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2012年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学


2012 年福建省普通高中毕业班质量检查


注意事项:







本试卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).本试卷共 5 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题 区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答 案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差 s=
1 ? ( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? … ? ( x n ? x ) 2 ? ? n?

锥体体积公式
1 3

V=

Sh

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4 ?R , V ?
2

4 3

?R

3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题
目要求的.

共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

1.在复平面上,复数 z ? ?1 ? i ? i 的共轭复数的对应点所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限
3 5

C.第三象限 ,则 sin ? 等于 D. ?
3 5

D.第四象限

2.若 ? 是第四象限角,且 cos ? ?
4 5 ? 4 5
2

A.

B.
0.3

C.

3 5

3.若 a ? 2 , b ? 0.3 , c ? log 0.3 2 ,则 a , b.c 的大小顺序是 A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. c ? b ? a D. b ? c ? a

4.在空间中,下列命题正确的是

A. 平行于同一平面的两条直线平行 C. 平行于同一直线的两个平面平行

B. 垂直于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两个平面平行

x 5.甲、乙两位运动员在 5 场比赛的得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为 x甲,乙 ,则

下列判断正确的是 A. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳定 B. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定 C. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳定 D. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定
? log 2 x , x ? 0, 6.已知函数 f ( x ) ? ? x 则 f ( f ( 1 )) 的值是 4 3 ? 1 , x ? 0, ?

A.10

B. 10 9
2

C.-2

D. -5

7.已知 A ? ?x x ? 3 x ? 2 ? 0? , B ? ?x 1 ? x ? a ? ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 A. ?1, 2 ? B. ?1, 2 ?
1 2 ?

C. ? 2, ?? ?
1 4 ? 1 6 ? ??? ? 1

D. ? 2, ?? ? 的值的程序框图,其中判断框内应

8.如图给出的是计算 填入的是 A. i ? 2012 C. i ? 1006

2012

B. i ? 2012 D. i ? 1006 .

9. 函数 f ( x ) ? sin( ? x ?

?
3

) ( ? ? 0 )的图象的相邻两条对称轴间的距离是 ? . 若 2

将函数 f ( x ) 图象向右平移 A. f ( x ) ? sin( 4 x ? C. f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6
) )

个单位,得到函数 g ( x ) 的解析式为 B. f ( x ) ? sin( 4 x ? D. f ( x ) ? sin 2 x
2 2

?
6

?
3

)

?
6

10.已知 A ( ? 2 ,0 ), B ( 0 , 2 ) , 点 M 是圆 x ? y ? 2 x ? 0 上的动点,则点 M 到直线 AB 的最大距离是 A.

3 2 ?1 2

B.

3 2 2

C.

3 2 ?1 2

D. 2 2

11. 一只蚂蚁从正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点 A 处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点
C 1 位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是

A. ①②

B.①③

C. ②④

D.③④

12. 设函数 f ( x ) 及其导函数 f ?( x ) 都是定义在 R 上的函数,则“ ? x1 , x2 ? R , 且 x1 ? x2,
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? x 2 ”是“ ? x ? R , f ?( x ) ? 1 ”的

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.已知向量 a ? (3,1) , b ? ( x , ? 3) ,若 a ? b ,则 x ? _____________.
x
2

14.若双曲线方程为

9

?

y

2

16

? 1 ,则其离心率等于_______________.

? x ? ? 1, ? 15.若变量 x , y 满足约束条件 ? y ? x , 则 z ? 3 x ? y 的最大值为___________. ? x ? y ? 1, ?

16.对于非空实数集 A ,记 A* ? { y ? x ? A, y ? x} .设非空实数集合 M , P ,满足 M ? P . 给出以下 结论: ① P* ? M * ; ② M *?P ? ? ; ③ M ? P* ? ? . 其中正确的结论是 . (写出所有正确结论的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 等差数列 { a n } 的公差为 ? 2 ,且 a1 , a 3 , a 4 成等比数列. (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ?

1 n (12 ? a n )

( n ? N *) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

18. (本小题满分 12 分) 在直角梯形 ABCD 中, AD??BC, AB ? 1, AD ? 折,使得平面 A?BD ? 平 面 BCD ,如图(2) . (Ⅰ)求证: CD ? A ?B ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? ? BDC 的体积; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在点 N,使得 A ? N ? BD ?若存在,请求出 理由.
BN BC
3 , AB ? BC , CD ? BD ,如图 (1) 把 ? ABD 沿 BD 翻 .

的值;若不存在,请说明

19. (本小题满分 12 分) 阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------②

由①+② 得 sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? 2 sin ? cos ? ------③ 令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? 代入③得 sin A ? sin B ? 2 sin
A? B ,? ? A?B

2 A? B 2

2 A?B cos . 2

(Ⅰ)类比上述推证方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:
cos A ? cos B ? ? 2 sin A? B 2 sin A?B 2

;
2

(Ⅱ)若 ? ABC 的三个内角 A , B , C 满足 cos 2 A ? cos 2 B ? 2 sin C ,试判断 ? ABC 的形状. (提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论) 20. (本小题满分 12 分)

2012 年 3 月 2 日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区的 PM2.5 年平均浓度不得超过 35 微克/立方米,PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米. 某城市 环保部门随机抽取了一居民区去年 20 天 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据,数据统计如下: PM2.5 浓度 组别 (微克/立方米) 第一组 第二组 第三组 第四组 (0,25] (25,50] (50,75] (75,100) 5 10 3 2 0.25 0.5 0.15 0.1 频数(天) 频率

(Ⅰ)从样本中 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 50 微克/立方米的 5 天中,随机抽取 2 天,求恰好有一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 75 微克/立方米的概率;

(Ⅱ)求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑,判断该居 民区的环境是否需要改进?说明理由.
21. (本小题满分 12 分) 平面内动点 P 到点 F (1, 0) 的距离等于它到直线 x ? ? 1 的距离,记点 P 的轨迹为曲线 ? . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程;
??? ??? ??? ? ? ? (Ⅱ)若点 A , B , C 是 ? 上的不同三点,且满足 FA ? FB ? FC ? 0 .证明: ? ABC 不可能为直角

三角形. 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x 的图象在点 P (1, f (1)) 处的切线斜率为 10 .
2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)判断方程 f ( x ) ? 2 x 根的个数,证明你的结论; (Ⅲ)探究:是否存在这样的点 A ( t , f ( t )) ,使得曲线 y ? f ( x ) 在该点附近的左、右的两部分分别位于 曲线在该点处切线的两侧?若存在,求出点 A 的坐标;若不存在,说明理由.

2011 年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准 说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法 与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果