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2012年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学


2012 年福建省普通高中毕业班质量检查


注意事项:







本试卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).本试卷共 5 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题 区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答 案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差 s=
1 ? ( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? … ? ( x n ? x ) 2 ? ? n?

锥体体积公式
1 3

V=

Sh

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4 ?R , V ?
2

4 3

?R

3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题
目要求的.

共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

1.在复平面上,复数 z ? ?1 ? i ? i 的共轭复数的对应点所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限
3 5

C.第三象限 ,则 sin ? 等于 D. ?
3 5

D.第四象限

2.若 ? 是第四象限角,且 cos ? ?
4 5 ? 4 5
2

A.

B.
0.3

C.

3 5

3.若 a ? 2 , b ? 0.3 , c ? log 0.3 2 ,则 a , b.c 的大小顺序是 A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. c ? b ? a D. b ? c ? a

4.在空间中,下列命题正确的是

A. 平行于同一平面的两条直线平行 C. 平行于同一直线的两个平面平行

B. 垂直于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两个平面平行

x 5.甲、乙两位运动员在 5 场比赛的得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为 x甲,乙 ,则

下列判断正确的是 A. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳定 B. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定 C. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳定 D. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定
? log 2 x , x ? 0, 6.已知函数 f ( x ) ? ? x 则 f ( f ( 1 )) 的值是 4 3 ? 1 , x ? 0, ?

A.10

B. 10 9
2

C.-2

D. -5

7.已知 A ? ?x x ? 3 x ? 2 ? 0? , B ? ?x 1 ? x ? a ? ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 A. ?1, 2 ? B. ?1, 2 ?
1 2 ?

C. ? 2, ?? ?
1 4 ? 1 6 ? ??? ? 1

D. ? 2, ?? ? 的值的程序框图,其中判断框内应

8.如图给出的是计算 填入的是 A. i ? 2012 C. i ? 1006

2012

B. i ? 2012 D. i ? 1006 .

9. 函数 f ( x ) ? sin( ? x ?

?
3

) ( ? ? 0 )的图象的相邻两条对称轴间的距离是 ? . 若 2

将函数 f ( x ) 图象向右平移 A. f ( x ) ? sin( 4 x ? C. f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6
) )

个单位,得到函数 g ( x ) 的解析式为 B. f ( x ) ? sin( 4 x ? D. f ( x ) ? sin 2 x
2 2

?
6

?
3

)

?
6

10.已知 A ( ? 2 ,0 ), B ( 0 , 2 ) , 点 M 是圆 x ? y ? 2 x ? 0 上的动点,则点 M 到直线 AB 的最大距离是 A.

3 2 ?1 2

B.

3 2 2

C.

3 2 ?1 2

D. 2 2

11. 一只蚂蚁从正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点 A 处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点
C 1 位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是

A. ①②

B.①③

C. ②④

D.③④

12. 设函数 f ( x ) 及其导函数 f ?( x ) 都是定义在 R 上的函数,则“ ? x1 , x2 ? R , 且 x1 ? x2,
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? x 2 ”是“ ? x ? R , f ?( x ) ? 1 ”的

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.已知向量 a ? (3,1) , b ? ( x , ? 3) ,若 a ? b ,则 x ? _____________.
x
2

14.若双曲线方程为

9

?

y

2

16

? 1 ,则其离心率等于_______________.

? x ? ? 1, ? 15.若变量 x , y 满足约束条件 ? y ? x , 则 z ? 3 x ? y 的最大值为___________. ? x ? y ? 1, ?

16.对于非空实数集 A ,记 A* ? { y ? x ? A, y ? x} .设非空实数集合 M , P ,满足 M ? P . 给出以下 结论: ① P* ? M * ; ② M *?P ? ? ; ③ M ? P* ? ? . 其中正确的结论是 . (写出所有正确结论的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 等差数列 { a n } 的公差为 ? 2 ,且 a1 , a 3 , a 4 成等比数列. (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ?

1 n (12 ? a n )

( n ? N *) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

18. (本小题满分 12 分) 在直角梯形 ABCD 中, AD??BC, AB ? 1, AD ? 折,使得平面 A?BD ? 平 面 BCD ,如图(2) . (Ⅰ)求证: CD ? A ?B ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? ? BDC 的体积; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在点 N,使得 A ? N ? BD ?若存在,请求出 理由.
BN BC
3 , AB ? BC , CD ? BD ,如图 (1) 把 ? ABD 沿 BD 翻 .

