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高二选修2-2导数数学试题


高二选修 2-2 数学试题导数 2014-2015 学年度考卷
一、 选择题 1. 设曲线 y=ax―ln (x+1) 在点 ( 0, 0) 处的切线方程为 y=2x, 则 a= A.0 B.1 C.2 D.3 2.若函数 f(x)=2x ﹣1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+△x,1+△y) ,则 ( ) A.4 B.4x
2





等于

C.4+2△x

D.4+2△x

2

3. f ( x), g ( x)(g ( x) ? 0) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时,

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ,且 f (?3) ? 0,
A. (-∞,-3)∪(3,+∞) B. (-3,0)∪(0,3) C. (-3,0)∪(3,+∞) D. (-∞,-3)∪(0,3)

f ( x) ? 0 的解集为( g ( x)



4.函数 f ( x) ? 3 | log 1 x | ?1的零点个数为( )
x 2

A.0

B.1

C.4

D.2 )

1 5.由直线 x=1,x=2,曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积为( x 7 11 A. B. C.ln2 D. 2ln 2 4 4
6.曲线 y ? 4 x ? x 在点(-1,-3)处的切线方程是(
3

) D. y ? x ? 2

A. y ? 7 x ? 4

B. y ? 7 x ? 2
3 2

C. y ? x ? 4

7. 已知函数 f (x) =x +ax + (a+6) x+1 有极大值和极小值, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (-1,2) B. (-∞,-3)∪(6,+∞) C. (-3,6) D. (-∞,-1)∪(2,+∞)

5 f ( x) ? f (5 ? x), ( ? x) f '( x) ? 0 2 8.已知 f '( x) 是定义在 R 上的函数 f ( x) 的导函数,且
若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 5 ,则下列结论中正确的是 ( A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? f ( x2 ) )

9.函数 f ? x ? ? ? A. ? ? 6

? ? 2 ? x,
2

x ? 0,

? ? 4 ? x , 0 ? x ? 2,
B. ? ? 2

,则

?

2 ?2

f ? x ? dx 的值为 (
C. 2?

) D. 8

10.设函数 f ( x) ? ax3 ? 3x ,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线 l 与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直, 则直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积为( A、 1 B、 3 ) C、 9 D、12

11.由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为( ) A.

10 3
y
y ? 2x (1, 2)

B.4

C.

16 3

D.6

12.如图中阴影部分的面积是 (



O
( ?3, ?6)

x

y ? 3 ? x2

A. 2 3

B. 9 ? 2 3

C.

32 3

D.

35 3

13.若函数 y=2cosx(0≤x≤2π )的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这个 封闭图形的面积为( ) A.4 B.8 C.2π D.4π 14 . 等 差 数 列 ?an ? 中 的 a1 , a4027 是 函 数 f ( x) ?

1 3 x ? 4 x 2 ? 12 x ? 1 的 极 值 点 , 则 3

log 2 a2014 ?
A.3 B.2 C.4 D.5

ln x ? 2 x 15.函数 f ( x ) ? 的图象在点 (1, ?2) 处的切线方程为 x
A. 2 x ? y ? 4 ? 0 B. 2 x ? y ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0

2 16.设函数 f ( x) ? g ( x) ? x ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则

曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率是 A.4
3

B. ?

1 4

C.2

D. ?

1 2

17.函数 y=x -2ax+a 在(0,1)内有极小值,则实数 a 的取值范围是 A. ? 0, ?

? ?

3? 2?

B. (0,3)

C. (0,+∞)

D. (-∞,3)

18.已知函数 f ( x) 与其导函数 f ?( x ) 满足 f ( x) ? xf ?( x) ? 0 ,则有

A、 f (1) ? 2 f (2) C、 2 f (1) ? f (2) 19. A、0

B、 f (1) ? 2 f (2) D、 2 f (1) ? f (2) ) C、 2 ? 2 cos1 D、 2 ? 2 cos1 )

?

1

?1

(sin x ? 1)dx (
B、2

20.由直线 y ? A. 21n2

1 1 ,y=2,曲线 y ? 及 y 轴所围图形的面积为( 2 x 1 5 B. 21n 2-1 C. ln 2 D. 2 4

21.直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x3 ? ax ? b 相切于点 A(1,3) ,则 2a+b 的值为( A.2 B.-1 C.1 D.-2



22.直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x3 ? ax ? b 相切于点 A(1,3) ,则 2a+b 的值为( A.2 B.-1 C.1 D.-2



23.函数 f ( x) ? ln x ? A. (0,1)

1 2 ax ? x 有极值且极值大于 0,则 a 的取值范围是( ) 2
C. (0,2)
3 2

B. (1,2)

D. (3,4)

二、填空题 24.当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范 围是 .
2

25.由两条曲线 y=x ,y=

1 2 x 与直线 y=1 围成平面区域的面积是________. 4


26.

1 1 ? 0 ( x ? 1 ? 2 x)dx =

e2 ( x ? 0) , 若 函 数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 零 点 , 则 m 的 取 值 范 围 是 27 . 设 f ( x) ? x ? x
__________. 28.

? (e
0

1

x

? 2 x)dx =
1 4



2 29.如图,已知点 A(0, ) ,点 P( x0 , y0 )( x0 ? 0) 在曲线 y ? x 上,若阴影部分面积与△

OAP 面积相等时,则 x0 ?



y P A O x

30.在区间[0,3]上任取一个数 m,则函数 f(x)= 是_____________.

1 3 2 x -x +mx 是 R 上的单调函数的概率 3
a ? b


) e在点 P( 1 , e 31.已知直线 ax ? by ? 3 ? 0 与 f ( x)? xx 处的切线互相垂直,则

32.计算:

?

2

1

1 dx = x
e6 1

.

33.已知 n ? 34.曲线 y ?

?

3 1 dx ,那么 ( x ? ) n 展开式中含 x 2 项的系数为____. x x


sin x 1 ? ? 在点 M ( , 0处的切线的斜率为 ) sin x? c o xs 2 4 sin x 1 ? ? 在点 M ( , 0处的切线的斜率为 ) sin x? c o xs 2 4

35.曲线 y ?



2 36.已知函数 f ? x ? ? x ?

a ?x ? 0 , a ? R ? ,若 f ?x ? 在[2,+ ? ) 是增函数,则实数 a 的 x

范围是____________. 37.函数 f ?x ? ? x ? 3x 的单调递减区间是____________.
3

38.函数 f ( x)? 1 2 x ? 39.

3

, 3上的最小值是 ] 在区间 [? 3 x




?

1

0

(e x ? x)dx 等于

40.已知函数 f ? x ? ? a ln ? x ? 1? ? x2 ,在区间 ? 0, 2 ? 内任取两个实数 p, q ,且 p ? q ,若不等 式

f ? p ? 1? ? f ? q ? 1? ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为 p?q

.

x 41.函数 f ?x? ? e cos x 的图像在点 ?0, f ?0?? 处的切线的倾斜角为_____________.

42 . 设 a 为 g ( x) ?

?a x , x ? 0, 4 3 ? ,则 x ? 2 x 2 ? 3x ? 1 的 极 值 点 , 且 函 数 f ( x) ? ? 3 ? ?log a x, x ? 0,

?1? f ? ?? ?4?

1? ? f ? log 2 ? 的值等于 6? ?

. .

43.图中阴影部分的面积等于

44.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物 的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元, 那么, 要使这两项费用之和最小, 仓库应建在离车站 千米处. 45.横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比,并和矩形横断面的高的平方成正比,要将直 径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的宽是 .

