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2013年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)


2013 年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)

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2013 年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2013?茂名一模)已知 A.

B.{0,1} C .? ,则 P∩Q=( ) D.{0} )

2. (5 分) (2013?茂名一模)气象台预报“茂名市明天降雨的概率是 80%”,下列理解正确的是( A.茂名市明天将有 80%的地区降雨 B. 茂名市明天将有 80%的时间降雨 C. 明天出行不带雨具肯定要淋雨 D.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 3. (5 分) (2013?茂名一模)计算:i(1+i) =( A.﹣2 B.2
2

) C.2i D.﹣2i

4. (5 分) (2013?茂名一模)已知双曲线 A .6 B. C.

的右焦点 F(3,0) ,则此双曲线的离心率为( D.



5. (5 分) (2012?福建)已知向量 =(x﹣1,2) , =(2,1) ,则 ⊥ 的充要条件是( A. x=﹣ B.x=﹣1 C.x=5



D.x=0

6. (5 分) (2012?北京)函数 f(x)= A .0 B.1

的零点个数为( C .2

) D.3 )

7. (5 分) (2013?淄博一模)某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的 x 值为 31,则 a 等于(

A .0

B.1

C .2

D.3

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www.jyeoo.com 8. (5 分) (2009?福建)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则该几何体的俯 视图可以是( )

A.

B.

C.

D.

9. (5 分) (2013?甘肃三模)函数 A. B.

的图象是( C.

) D.

10. (5 分) (2013?潮州二模)设向量 (b1, b2) = (a1b1, a2b2) . 已知

,定义一运算: , 点 Q 在 y=f (x) 的图象上运动, 且满足 ) D.2,4π

?

(其中 O 为坐标原点) ,则 y=f(x)的最大值及最小正周期分别是( A. B. C.2,π

二、填空题(本大题共 5 小题,第 14、15 小题任选一道作答,多选的按第 14 小题给分,共 20 分) (一)必做题: 第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11. (4 分) (2010?湖南)在区间[﹣1,2]上随即取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为 _________ .

12. (4 分) (2013?茂名一模)已知函数

,则 f[f(2013)]= _________ .

13. (4 分) (2013?茂名一模)目标函数 z=3x+y 在约束条件

下取得的最大值是 _________ .

14. (4 分) (2013?茂名一模) 已知曲线 C 的参数方程为 的距离的最大值为 _________ .

(θ 为参数) , 则曲线上 C 的点到直线 3x﹣4y+4=0

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www.jyeoo.com 15. (4 分) (2013?茂名一模)如图,⊙O 的直径 AB=6cm,P 是 AB 延长线上的一点,过 p 点作⊙O 的切线,切点 为 C,连接 AC,若∠CPA=30°,PC= _________ cm.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (12 分) (2013?茂名一模)如图所示,角 A 为钝角,且 (1)已知 AP=5,AQ=2,求 PQ 的长; (2)设∠APQ=α,∠AQP=β,且 ,求 sin(2α+β)的值. ,点 P,Q 分别在角 A 的两边上.

17. (12 分) (2013?许昌三模)某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩,按成绩共 分成 五组:第 1 组[75,80) ,第 2 组[80,85) ,第 3 组[85,90) ,第 4 组[90,95) ,第 5 组[95,100],得到的频率分布 直方图如图所示,同时规定成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生为“优秀”,成绩小于 90 分的学生为“良好”,且只有 成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格. (1)求“优秀”和“良好”学生的人数; (2)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出 10 人,求“优秀”和“良好”的学生分别选出几人? (3)若甲是在(2)选出的“优秀”学生中的一个,则从选出的“优秀”学生中再选 2 人参加某专项测试,求甲被选中 的概 率是多少?

18. (14 分) (2013?许昌三模)如图,多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AB=CD=1, ,G 为 AD 的中点. (1)求证;AC⊥CE; (2)在线段 CE 上找一点 F,使得 BF∥平面 ACD,并给予证明; (3)求三棱锥 VG﹣BCE 的体积.

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19. (14 分) (2013?茂名一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,而数列{bn}的首项为 1, bn+1﹣bn﹣2=0. (1)求 a1 和 a2 的值; (2)求数列{an},{bn}的通项 an 和 bn; (3)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

20. (14 分) (2013?茂名一模)已知椭圆

过点

且它的离心率为



(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)已知动直线 l 过点 Q(4,0) ,交轨迹 C2 于 R、S 两点.是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 RQ 为直径的圆 O1 所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出 m 的方程;如果不存在,说明理由. 21. (14 分) (2013?茂名一模)已知函数 ,函数 f(x)是函数 g(x)的导函数.