的值;若不存在,请说明

19. (本小题满分 12 分) 阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------②

由①+② 得 sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? 2 sin ? cos ? ------③ 令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? 代入③得 sin A ? sin B ? 2 sin
A? B ,? ? A?B

2 A? B 2

2 A?B cos . 2

(Ⅰ)类比上述推证方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:
cos A ? cos B ? ? 2 sin A? B 2 sin A?B 2

;
2

(Ⅱ)若 ? ABC 的三个内角 A , B , C 满足 cos 2 A ? cos 2 B ? 2 sin C ,试判断 ? ABC 的形状. (提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论) 20. (本小题满分 12 分)

2012 年 3 月 2 日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区的 PM2.5 年平均浓度不得超过 35 微克/立方米,PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米. 某城市 环保部门随机抽取了一居民区去年 20 天 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据,数据统计如下: PM2.5 浓度 组别 (微克/立方米) 第一组 第二组 第三组 第四组 (0,25] (25,50] (50,75] (75,100) 5 10 3 2 0.25 0.5 0.15 0.1 频数(天) 频率

(Ⅰ)从样本中 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 50 微克/立方米的 5 天中,随机抽取 2 天,求恰好有一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 75 微克/立方米的概率;

(Ⅱ)求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑,判断该居 民区的环境是否需要改进?说明理由.
21. (本小题满分 12 分) 平面内动点 P 到点 F (1, 0) 的距离等于它到直线 x ? ? 1 的距离,记点 P 的轨迹为曲线 ? . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程;
??? ??? ??? ? ? ? (Ⅱ)若点 A , B , C 是 ? 上的不同三点,且满足 FA ? FB ? FC ? 0 .证明: ? ABC 不可能为直角

三角形. 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x 的图象在点 P (1, f (1)) 处的切线斜率为 10 .
2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)判断方程 f ( x ) ? 2 x 根的个数,证明你的结论; (Ⅲ)探究:是否存在这样的点 A ( t , f ( t )) ,使得曲线 y ? f ( x ) 在该点附近的左、右的两部分分别位于 曲线在该点处切线的两侧?若存在,求出点 A 的坐标;若不存在,说明理由.

2011 年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准 说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法 与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的 解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1. B 7. D 2.B 8.A 3.C 9.D 4.B 10.C 5.D 11.C 6.B 12.B

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 13.1 ;14. 5 ; 3 15.2; 16.①.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分 i 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想.满分 12 分. (Ⅰ)解:由已知得 a 3 ? a1 ? 4, a 4 ? a1 ? 6 ,???????????2 分 又 a1 , a 3 , a 4 成等比数列,所以 ( a1 ? 4) ? a1 ( a1 ? 6) ,?????????4 分
2

解得 a1 ? 8 , 所以 a n ? 10 ? 2 n . (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn ?
2 n (12 ? a n ) ? 1 n ( n ? 1) ? 1 n

???????????5 分 ???????????6 分
? 1 n ?1

,???????????8 分

所以 S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn
? (1 ? 1 2 )?( 1 1 1 1 1 n ? ) ? ??? ? ( ? ) ? 1? ? . 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

?????12 分

18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识,考查空间想象能力、 推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想.满分 12 分.

解: (Ⅰ)∵平面 A?BD ? 平 面 BCD , 平 面 A?BD ? 平 面 BCD ? BD , CD ? BD ∴ CD ? 平 面 A?BD , 又∵ AB ? 平 面 A ?BD ,∴ CD ? A ?B .
BD (Ⅱ)如图(1)在 Rt ? ABD中 , ?
? AD ? BC, ? ADB ? DBC ? 30 ? . ?
2

???????????2 分 ???????????4 分
AB ? AD ? 2 .
2

DC ? BD tan 30 ? ? 在 Rt ? BDC 中 , 2 3 ∴ S ? BDC ? 1 BD ? DC ? . 2 3

2 3 . 3

???????????6 分

如图(2) ,在 Rt ? A? BD中 ,过点 A ? 做 A?E ? BD 于 E ,∴ A?E ? 平 面 BCD .
? ? 3 ? A ? E ? A B ?A D ? , BD 2

???????????7 分 ???????????8 分

1 1 2 3? 3 ? 1 ∴ V A ?? BDC ? ?S ? BDC ? A ? E ? ? . 3 3 3 2 3

(Ⅲ)在线段 BC 上存在点 N,使得 A ? N ? BD ,理由如下: 如图(2)在 Rt ?A ?EB 中, BE ? ∴ BE ? 1 , BD 4
2 2 A ?B ? A ?E ? 1 , 2