46 .做一个无盖的圆柱形水桶,若要使体积是 27π ,且用料最省,则圆柱的底面半径 为 . 三、解答题 47. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e ? ax ,其中 e 为自然对数的底数,
x

a 为常数. (1)若对函数 f ( x) 存在极小值,且极小值为 0,求 a 的值; (2)若对任意 x ? ?0,

? ?? x ? ,不等式 f ( x) ? e (1 ? sin x) 恒成立,求 a 的取值范围. 2 ? ?
kx

48. (12 分)已知函数 f ( x) ? e ( k 是不为零的实数, e 为自然对数的底数). (1)若曲线 y ? f ( x) 与 y ? x 有公共点,且在它们的某一公共点处有共同的切线,求 k 的
2

值; (2)若函数 h( x) ? f ( x)(x ? 2kx ? 2) 在区间 (k , ) 内单调递减,求此时 k 的取值范围.
2

1 k

49. (12 分)已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) , f(2)=1. (1)求证:f(8)=3

(2)求不等式 f(x)-f(x-2)>3 的解集. 50. (12 分)已知奇函数 f(x)= ax ? (1)求 a、b、c 的值 (2)试判断函数 f(x)在区间 (0, ) 上的单调性并证明 51.(本小题 12 分)设函数 f ( x) ? e x ? ax ? 2 . (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a =1 , k 为整数,且当 x ? 0 时, ( x ? k ) f ' ( x) ? x ? 1 ? 0 ,求 k 的最大值. 52. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 常数) . (1)当 m ? 4 时,求函数的极值点和极值; (2)若函数 y ? f ( x) 在区间(0,+∞)上有两个极值点,求实数 m 的取值范围. 53. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? a ln x ? 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴 (1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 极值.
2 54. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a1nx ? bx 图象上点 p(1, f (1)) 处的切线方程为

b 5 17 ? c (a、b、c 是常数) ,且满足 f (1) ? , f (2) ? x 2 4

1 2

1 3 1 (其中 m 为 x ? (m ? 3) x 2 ? (m ? 6) x ,x∈R. 3 2

1 3 ? x ?1 , 其中在 a ? R , 曲线 y ? f ( x) 2x 2

2x-y-3=0. (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式及单调区间; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m ? 1n4 在 [ , 2] 上恰有两个零点,求实数 m 的取值范围. 55. (本小题满分 12 分)设 f ? x ? ? x ln x, g ? x ? ? x ?1 .
2

1 e

(1)令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,求 h ? x ? 的单调区间; (2)若当 x ? 1 时, f ? x ? ? mg ? x ? ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围; 56. (本小题满分 12 分)若实数 a>0 且 a≠2,函数 f ( x) ?

1 3 1 ax ? (a ? 2) x 2 ? 2 x ? 1 . 3 2

(1)证明函数 f(x)在 x=1 处取得极值,并求出函数 f(x)的单调区间; (2)若在区间(0,+∞)上至少存在一点 x0,使得 f(x0)<1 成立,求实数 a 的取值范

围. 57. (本小题满分 14 分)已知函数 f ?x ? ? x ln x?x ? ?0,???? . (1)求 g ( x) ?

f ( x+1) ? x ?x ? ??1,???? 的单调区间与极大值; x+1

f ( x2 ) ? f ( x1 ) (2)任取两个不等的正数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,若存在 x0 ? 0 使 f ?( x0 ) ? 成立, x2 ? x1
求证: x1 ? x0 ? x2 ;
4 1 1 (3)已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1 , an?1 ? (1 ? n )an ? 2 (n∈N+) ,求证: an ? e ( e 为自然 11

2

n

对数的底数) . 58.已知

f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? 2 .

(1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? 0, 求函数 f ( x) 的单调区间. 59.已知函数 f ( x ) ?

ax ? b 在点 (1, f (1)) 的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . x2 ? 1

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 g ( x) ? ln x ,求证: g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1,??) 上恒成立. 60. (本小题满分 13 分)己知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x
3 2

(1)若 f ( x ) 在区间 [1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x ? ?

1 是 f ( x ) 的极值点,求 f ( x ) 在 [1, a] 上的最大值; 3

(3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g ( x) ? bx 的图象与函数 f ( x ) 的图象 恰有 3 个交点,若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由 61. (本小题满分 13 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般 情况下, 大桥上的车流速度 v (单位: 千米/小时) 是车流密度 x (单位: 辆/千米) 的函数. 当 桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流 密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/小时) f ? x ? ? x ? v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时)

62. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ? x ? a ln( x ? 1) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .
2

(1)求实数 a 的取值范围; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性; (3)若对任意的 x ? ( x1 ,??) ,都有 f ( x) ? m 成立,求实数 m 的取值范围. 63. (本小题 13 分)为了保护环境,某工厂在政府部门的鼓励下,进行技术改进:把二氧化 碳转化为某种化工产品,经测算,该处理成本 y (万元)与处理量 x (吨)之间的函数关系 可近似的表示为:

?1 3 ? x ? 640, x ? ?10,30 ? ,且每处理一吨二氧化碳可得价值为 20 万元的某种化工 y ? ? 25 2 ? x ? 40 x ? 1600, x ? ?30,50? ?
产品. (Ⅰ)当 x ??30,50? 时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不 能获利,则国家至少需要补贴多少万元,该工厂才不会亏损? (Ⅱ)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?
2 x 64. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? (? x ? ax ? 3)e (a 为实数) .

(1)当 a=5 时,求函数 y ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)求 f ( x) 在区间 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值;

1 x1, x2 ? [ ,e ] x e (3)若存在两不等实数 ,使方程 g ( x) ? 2e f ( x) 成立,求实数 a 的取值
范围. 65. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ?

x ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx . 1? x

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)①是否存在实数 b ,使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立?若存在,求出 b 的取值范围;若不存在,说明理由; n ②证明:不等式 ?1 ? ? 2k ? ln n ? 1 ? n ? 1, 2, ???? . 2 k ?1 k ? 1 66. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)若 a>0,试判断 f ( x) 在定义域内的单调性;
3 (2)若 f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 ,求 a 的值; 2
a . x

(3)若 f ( x) ? x 2 在 ?1, ?? ? 上恒成立,求 a 的取值范围

67. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2a ln x . (1)若函数 f ( x) 的图象在 (2, f (2)) 处的切线斜率为 1,求实数 a 的值; (2)若函数 g ( x) ?
2 ? f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. x

68. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? (1)求函数 f ( x) 的单调区间;

1 2 x ? (1 ? a) x ( x ? 0) ,其中 a 为实数 2

(2)若函数 f ( x) ? 0 对定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(3) 证明: 立.

1 1 ? ? ln(m ? 1) ln(m ? 2)

?

1 n ,对于任意的正整数 m, n 成 ? ln(m ? n) m(m ? n)

69. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? ln x (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值; (3)对 ?x ? (0, ??), f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实数 b 的取值范围. 70.设函数

f ? x ? ? ? x ?1? ex ? kx2 (其中 k ? R ). f ? x ? 的单调区间;

(1)当 k ? 1 时,求函数 (2)当 k ? ?

?1 ? ,1 时,求函数 f ? x ? 在 ?0, k ? 上的最大值 M . ?2 ? ?

3 2 71. (12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx 在 x ? 1 处的切线方程为 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 , f '( x ) x 为 f ( x) 的导函数, g ( x) ? a ? e ( a, b, c ? R , e 为自然对数的底)

(1)求 b, c 的值; (2)若 ?x ? ? 0, 2? ,使 g ( x) ? f '( x) 成立,求 a 的取值范围. 72. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 (1)若 xf '( x) ? x ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围
2

(2)证明: ( x ? 1) ? f ( x) ? 0

73. (本小题满分 12 分)设 f ( x) ? e x (ax 2 ? x ? 1) ,且曲线 y ? f ?x ? 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行 (1)求 a 的值,并讨论 f ?x ? 的单调性; (2)证明:当 ? ? ?0, 74.已知函数 f ( x ) ?

? ?? 时, f ?cos? ? ? f ?sin ? ? ? 2 ? 2? ?
1 2 x ? ln x . 2

(1)求函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最大值、最小值; (2)当 x ? [1, ??) ,比较 f ( x) 与 g ( x) ?

