 2

当 a < 2 时, y min =

1 1 (2 ? a ) 2 + 1 ;当 2 ≤ a ≤ 16 时, y min = 1 当 a > 16 时, y min = (16 ? a ) 2 + 1 2 2

21. (本小题满分 15 分) 解: (I) f ' ( x ) = 3 x 2 + 4 x ? a , k = f ' (1) = 3 + 4 ? a = 4 ,故 a = 3 ; (II) f ' ( x ) = 3 x 2 + 4 x ? a 是二次函数,开口向上,对称轴是 x = ? 要使函数 f (x ) 在区间 (?1,1) 上是单调函数,只需 ?

2 3

? f ' (?1) = 3 ? 4 ? a < 0 ? f ' (1) = 3 + 4 ? a < 0

? a > ?1 所以 实数 a 的取值范围是 a > 7 ? ?a>7
22. (本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)函数 f (x ) 的定义域为{ x | x ∈ R 且 x ≠ 0 }

f (? x) = (? x) 2 ln | ? x |= x 2 ln x = f ( x)
(Ⅱ)当 x > 0 时, f ′( x ) = 2 x ? ln x + x 2 ? 若0 < x < e 若x > e
? 1 2 ? 1 2

∴ f (x ) 为偶函数

1 = x ? ( 2 ln x + 1) x

,则 f ′( x ) < 0 , f (x ) 递减; 则 f ′( x ) > 0 , f (x ) 递增.



再由 f (x ) 是偶函数, 得 f (x ) 的递增区间是 ( ?∞ , ? e 递减区间是 ( ? e
? 1 2
? 1 2

) 和 (e

?

1 2

, + ∞) ;
1 2

, 0) 和 (0 , e ) .
1 =k x
令 g (x ) = x ln | x | + 显然 g ′(1) = 0

?

(Ⅲ)由 f ( x ) = kx ? 1 ,得: x ln | x | + 当 x > 0 , g ′(x ) = ln x + 1 ?

1 x

1 x2 ?1 = ln x + x2 x2

0 < x < 1 时, g ′( x ) < 0 , g (x) ↓
∴ x > 0 时, g ( x) min = g (1) = 1 又 g ( ? x ) = ? g ( x ) , ? g (x ) 为奇函数 ∴ g (x ) 的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞)

x > 1 时, g ′( x ) > 0 , g (x) ↑

∴ x < 0 时, g ( x ) max = g ( ?1) = ?1

∴若方程 f ( x ) = kx ? 1 有实数解,则实数 k 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞) .


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