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第三章 直线与方程 单元质量评估(人教A版必修2)


第三章

直线与方程 单元质量评估(人教 A 版必修 2)
(120 分钟 150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.若直线过点(1,2),(4,2+ A.30° B.45° ),则此直线的倾斜角是 ( C.60° D.90° ) )



2.过点 P(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为 ( A.2x+y-1=0 C.x+2y-5=0 B.2x+y-5=0 D.x-2y+7=0

3.(2013·济南高一检测)直线 y=ax+b(a+b=0)的图象可能是 (

)

4.已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的值为 ( A.0 B.-8 C.2 D.10 )

)

5.直线 5x-2y-10=0 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,则 ( A.a=2,b=5 B.a=2,b=-5 C.a=-2,b=5 D.a=-2,b=-5 ) D.(1,2) )

6.直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该定点的坐标为 ( A.(-2,1) B.(2,1) C.(1,-2)

7.直线 3x+y-3=0 与 6x+my+1=0 平行,则它们之间的距离为 ( A.4 C. B. D.

8.两条直线 y=ax-2 与 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于 ( A.2 B.1 C.0 )

) D.-1

9.下列四个说法中,正确说法的个数是 (

①经过定点 P0(x0,y0)的直线,都可以用方程 y-y0=k(x-x0)来表示 ②经过任意两点的直线,都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)来表示 ③不经过原点的直线,都可以用方程+=1 来表示 ④经过点(0,b)的直线,都可以用方程 y=kx+b 来表示 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个

10.(2013·杭州高一检测)与直线 y=-2x+3 平行,且与直线 y=3x+4 交于 x 轴上的 同一点的直线方程是 A.y=-2x+4 C.y=-2x( ) B.y=-x+4 D.y=-x-

11.设点 A(2,-3),B(-3,-2),直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交,则 l 的斜率 k 的取值范围是 ( A.k≥或 k≤-4 C.-≤k≤4 ) B.-4≤k≤ D.以上都不对

12.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a>0) 将△ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是 ( A.(0,1) C. B. D. )

二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中的横 线上)

13.(2013 · 天 水 高一 检 测 ) 过 点 (1,0) 且 与 直 线 x-2y-2=0 平 行 的 直 线 方程 是 . .

14.已知点 A(-1,2),B(-4,6),则|AB|等于

15. 直 线 l 过 原 点 且 平 分 ? ABCD 的 面 积 , 若 平 行 四 边 形 的 两 个 顶 点 为 B(1,4),D(5,0),则直线 l 的方程为 16.已知 x-2y+4=0(0≤x≤2),则| . |的最小值为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 17.(10 分)已知直线 l1:x+2y+1=0,l2:-2x+y+2=0,它们相交于点 A. (1)判断直线 l1 和 l2 是否垂直?请给出理由. (2)求过点 A 且与直线 l3:3x+y+4=0 平行的直线方程. 18.(12 分)已知直线 x+y-3m=0 和 2x-y+2m-1=0 的交点 M 在第四象限,求实数 m 的 取值范围. 19.(12 分)经过点 A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几 条?请求出这些直线的方程. 20.(12 分)(2013· 太原高一检测)当 m 为何值时,直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1. (1)倾斜角为 45°. (2)在 x 轴上的截距为 1. 21.(12 分)将一张坐标纸折叠一次,使点 A(0,2)与点 A′(4,0)重合,且点 B(7,3) 与点 B′(m,n)重合,求 m+n 的值. 22.(12 分)(能力挑战题)已知△ABC 的三个顶点 A(4,-6),B(-4,0),C(-1,4), 求(1)AC 边上的高 BD 所在直线方程. (2)BC 边的垂直平分线 EF 所在直线方程.

(3)AB 边的中线的方程.

答案解析
1.【解析】选 A.斜率 k= = ,所以倾斜角为 30°.

2. 【解析】 选 A.设所求直线方程为 2x+y+c=0,又过点 P(-1,3),则-2+3+c=0,c=-1, 故所求直线方程为 2x+y-1=0. 【变式备选】已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A.4x+2y=5 C.x+2y=5 B.4x-2y=5 D.x-2y=5 )

【解析】选 B.线段 AB 的中点为(2,),垂直平分线的斜率 k=2,故所求直线方程为 y-=2(x-2),即 4x-2y-5=0. 3.【解析】选 D.y=ax+b(a+b=0)过点(1,0),故选 D. 4.【解析】选 B.由 2x+y-1=0 的斜率为-2,得 =-2,得 m=-8.

5.【解析】选 B.由直线方程 5x-2y-10=0 可知,当 x=0 时,y=-5,当 y=0 时,x=2, 故 a=2,b=-5. 6.【解析】选 A.直线变形为 m(x+2)-(y-1)=0,故无论 m 取何值,点(-2,1)都在此 直线上,故选 A. 7.【解析】选 D.把 3x+y-3=0 变为 6x+2y-6=0,则 d= = .