2 3 x 的大小. 3

(3)求证: [ f ?( x)]n ? f ?( xn ) ? 2n ? 2(n ? N ? ) . 75.对于函数 f ( x) ? a ?

2 (a ? R) . e ?1
x

(1)确定 f ( x) 的单调区间; (2)求实数 a ,使 f ( x) 是奇函数,在此基础上,求 f ( x) 的值域. 76. (本小题满分 I3 分) 设函数 f ( x) ? x ? ax ? ax ? m(a ? 0) , (1)若 a ? 1 时函数 f(x)有三个互不相同的零点,求实数 m 的取值范围; (2)若对任意的 a ?[3,, 6] x ?[ ? 2, 2] ,不等式 f(x)≤1 恒成立,求实数 m 的取值范围 77. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? mx(m ? R) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 2. (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)设 g ( x ) ?
3 2

f ( x) ? x ,讨论 g ( x) 的单调性; x ?1
*
m n

(Ⅲ)已知 m, n ? N 且 m ? n ? 1,证明: 78. (本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

n n ? m m

1 2 ax ? 2 x ? ln x ,其中 a ? 0 . 2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在其定义域内单调递减,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 若a ? ?

1 1 ,且关于 x 的方程 f ( x ) ? x ? b恒谦 在 [1, 4] 上恰有两个不相等的实数根, 2 2

求实数 b 的取值范围.

79. (本小题满分 14 分)设函数 f ?x? ? ln x ? x 2 ? ax ?a ? R? . (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2) 已知 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 ))( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) 在 x ? [1, ??) 的图象上的任意两点, 且满足

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ,求 a 的最大值; x1 ? x2

(3)设 g ( x) ? xe1? x ,若对于任意给定的 x0 ? (0,e] ,方程 f ( x) ? 1 ? g ( x0 ) 在 (0,e] 内有两个不 同的实数根,求 a 的取值范围. (其中 e 是自然对数的底数) 80.已知函数 f(x)=

1? x +lnx(a>0) ax

(1)若函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围; (2)当 a=1 时,求 f(x)在[

1 ,2]上的最大值和最小值. 2

81.已知函数 f(x)=x(x+a)-lnx,其中 a 为常数. (1)求 f(x)的单调区间; (2)过坐标原点可以坐几条直线与曲线 y=f(x)相切?说明理由. 82.已知函数 f(x)=lnx+

1 2 ax -(a+1)x(a∈R). 2

(1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求实数 a 的值; (3)若对 x1,x2∈(0,+∞) ,x1<x2,且 f(x1)+x1<f(x2)+x2 恒成立,求实数 a 的 取值范围. 83.已知函数 f(x)=

1? x +lnx. ax

(1)若函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,其中 bn=

1 ,求证:当 n≥2 时,1+lnn>Sn. n
3

84. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16 (1)求 a , b 的值; (2)若 f ( x) 有极大值 28,求 f ( x) 在 [?3,3] 上的最大值。 85. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ? ?

1 2 ax ? x ? ln(1 ? x) ,其中 a ? 0 2

(1)若 x ? 3 是函数 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间;

(3)若 f ( x) 在 [0, ??) 上的最大值是 0,求 a 的取值范围。
2 86. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x) 图象与 x 轴

异于原点的交点 M 处的切线为 1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 2 ,并且 1 与 2 平

l

l

l

l

行。 (1)求 f (2) 的值;

t?
(2)已知实数

1 2 ,求 u ? x ln x, x ??1, e? 的取值范围及函数 y ? f ? u ? t ? 的最值.

87.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时 10 公里时 的燃料费是每小时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,问此轮船以何种速度航 行时,能使行驶每公里的费用总和最小? 88.如图所示,设铁路 AB=50,B、C 之间距离为 10,现将货物从 A 运往 C,已知单位距离铁 路费用为 2,公路费用为 4,问在 AB 上何处修筑公路至 C,可使运费由 A 到 C 最省?

89.某种产品每件成本为 6 元,每件售价为 x 元(x>6) ,年销量为 u 万件,若已知 与 成正比,且售价为 10 元时,年销量为 28 万件.

(1)求年销售利润 y 关于 x 的函数关系式. (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润. 90.用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正 方形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图) ,问该容器的高为多少时,容器的容积 最大?最大容积是多少?

四、 新添加的题型 91. 已知函数 f ? x ? 在 [0, ??) 上可导, 其导函数记作 f ' ? x ?,f ? 0? ? ?2 , 且 f (x ? ? ) ?

1 f ? x ? , 当 x ?[0, ? ) 时 , f ' ? x? ? cos 2 ,若方程 x ? f? x ? ? f' ? x ? ? sin2 x 2

f ( x) ? kn sec x ? 0 在[0,+∞)上有 n 个解,则数列 {
A. ? n ?1? ? 2 ?1
n

n } 的前 n 项和为( k2n
n ?1



B. ? n ?1? ? 2

n?1

?2

C. n ? 2

D.

(2n ? 1) ? 3n ? 1 4

92 . 已 知 函 数 f ? x ? 在 [0, ??) 上 可 导 , 其 导 函 数 记 作 f ' ? x ?,f ? 0? ? ?2 , 且

f (x ? ? ) ?

1 f ? x ? , 当 x ?[0, ? ) 时 , f ' ? x? ? c o s 2 x? f 2 ? ?f ? ', x若 方 程 ? ?x ? s i n x 2

f ( x) ? kn sec x ? 0 在[0,+∞)上有 n 个解,则数列 {
A. ? n ?1? ? 2 ?1
n

n } 的前 n 项和为( k2n
D.



B. ? n ?1? ? 2

n?1

?2

C. n ? 2n ?1

(2n ? 1) ? 3n ? 1 4

93. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) = ( x - a) ln x , a ? R . (Ⅰ)若 a = 0 ,对于任意的 x ? (0,1) ,求证: -

1 ? f ( x) e

0;

(Ⅱ)若函数 f ( x) 在其定义域内不是单调函数,求实数 a 的取值范围. 94.曲线 y ? A. e2

1 与直线 x ? 1, x ? e2 及 x 轴所围成的图形的面积是( ) x
B. e 2 - 1 C. e D. 2

95. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? x .
f ( x) 的单调性; x (2)求函数 y ? f ( x) 的零点的个数;

(1)判断

(3)令 g ( x) ?

1 ? ln x ,若函数 y ? g ( x) 在 (0, ) 内有极值,求实数 a 的取值范围. e f ( x) ? x

ax2 ? ax

96.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? 2 x ? b 是曲线 y ? a ln x 的切线,则当 a ? 0 时,实数
b 的最小值是



97. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 2ln x . (1)求函数 f ( x) 的最大值; (2)若函数 f ( x) 与 g ( x) ? x ? (ⅰ)求实数 a 的值;
f ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 (ⅱ)若对于 ? x1 , x2 ?[ ,3] ,不等式 ? 1 恒成立,求实数 k 的取值范围. e k ?1 a 有相同极值点, x

98.若函数: s ? ?

2 ? ?3t ? 2(0 ? t ? 3) ,则函数在 t ? 1 的切线方程为 2 29 ? 3( t ? 3) ( t ? 3) ? ?



99. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? ln x , a , b ? R .
2

(1)当 a=b=1 时,求函数 y ? f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? 0 且 b ? 2 ? a ,试讨论 f ( x) 的单调性;

( 3 ) 若 对 任 意 的 ?b ?[ ?2, ?1], 均 存 在 ?x ? (1,e )使 得 函 数 y ? f ( x ) 图 象 上 的 点 落 在

?1 ? x ? e 所表示的平面区域内,求实数 a 的取值范围. ? ? y?0
100.

?

1

?1

( x 2 ? 4 ? x 2 )dx

. 参考答案

1.D 【解析】 试题分析:y′=a?

