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解析几何中的常见陷阱问题


解析几何中的常见陷阱剖析
解析几何知识是数与形的绝妙结合,形(曲线)的定性分析可以借助数(曲线的方程)来定 量求解; 数的定量求解可以借助形来寻找途径。 但在数与形的相互补充中常常会有些细节在 不经意中被我们忽视,习惯称之为陷阱。 陷阱一、曲线方程或有关公式中的字母与参数的取值要求 例 1 直线 l 经过点 P(1,2)且在坐标轴上截距相等,求其方程 【错解】由题意设直

线方程为 所以直线方程为

x y ? ? 1 ,代入 P(1,2)可得 a ? 3 a a

x y ? ? 1 ,即 x ? y ? 3 3 3

【 错因 分析】 直线 过原点 时在 坐标轴 上截距 也相 等, 此时不 能设 直 线的 截距 式方程

x y ? ?1 a b
【正解】①当直线在坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为 代入 P(1,2)可得 a ? 3 ,所以直线方程为

x y ? ? 1, a a

x y ? ? 1 ,即 x ? y ? 3 3 3

②当直线经过坐标原点时,设其方程为 y ? kx, 代入 P(1,2)可得 k ? 2 所以直线方程为 y ? 2 x 综上可得直线方程为 x ? y ? 3 或 y ? 2 x 【小结】解析几何中有些公式和曲线的方程对参数有取值范围要求,如直线的截距式方程

x y x2 y2 ? ? 1 中 要 求 a ? b ? 0 ; 椭 圆 方 程 2 ? 2 ? 1 中 的 a2 ? b2 ; 直 线 的 斜 率 公 式 a b a b

k?

y 2 ? y1 中的 x1 ? x 2 等。要求在解题过程中做到全面性和纯粹性,防备漏解或增解。 x2 ? x1
陷阱二、直线的斜率不存在情况 求过点 A(2,-1)且与圆 ?x ? 3? ? ? y ? 2? ? 1 相切的直线方程
2 2

例2

【错解】设直线方程为 y ? 1 ? k ?x ? 2? ,即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 因为直线与圆相切,所以 所以直线方程为 y ? 1 ?

3k ? 2 ? 2k ? 1 k ?1
2

? 1, 解得 k ?

4 3

4 ?x ? 2? ,即 4 x ? 3 y ? 11 ? 0 3

【错因分析】在设直线方程的点斜式方程时没有考虑直线斜率不存在的情况 【正解】①当直线的斜率存在时,设直线方程为 y ? 1 ? k ?x ? 2? ,即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0

1

因为直线与圆相切,所以 所以直线方程为 y ? 1 ?

3k ? 2 ? 2k ? 1 k 2 ?1

? 1, 解得 k ?

4 3

4 ?x ? 2? ,即 4 x ? 3 y ? 11 ? 0 3 ②当直线的斜率不存在时,直线的方程为 x ? 2
综上得切线方程为 4 x ? 3 y ? 11 ? 0 与 x ? 2 【小结】 在设直线方程的点斜式方程与斜截式方程时, 如果题中没有说明直线斜率的存在情 况,一般要对斜率存在与否进行讨论 陷阱三、曲线方程非标准形式给出 例 3 (2009 陕西卷)“ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【错解】答案:D 【错因分析】没把椭圆方程的非标准形式化为标准 【正解】 将方程 mx2 ? ny 2 ? 1 转化为

x2 y 2 ? ? 1 , 根据椭圆的定义,要使焦点在 y 轴上必 1 1 m n

须满足

1 1 1 1 ? 0, ? 0, 所以 ? ,故选 C n m m n

【小结】 高中所学的圆锥曲线方程都是标准方程, 相应的性质也是在标准方程情况下的性质。 解题时要审清题目,化非标准为标准再求解。 陷阱四、忽略曲线方程中变量本身的取值范围 例 4 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 右准线上不同于点 A(4,0)的任意一点,若直线 AP、BP 分别与椭 4 3
3 2 (4 ? x0 ) ----------------------① 4

圆相交于异于 A、B 的点 M、N,试说明点 B 与以 MN 为直径的圆的位置关系. 【错解】解:设 M ?x0 y 0 ? ,因为点 M 在椭圆上,所以 y 0 ?
2

又 M 点异于顶点 A、B,由 P、A、M 三点共线得 P ? 4, ?

? ?

6 y0 ? ?, x0 ? 2 ? ?

0 从而 BM ? ?x0 ? 2, y 0 ?, BP ? ? 2, ? x ? 2? ? 0 ? ?

?

?

?

6y

?

所以 BM ? BP = 2 x0 ? 4 ?

?

?

2 6 y0 2 2 2 ? x0 ? 4 ? 3 y0 ---------------------------------② x0 ? 2 x0 ? 2

?

?

将①式代入②式化简得 BM ? BP ?

?