8. 【解析】 选 D.因为两直线互相垂直,所以 a(a+2)=-1,所以 a2+2a+1=0,所以 a=-1. 9. 【解析】 选 B.①不正确,y-y0=k(x-x0)表示不出过 P0(x0,y0),斜率不存在的直线; ②正确;③不正确.不能表示平行于坐标轴的直线.④不正确.y=kx+b 无法表示斜

率不存在经过点(0,b)的直线. 10.【解析】选 C.直线 y=-2x+3 的斜率为-2,则所求直线斜率 k=-2,直线方程 y=3x+4 中,令 y=0,得 x=-,即所求直线与 x 轴交点坐标为(-,0).故所求直线方程 为 y=-2(x+),即 y=-2x-. 11.【解析】选 A.kPA=-4,kPB=,画图观察可知 k≥或 k≤-4.

12.【解析】选 B.根据题意画出图形,根据面积相等得出 a,b 的关系式,然后求出 b 的取值范围. 由题意画出图形,如图(1). 由图可知,直线 BC 的方程为 x+y=1. 由 解得 M . .

可求 N(0,b),D

因为直线 y=ax+b 将△ABC 分割为面积相等的两部分,所以 S△BDM=S△ABC. 又 S△BOC=S△ABC,所以 S△CMN=S△ODN, 即〓 〓b=(1-b)〓 . = ,所以-1= ,所以= +1, .

整理得 = 所以

即 b=

,可以看出,当 a 增大时,b 也增大.

当 a→+≦时,b→,即 b<. 当 a→0 时,直线 y=ax+b 接近于 y=b. 当 y=b 时,如图(2), = = =.

所以 1-b= ,所以 b=1- .所以 b>1- . 由上分析可知 1- <b<,故选 B. 13.【解析】设与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程为 x-2y+b=0,又过点(1,0),代入 方程可得 1-2〓0+b=0,所以 b=-1,故所求的直线方程为:x-2y-1=0. 答案:x-2y-1=0 14.【解析】|AB|= 答案:5 15.【解析】直线 l 平分平行四边形 ABCD 的面积,则直线过 BD 的中点(3,2),故直 线 l 的方程为 y=x. 答案:y=x 16.【解析】| |表示 x-2y+4=0(0≤x≤2)上的点 P(x,y)与点 A(-1,-2)连线的 =4, =5.

斜率的绝对值,x-2y+4=0(0≤x≤2)的两端点 M(0,2),N(2,3),kAM= kAN= 答案: =,故| |∈[,4],即| |的最小值为.

17.【解析】(1)垂直.直线 l1 的斜率 k1=-, 直线 l2 的斜率 k2=2, 因为 k1k2=-〓2=-1,所以 l1⊥l2. (2)由方程组 解得点 A 的坐标为(,-), 直线 l3 的斜率为-3, 所以所求直线方程为:y-(-)=-3(x-), 化为一般式得:3x+y-1=0. 18.【解题指南】解方程组得交点坐标,再根据点 M 在第四象限列出不等式组,解 得 m 的取值范围. 【解析】由 所以交点 M 的坐标为( 因为交点 M 在第四象限, 所以 解得-1<m<. , 得 ).

所以 m 的取值范围是(-1,). 19.【解析】当截距为 0 时,设 y=kx,过点 A(1,2),则得 k=2,即 y=2x; 当截距不为 0 时,设+=1,或+ =1,过点 A(1,2),则得 a=3,或 a=-1,即 x+y-3=0,或 x-y+1=0.故所求这样的直线有 3 条:y=2x,x+y-3=0,x-y+1=0. 【变式备选】过点 P(2,1)作直线 l 交 x,y 正半轴于 A,B 两点,当|PA|·|PB|取到 最小值时,求直线 l 的方程.

【解析】设直线 l 的方程为:y-1=k(x-2),k≠0, 令 y=0,得 x=2-,令 x=0,得 y=1-2k, 所以 A(2-,0),B(0,1-2k), 所以|PA|·|PB|= = ≥ =4,

当且仅当 k2=1,即 k=〒1 时,|PA|· |PB|取到最小值,此时直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-3=0. 20.【解析】(1)倾斜角为 45°,则斜率为 1. 所以=1,解得 m=-1,m=1(舍去),

直线方程为 2x-2y-5=0 符合题意,所以 m=-1. (2)当 y=0 时,x= =1,解得 m=-,或 m=2,

当 m=-,m=2 时都符合题意, 所以 m=-或 m=2. 【误区警示】本题易忘记对所求解进行验证,而出现多解情况. 21. 【解题指南】 利用点关于线对称中的垂直与中点先求出直线方程,再求点(m,n) 的坐标,从而求出 m+n 的值. 【解析】由题知 AA′的中点为(2,1),直线 AA′的斜率为 =-,所以点 A,A′关

于 直 线 y-1=2(x-2) 对 称 , 则 点 B,B ′ 也 关 于 直 线 y-1=2(x-2) 对 称 , 则 得 22.【解析】(1)直线 AC 的斜率 kAC= 所以直线 BD 的斜率 kBD=, 所以 m+n= . =-2,

所以直线 BD 的方程为 y=(x+4), 即 x-2y+4=0. (2)直线 BC 的斜率 kBC= =,所以 EF 的斜率 kEF=-,线段 BC 的中点坐标为(-,2),

所以直线 EF 的方程为 y-2=-(x+),即 6x+8y-1=0. (3)AB 的中点坐标为(0,-3),所以 AB 边的中线的方程为: ≤x≤0). = ,即 7x+y+3=0(-1


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