1 , x ?1

∴y′(0)=a-1=2, ∴a=3. 故答案选 D. 考点:导数的几何意义,曲线的切线 2.C 【解析】 试题分析:明确△y 的意义,根据函数的解析式求出△y 的表达式,即可得到答案. 2 2 解:∵△y=[2(1+△x) ﹣1]﹣1=2△x +4△x, ∴ =4+2△x,

故选 C. 点评:本题考查△y 的意义,即函数在点(1,1)的变化量,先求△y,即可得到 于基础题. 3.C. 【解析】 试题分析:由题意 ,属

f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) 时, g ( x)

? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) f ( x) ? 0 ,则 在 ? ??,0 ? 上为减函数,在 ? 0, ?? ? 上也 ? g ( x) ? ? 2 g ( x) g ( x) ? ?
) 为 减 函 数 , 又 有 f (? 3 ? 0则 有 ,

f (?3) f (3) f ( x) ? 0, ?0 ,可知 ? 0 的解集为 g (?3) g (3) g ( x)

? ?3,0? ? (3, ??) .
考点:利用导数判断函数的单调性. 4.D. 【解析】

x | ?1 =0 试 题 分 析 : 当 函 数 f ( x) ? 3 | l o 1 g
x 2

时 , l o 1g x?
2

1 x ( , ) 函 数 3

1 f ( x) ? 3 x | log 1 x | ?1的零点个数即为 g ( x) ? log 1 x , h( x) ? ( ) x 的交点个数,根据图像 3 2 2
易知原函数的零点个数为 2 个,故选 D. 考点:函数的零点问题. 5.C. 【解析】 试题分析:由题意得所围图形的面积为: S ? 考点:微积分. 6.D. 【解析】 试题分析:因 y? ? 4 ? 3x ,则 y?
2

?

2

1

1 dx ? (ln x) x

2 1

? ln 2 ,故选 C.

x ??1

? 1 ,切线方程为 y ? 3 ? x ? 1,即y ? x ? 2 .故选 D.

考点:利用导数求切线方程. 7.B 【解析】 【试题分析】 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a ? 6 , f ( x ) 有极大值和极小值 ? f ?( x) 在 R 上有两个
2

不同的实根 ? ? ? (2a) ? 4 ? 3 ? (a ? 6) ? 0 ? {x | a ? ?3 或 a ? 6}
2

考点:导数与极值 8.D 【解析】

试题分析:因为函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f (5 ? x) ,则函数 f ( x) 的图像关于

x?

5 2 对称,又

5 5 ( ? x) f '( x) ? 0 x? 2 , f '( x) ? 0 ,故函数 f ( x) 在 ? 5 , ?? ? 上是增函数, 因为 2 ,所以当 ? ? ?2 ? 5 x? 5? ? 2 处取得最小值,又因为 x ? x , x ?x ?5 ,故 在 ? ??, ? 上 是 减 函 数 , 在 1 2 1 2 2? ?

x1 ?

5 5 ? x2 ? ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 2 2

考点:函数的单调性,对称性. 9.A 【解析】 试题分析:

?

2 ?2

f ? x ? dx ? ? (2 ? x)dx ? ?
?2

0

2

0

4 ? x 2 dx

? (2 x ?
故选 A.

1 2 0 1 x ) ?2 ? ? ? ? 2 2 ? 6 ? ? , 2 4

考点:1.定积分;2.分段函数. 10.B 【解析】 试 题 分 析 : f ?( x)? 3a2 x ? , 由 题 设 得 f ?(1) ? ?6,?3a ? 3 ? ?6, a ? ?3 . 所 以 3

f ( x) ? ?3x3 ? 3x, f (1) ? 0 ,切线 l 的方程为 y ? 0 ? ?6( x ? 1) ,即 y ? ?6 x ? 6 .所以直线 l
与坐标轴围成的三角形的面积为: S ?

1 ? 1? 6 ? 3 .选 B. 2

考点:1、导数的应用;2、三角形的面积. 11.C 【解析】试题分析:如图所示,直线 y ? x ? 2 与曲线 y ? x 交于点 (4, 2) ,直线的纵横截距均

为 2 ,所以所求面积为

?

4

0

xdx ?

2 3 16 4 x 2 |0 ? . 故选 C . 3 3

考点:定积分的应用. 12.C. 【解析】 试 题 分 析 : 由 图 可 知 , 阴 影 部 分 的 面 积 可 表 示 为 :

? ?3 ? x
1 ?3

2

1 1 ? ? 1 ? ? ? ? 32 ? 2 x dx ? ? 3x ? x 3 ? x 2 ? 1 ? 1? ? ?(3 ? (?3) ? (?3) 3 ? (?3) 2 ? ? ?3 ? ? 3 ? 3 3 ? ? 3 ? ? ? ? 3

?

.故应选 C. 考点:定积分的应用. 13.D 【解析】如图所示.

由图可知,S1=S2,S3=S4,因此函数 y=2cosx(0≤x≤2π )的图象与直线 y=2 所围成的 图形面积即为矩形 OABC 的面积. ∵|OA|=2,|OC|=2π ,∴S 矩形=2×2π =4π . 14.B 【解析】 试 题 分 析 : 由 于 a1 , a4027 是 函 数 f ( x) ?

1 3 x ? 4 x 2 ? 12 x ? 1 的 极 值 点 , 3

f ??x? ? x 2 ? 8x ? 12 ? 0 的两个根是 a1 , a4027 ,由根与系数的关系得 a1 ? a4027 ? 8 ,由等差
数列的性质,得 a1 ? a4027 ? a2014 ? a2014 ,? a2014 ? 4

?log2 2014? log2 4 ? 2 ,故答案为 B.
考点:1、极值点的应用;2、等差数列的性质. 15.D 【解析】 试题分析:求导,得 f ??x ? ? 切线的斜率

?ln x ? 2 x?? x ? ?ln x ? 2 x??x?? ? 1 ? ln x ,由导数的几何意义,
x2 x2

k ? f ??1? ?

1 ? ln 1 ? 1 ,所以切线方程是 y ? ?? 2? ? 1? ?x ?1? ,即 x ? y ? 3 ? 0 ,故答案为 12

D. 考点:1、导数公式;2、导数的几何意义. 16.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 导 数 的 几 何 意 义 , 得 g ??1? ? 2 , 求 导 函 数 得 f ??x ? ? g ??x ? ? 2 x ,

k ? f ??1? ? g ??1? ? 2 ? 4 ,故答案为 A.
考点:导数的几何意义. 17.A 【解析】

2 试 题 分 析 : y? ? 3x ? 2a ? 0 , 得 x ?

2a 2a , 或 x?? ; 由 y? ? 0 , 得 3 3

?

2a 2a ?x? ,因此 3 3
2a 2a 3 ? 1 , 0 ? a ? ,故答案为 A. 取极小值,? 0 ? 2 3 3

当x?

考点:函数极值的应用. 18.C 【解析】 试题分析:设 F ? x ? ? xf ? x ? ,则 F ? ? x ? ? f (x ) ?xf ?(x ) ?0 ,所以函数 F ? x ? ? xf ? x ? 为 增函数, 所以 F ? 2? ? F ?1? ,即 2 f ? 2? ? f ?1? .故选 B. 考点:导数在研究函数性质中的应用. 19.B 【解析】 试题分析:因为 所以选 B. 考点:定积分. 20.A 【解析】 试题分析:直线 y ?

?

1

?1

(sin x ? 1)dx ? (? cos x ? x| )1 -1 =-cos1+1- ? ? cos ? ?1? ? ? ?1? ? ? 2

1 1 ,y=2,曲线 y ? 及 y 轴所围图形,如下图: 2 x

有定积分概念可知,该阴影部分面积为

?

2

1 2

2 1 dy ? ln y 1 ? 2 ln 2 ,故选 A. y 2

考点:定积分的概念.

21.C.