???????????????9 分

过点 E 做 EN // DC 交 BC 于点 N,则 BN ? BE ? 1 , BC BD 4 ∵ CD ? BD ,? EN ? BD , ???????????10 分

又 A?E ? BD , A?E ? EN ? E ,? BD ? 平 面 A ?EN , 又 A ?N ? 平 面 A ?EN ,∴ A?N ? BD . ∴在线段 BC 上存在点 N,使得 A ? N ? BD ,此时 BN ? 1 .???????12 分 BC 4

19.本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识,考查推理 论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 12 分.

解法一:(Ⅰ)因为 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,

① ②?????????2 分 ③?????3 分

①-② 得 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? 2 sin ? sin ? .

令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? 代入③得 cos A ? cos B ? ? 2 sin

A? B 2 A? B 2

,? ? sin

A?B

, ???????6 分

2 A?B 2

.

(Ⅱ)由二倍角公式, cos 2 A ? cos 2 B ? 2 sin C 可化为
2

1 ? 2 sin A ? 1 ? 2 sin B ? 2 sin C ,???????????8 分
2 2 2

即 sin A ? sin C ? sin B .?????????????????9 分
2 2 2

设 ? ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c , 由正弦定理可得 a ? c ? b .????????????????11 分
2 2 2

根据勾股定理的逆定理知 ? ABC 为直角三角形.??????????12 分 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, cos 2 A ? cos 2 B ? 2 sin C 可化为
2

? 2 sin ? A ? B ? sin ? A ? B ? ? 2 sin C ,?????????8 分
2

因为 A,B,C 为 ? ABC 的内角,所以 A ? B ? C ? ? , 所以 ? sin ? A ? B ? sin ? A ? B ? ? sin
2

? A ? B? .

又因为 0 ? A ? B ? ? ,所以 sin ? A ? B ? ? 0 , 所以 sin ? A ? B ? ? sin ? A ? B ? ? 0 . 从而 2 sin A cos B ? 0 .?????????????????10 分 又因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 0 ,即 ? B ?

?
2

.

所以 ? ABC 为直角三角形. ?????????????????12 分 20.本小题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应 用意识,考查必然与或然思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ) 设 PM2.5 的 24 小时平均浓度在(50,75]内的三天记为 A1 , A2 , A3 , PM2.5 的 24 小时平均浓度在 (75,100)内的两天记为 B1 , B 2 . 所以 5 天任取 2 天的情况有: A1 A2 , A1 A3 , A1 B1 , A1 B 2 , A2 A3 , A2 B1 , A2 B 2 , A3 B1 , A3 B 2 共 10 种. ????????4 分

其中符合条件的有:

A1 B1 , A1 B 2 , A2 B1 , A2 B 2 , A3 B1 , A3 B 2 共 6 种.

????6 分

所以所求的概率 P ?

6 10

?

3 5



????????8 分

(Ⅱ) 去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为:12.5 ? 0.25 ? 37.5 ? 0.5 ? 62.5 ?0.15 ?87.5 ?0.1 ? 40 (微 克/立方米). ?????????????????10 分 因为 40 ? 35 ,所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环 境需要改进. ????????????12 分

21. 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算 求解能力,考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)由条件可知,点 P 到点 F (1, 0) 的距离与到直线 x ? ? 1 的距离相等, 所以点 P 的轨迹是以
F (1, 0) 为焦点, x ? ? 1 为准线的抛物线,其方程为 y ? 4 x .???4 分
2

(Ⅱ)假设 ? ABC 是直角三角形,不失一般性,设 ? A ? 90 ,
?

??? ???? ? A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , C ( x3 , y 3 ) ,则由 AB ? AC ? 0 ,
??? ? ???? AB ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ) , AC ? ( x3 ? x1 , y 3 ? y1 ) ,

所以 ( x 2 ? x1 )( x3 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )( y 3 ? y1 ) ? 0 .??????????6 分 因为 x i ?
yi
2

4

( i ? 1, 2, 3) , y1 ? y 2 , y1 ? y 3 ,

所以 ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 3 ) ? 16 ? 0 .???????????8 分
??? ??? ??? ? ? ? ? 又因为 FA ? FB ? FC ? 0 ,所以 x1 ? x 2 ? x3 ? 3 , y1 ? y 2 ? y 3 ? 0 ,

