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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系教师用书理


第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书 理 苏教版

1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系.

d<r?相交;d=r?相切;d>r?相离.

?>0?相交; 判别式 ? =0?相切; 2→ (2)代数法:Δ = ― ― b -4ac? ? ?<0?相离.
2.圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1) +(y-b1) =r1(r1>0), 圆 O2:(x-a2) +(y-b2) =r2(r2>0).
2 2 2 2 2 2

方法 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含

几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的关系

代数法:联立两圆方程组成方程组 的解的情况

d>r1+r2 d=r1+r2
|r1-r2|<d<r1+r2

无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解

d=|r1-r2|(r1≠r2)
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

【知识拓展】 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x +y =r 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为 x0x+y0y=r . (2)过圆(x-a) +(y-b) =r 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-
2 2 2 2 2 2 2

b)=r2.
(3)过圆 x +y =r 外一点 M(x0, y0)作圆的两条切线, 则两切点所在直线方程为 x0x+y0y=r . 2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0 条;②内切:1 条;③相交:2 条;④外切:
1
2 2 2 2

3 条;⑤外离:4 条. (2)当两圆相交时,两圆方程(x ,y 项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.
2 2

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( ? ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( ? ) (3) 从 两圆的方 程中消掉二 次项后得 到的二元 一次 方程是两 圆的公共 弦所 在的直线 方 程.( ? ) (4)过圆 O:x +y =r 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程是 x0x+y0y=r .( √ ) (5)过圆 O:x +y =r 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为 A,B,则 O,P,A,B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0x+y0y=r .( √
2 2 2 2 2 2 2 2

)

1.(2017?南京月考)直线 x+ay+1=0 与圆 x +(y-1) =4 的位置关系是__________. 答案 相交 解析 直线 x+ay+1=0 必过定点(-1,0),因为(-1) +(0-1) <4,所以点(-1,0)在圆 x +(y-1) =4 的内部,所以直线 x+ay+1=0 与圆 x +(y-1) =4 相交. 2.(2016?全国甲卷改编)圆 x +y -2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1, 则 a=________. 4 答案 - 3 解析 由圆的方程 x +y -2x-8y+13=0,得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

d=

|1?a+4-1| =1, 2 1+a

4 解得 a=- . 3 3.(2016?盐城模拟)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a) +y =2 有公共点, 则实数 a 的取值范围 是__________. 答案 [-3,1] 解析 由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为 2, ∴ |a-0+1| 1 +?-1?
2 2 2 2

≤ 2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.
2 2 2 2

4.已知圆 C1:(x-2) +(y-3) =1,圆 C2:(x-3) +(y-4) =9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的 动点,P 为 x 轴上的动点,则 PM+PN 的最小值为________.

2

答案 5 2-4 解析 圆 C1 关于 x 轴对称的圆 C1′的圆心为 C1′(2,-3),半径不变,圆 C2 的圆心为(3,4), 半径 r=3,PM+PN 的最小值为圆 C1′和圆 C2 的圆心距减去两圆的半径,所以 PM+PN 的最小 值为 ?3-2? +?4+3? -1-3=5 2-4. 5.已知圆 C1:(x-a) +(y+2) =4 与圆 C2:(x+b) +(y+2) =1 外切,则 ab 的最大值为 ________. 答案 9 4
2 2 2 2 2 2

解析 由两圆外切可得圆心(a,-2),(-b,-2)间的距离等于两圆半径之和, 即(a+b) =(2+1) ,即 9=a +b +2ab≥4ab, 9 所以 ab≤ ,当且仅当 a=b 时取等号, 4 9 即 ab 的最大值是 . 4
2 2 2 2