?k ? 1 ? 3 ?k ? 2 ? ? 【解析】? y ? x 3 ? ax ? b ,? y ' ? 3x 2 ? a ;由题意得 ?3 ? a ? k ,解得 ?a ? ?1 , ?1 ? a ? b ? 3 ?b ? 3 ? ?


2a ? b ? ?2 ? 3 ? 1
考点:导数的几何意义. 22.C.

?k ? 1 ? 3 ?k ? 2 ? ? 【解析】? y ? x ? ax ? b ,? y ? 3x ? a ;由题意得 ?3 ? a ? k ,解得 ?a ? ?1 , ?1 ? a ? b ? 3 ?b ? 3 ? ?
3 ' 2



2a ? b ? ?2 ? 3 ? 1
考点:导数的几何意义. 23.C 【解析】

1 ?ax 2 ? x ? 1 1 2 f x) ? ln x ﹣ ax ? x,a ? R ,∴ f( ? x) ? ﹣ax ? 1 ? 试题分析:∵ ( (x>0) , 2 x x
∴当 a=0 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增;当 a<0 时,由于 x>0, 2 2 故﹣ax >0,于是﹣ax +x+1>0,∴f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增;当 a >0 时,f′(x)>0 得, 0 ? x ?

1 ? 1 ? 4a 2a

,即 f(x)在(0,

1 ? 1 ? 4a )上单调 2a

递增;由 f′(x)<0 得,x>

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ,即 f(x)在( ,+∞)上单调递减; 2a 2a

当 a>0,x=

1 ? 1 ? 4a 时函数取到极大值,∵x→0,f(x)<0,x→+∞,f(x)<0∴f 2a
1 2

f x) ? ln x ﹣ ax 2 ? x ? 0 有 两 个 不 等 的 根 , 即 ( x ) =0 有 两 个 不 等 的 根 , 即 ( 1 2 1 ax ? x 有两个不等的根,构造函数 y=lnx 与 y ? ax 2 ? x ,则两个图象 2 2 1 2 1 有两个不同的交点,∵y=lnx 过(1,0) , y ? ax ? x 的对称轴为直线 x ? ,顶点坐标 a 2 1 1 1 1 ) ,∴ ? 为( ,? ,解得 a<2∴0<a<2. a 2a a 2 ( f x) ? ln x =
考点:函数的极值. 24.[-6,-2] 【解析】

试题分析:当-2≤x<0 时,不等式转化为 a≤

x2 ? 4 x ? 3 , x3

令 f(x)=

x2 ? 4 x ? 3 (-2≤x<0) , x3 ? x 2 ? 8 x ? 3 ?( x ? 9)( x ? 1) ,故 f(x)在[-2,-1]上单调递减,在(- ? x4 x4

则 f′(x)=

x2 ? 4 x ? 3 1, 0) 上单调递增, 此时有 a≤-2.当 x=0 时, g (x) 恒成立. 当 0<x≤1 时, a≥ , x3
令 g(x)=

x2 ? 4 x ? 3 ? x 2 ? 8 x ? 3 ?( x ? 9)( x ? 1) ? (0<x≤1) ,则 g′( x )= , x3 x4 x4

故 g(x)在(0,1]上单调递增,此时有 a≥-6. 综上,-6≤a≤-2. 考点:函数的单调性,不等式的恒成立,参数取值范围 25.

4 3
2

【解析】 试题分析:由题意,两条曲线 y=x ,y= 则其面积为
1 2 1 1 3 1 1 1 3 2 1 5 4 2[ ? ( x 2 ? x 2 )dx ? ? (1 ? x 2 )dx] ? 2[ ? x 3 |1 ? x ) |1 ] ? 2( ? ) ? 0 ?( x ? 0 1 4 4 4 3 4 3 4 12 3

1 2 x 与直线 y=1 围成平面区域如下图中阴影部分, 4

考点:定积分的应用. 26. 1 ? ln 2 . 【解析】 试题分析:直接由微分基本定理可得: 考点:微分基本定理. 27. ? 2e, +?? .

1 1 ? 0 ( x ? 1 ? 2 x)dx ? ?ln( x ? 1) ? x ?
2

1 0

? 1 ? ln 2 .

【解析】 试 题 分 析 : f ( x) ? x ?

e2 e2 ? 2 e 2 ? 2e , 当 且 仅 当 x = 即 x=e 时 等 号 成 立 , 则 x x

f ( x)

min

? 2e ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有零点,则 m 的取值范围是 ? 2e, +?? .

考点:基本不等式及零点问题. 28. e . 【解析】 试题分析:

? (e
0

1

x

1 ? 2 x)dx ? (e x ? x 2 ) ? e . 0

考点:微积分的计算. 29.

6 4
1 1 1 ? ? x0 ? x0 , 2 4 8

【解析】 试题分析:设 ?OPA 部分面积为 S1 ,阴影部分面积为 S2 ,则 S1 ?

S2 ? ? x 2dx ?
0

x0

1 3 x0 1 3 1 1 6 x |0 ? x0 ,又 S1 ? S2 ,所以 x0 ? x03 ,解得 x0 ? 。 3 3 8 3 4

考点:积分、方程 30.

2 3
2 2

【解析】f '(x)=x -2x+m=(x-1) +m-1 若函数 y=f(x)是 R 上的单调函数,则 m-1≥0,即 m≥1 所求概率为 P=

3 ?1 2 ? 3?0 3

考点:函数的单调性,几何概型 31. -

1 2e

【解析】 试题分析: 对函数 f ( x) ? xe x 求导可得: f '( x) ? x '? e x ? x ? (e x )' ? e x ? ( x ? 1) , 则在点 P(1,e) 处的切线的斜率为: k ? f '(1) ? e1 ? (1 ? 1) ? 2e ,又直线与它垂直,则有: 考点:1.曲线的切线;2.直线的位置关系 32. ln 2 【解析】 试题分析:

a 1 ?? . b 2e

?

2

1

1 2 dx = ln x 1 ? ln 2 ? ln 1 ? ln 2 ,故答案为: ln 2 . x

考点:定积分.

33.135 【解析】 试题分析: n ? 令 6 ? 2r ? 2 得 r ? 2 , x 的系数 C6 ?? 3? ? 135,故答案为 135.
2

?

e6

1

1 3 ? 6? r r 6? 2 r e6 r? r dx ? ln x |1 ? ln e 6 ? ln 1 ? 6 , Tr ?1 ? C6 ? ? ? x ? C6 ?? 3? x , x ? x?
2 2

r

考点:二项式定理的应用. 34.

1 2
题 分
2

【解析】 试





y' ?

cos x ? sin x ? cos x ? ? sin x(cos x ? sin x)

? sin x ? cos x ?
x?

?

cos 2 x ? sin 2 x

? sin x ? cos x ?

2

?

1

? sin x ? cos x ?

2

所以 y '

?
4

?

1

?? ? ? ? sin ? cos ? 4 4? ?

2

?

1 1 ,故填 . 2 2

考点:导数在曲线的切线中的应用. 35.

1 2
题 分
2

【解析】 试





y' ?

cos x ? sin x ? cos x ? ? sin x(cos x ? sin x)

? sin x ? cos x ?
x?

?

cos 2 x ? sin 2 x

? sin x ? cos x ?

2

?

1

? sin x ? cos x ?

2

所以 y '

?
4

?

1

?? ? ? ? sin ? cos ? 4 4? ?

2

?

1 1 ,故填 . 2 2

考点:导数在曲线的切线中的应用. 36. ? ??,16? 【解析】 试题分析: 由已知可得 f ? x ? ?
3

x3 ? a 2 x3 ? a … 0 在 ? 2, ?? ? 上恒成立, , 则导函数 f ? ? x ? ? x2 x

3 即 a? 2 x 在 ? 2, ?? ? 上 恒 成 立 , 而 函 数 y ? 2x 在 ? 2, ?? ? 上 为 单 调 递 增 , 所 以

a? 2 ? 23 ? 16 .
考点:函数单调性在求最值的应用.