所以 y 2 y 3 ? ? 16 .
2 2 2



又 y1 ? y 2 ? y 3 ? 4( x1 ? x 2 ? x3 ) ? 12 , 所以 ( ? y 2 ? y 3 ) ? y 2 ? y 3 ? 12 ,即 y 2 ? y 3 ? y 2 y 3 ? 6 .
2 2 2 2 2

②???10 分

由①,②得 y 2

2

? 16 ? 4 2 ??? ? ? 16 ? 6 ,所以 y 2 ? 22 y 2 ? 256 ? 0 . ③ ? y2 ?
2

2

因为 ? ? ( ? 22) ? 4 ? 256 ? ? 540 ? 0 .

所以方程③无解,从而 ? ABC 不可能是直角三角形.???????12 分

解法二: (Ⅰ)同解法一
??? ??? ??? ? ? ? ? (Ⅱ)设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , C ( x3 , y 3 ) ,由 FA ? FB ? FC ? 0 ,

得 x1 ? x 2 ? x3 ? 3 , y1 ? y 2 ? y 3 ? 0 .???????????6 分 由条件的对称性,欲证 ? ABC 不是直角三角形,只需证明 ? A ? 90 .
?

(1) 当 AB ? x 轴时, x1 ? x 2 , y1 ? ? y 2 ,从而 x3 ? 3 ? 2 x1 , y 3 ? 0 ,

即点 C 的坐标为 (3 ? 2 x1 , 0) .
2 由于点 C 在 y ? 4 x 上,所以 3 ? 2 x1 ? 0 ,即 x1 ?

3 2



3 3 ? 此时 A ( , 6 ) , B ( , ? 6 ) , C (0, 0) ,则 ? A ? 90 .????8 分 2 2
( 2 ) AB 与 x 轴不垂直时, 当

设直线 AB 的方程为: x ? ty ? m (t ? 0) ,代入 y ? 4 x ,
2

整理得: y ? 4 ty ? 4 m ? 0 ,则 y1 ? y 2 ? 4 t .
2

若 ? A ? 90 ,则直线 AC 的斜率为 ? t ,同理可得: y1 ? y 3 ? ?
?

4 t



由 y1 ? y 2 ? y 3 ? 0 ,得 y1 ? 4 t ?
2

4 t
2

, y2 ?
2

4 t

, y3 ? ? 4t .

由 x1 ? x 2 ? x3 ? 3 ,可得 y1 ? y 2 ? y 3 ? 4( x1 ? x 2 ? x3 ) ? 12 .
4 2 2 2 ) ? ( ) ? ( ? 4 t ) ? 12 , t t 1 11 2 4 2 整理得: t ? 2 ? ,即 8t ? 11t ? 8 ? 0 ,① t 8

从而 (4 t ?

4

? ? ( ? 11) ? 4 ? 8 ? 8 ? ? 135 ? 0 .
2

所以方程①无解,从而 ? A ? 90 .???????????11 分
?

综合 (1) , (2) , ? ABC 不可能是直角三角形.?????????12 分

22. 本题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,函数与方程思想、 数形结合思想、考查化归与转化思想.满分 12 分.解法一: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? x ? a ln x ,所以
2

f '( x ) ? 2 x ?

a x



函数 f ( x ) 的图象在点 P (1, f (1)) 处的切线斜率 k ? f '(1) ? 2 ? a . 由 2 ? a ? 10 得: a ? 8 .
2

???????4 分
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) ? x ? 8 ln x ,令 F ( x ) ? f ( x ) ? 2 x ? x ? 2 x ? 8 ln x . 因为 F (1) ? ? 1 ? 0 , F (2) ? 8 ln 2 ? 0 ,所以 F ( x ) ? 0 在 (0, ?? ) 至少有一个 根. 又因为 F '( x ) ? 2 x ? 2 ?
8 x ? 2 16 ? 2 ? 6 ? 0 ,所以 F ( x ) 在 (0, ?? ) 上递增,

所以函数 F ( x ) 在 (0, ?? ) 上有且只有一个零点,即方程 f ( x ) ? 2 x 有且只有一 个实根. (Ⅲ)证明如下:
2 由 f ( x ) ? x ? 8 ln x , f '( x ) ? 2 x ?