(1)若 a=1,求 g(x)的单调减区间; (2)当 a∈(0,+∞)时,若存在一个与 a 有关的负数 M,使得对任意 x∈[M,0]时,﹣4≤f(x)≤4 恒成立,求 M 的最小值及相应的 a 值.

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2013 年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2013?茂名一模)已知 A. B.{0,1} 考点: 专题: 分析: 解答: C .? ,则 P∩Q=( ) D.{0}

交集及其运算. 计算题. 找出 P 与 Q 的公共部分,即可求出两集合的交集. 解:∵P={﹣ ,0,1},Q={x|﹣1≤x≤1}, ∴P∩Q={0,1}. 故选 B 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
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2. (5 分) (2013?茂名一模)气象台预报“茂名市明天降雨的概率是 80%”,下列理解正确的是( A.茂名市明天将有 80%的地区降雨 B. 茂名市明天将有 80%的时间降雨 C. 明天出行不带雨具肯定要淋雨 D.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 考点: 专题: 分析: 解答: 命题的真假判断与应用;概率的意义. 阅读型. 根据概率的意义,事件的概率是表达事件发生的可能性大小,依此来判断即可. 解:茂名市明天降雨的概率是 80%的含义是:茂名市明天降雨的可能性达 80%,∴D 正确. 故选 D 点评: 本题借助考查命题的真假判断,考查概率统计.
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3. (5 分) (2013?茂名一模)计算:i(1+i) =( A.﹣2 B.2 考点: 专题: 分析: 解答: 复数代数形式的乘除运算. 计算题.

2

) C.2i D.﹣2i

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利用完全平方式展开(1+i) ,然后直接利用单项式乘多项式进行运算. 2 2 2 解:i(1+i) =i(1+2i+i )=i(1﹣1+2i)=2i =﹣2. 故选 A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,复数的乘法,符合实数运算中的单项式乘多项式法则,是基础题.

2

4. (5 分) (2013?茂名一模)已知双曲线 A .6 B. C.

的右焦点 F(3,0) ,则此双曲线的离心率为( D.



考点: 双曲线的简单性质.

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www.jyeoo.com 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据双曲线 解答: 解:∵双曲线 ∴c=3,m=a =3 ﹣5=4, ∴e= = . 故选 C. 点评: 本题考查双曲线的性质和应用,考查了学生对基础知识的综合把握能力.解题时要抛物线的性质进行求解.
2 2

的右焦点 F(3,0) ,从而求出 m 的值,进而得到该双曲线的离心率.

的右焦点 F(3,0) ,

5. (5 分) (2012?福建)已知向量 =(x﹣1,2) , =(2,1) ,则 ⊥ 的充要条件是( A. x=﹣ B.x=﹣1 C.x=5



D.x=0

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 直接利用向量垂直的充要条件,通过坐标运算求出 x 的值即可. 解答: 解:因为向量 =(x﹣1,2) , =(2,1) , ⊥ , 所以 2(x﹣1)+2=0,解得 x=0. 故选 D. 点评: 本题考查向量垂直条件的应用,充要条件的应用,考查计算能力.

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6. (5 分) (2012?北京)函数 f(x)= A .0 B.1

的零点个数为( C .2

) D.3

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题. 分析: 先判断函数的单调性,由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数,故函数 f(x)为单调增函数,而 f(0)
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<0,f( )>0 由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点 解答: 解:函数 f(x)的定义域为[0,+∞) ∵y= 在定义域上为增函数,y=﹣ 在定义域上为增函数

∴函数 f(x)=

在定义域上为增函数

而 f(0)=﹣1<0,f(1)= >0

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www.jyeoo.com 故函数 f(x)= 的零点个数为 1 个

故选 B 点评: 本题主要考查了函数零点的判断方法,零点存在性定理的意义和运用,函数单调性的判断和意义,属基础 题 7. (5 分) (2013?淄博一模)某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的 x 值为 31,则 a 等于( )

A .0

B.1

C .2

D.3

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算 x 值 并输出,模拟程序的运行过程,即可得到答案. 解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: n x 是否继续循环 第一圈 2 2a+1 是 第二圈 3 4a+2+1 是 第三圈 4 8a+4+2+1 否 则输出的结果为 8a+4+2+1=31,所以 a=3. 故选 D. 点评: 本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办 法.
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8. (5 分) (2009?福建)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则该几何体的俯 视图可以是( )

A.