题型一 直线与圆的位置关系的判断 例 1 (1)已知点 M(a,b)在圆 O:x +y =1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是 ________. (2)(2016?南京月考)圆 x +y -2x+4y=0 与直线 2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为 ______. 答案 (1)相交 (2)相交 解析 (1)因为 M(a,b)在圆 O:x +y =1 外,所以 a +b >1,而圆心 O 到直线 ax+by=1 的 |a?0+b?0-1| 1 距离 d= = 2 <1. 2 2 a +b a +b2 所以直线与圆相交. (2)直线 2tx-y-2-2t=0 恒过点(1,-2), ∵1 +(-2) -2?1+4?(-2)=-5<0, ∴点(1,-2)在圆 x +y -2x+4y=0 内. ∴直线 2tx-y-2-2t=0 与圆 x +y -2x+4y=0 相交. 思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用 d 与 r 的关系. (2)代数法:联立方程之后利用 Δ 判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.

x 1 2 (2016?江苏省扬州中学月考)已知方程 x + - =0 有两个不等实 tan θ sin θ
根 a 和 b,那么过点 A(a,a ),B(b,b )的直线与圆 x +y =1 的位置关系是________. 答案 相切 解析 由题意可知过 A,B 两点的直线方程为(a+b)x-y-ab=0,圆心到直线 AB 的距离 d= 1 1 ,而 a+b=- ,ab=- ,因此 d= tan θ sin θ ?a+b? +1
2 2 2 2 2

|-ab|

? 1 ? ?sin θ ? ? ? , ?- 1 ?2+1 ? tan θ ? ? ?

化简后得 d=1,故直线与圆相切. 题型二 圆与圆的位置关系 例2 (1)(2016?山东改编)已知圆 M:x +y -2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长
2 2 2 2

度是 2 2,则圆 M 与圆 N:(x-1) +(y-1) =1 的位置关系是________. (2)如果圆 C:x +y -2ax-2ay+2a -4=0 与圆 O:x +y =4 总相交,那么实数 a 的取值范 围是______________________. 答案 (1)相交 (2)(-2 2,0)∪(0,2 2) 解析 (1)∵圆 M:x +(y-a) =a (a>0), ∴圆心坐标为 M(0,a),半径 r1 为 a, |a| 圆心 M 到直线 x+y=0 的距离 d= , 2 由勾股定理得?
2 2 2 2 2 2 2 2

?|a|?2 2 2 ? +( 2) =a ,解得 a=2. ? 2?

∴M(0,2),r1=2. 又圆 N 的圆心坐标 N(1,1),半径 r2=1, ∴MN= ?1-0? +?1-2? = 2,r1+r2=3,r1-r2=1. ∴r1-r2<MN<r1+r2,∴两圆相交. (2)圆 C 的标准方程为(x-a) +(y-a) =4,圆心坐标为(a,a),半径为 2. 依题意得 0< a +a <2+2,∴0<|a|<2 2. ∴a∈(-2 2,0)∪(0,2 2). 思维升华 判断圆与圆的位置关系时,一般用几何法,其步骤为 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长. (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求 r1+r2,|r1-r2|. (3)比较 d,r1+r2,|r1-r2|的大小,写出结论. 已知两圆 x +y -2x-6y-1=0 和 x +y -10x-12y+m=0.
4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(1)m 取何值时两圆外切; (2)m 取何值时两圆内切; (3)求 m=45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 (1)两圆的标准方程分别为(x-1) +(y-3) =11, (x-5) +(y-6) =61-m, 圆心分别为 M(1,3),N(5,6),半径分别为 11和 61-m. 当两圆外切时, ?5-1? +?6-3? = 11+ 61-m, 解得 m=25+10 11. (2)当两圆内切时,因为定圆的半径 11小于两圆圆心间距离 5, 故只有 61-m- 11=5,解得 m=25-10 11. (3)两圆的公共弦所在直线方程为 (x +y -2x-6y-1)-(x +y -10x-12y+45)=0, 即 4x+3y-23=0,所以公共弦长为 2 ? 11? -?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

|4?1+3?3-23| 2 ? =2 7. 2 2 4 +3

题型三 直线与圆的综合问题 命题点 1 求弦长问题 例3 (2016?全国丙卷)已知直线 l:mx+y+3m- 3=0 与圆 x +y =12 交于 A,B 两点,
2 2