??????? 7 分

8 x

,可求得曲线 y ? f ( x ) 在点 A 处的切

8 2 线方程为 y ? ( t ? 8 ln t ) ? (2 t ? )( x ? t ) , t 8 2 即 y ? (2 t ? ) x ? t ? 8 ln t ? 8 ( x ? 0) . ??????? 8 分 t 8 2 2 记 h ( x ) ? x ? 8 ln x ? [(2 t ? ) x ? t ? 8 ln t ? 8] t 8 2 2 ? x ? 8 ln x ? (2 t ? ) x ? t ? 8 ln t ? 8 ( x ? 0) , t

8 8 则 h '( x ) ? 2 x ? ? (2 t ? ) ? x t

2( x ? t )( x ? 4 ) t . x
2

??????? 11 分

2( x ? 2) ? 0 对一切 x ? (0. ? ? ) 成立, (1)当 t ? 4 ,即 t ? 2 时, h '( x ) ? x t

所以 h ( x ) 在 (0, ?? ) 上递增. 又 h ( t ) ? 0 ,所以当 x ? (0, 2) 时 h ( x ) ? 0 ,当 x ? (2, ?? ) 时 h ( x ) ? 0 , 即存在点 A (2, 4 ? 8 ln 2) ,使得曲线在点 A 附近的左、右两部分分别位于曲线 在该点处切线的两侧. (2)当 t ?
4 t

??????? 12 分

,即 t ? 2 时,

4 4 x ? (0, ) 时, h '( x ) ? 0 ; x ? ( , t ) 时, h '( x ) ? 0 ; t t
x ? ( t , ?? ) 时, h '( x ) ? 0 .

4 故 h ( x ) 在 ( , t ) 上单调递减,在 (t , ?? ) 上单调递增. t 4 又 h ( t ) ? 0 ,所以当 x ? ( , t ) 时, h ( x ) ? 0 ;当 x ? ( t , ?? ) 时, h ( x ) ? 0 , t

即曲线在点 A ( t , f ( t )) 附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的 同侧. (3)当 t ? 4 ,即 0 ? t ? 2 时, t
4 4 x ? (0, t ) 时, h '( x ) ? 0 ; x ? ( t , ) 时, h '( x ) ? 0 ; x ? ( , ?? ) 时, h '( x ) ? 0 . t t

??????? 13 分

故 h ( x ) 在 (0, t ) 上单调递增,在 ( t , 4 ) 上单调递减. t 又 h ( t ) ? 0 ,所以当 x ? (0, t ) 时, h ( x ) ? 0 ;当 x ? ( t , 4 ) 时, h ( x ) ? 0 , t 即曲线在点 A ( t , f ( t )) 附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧. 综上,存在唯一点 A (2, 4 ? 8 ln 2) 使得曲线在点 A 附近的左、右两部分分别 位于曲线在该点处切线的两侧. 解法二: (Ⅰ) (Ⅱ)同解法一; (Ⅲ)证明如下:
2 由 f ( x ) ? x ? 8 ln x , f '( x ) ? 2 x ? 8 ,可求得曲线 y ? f ( x ) 在点 A 处的切 x

??????? 14 分

2 线方程为 y ? ( t ? 8 ln t ) ? (2 t ? 8 )( x ? t ) , t 2 即 y ? (2 t ? 8 ) x ? t ? 8 ln t ? 8 ( x ? 0) . t 2 2 记 h ( x ) ? x ? 8 ln x ? [(2 t ? 8 ) x ? t ? 8 ln t ? 8] t 2 2 ? x ? 8 ln x ? (2 t ? 8 ) x ? t ? 8 ln t ? 8 ( x ? 0) , t

?????? 8 分

8 8 则 h '( x ) ? 2 x ? ? (2 t ? ) ? x t

2( x ? t )( x ? 4 ) t . x

??????? 11 分

若存在这样的点 A ( t , f ( t )) ,使得曲线 y ? f ( x ) 在该点附近的左、右两部分都 位于曲线在该点处切线的两侧,则问题等价于 t 不是极值点,
4 由二次函数的性质知,当且仅当 t ? ,即 t ? 2 时, t

t 不是极值点,即 h ? ? x ? ? 0 . 所以 h ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上递增.

又 h ( t ) ? 0 ,所以当 x ? (0, 2) 时, h ( x ) ? 0 ;当 x ? (2, ?? ) 时, h ( x ) ? 0 , 即存在唯一点 A (2, 4 ? 8 ln 2) ,使得曲线在点 A 附近的左、右两部分分别 位于曲线在该点处切线的两侧. ??????? 14 分


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