B.

C.

D.

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www.jyeoo.com 考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 压轴题;图表型. 分析: 解法 1:结合选项,正方体的体积否定 A,推出正确选项 C 即可. 解法 2:对四个选项 A 求出体积判断正误;B 求出体积判断正误;C 求出几何体的体积判断正误;同理判断 D 的正误即可. 解答: 解:解法 1:由题意可知当俯视图是 A 时,即每个视图是变边长为 1 的正方形,那么此几何体是立方体,
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显然体积是 1,注意到题目体积是 ,知其是立方体的一半,可知选 C. 解法 2:当俯视图是 A 时,正方体的体积是 1; 当俯视图是 B 时,该几何体是圆柱,底面积是 当俯视是 C 时,该几何是直三棱柱, 故体积是 , ,高为 1,则体积是 ;

当俯视图是 D 时,该几何是圆柱切割而成, 其体积是 .

故选 C. 点评: 本题是基础题,考查几何体的三视图的识别能力,作图能力,依据数据计算能力;注意三视图的投影规则 是主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等.

9. (5 分) (2013?甘肃三模)函数 A. B.

的图象是( C.

) D.

考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 求出函数的定义域,通过函数的定义域,判断函数的单调性,推出选项即可. 解答: 解:因为 ,解得 x>1 或﹣1<x<0,
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所以函数 所以选项 A、C 不正确. 当 x∈(﹣1,0)时, 因为 y=lnx 是增函数,所以函数

的定义域为: (﹣1,0)∪(1,+∞) .

是增函数, 是增函数.

故选 B. 点评: 本题考查函数的图象的综合应用,对数函数的单调性的应用,考查基本知识的综合应用,考查数形结合, 计算能力.判断图象问题,一般借助:函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、以及函数的图象 的变化趋势等等.

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www.jyeoo.com 10. (5 分) (2013?潮州二模)设向量 (b1, b2) = (a1b1, a2b2) . 已知 ,定义一运算: , 点 Q 在 y=f (x) 的图象上运动, 且满足 ) D.2,4π ?

(其中 O 为坐标原点) ,则 y=f(x)的最大值及最小正周期分别是( A. B. C.2,π

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析:

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由题意可得 Q 的坐标,进而可得

,可得函数解析式为 y=f(x)=2sin2x,由三角函数的知识易

得答案. 解答: 解:由题意可得 故点 Q 的坐标为( =( ,2sinx1) ,

,2sinx1) ,

由点 Q 在 y=f(x)的图象上运动可得



消掉 x1 可得 y=2sin2x,即 y=f(x)=2sin2x 故可知最大值及最小正周期分别是 2,π, 故选 C 点评: 本题考查平面向量的数量积的运算,由新定义得出函数的解析式是解决问题的关键,属中档题. 二、填空题(本大题共 5 小题,第 14、15 小题任选一道作答,多选的按第 14 小题给分,共 20 分) (一)必做题: 第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11. (4 分) (2010?湖南)在区间[﹣1,2]上随即取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为 .

考点: 几何概型. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出数轴上表示区间[0,1]的线段的长度及表示区间[﹣1, 2]的线段长度,并代入几何概型估算公式进行求解. 解答: 解:在数轴上表示区间[0,1]的线段的长度为 1; 示区间[﹣1,2]的线段长度为 3
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故在区间[﹣1,2]上随即取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率 P= 故答案为: 点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大 小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A) , 再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据 P= 求解.

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12. (4 分) (2013?茂名一模)已知函数

,则 f[f(2013)]= 0 .

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由题意先求出 f(2013)=3,然后再根据 x<2010 时的函数解析式求解即可 解答: 解:∵函数 ,
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∴f(2013)=2013﹣2010=3 则 f[f(2013)]=f(3)=tanπ=0 故答案为:0 点评: 本题主要考查了分段函数的函数值的求解,解题的关键是明确对应关系

13. (4 分) (2013?茂名一模)目标函数 z=3x+y 在约束条件

下取得的最大值是 9 .