过 A,B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点,若 AB=2 3,则 CD=________. 答案 4 解析 设 AB 的中点为 M,由题意知,圆的半径 R=2 3,AB=2 3,所以 OM=3,解得 m=-

?x- 3y+6=0, 3 ,由? 2 3 ?x +y2=12
- 3(x+3),

解得 A(-3, 3),B(0,2 3),则 AC 的直线方程为 y- 3=

BD 的直线方程为 y-2 3=- 3x,令 y=0,解得 C(-2,0),D(2,0),所以 CD=4.
命题点 2 直线与圆相交求参数范围 例 4 (2015?课标全国Ⅰ)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2) +(y-3) =1 交于 M,N 两点.
2 2

5

(1)求 k 的取值范围; → → (2)若OM?ON=12,其中 O 为坐标原点,求 MN. 解 (1)由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1, 因为 l 与 C 交于两点,所以 4- 7 4 + 7 解得 <k< . 3 3 所以 k 的取值范围为? |2k-3+1| <1. 2 1+k

?4- 7 4+ 7? , ?. 3 ? ? 3
2 2

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2). 将 y=kx+1 代入方程(x-2) +(y-3) =1,整理得 (1+k )x -4(1+k)x+7=0. 4?1+k? 7 所以 x1+x2= ,x1x2= 2 2. 1+k 1+k → → OM?ON=x1x2+y1y2 =(1+k )x1x2+k(x1+x2)+1 = 4k?1+k? +8. 2 1+k
2 2 2

4k?1+k? 由题设可得 +8=12,解得 k=1, 2 1+k 所以 l 的方程为 y=x+1. 故圆心 C 在 l 上,所以 MN=2. 命题点 3 直线与圆相切的问题 例 5 已知圆 C:(x-1) +(y+2) =10,求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线 l1:x+y-4=0 平行; (2)与直线 l2:x-2y+4=0 垂直; (3)过切点 A(4,-1). 解 (1)设切线方程为 x+y+b=0, 则 |1-2+b| = 10,∴b=1±2 5, 2
2 2

∴切线方程为 x+y+1±2 5=0. (2)设切线方程为 2x+y+m=0, 则 |2-2+m| = 10,∴m=±5 2, 5

∴切线方程为 2x+y±5 2=0.
6

-2+1 1 (3)∵kAC= = , 1-4 3 ∴过切点 A(4,-1)的切线斜率为-3, ∴过切点 A(4,-1)的切线方程为 y+1=-3(x-4), 即 3x+y-11=0. 思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题. (1)(2015?课标全国Ⅱ改编)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于

M、N 两点,则 MN=________.
1 2 2 (2)若直线 xcos θ +ysin θ -1=0 与圆(x-1) +(y-sin θ ) = 相切,且 θ 为锐角, 16 则该直线的斜率是______. 答案 (1)4 6 (2)- 3 3

→ → 解析 (1)由已知,得AB=(3,-1),BC=(-3,-9), → → 则AB?BC=3?(-3)+(-1)?(-9)=0, → → 所以AB⊥BC,即 AB⊥BC, 故过三点 A、B、C 的圆以 AC 为直径, 得其方程为(x-1) +(y+2) =25, 令 x=0,得(y+2) =24, 解得 y1=-2-2 6,y2=-2+2 6, 所以 MN=|y1-y2|=4 6. (2)依题意得,圆心到直线的距离等于半径, 1 1 2 2 即|cos θ +sin θ -1|= ,|cos θ -cos θ |= , 4 4 1 1 2 2 所以 cos θ -cos θ = 或 cos θ -cos θ =- (不符合题意,舍去). 4 4 1 1 2 由 cos θ -cos θ = ,得 cos θ = , 4 2 又 θ 为锐角,所以 sin θ = 3 , 2
2 2 2

