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课时训练(第八章 第七节 抛物线)


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第七节 抛物线
一、选择题 1.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 A.-2 B.2 C.-4 D.4 p 解析:抛物线的焦点为 F( ,0),椭圆中 c2=6-2=4, 2 ∴c=2,其右焦点

为(2,0), p ∴ =2,∴p=4. 2 答案:D 2.若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点 P 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:由题意知,点 P 到点(2,0)的距离与 P 到直线 x=-2 的距离相等,由抛物线定义 得点 P 的轨迹是以(2,0)为焦点,以直线 x=-2 为准线的抛物线,故选 D 项. 答案:D π 3.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过 F 且倾斜角等于 的直线与抛物线在 x 轴上方的曲线交 3 于点 A,则 AF 的长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:由已知可得直线 AF 的方程为 y= 3(x-1),联立直线与抛物线方程消元得:3x2 1 p -10x+3=0,解之得:x1=3,x2= (据题意应舍去),由抛物线定义可得:|AF|=xA+ =3+ 3 2 1=4. 答案:B 4.(2010· 辽宁高考)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l, A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|等于( ) A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 y0 解析:设 A(-2,y0),F(2,0),则 kAF=- =- 3,∴y0=4 3,将 y0=4 3代入 y2=8x 4 得 xP=6,∴|PF|=|PA|=6+2=8,故选 B 项. 答案:B 5. (2010· 山东高考)已知抛物线 y2=2px(p>0), 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、 B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 p 解析:方法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线 AB 的方程为 y=x- ,与 y2=2px 2 联立得 y2-2py-p2=0,∴y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,∴p=2,∴抛物线的方程为 y2=4x,其准线为 x=-1,故选 B 项. x2 y2 + =1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2 )

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方法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得 y1+y2=4,y2=2px1,y2=2px2,两式相减得: 1 2 y1-y2 2p p kAB= = = =1, x1-x2 y1+y2 2 ∴p=2,∴抛物线的方程为 y2=4x,其准线为 x=-1. 答案:B 二、填空题

6.一水渠的横截面积如图所示,它的横截面边界 AOB 是抛物线的一段,已知渠宽 AB 为 2 m,渠深 OC 为 1.5 m,水面 EF 距 AB 为 0.5 m,则水面 EF 的宽为________.

解析:建立如图所示的直角坐标系,则 A(-1,1.5),B(1,1.5),C(0,1.5).设抛物线方程为 x =2py(p>0),由点 A(-1,1.5)代入方程, 1 2 得 1=2p×1.5,即 p= ,所以抛物线方程为 x2= y,由点 E 的纵坐标为 1,得到点 E 的 3 3 6 横坐标为- , 3 2 6 所以截面图中水面宽度为 m. 3 2 6 答案: m 3 7.(密码原创)已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点,|AF|=2, 则|BF|=________. 解析:∵y2=4x,∴p=2,F(1,0) p 又∵|AF|=2,∴xA+ =2,∴xA+1=2,∴xA=1. 2 即 AB⊥x 轴,F 为 AB 的中点,∴|BF|=|AF|=2. 答案:2 8.(2010· 全国卷Ⅱ)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 3的直 → → 线与 l 相交于点 A,与曲线 C 的一个交点为 B.若AM=MB,则 p=________. 解析:过 B、M 分别作准线的垂线,垂足分别为 B1、M1,由 AM=MB 得 BB1=2MM1= p AM=BM,所以点 M 恰为抛物线的焦点,即 =1,p=2. 2
2

答案:2 三、解答题

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9.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2),其焦点 F 在 x 轴上. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程. 解:(1)由题意,可设抛物线 C 的标准方程为 y2=2px(p≠0). 因为点 A(2,2)在抛物线 C 上,所以 p=1. 因此,抛物线 C 的标准方程是 y2=2x. 1 2 (2)由(1)可得焦点 F 的坐标是( ,0),又直线 OA 的斜率为 =1,故与直线 OA 垂直的直 2 2 线的斜率为-1. 1 因此,所求直线的方程是 x+y- =0. 2 2 10.若抛物线 y=2x 上的两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线 l:y=x+m 对称,且 x1x2 1 =- ,求实数 m 的值. 2

解:方法一:如图所示, ∵A、B 两点关于直线 l 对称, ∴AB⊥l,且 AB 中点 M(x0,y0)在直线 l 上. 可设 lAB:y=-x+n, ?y=-x+n ? 由? ,得 2x2+x-n=0, 2 ? ?y=2x 1 n ∴x1+x2=- ,x1x2=- . 2 2 1 由 x1x2=- ,得 n=1. 2 x1+x2 1 1 5 又 x0= =- ,y0=-x0+n= +1= , 2 4 4 4 1 5 即点 M 为(- , ), 4 4 5 1 3 由点 M 在直线 l 上,得 =- +m,∴m= . 4 4 2 方法二:∵A、B 两点在抛物线 y=2x2 上, 2 ? ?y1=2x1 ∴? 2 ,∴y1-y2=2(x1+x2)(x1-x2). ?y2=2x2 ? 设 AB 中点 M(x0,y0), y1-y2 把 x1+x2=2x0 代入可得,kAB= =4x0. x1-x2 1 又 AB⊥l,∴kAB=-1,从而 x0=- . 4

高考密码 1 又点 M 在 l 上,∴y0=x0+m=m- , 4 1 1 即 M(- ,m- ), 4 4 1 1 ∴AB 的方程是 y-(m- )=-(x+ ), 4 4 1 2 即 y=-x+m- ,代入 y=2x ,得 2 1 2 2x +x-(m- )=0, 2 1 m- 2 1 3 ∴x1x2=- =- ,∴m= . 2 2 2

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