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ ABC 及其内部,再将目标函数 z=3x+y 对应的直线进行平 移,可得当 x=3,y=0 时,z 取得最大值. 解答:
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解:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的△ ABC 及其内部,其中 A( ,0) ,B(3,0) ,C( , ) 设 z=F(x,y)=3x+y,将直线 l:z=3x+y 进行平移, 当 l 经过点 B 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F(3,0)=9 故答案为:9

点评: 本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=3x+y 的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域 和简单的线性规划等知识,属于基础题.

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www.jyeoo.com 14. (4 分) (2013?茂名一模) 已知曲线 C 的参数方程为 的距离的最大值为 3 . 考点: 参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 由参数方程可得 cosθ=x﹣2,sinθ=y,利用同角三角函数的基本关系消去 θ,化为普通方程,表示圆,求出 圆心到直线的距离,把此距离加上半径即得曲线上 C 的点到直线 3x﹣4y+4=0 的距离的最大值. 解答: 解:∵曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数) ,∴cosθ=x﹣2,sinθ=y,
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(θ 为参数) , 则曲线上 C 的点到直线 3x﹣4y+4=0

平方相加可得 (x﹣2) +y =1,表示以(2,0)为圆心,以 1 为半径的圆. 圆心到直线的距离等于 =2,

2

2

故曲线上 C 的点到直线 3x﹣4y+4=0 的距离的最大值为 2+r=2+1=3. 故答案为 3. 点评: 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,点到直线的距离公式的应用,直线和圆的位置关系,属于 基础题. 15. (4 分) (2013?茂名一模)如图,⊙O 的直径 AB=6cm,P 是 AB 延长线上的一点,过 p 点作⊙O 的切线,切点 为 C,连接 AC,若∠CPA=30°,PC= cm.

考点: 圆的切线的性质定理的证明. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 在圆中线段利用由切线定理求得∠OCP=Rt∠,进而利用直角三角形 PCO 中的线段,结合解直角三角形求 得 PC 即可. 解答: 解:连接 OC, PC 是⊙O 的切线, ∴∠OCP=90°
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∵∠CPA=30°,OC= ∴tan30°= 即 PC= 故填: , . .

=3,

点评: 此题考查的是直角三角形的性质、与圆有关的比例线段以及切线定理,属于基础题.

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www.jyeoo.com 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (12 分) (2013?茂名一模)如图所示,角 A 为钝角,且 (1)已知 AP=5,AQ=2,求 PQ 的长; (2)设∠APQ=α,∠AQP=β,且 ,求 sin(2α+β)的值. ,点 P,Q 分别在角 A 的两边上.

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用余弦定理列出关系式,将 cosA,AP 与 AQ 的值代入计算即可求出 PQ 的长; (2)由 cosα 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinα 的值,利用三角形的内角和定理及诱导公式 变形求出 sin(α+β)与 cos(α+β)的值,将所求式子变形后利用两角和与差的正弦函数公式化简,把各自 的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (1)∵A 是钝角,cosA=﹣ ,AP=5,AQ=2,
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在△ APQ 中,由余弦定理得 PQ =AP +AQ ﹣2AP?AQcosA, ∴PQ =5 +2 ﹣2×5×2×(﹣ )=45, ∴PQ=3 ; ,
2 2 2

2

2

2

(2)∵α 为三角形的角,cosα= ∴sinα= = ,

又 sin(α+β)=sin(π﹣A)=sinA= ,cos(α+β)=cos(π﹣A)=﹣cosA= , ∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)= × + × = .

点评: 此题考查了余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,诱导公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌 握定理及公式是解本题的关键. 17. (12 分) (2013?许昌三模)某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩,按成绩共 分成 五组:第 1 组[75,80) ,第 2 组[80,85) ,第 3 组[85,90) ,第 4 组[90,95) ,第 5 组[95,100],得到的频率分布 直方图如图所示,同时规定成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生为“优秀”,成绩小于 90 分的学生为“良好”,且只有 成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格. (1)求“优秀”和“良好”学生的人数; (2)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出 10 人,求“优秀”和“良好”的学生分别选出几人? (3)若甲是在(2)选出的“优秀”学生中的一个,则从选出的“优秀”学生中再选 2 人参加某专项测试,求甲被选中 的概 率是多少?