cos θ 3 故该直线的斜率是- =- . sin θ 3

7

7.高考中与圆交汇问题的求解

考点分析

与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点 .与圆有

关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值,求点到直线的距离的最值,求相 关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化; 直线与圆的 综合问题主要包括弦长问题,切线问题及组成图形面积问题,解决方法主要依据圆的几何性 质. 一、与圆有关的最值问题 典例 1 (1)(2015?湖南改编)已知点 A,B,C 在圆 x +y =1 上运动,且 AB⊥BC.若点 P 的 → → → 坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为________. (2)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面 积取最大值时,直线 l 的斜率等于________. → → → 2 2 解析 (1)∵A,B,C 在圆 x +y =1 上,且 AB⊥BC,∴AC 为圆的直径,故PA+PC=2PO=(- → → → → 2 2 4,0),设 B(x,y),则 x +y =1 且 x∈[-1,1],PB=(x-2,y),∴PA+PB+PC=(x-6,
2 2 2

y).故|PA+PB+PC|= -12x+37,
∴当 x=-1 时有最大值 49=7. (2)∵S△AOB= 1 OA?OB?sin∠AOB 2 1 1 = sin∠AOB≤ . 2 2

→ →



π 当∠AOB= 时, 2 △AOB 面积最大. 此时 O 到 AB 的距离 d= 2 . 2

设 AB 方程为 y=k(x- 2)(k<0),

8

即 kx-y- 2k=0.由 d=

| 2k|
2

2 3 = ,得 k=- . 2 3 k +1

(或 k=-tan∠OPH=- 答案 (1)7 (2)- 3 3

3 ). 3

二、直线与圆的综合问题 典例 2 (1)(2015?重庆改编)已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x +y -4x-2y+1 =0 的对称轴,过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则 AB=________. (2)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x +y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为________. 解析 (1)由于直线 x+ay-1=0 是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对称轴,∴圆心 C(2,1) 在直线 x+ay-1=0 上,∴2+a-1=0,∴a=-1,∴A(-4,-1). ∴AC =36+4=40.又 r=2,∴AB =40-4=36, ∴AB=6. (2)∵∠AOB=90°,∴点 O 在圆 C 上. 设直线 2x+y-4=0 与圆 C 相切于点 D, 则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2x+y-4=0 的距离,∴点 C 在以 O 为焦点,以直线 2x +y-4=0 为准线的抛物线上, ∴当且仅当 O,C,D 共线时,圆的直径最小为 OD. |2?0+0-4| 4 2 又 OD= = ,∴圆 C 的最小半径为 , 5 5 5 ∴圆 C 面积的最小值为 π ( 4 答案 (1)6 (2) π 5 2 4 2 )= π. 5 5
2 2 2 2 2 2

1.(2016?广州调研)若点 A(1,0)和点 B(4,0)到直线 l 的距离依次为 1 和 2, 则这样的直线有 ________条. 答案 3 解析 如图,分别以 A,B 为圆心,1,2 为半径作圆.依题意得,直线 l 是圆 A 的切线,A 到 l 的距离为 1,直线 l 也是圆 B 的切线,B 到 l 的距离为 2,所以直线 l 是两圆的公切线,共 3 条(2 条外公切线,1 条内公切线).

9

2.若圆 C1:x +y =1 与圆 C2:x +y -6x-8y+m=0 外切,则 m=________. 答案 9 解析 圆 C2 的标准方程为(x-3) +(y-4) =25-m. 又圆 C1:x +y =1,∴C1C2=5. 又∵两圆外切,∴5=1+ 25-m,解得 m=9. 3.(2016?镇江模拟)已知集合 M={(x,y)|x-3≤y≤x-1},N={P|PA≥ 2PB,A(-1,0),
2 2 2 2