37. ? ?1,1? 或 ??1,1? 【解析】
2 试题分析:由题意得 f ? ? x ? ? 3x ? 3 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,即 3x 2 ? 3 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 ,所

以所求函数的定义域为 ? ?1,1? . 考点:导数在求单调区间的应用. 38. ? 16 【解析】 试题分析:由函数 f ( x) ? 12 x ? x3 得, f '( x) ? 12 ? 3x2 ? 0 ,解得 x ? ?2 , f ? ?3? ? ?9 ,

3] 上的最小值 f ? ?2? ? ?16 , f ? 2? ? 16 , f ? 3? ? 9 ,故函数 f ( x) ? 12x ? x3 在区间 [?3,
是 f ? ?2? ? ?16 . 考点:利用导数求最值.

e?
39.

1 2

【解析】

1 ? x 1 2? 试题分析: ? (e ? x ) dx ? ? e ? x ? ? e ? . 0 2 ?0 2 ?
1 x

1

考点:定积分. 28 40. a… 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 p?

q , 不 妨 设 p >q , 由

f ( p +1) - f ( q +1) >1 , 得 p- q

f ( p+1) - ( p +1 f + q) 1- ( + q )1 > 0 ,因为 f ( p +1) - f ( q +1) > p - q , 则 轾 ) -轾 臌 臌(
p > q ,所以 p +1 > q +1 ,则函数 g x = f x +1 - x +1 在 0,2 上是增函数,所以

()

(

) (

) ( )

g? 0 在 ( 0,2) 上 恒 成 立 , 即 ( x) …

a - 2 x - 3… 0 在 ( 0,2) 上 恒 成 立 , 所 以 x +2

a… ( x +2)( 2x +3) = 2x2 +7x +6 ,又函数 h( x) = 2x2 +7x +6 在 [ 0, 2] 上单调递增,所以
h ( x) max = h ( 2) = 28 ,故实数 a 的取值范围为 [ 28, +
考点:1.函数单调性;2.导函数的应用. 41.

).

? . 4

【解析】

试 题 分 析 : 因 为 函 数 f ?x ? ? e x c o x s , 所 以 f ' ( x) ? e x c o x s ? ex s i n x ,所以

f ' (0) ? cos0 ? 1 ,
所以 tan ? ? 1 ,所以倾斜角为

? . 4

考点:导数的概念及其几何意义. 42. 8 . 【解析】 试题分析: 由已知得 g ' ( x) ? 4 x 2 ? 4 x ? 3 , 则 g ' ( a ) ? 4a 2 ? 4a ? 3 ? 0 , 故a ?
?1? 去) ,则 f ? ? ? ?4? 1? 1 1 log2 1 ? f ? log 2 ? ? log 1 ? ( ) 6 ? 2 ? 6 ? 8 . 6? 2 ? 2 4

1 3 或 a ? ? (舍 2 2

考点:1、利用导数求函数极值;2、分段函数. 43.1 【解析】 试题分析:由定积分几何意义得,阴影部分的面积等于 S ?

? 3x dx ? x
2 0

1

3 1 0

?1.

考点:定积分. 44.5 【解析】 试题分析: 由题意先解出土地占用费与运费关于车站距离的函数, 将费用之和关于车站距离 的函数关系式建立起来,再用基本不等式求解. 解:设仓库建在离车站 d 千米处, 由已知 y1=2= ,得 k1=20,∴y1= ,

y2=8=k2?10,得 k2= , ∴y2= d, ∴y1+y2= 当且仅当 + = ≥2 =8.

,即 d=5 时,费用之和最小.

故应填 5. 点评:本题考查选定系数法求解析式,此法的特点是相关函数的解析式的形式已知.求最值 时用到了基本不等式求最值. 45. d.

【解析】 试题分析: 据题意横梁的强度同它的断面高的平方与宽 x 的积成正比 (强度系数为 k, k>0) 建立起强度函数, 求出函数的定义域, 再利用求导的方法求出函数取到最大值时的横断面的 值.

解:如图所示,设矩形横断面的宽为 x,高为 y.由题意知,当 xy 取最大值时,横梁的强 度最大. 2 2 2 ∵y =d ﹣x , 2 2 2 ∴xy =x(d ﹣x ) (0<x<d) . 2 2 令 f(x)=x(d ﹣x ) (0<x<d) , 2 2 得 f′(x)=d ﹣3x ,令 f′(x)=0, 解得 x= 当 0<x< 因此,当 x= 故答案为: 或 x=﹣ (舍去) . <x<d 时,f′(x)<0,

2

时,f′(x)>0;当

时,f(x)取得极大值,也是最大值. d.

点评:考查据实际意义建立相关的函数,再根据函数的特征选择求导的方法来求最值. 46.3 【解析】 试题分析:设圆柱的高为 h,半径为 r 则由圆柱的体积公式可得,π r h=27π ,即 要使用料最省即求全面积的最小值,而 S 全面积=π r +2π rh=
2 2



=

(法一)令 S=f(r) ,结合导数可判断函数 f(r)的单调性,进而可求函数取得最小值时的 半径 (法二) :S
全面积

=π r +2π rh=

2

=

,利用基本不等式可求用料最

小时的 r 解:设圆柱的高为 h,半径为 r 2 则由圆柱的体积公式可得,π r h=27π

S 全面积=π r +2π rh= (法一)令 S=f(r) , (r>0) =

2

=

令 f′(r)≥0 可得 r≥3,令 f′(r)<0 可得 0<r<3 ∴f(r)在(0,3)单调递减,在[3,+∞)单调递增,则 f(r)在 r=3 时取得最小值 (法二) :S 全面积=π r +2π rh= = 当且仅当 即 r=3 时取等号
2

= =27π

当半径为 3 时,S 最小即用料最省 故答案为:3 点评: 本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解, 解答应用试题的关键是要把 实际问题转化为数学问题,根据已学知识进行解决. 47. (1) a ? e ;(2)(-∞,1]. 【解析】 试题分析: (1) 对 f ( x) 进行求导 f '( x) ? e x ? a , 根据 a 进行讨论, 当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 , 函数在 R 上是增函数,从而函数不存在极值,不合题意;当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,可得

x ? ln a , 由 f (' )x 0 可得 x ? ln a , ∴ x ? ln a 为函数的极小值点, 由已知,f (ln a) ? 0 , ? ,
x x 即 ln a ? 1 ,∴ a ? e .(2)代入 f ( x) ,即 e sin x ? ax ? 0 ,构造 g ( x) ? e sin x ? ax ,

则 g '( x) ? ex (sin x ? cos x) ? a, g ''( x) ? 2e x cos x ,

? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 x ? [0, ] 时为增函数,∴ g ( x)min ? g (0) ? 0 , 2 ? 此时 g ( x) ? 0 恒成立;② 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,存在 x0 ? [0, ] ,使得 g '( x0 ) ? 0 ,从而 2
x ? (0, x0 ) ) 时 , g '( x) ? 0 , ∴ g ( x) 在 [0, x0 ] 上 是 减 函 数 , ∴ x ? (0, x0 ) 时 ,
g ( x) ? g (0) ? 0 ,不符合题意.综上,a 的取值范围是(-∞,1].
试题解析:(1)∵ f ( x) ? e ? ax ,∴ f '( x) ? e ? a ,
x

x ? [0, ] 时, g ''( x) ? 0 ,则 g '( x ) 在 x ? [0, ] 时为增函数,∴ g '( x) ? g '(0) ? 1 ? a .① 2 2

?