?

所以(I)当 2 ? x0 ? 0时BM ? BP ? 0, 于是 ?MBP 为锐角,从而 ?MBN 为钝角,故点 B 在
2

?

?

5 ?2 ? x0 ? 2

以 MN 为直径的圆内 (II)当 2 ? x0 ? 0时BM ? BP ? 0, 于是 ?MBP 为钝角,从而 ?MBN 为锐角,故点 B 在以 MN 为直径的圆外 (III)当 2 ? x0 ? 0时BM ? BP ? 0, 于是 ?MBP 为直角,故点 B 在以 MN 为直径的圆上. 【错因分析】没有注意到椭圆中的 x ? 2 【正解】设 M ?x0 y 0 ? ,因为点 M 在椭圆上,所以 y 0 ?
2

?

?

?

?

3 2 (4 ? x0 ) ----------------------① 4

又 M 点异于顶点 A、B,所以 ? 2 ? x0 ? 2 由 P、A、M 三点共线得 P ? 4, ?

? ?

6 y0 ? ? x0 ? 2 ? ?

0 从而 BM ? ?x0 ? 2, y 0 ?, BP ? ? 2, ? x ? 2? ? 0 ? ?

?

?

?

6y

?

所以 BM ? BP = 2 x0 ? 4 ?

?

?

2 6 y0 2 2 2 ? x0 ? 4 ? 3 y0 ------------------------------② x0 ? 2 x0 ? 2

?

?

将①式代入②式化简得 BM ? BP ?

?

?

因为 2 ? x0 ? 0, 所以BM ? BP ? 0, 于是 ?MBP 为锐角,从而 ?MBN 为钝角,故点 B 在以 MN 为直径的圆内. 【小结】在解析几何中要注意曲线方程中变量 x 或 y 自身的取值范围。 陷阱五、求离心率取值范围中,忽视离心率本身的范围 例 5

?

?

5 ?2 ? x0 ? 2

x2 y 2 F1、F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,当离心率在什么范围内取值 a b

时,椭圆上总有点 P,使 PF ? PF2 1 【错解】设 P( x1 , y1 ) ,则由 PF ? PF2 ? x1 ? y1 ? c ? 0 , 1
2 2 2



x1 ? a cos? , y1 ? b sin ? , 所以a 2 cos2 ? ? b 2 sin 2 ? ? c 2 , 所以c 2 cos2 ? ? c 2 ? b 2 ? 0, 所以c ? b, e 2 ? c2 c2 1 2 ? 2 ? , 所以e ? , 2 2 2 2 a c ?b
? 2 ? , ?? ? ? ? 2 ?

故离心率取值范围为 ?

1? 【错因分析】忽视椭圆的离心率为 ?0, 的范围
3

2 2 【正解】设 P( x1 , y1 ) ,则由 PF ? PF2 ? x1 ? y1 ? c 2 ? 0 , 1

x1 ? a cos? , y1 ? b sin ? ,? a 2 cos2 ? ? b 2 sin 2 ? ? c 2 ,? c 2 cos2 ? ? c 2 ? b 2 ? 0,


? c ? b, e 2 ?

c2 c2 1 2 ? 2 ? ,? e ? , 2 2 2 2 a c ?b

又 e ? ?0,1? ∴离心率取值范围为 ?

? 2 ? ,1? 2 ? ? ?

【小结】 圆锥曲线的统一定义是以离心率的取值范围不同而区分不同类型的曲线, 所以离心 率的取值范围是一个隐藏条件。 陷阱六、忽略图形的对称性而造成解的重复 例 6 以椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰三角形 ABC,这样的直 4

角三角形是否存在?若存在,有几个;若不存在,说明理由. 【错解】假设能够构成等腰三角形 ABC,其中 B(0,1),由题意知 BA 与 BC 的斜率一定存在且 不为 0,故设 l BA : y ? kx?, 则 l BC : y ? ?

1 x ? 1, k

? y ? kx ? 1 8 k 1? k 2 8k 8k 2 ? 2 ? A( ,? ? 1) ,所以 AB ? 则?x , 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? 4 ? y ?1 ?
同理 BC ?

8 1? k 2 2 2 ,由 AB ? BC ? k 4 ? k ? 1 ? 4k , 2 4?k

?

?

当 k ? 0 时, k ? 1,

3? 5 ?3? 5 ,当 k ? 0 时, k ? ?1, , 2 2

所以这样的直角三角形存在且有 6 个 【错因分析】注意到 BA 与 BC 的斜率互为负倒数, k ? 0 时的三角形个数就是最终三角形 的个数。 【正解】假设能够构成等腰三角形 ABC,其中 B(0,1),由题意知 BA 与 BC 的斜率一定存在且 不为 0,故设 l BA : y ? kx?, 则 l BC : y ? ?