2

2

2

2

B(1,0)},则表示 M∩N 的图形面积等于________.
答案 4π +2 3 3
2 2 2 2

解析 令 P(x,y),所以(x+1) +y ≥2[(x-1) +y ], 所以 x -6x+y +1≤0,所以(x-3) +y ≤8, 所以点 P 的轨迹为以(3,0)为圆心的圆及圆的内部. 表示 M∩N 的图形如图中阴影部分所示,
2 2 2 2

|3-1| 由于直线 y=x-3 过圆心(3,0),圆心(3,0)到直线 y=x-1 的距离为 = 2, 2 2π 直线 y=x-1 与圆的两个交点所对的圆心角为 ,所以阴影部分面积为 3 1 2π 1 π 4π 2 2 ?(2 2) ?sin + ?(2 2) ? =2 3+ . 2 3 2 3 3 4.(2016?泰州模拟)过点 P(3,1)作圆 C:(x-1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,则 直线 AB 的方程为____________. 答案 2x+y-3=0 1 解析 如图所示:由题意知:AB⊥PC,kPC= ,∴kAB=-2,∴直线 AB 的方程为 y-1=-2(x 2 -1),即 2x+y-3=0.
2 2

10

5.若直线 l:y=kx+1(k<0)与圆 C:x +4x+y -2y+3=0 相切,则直线 l 与圆 D:(x-2) +y =3 的位置关系是________. 答案 相交
2

2

2

2

解析 因为圆 C 的标准方程为(x+2) +(y-1) =2,所以其圆心坐标为(-2,1),半径为 2, 因为直线 l 与圆 C 相切.所以 |-2k-1+1| = 2,解得 k=±1,因为 k<0,所以 k=-1,所 k2+1

2

2

|2+0-1| 2 以直线 l 的方程为 x+y-1=0.圆心 D(2,0)到直线 l 的距离 d= = < 3, 所以直 2 2 线 l 与圆 D 相交. 6.已知 A(-2,0),B(0,2),实数 k 是常数,M,N 是圆 x +y +kx=0 上两个不同点,P 是圆
2 2

x2+y2+kx=0 上的动点,如果 M,N 关于直线 x-y-1=0 对称,那么△PAB 面积的最大值是
________. 答案 3+ 2 解析 依题意得圆 x +y +kx=0 的圆心(- ,0)位于直线 x-y-1=0 上, 2 于是有- -1=0,即 k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是 1. 2 由题意可得 AB=2 2,直线 AB 的方程是 + =1, -2 2 |1-0+2| 3 2 即 x-y+2=0,圆心(1,0)到直线 AB 的距离等于 = , 2 2 3 2 点 P 到直线 AB 的距离的最大值是 +1, 2 1 3 2+2 ∴△PAB 面积的最大值为 ?2 2? =3+ 2. 2 2 7.(2016?全国乙卷)设直线 y=x+2a 与圆 C:x +y -2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若 AB =2 3,则圆 C 的面积为________. 答案 4π 解析 圆 C:x +y -2ay-2=0,即 C:x +(y-a) =a +2,圆心为 C(0,a),C 到直线 y=
2 2 2 2 2 2 2 2 2

k

k

x

y

x+2a 的距离 d=

|0-a+2a| |a| ?2 3?2 ?|a|?2 2 2 = .又由 AB=2 3,得? ? +? ? =a +2,解得 a =2, 2 2 ? ? ? ? 2 2
2

所以圆的面积为 π (a +2)=4π .
11

8.(2016?常州模拟)已知点 A(1,1),B(1,3),圆 C:(x-a) +(y+a-2) =4 上存在点 P, 使 PB -PA =32,则圆心横坐标 a 的取值范围为________. 答案 [6,10] 解析 设 P(x,y),则 PB -PA =(x-1) +(y-3) -(x-1) -(y-1) =-4y+8=32,即 y =-6,由题意可得圆 C 与直线 y=-6 有公共点,则|(2-a)-(-6)|≤2,即|a-8|≤2,解 得 6≤a≤10,故实数 a 的取值范围是[6,10]. → → 2 2 9.(2015?山东)过点 P(1, 3)作圆 x +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,则PA?PB= ________. 答案 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

