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平面上两点间的距离和点到直线的距离公式


平面上两点间的距离和点到直线的距离公式
江苏省沛县第二中学数学组 张驰 221600 1.平面上两点间的距离公式 ⑴设 P ( x , y ) , P ( x , y ) ,则 P P 特别地, 当 P P ⊥ x 轴时, P P ? ( y ? y ) ?
1
1 1

2

2

2

1

2

?

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 )
2

2



2

1

2

1

2

2

1

( y 2 ? y1 ) ? 4 y1 y 2 ? | y 2 ? y1 | ;
2
2 2 1 1 2

当 P P ⊥ y 轴时, P P ? ( x ? x ) ? ( x ? x ) ? 4 x x ⑵设 P ( x , y ) , P ( x , y ) 在直线 y ? kx ? b 上时,
2
1 2

1

2

2

1

? | x 2 ? x1 | 。

1

1

1

2

2

2

则PP
1

2

?

(1 ? k )( x 2 ? x1 )
2

2

?
2

1? k

2

| x 2 ? x1 | ?

(1 ? k )[( x 2 ? x1 ) ? 4 x1 x 2 ]
2 2

, 。



P1 P2 ?

(1 ?

1 k
2

)( y 2 ? y 1 )

?

1?

1 k
2

| y 2 ? y1 | ?

(1 ?

1 k
2

)[( y 2 ? y 1 ) ? 4 y 1 y 2 ]
2

点评:求距离(长度)和参数的值等。 2.线段的中点坐标公式
x ? x2 ? x ? 1 ? 2 P ⑴设 P1 ( x1, y1 ) , 2 ( x 2, y 2 ) , 线段 P1 P2 的中点 M ( x, y ) , ? 则? ? y ? y1 ? y 2 ? ? 2



⑵设 ? A B C 的顶点坐标为 A
x ? x2 ? x3 ? x ? 1 ? ? 3 G ( x, y ) ,则 ? ? y ? y1 ? y 2 ? y 3 ? 3 ?

( x1, y 1 )

,B

( x 2, y 2 )

,C

( x 3, y 3 )

,重心



点评: 利用线段的中点坐标公式可研究图形的轴对称和中心对称 ( 以及三角形等问题。如:曲线 f ( x, y ) ? 0 关于点 a, b)中心对称的曲线 2 ( 0 方程是 f ( 2 a ? x,b ? y ) ? 0 ;曲线 f ( x, y ) ? 0 关于点 0,)中心对称的曲线 方 程 是 f ( ? x,? y) ? 0 ; 曲 线 f ( x, y) ? 0 关 于 y 轴 对 称 的 曲 线 方 程 是 f ( ? x, y ) ? 0 ; ? 曲线 f ( x, y ) ? 0 关于 x 轴对称的曲线方程是 f ( x, y ) ? 0 等。 3.点到直线的距离 ⑴点 P ( x , y ) 到直线 A x ? b y ? c ? 0 ( A ? B ? 0 ) 的距离是
2 2

0

0

d ?

| A x0 ? B y0 ? c | A ? B
2 2

; 到直线 y ? kx ? b 的距离是 d 到直线 x ? a 的距离是 d
? | kx0 ? y0 ? b | 1? k
2

⑵点 P

( x 0, y 0 )

。 到

点评:点 P

( x 0, y 0 )

? | x 0 ? a | ;点 P ( x 0, y 0 )

直线的 y ? b 距离是 d ? | y ? b | ;特别地,点 P ( x , y ) 到直线 x ? 0 ( y 轴) 距离是 d ? | x | ;点 P ( x , y ) 到直线 y ? 0 ( x 轴)距离是 d ? | y | 。 , 4.两条平行线之间的距离 ⑴设 A ? B ? 0 ,c ? c , 则直线 A x ? b y ? c ? 0 与直线 A x ? b y ? c ? 0 之
0

0

0

0

0

0

0

2

2

1

2

1

2

间的距离是 d ⑵直线
( b1 ? b 2 ) 。

?

| c 2 ? c1 | A ? B
2 2

; 直线
y ? k x ?
2

y ? k x ?

1

b与

b之

间的距离是

d ?

| b 2 ? b1 | 1? k
2



点评:利用点到直线的距离可研究三角形、直线和圆等有关问题



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