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考点: 古典概型及其概率计算公式;分层抽样方法;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)利用要求的学生人数= 即可得出;
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(2)利用所抽取的优秀人数=

,良好人数=

即可得出;

(3)利用列举法和古典概型的概率计算公式即可得出. 解答: 解: (1)依题意良好学生的人数为 40×(0.01+0.07+0.06)×5=28 人, 优秀学生的人数为 40×(0.04+0.02)×5=12 人. (2)优秀与良好的人数比为 3:7,所以采用分层抽样的方法抽取的 10 人中有优秀 3 人,良好 7 人. (3)将(2)选出的优秀的三名学生记为甲,乙,丙,则从这 3 人中任选 2 人的所有基本事件包括:甲乙, 甲丙,乙丙共 3 个基本事件, 其中含甲的基本事件为甲乙,甲丙 2 个, 所以甲被选中的概率是 . 点评: 熟练掌握要求的学生人数= 典概型的概率计算公式是解题的关键. 18. (14 分) (2013?许昌三模)如图,多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AB=CD=1, ,G 为 AD 的中点. (1)求证;AC⊥CE; (2)在线段 CE 上找一点 F,使得 BF∥平面 ACD,并给予证明; (3)求三棱锥 VG﹣BCE 的体积. 、所抽取的优秀人数= 、列举法和古

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)利用线面垂直的性质定理即可得出 DE⊥AC;根据勾股定理的逆定理可得 AC⊥CD,利用线面垂直的 判定定理可得 AC⊥平面 CDE, (2)利用线面垂直的性质定理可得 AB∥ED,设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点,利用三角形
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的中位线定理可得

,又

,于是可得四边形 ABFH 为平行四边形,可得 BF∥AH,再利

用线面平行的判定定理即可证明; (3)作 CP⊥AD 垂足为 P,利用面面垂直的性质定理可得 CP⊥平面 ABED,再利用
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www.jyeoo.com ,即可得出体积. 解答: (1)证明:∵DE⊥平面 ACD,∴DE⊥AC, ,∴AD =AC +CD ,∴AC⊥CD. ∴CD∩DE=D,∴AC⊥平面 CDE. ∴AC⊥CE. (2)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴AB∥ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点, 连接 FH,则 ,∴ ,
2 2 2

∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴BF∥AH, 由 BF?平面 ACD 内,AH?平面 ACD,∴BF∥平面 ACD; (3)由 ED⊥平面 ACD,∴平面 ABED⊥平面 ACD, 在平面 ACD 内作 CP⊥AD 垂足为 P, ∵平面 ABED∩平面 ACD=AD,∴CP⊥平面 ABED,CP 为三棱锥 VC﹣BGE 的高. 由 ∵ ∴ ∵ ∴三棱锥 VG﹣BCE 的体积 . . = , , , , .

点评: 熟练掌握线面垂直的判定和性质定理、勾股定理的逆定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性 质定理、线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式和“等积变形”是解题的关键. 19. (14 分) (2013?茂名一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,而数列{bn}的首项为 1, bn+1﹣bn﹣2=0. (1)求 a1 和 a2 的值; (2)求数列{an},{bn}的通项 an 和 bn; (3)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 an 是 Sn 与 2 的等差中项得递推式,在递推式中分别取 n=1 和 n=2 即可求得 a1 和 a2 的值; (2)由(1)中的递推式和求得数列{an}是等比数列,由 bn+1﹣bn﹣2=0 推得数列{bn}是等差数列,则数列 {an},{bn}的通项公式可求; (3)把 an 和 bn 代入 cn=an?bn 后直接利用错位相减法求和. 解答: 解: (1)∵an 是 Sn 与 2 的等差中项,
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www.jyeoo.com ∴Sn=2an﹣2,∴a1=S1=2a1﹣2,解得 a1=2,a1+a2=S2=2a2﹣2,解得 a2=4; (2)∵Sn=2an﹣2①,∴Sn﹣1=2an﹣1﹣2(n≥2)②, ①﹣②得:an=2an﹣2an﹣1,即 ,

∵a1≠0,∴ ∵a1=2,∴

,即数列{an}是等比数列. .

由已知得 bn+1﹣bn=2,即数列{bn}是等差数列, 又 b1=1,∴bn=b1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1; n (3)由 cn=an?bn=(2n﹣1)2 , ∴ ∴ ③﹣④得: ④, . ③,

即: ∴ .