解析 由题意,圆心为 O(0,0),半径为 1.如图所示,

∵P(1, 3),∴PB⊥x 轴,PA=PB= 3. ∴△POA 为直角三角形,其中 OA=1,AP= 3, 则 OP=2,∴∠OPA=30°,∴∠APB=60°. 3 → → → → ∴PA?PB=|PA||PB|?cos∠APB= 3? 3?cos 60°= . 2 10.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y -8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存 在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________. 答案 4 3
2 2 2 2

解析 圆 C 的标准方程为(x-4) +y =1,圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到 kx-y-2=0 的距离应不大于 2, 即 |4k-2| 4 2 ≤2,整理,得 3k -4k≤0,解得 0≤k≤ . 2 3 k +1

4 故 k 的最大值是 . 3 11.已知圆 C:x +y +2x-4y+1=0,O 为坐标原点,动点 P 在圆 C 外,过 P 作圆 C 的切线, 设切点为 M. (1)若点 P 运动到(1,3)处,求此时切线 l 的方程; (2)求满足条件 PM=PO 的点 P 的轨迹方程.
2 2

12

解 把圆 C 的方程化为标准方程为(x+1) +(y-2) =4, ∴圆心为 C(-1,2),半径 r=2. (1)当 l 的斜率不存在时,此时 l 的方程为 x=1,

2

2

C 到 l 的距离 d=2=r,满足条件.
当 l 的斜率存在时,设斜率为 k, 则 l 的方程为 y-3=k(x-1), 即 kx-y+3-k=0, 则 |-k-2+3-k| 3 =2,解得 k=- . 2 4 1+k

3 ∴l 的方程为 y-3=- (x-1), 4 即 3x+4y-15=0. 综上,满足条件的切线 l 的方程为 x=1 或 3x+4y-15=0. (2)设 P(x,y),则 PM =PC -MC =(x+1) +(y-2) -4,
2 2 2 2 2

PO2=x2+y2,∵PM=PO,
∴(x+1) +(y-2) -4=x +y , 整理得 2x-4y+1=0, ∴点 P 的轨迹方程为 2x-4y+1=0. 12.设 M={(x, y)|y= 2a -x , a>0}, N={(x, y)|(x-1) +(y- 3) =a , a>0}, 且 M∩N≠ ?,求 a 的最大值和最小值. 解 M={(x,y)|y= 2a -x ,a>0},即{(x,y)|x +y =2a ,y≥0}, 表示以原点 O 为圆心,半径等于 2a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分).
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2=a2,a>0},
表示以 O′(1, 3)为圆心,半径等于 a 的一个圆. 再由 M∩N≠?,可得半圆和圆有交点, 故半圆和圆相交或相切. 当半圆和圆相外切时,由 OO′=2= 2a+a, 得 a=2 2-2; 当半圆和圆相内切时,由 OO′=2= 2a-a, 得 a=2 2+2, 故 a 的取值范围是[2 2-2,2 2+2], 即 a 的最大值为 2 2+2,最小值为 2 2-2.

13

*13.(2016?湖南六校联考)已知直线 l:4x+3y+10=0,半径为 2 的圆 C 与 l 相切,圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方. (1)求圆 C 的方程; (2)过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A,B 两点(A 在 x 轴上方),问在 x 轴正半轴上是否存在定 点 N,使得 x 轴平分∠ANB?若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由. 5 解 (1)设圆心 C(a,0)(a>- ), 2 则 |4a+10| =2? a=0 或 a=-5(舍). 5
2 2

所以圆 C 的方程为 x +y =4. (2)当直线 AB⊥x 轴时,x 轴平分∠ANB. 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由?
?x +y =4, ? ? ?y=k?x-1?,
2 2 2

得(k +1)x -2k x+k -4=0,
2

2

2

2

2

所以 x1+x2=

2k k -4 ,x1x2= 2 . 2 k +1 k +1

若 x 轴平分∠ANB, 则 kAN=-kBN? ?

y1 y2 + =0 x1-t x2-t

k?x1-1? k?x2-1? + =0 x1-t x2-t

? 2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0 2?k -4? 2k ?t+1? ? - +2t=0? t=4, k2+1 k2+1 所以当点 N 为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM 总成立.
2 2

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