1 x ? 1, 注意到 BA 与 BC 的斜率互为负倒数,不妨 k

设 k ? 0 ,则 ? x 2

? y ? kx ? 1 8 k 1? k 2 8k 8k 2 ? ? A( ,? ? 1) ,所以 AB ? , ? y2 ? 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ?4 ?

8 1? k 2 2 2 同理 BC ? ,由 AB ? BC ? k 4 ? k ? 1 ? 4k , 2 4?k

?

?

4

解得 k ? 1,

3? 5 2

所以这样的直角三角形存在且有 3 个 【小结】圆锥曲线都具有对称性,在求解时依据其对称性,求出其一种情况时另一情形也就 随之唯一确定。 陷阱七、用“点差法”求中点弦所在直线方程需验解 例7 已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 与点 P(1,1),过 P 点作直线 l 与双曲线交于 A、B 两点,且 P 为 2

A、B 的中点,这样的直线是否存在?

? 2 y12 ? 1, ? x1 ? y ? y1 x ? x1 ? 2 【错解】设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ?, 则 ? 两式相减整理得 2 ? 2? 2 , 2 x2 ? x1 y 2 ? y1 2 ? x 2 ? y 2 ? 1, ? 2 ?
因为 x2 ? x1 ? 2, y2 ? y1 ? 2 ,所以 k AB ? 2, 所以这样的直线存在其方程为: y ? 1 ? 2?x ? 1? ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 【错因分析】所求出的直线 2 x ? y ? 1 ? 0 与双曲线没有交点

? 2 y12 ? 1, ? x1 ? y ? y1 x ? x1 ? 2 【正解】设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ?, 则 ? 两式相减整理得 2 ? 2? 2 , 2 x2 ? x1 y 2 ? y1 2 ? x 2 ? y 2 ? 1, ? 2 ?
因为 x2 ? x1 ? 2, y2 ? y1 ? 2 ,所以 k AB ? 2, 所以直线方程为: y ? 1 ? 2?x ? 1? ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 ,

?2 x ? y ? 1 ? 0 ? 2 ? 2 x 2 ? ?2 x ? 1? ? 2 ? 0 ? 2 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? ? ?16 ? 24 ? 0 又由 ? 2 y 2 ? x ? 2 ?1 ?
所以直线直线 2 x ? y ? 1 ? 0 与双曲线没有交点 所以这样的直线不存在 【小结】用“点差法”求中点弦所在直线方程虽然方法巧妙,计算简便,但也必需检验所求 出的直线是否与曲线有交点 陷阱八、直线与圆锥曲线有公共点,只考虑了判别式,而忘记化简后的方程的二次项 系数是否非零 例 8 已知直线 l : k ( x ? 1) 与双曲线 x ? y ? 4 试求实数 k 的取值范围,使得
2 2

5

(1) 直线与双曲线有有两个公共点; (2) 直线与双曲线有且只有一个公共点 【错解】由 ?

?x 2 ? y 2 ? 4 ? 1 ? k 2 x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 ? y ? k ( x ? 1)

?

?

(1)当 ? ? 4 4 ? 3k 2 ? 0 ,即 k ? ? ?

? ?

? ?

? 2 3 2 3? ? 时, 直线与双曲线有有两个公共点 , ? 3 3 ? ? ?

(2)当 ? ? 4 4 ? 3k 2 ? 0 ,即 k ? ?
2

2 3 时, 直线与双曲线有且只有一个公共点 3

【错因分析】当二次项系数 1 ? k ? 0 时,不能用判别式来判断,此时直线与双曲线的渐 近线平行,与双曲线只有一个交点

?x 2 ? y 2 ? 4 【正解】由 ? ? 1 ? k 2 x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 ? y ? k ( x ? 1)

?

?

(1) 当 ?

? 2 3 ? ? 2 3? 1? k 2 ? 0 ? ,?1? ? ?? 1,1? ? ?1, ,即 k ? ? ? ? ? ? 3 ? 时, 直线与双曲线有 3 ? ? 4(4 ? 3k 2 ) ? 0 ? ? ? ? ?

?

有两个公共点 (2) 当 1 ? k ? 0 或 ?
2

?

1? k 2 ? 0 2 3 ,即 k ? ?1 或 k ? ? 时, 直线与双曲线有且只 2 3 ?? ? 4(4 ? 3k ) ? 0

有一个公共点 【小结】直线与圆锥曲线的位置关系问题,不仅要注意到考虑判别式,而且要考虑到二次项 系数是否为零;直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要非充分条件. 陷阱题不是难题,更不是偏题怪题,但同学们往往容易掉入陷阱中而毫无察觉,因原主 要是同学们对基础知识掌握的不牢固,对定义、定理、性质理解的不透切,不全面。其次是 平时练习只重解题思路, 不注重解题细节, 不加强落实而造成的。 只要同学们克服上述不足, 陷阱也就自然平了。

6


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