=

点评: 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式,考查了错位相减法求数列的前 n 项和,求一个等差数列和一 个等比数列的积数列的前 n 项和,常采用错位相减法.此题是中档题.

20. (14 分) (2013?茂名一模)已知椭圆

过点

且它的离心率为



(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)已知动直线 l 过点 Q(4,0) ,交轨迹 C2 于 R、S 两点.是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 RQ 为直径的圆 O1 所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出 m 的方程;如果不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;探究型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据椭圆所过点 A 可求得 b 值,再由离心率及 a2=b2+c2 即可求得 a 值, (2)由题意可知|MP|=|MF2|,即动点 M 到定直线 l1:x=﹣1 的距离等于它到定点 F2(1,0)的距离,从而 可判断动点 M 的轨迹为抛物线,进而可求得其方程; (3)设 R(x1,y1) ,假设存在直线 m:x=t 满足题意,可表示出圆 O1 的方程,过 O1 作直线 x=t 的垂线, 2 垂足为 E,设直线 m 与圆 O1 的一个交点为 G.利用勾股定理可用 t,x1 表示出|EG| ,根据表达式可求得 t 值满足条件. 解答: 2 解: (1)因为椭圆 (a>b>0)过点 ,所以 ,b =2,
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www.jyeoo.com 又因为椭圆 C1 的离心率 ,所以 ,解得 a =3.
2

所以椭圆 C1 的方程是



(2)因为线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M, 所以|MP|=|MF2|,即动点 M 到定直线 l1:x=﹣1 的距离等于它到定点 F2(1,0)的距离, 所以动点 M 的轨迹 C2 是以 l1 为准线,F2 为焦点的抛物线, 2 所以点 M 的轨迹 C2 的方程为 y =4x; (3)设 R(x1,y1) ,假设存在直线 m:x=t 满足题意,则圆心 过 O1 作直线 x=t 的垂线,垂足为 E,设直线 m 与圆 O1 的一个交点为 G. 可得: , ,



= =
2



当 t=3 时,|EG| =3,此时直线 m 被以 RQ 为直径的圆 O1 所截得的弦长恒为定值 . 因此存在直线 m:x=3 满足题意. 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解,考查学生对问题的探究能力解决问题的能力, ( 2) 问的解决基础是掌握抛物线的定义, (3)问探究问题的处理方法往往是先假设存在,然后由条件进行推导, 如满足条件即存在,否则不然.

21. (14 分) (2013?茂名一模)已知函数

,函数 f(x)是函数 g(x)的导函数.

(1)若 a=1,求 g(x)的单调减区间; (2)当 a∈(0,+∞)时,若存在一个与 a 有关的负数 M,使得对任意 x∈[M,0]时,﹣4≤f(x)≤4 恒成立,求 M 的最小值及相应的 a 值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)若 a=1 时, ,求导数,利用导数小于 0,可得函数的单调减区间.
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(2)本小题可以从 a 的范围入手,考虑 0<a<2 与 a≥2 两种情况,结合二次的象与性质,综合运用分类讨 论思想与数形结合思想求解. 解答: 解: (1)当 a=1 时, 由 g'(x)<0 解得 ∴当 a=1 时函数 g(x)的单调减区间为 (2)易知 …(4 分) ;…(5 分) , …(2 分)

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www.jyeoo.com 显然 f(0)=﹣2,由(2)知抛物线的对称轴 ①当 即 0<a<2 时, …(8 分) 此时 M 取较大的根,即 …(9 分) …(7 分) 且 f(M)=﹣4 令 ax +4x﹣2=﹣4 解得
2

∵0<a<2,∴

…(10 分)

②当
2

即 a≥2 时,

且 f(M)=4 …(11 分) …(12 分)

令 ax +4x﹣2=4 解得

此时 M 取较小的根,即

∵a≥2,∴

当且仅当 a=2 时取等号…(13 分)

由于﹣3<﹣1,所以当 a=2 时,M 取得最小值﹣3 …(14 分) 点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识,考 查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz;sllwyn;wyz123;sxs123;俞文刚;吕静;minqi5;翔宇老师;席泽林; qiss;lincy;孙佑中;yhx01248;清风慕竹(排名不分先后)
菁优网 2013 年 12 月 18 日

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