?

x

当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,函数在 R 上是增函数,从而函数不存在极值,不合题意; 当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,可得 x ? ln a ,由 f '( x) ? 0 ,可得 x ? ln a ,∴ x ? ln a 为函数 的极小值点, 由已知, f (ln a) ? 0 ,即 ln a ? 1 ,∴ a ? e ; 5分

x x (2)不等式 f ( x) ? e (1 ? sin x) ,即 e sin x ? ax ? 0 ,

设 g ( x) ? e sin x ? ax ,则 g '( x) ? e (sin x ? cos x) ? a, g ''( x) ? 2e cos x ,
x

x

x

x ? [0, ] 时, g ''( x) ? 0 ,则 g '( x ) 在 x ? [0, ] 时为增函数,∴ g '( x) ? g '(0) ? 1 ? a . 2 2
①1 ? a ? 0 , 即 a ? 1 时,g '( x) ? 0 ,g ( x) 在 x ? [0, 此时 g ( x) ? 0 恒成立;

?

?

?

2

] 时为增函数, ∴ g ( x)min ? g (0) ? 0 ,

②1 ? a ? 0 , 即 a ? 1 时, 存在 x0 ? [0, ∴ g ( x) 在 [0, x0 ] 上是减函数,

?
2

], 使得 g '( x0 ) ? 0 , 从而 x ? (0, x0 ) ) 时,g '( x) ? 0 ,

∴ x ? (0, x0 ) 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,不符合题意. 综上,a 的取值范围是(-∞,1]. 12 分 考点:1.函数极值、最值求解;2.恒成立问题. 48. (1) k ? ?

2 1 2 ( 2) 当 ? k ? 1 时,函数 h( x) ? f ( x)( x2 ? 2kx ? 2) 在区间 (k , ) 内 2 k e

单调递减. 【解析】 试题分析: (1) 利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程, 注意这个点的切点的位置. (2)第二问关键是利用函数的单调性与导数的关系把所求问题转化为求函数的其它问题 . ( 3 ) 若 可 导 函 数 f ?x ? 在 指 定 的 区 间 D 上 单 调 递 增 ( 减 ) ,求参数问题,可转化为

f ??x ? ? 0 ?或f ??x ? ? 0? 恒成立,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到.
试题解析: (1)设曲线 y ? f ( x) 与 y ? x 有共同切线的公共点为 P( x0 , y0 ) ,则 e
2 2
kx0 2 . ? x0

又曲线 y ? f ( x) 与 y ? x 在点 P( x0 , y0 ) 处有共同切线,且 f '( x) ? ke , ( x )' ? 2 x ,
kx 2

∴ ke

kx0

? 2 x0 ,

解得 k ? ?

2 . e
kx 2 kx

(2)由 f ( x) ? e 得函数 h( x) ? ( x ? 2kx ? 2)e , 所以 (h( x))? ? [kx ? (2 ? 2k ) x ? 4k ]e
2 2 kx

2 ? k [ x 2 ? ( ? 2k ) x ? 4]e kx k 2 ? k ( x ? 2k )( x ? )e kx . k 1 1 又由区间 (k , ) 知, ? k ,解得 0 ? k ? 1 ,或 k ? ?1 . k k 2 kx 2 ①当 0 ? k ? 1 时,由 (h( x ))? ? k ( x ? 2k )( x ? )e ? 0 ,得 ? ? x ? 2k ,即函数 h( x) 的 k k 2 1 2 单调减区间为 ( ? , 2 k ) ,要使得函数 h( x) ? f ( x)( x ? 2kx ? 2) 在区间 (k , ) 内单调递减, k k

? ?0 ? k ? 1, ? 2 ? 则有 ? k ? ? , k ? ?1 ? 2k , ? ?k
解得

2 ? k ?1 2
2 k

kx ②当 k ? ?1 时, 由 (h( x))? ? k ( x ? 2k )( x ? )e ? 0 , 得 x ? 2k , 或x??

2 , 即函数 h( x) k

的单调减区间为 (??, 2k ) 和 (?

2 , ??) , k

要使得函数 h( x) ? f ( x)( x 2 ? 2kx ? 2) 在区间 (k , ) 内单调递减,则有

1 k

? k ? ?1 ? k ? ?1 ? ? ,或 ? 2, ?1 ? 2 k k ? ? ? ? k ?k ?
这两个不等式组均无解. 综上,当

2 1 ? k ? 1 时,函数 h( x) ? f ( x)( x2 ? 2kx ? 2) 在区间 (k , ) 内单调递减. 2 k
16 . 7

考点: (1)求切线方程; (2)根据函数的单调性求参量的问题. 49. (1)见证明; (2) 2 ? x ?

【解析】 试题分析: (1)由 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) ,f(2) =1.所以 f(8)=f(4×)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=f(2)+f(2)+f (2)=3f(2)=32 (2)原不等式可化为 f(x)>f(x-2)+3,由(1)得 f(8)=3,所以由条件可得 f(x)>f

?8( x ? 2) ? 0 (x-2)+f(8)=f(8x-16)∵f(x)是(0,+∞)上的增函数∴ ? 解不等 ? x ? 8( x ? 2)
式可得 2 ? x ?

16 . 7

试题解析: (1)证明 :由题意得 f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2) = f(2)+f(2)+f(2)=3f(2) 又∵f(2)=1 ∴f(8)=3 (2)解: 原不等式可化为 f(x)>f(x-2)+3 ∵f(8)=3 ∴f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16) ∵f(x)是(0,+∞)上的增函数

16 ?8( x ? 2) ? 0 ∴? 解得 2 ? x ? . 7 ? x ? 8( x ? 2)
考点:抽象函数赋值法和解不等式.

1 ,c ? 0; 2 1 (2)函数 y ? f ( x) 在 (0, ) 上是减函数. 2
50. (1) a ? 2, b ? 【解析】 试题分析: (1)由 f ( x) ? ax ? b 是奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x) 恒成立,从而 x ? c( x ? 0)

c?0

?a ? b ? 5 2 ? ? 5 17 1 1 b 17 又 f (1) ? 2 , f (2) ? 4 , ?2a ? 2 ? 4 ?a ? 2, b ? 2 ? a ? 2, b ? 2 , c ? 0 .
(2)函数 y ? f ( x) 在 (0, ) 上是减函数.证明见解析. 试题解析:(1)因为 f ( x) ? ax ? b x ? c( x ? 0)是奇函数? f (? x) ? ? f ( x)恒成立,
b b 17 .又 f (1) ? 5 即? ax ? b x ? c ? ?(ax ? x ? c) ?c ? 0 ? f ( x) ? ax ? x 2 , f (2) ? 4 ,

1 2

?a ? b ? 5 2 ?? 1 1 b 17 ?2a ? 2 ? 4 ?a ? 2, b ? 2 ? a ? 2, b ? 2 , c ? 0
(2)函数 y ? f ( x) 在 (0, ) 上是减函数. 证 明 : 任 取 则 x1 , x2 ? (0, 1 2 )且x1 ? x2 ,
1 , f ( x1 ) ? 2x1 ? 21 x1 , f ( x2 ) ? 2x2 ? 2 x2

1 2

x1 x2 ?1 1 1 1 ( x1 ? x2 )( 42 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2x1 ? 21 x1 x2 ) , x1 ? 2x2 ? 2 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 ? 2 x2 ?

1 1 函数 y ? f ( x) 在 (0, ) 上 0 ? x1 ? 1 2 ,0 ? x2 ? 2 ? 0 ? 4 x1 x2 ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? 2
是减函数. 考点:函数单调性和奇偶性的应用
' 51. (1)若 a ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ,此时函数 f ( x) 在 R 上单调递增; ' ' 若 a ? 0 ,则当 x ? (??, ln a) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? (ln a,??) 时, f ( x) ? 0 .所以函数

f ( x) 在 (??, ln a) 上单调递减;在 (ln a,??) 上单调递增.
(2)整数 k 的最大值为 2. 【解析】

试题分析: ( 1 )首先根据函数 f ( x) 的表达式可判断其定义域,然后对其进行求导可得

f ' ( x) ? e x ? a ,由于导函数中含有参数 a ,将其分为两种情况:① a ? 0 ,此时易判断出
函数 f ( x) 在 R 上单调递增;② a ? 0 ,可求出其极值点,然后判断函数在极值点的左右两 侧的单调性即可; (2)首先将问题“当 x ? 0 时, ( x ? k ) f ' ( x) ? x ? 1 ? 0 ”转化为“ k ? 其 中 x ? 0 ”, 即 k ? ?

x ?1 ? x 恒成立, ex ?1

x ?1 ? x ?1 ? ?x ,求其导函数 ? x ? , x ? 0 , 记 g ( x) ? x x e ?1 ? e ?1 ? min

g ' ( x) ?

e x (e x ? x ? 2) ,由(1)知,函数 h( x) ? e x ? x ? 2 在 (0,??) 上单调递增,且在 (e x ? 1) 2

(0,??) 上存在唯一的零点,即 g ' ( x) 在 (0,??) 上存在唯一的零点.从而得出函数 g ( x) 的最
小值并求出其取值范围,进而得出整数 k 的最大值. 试题解析: (1)函数 f ( x) 的定义域为 R,所以 f ' ( x) ? e x ? a . 若 a ? 0 ,则 f ' ( x) ? 0 ,此时函数 f ( x) 在 R 上单调递增; 若 a ? 0 ,则当 x ? (??, ln a) 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? (ln a,??) 时, f ' ( x) ? 0 .所以函数

f ( x) 在 (??, ln a) 上单调递减;在 (ln a,??) 上单调递增.
' x ( 2 )因为 a ? 1 ,所以 ( x ? k ) f ( x) ? x ? 1 ? ( x ? k )(e ? 1) ? x ? 1 ,所以当 x ? 0 时,

( x ? k ) f ' ( x) ? x ? 1 ? 0 等价于 k ?
令 g ( x) ?

x ?1 ? x ,其中 x ? 0 . ex ?1

x ?1 ? xe x ? 1 e x (e x ? x ? 2) ' ? x ,则 . g ( x ) ? ? 1 ? 2 ex ?1 (e x ? 1) 2 e x ?1

?

?

由 ( 1 ) 知 , 函 数 h( x) ? e ? x ? 2 在 (0,??) 上 单 调 递 增 , 而 h(1) ? e ? 1 ? 2 ? 0 ,
x

h(2) ? e 2 ? 2 ? 2 ? 0 ,所以 h( x) 在 (0,??) 上存在唯一的零点,故 g ' ( x) 在 (0,??) 上存在
唯一的零点.设此零点为 ? ,则 ? ? (1,2) . 当 x ? (0, ? ) 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? (? ,??) 时, g ( x) ? 0 ;所以 g ( x) 在 (0,??) 上的最
' '

? ' 小 值 为 g (? ) . 又 由 g (? ) ? 0 可 得 , e ? ? ? 2 , 所 以 g (? ) ? ? ? 1 ? (2,3) , 所 以

k ? g (? ) ,故整数 k 的最大值为 2.

考点:1、利用导数判断函数的单调性;2、导数在研究函数的最值中的应用.

26 52. (1)函数的极大值点是 x ? 2 ,极大值是 f ( 2) ? ;函数的极小值点是 x ? 5 ,极小 3
值是 f (5) ?

25 ; (2) m ? 3 . 6

【解析】 试题分析: (1)首先根据题意写出函数的定义域,然后求出其导函数,分别令导函数大于 0 和小于 0,求出自变量的取值范围,然后根据函数的极值点的定义判断其极大值点和极小值 点即可; (2)将问题“函数 y ? f ( x) 在区间(0,+∞)上有两个极值点”转化为“ f ' ( x) ? 0 在(0, +∞)上有两个正根” ,然后根据二次函数的根的分布即可求出参数 m 的取值范围. 试题解析:由题意知,函数 y ? f ( x) 的定义域为 R . (1)当 m ? 4 时, f ( x ) ?

1 3 7 2 x ? x ? 10 x ,所以 f ' ( x) ? x 2 ? 7 x ? 10 ,令 f ' ( x) ? 0 , 3 2

解得 x ? 5 或 x ? 2 ;令 f ' ( x) ? 0 ,解得 2 ? x ? 5 ;所以函数的极大值点是 x ? 2 ,极大 值是 f ( 2) ?

26 25 ;函数的极小值点是 x ? 5 ,极小值是 f (5) ? ; 3 6

(2) f ' ( x) ? x 2 ? (m ? 3) x ? m ? 6 ,要使函数 y ? f ( x) 在区间(0,+∞)上有两个极值 点,则

?(m ? 3) 2 ? 4(m ? 6) ? 0 ? ,解得 m ? 3 .故实数 m 的取值范围为: m ? 3 . ?m ? 3 ? 0 ?m ? 6 ? 0 ?
考点:1、导数在研究函数的极值中的应用;2、二次函数根的分布. 53. (1)-1; (2)极小值 3. 【解析】

a 1 3 ? 2 ? ,易得曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切 x 2x 2 1 3 ? x ? 1( x ? 0) , 线斜率为 0,即 f ?(1) ? 0 ,解得 a ? ?1 ; (2)由(1)知 f ( x) ? ? ln x ? 2x 2 1 1 1 3 1 f ?( x ) ? ? ? 2 ? , 令 f ?( x) ? 0 , 解得 x1 ? 1, x 2 ? ? (因 x 2 ? ? 不在定义域内, 3 x 2x 2 3
试题分析: (1)先求导数 f ?( x ) ? 舍去) ,由导数判断函数的单调性,从而可得函数的极值. 试题解析: (1)因 f ( x ) ? a ln x ?

1 3 a 1 3 ? x ? 1 ,故 f ?( x ) ? ? 2 ? x 2x 2 2x 2

由于曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0, 即 f ?(1) ? 0 ,从而 a ?

1 3 ? ? 0 ,解得 a ? ?1 2 2

(2)由(1)知 f ( x) ? ? ln x ?

1 3 ? x ? 1( x ? 0) , 2x 2

1 1 3 f ?( x ) ? ? ? 2 ? x 2x 2

?

3x 2 ? 2 x ? 1 (3x ? 1)( x ? 1) ? 2 x2 2 x2
1 1 x 2 ? ? (因 x 2 ? ? 不在定义域内,舍去) 3 3
故 f ( x) 在 (0,1) 上为减函数; 故 f ( x) 在 (1, ??) 上为增函数,故 f ( x) 在 x ? 1 处取得

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 1, 当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0

当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 极小值 f (1) ? 3 .

考点:1、导数的几何意义;2、利用导数判断函数的单调性及极值.

(2, 4 ? 2 ln 2) 54. (1)f ( x) ? 4ln x ? x2 ; 单调增区间为 (0, 2 ) , 减区间为[ 2 , + ?) ; (2) .
【解析】 试题分析: (1)由导数的几何意义知切线的斜率为点 P 处导数,点 P 也在切线上,构造方程 组可得函数 y ? f ( x) 的解析式,再由函数的解析式进行求导,判断导数大于零和小于零的 区间,即函数的单调区间; (2)易知函数 g ( x) ? f ( x) ? m ?1n4=4ln x ? x 2 ? m ? ln 4 ,令

g ( x) ? 0 ,分离变量 m=x2 ? 4ln x ? ln 4 ,构造新的函数 ? ( x)=x2 ? 4ln x ? ln 4 ,对新函
数求导判断函数的单调性,再求出新函数的端点值和极值,从而可得实数 m 的取值范围. 试题解析:∵切点 p(1, f (1)) 在直线 2x-y-3=0 上,∴f(1)=-1.

f ' ( x) ?

? f ' (1) ? a ? 2b ? 2 a ? 2bx ,由已知得 ? ? a=4,b=-1. x f ( 1 ) ? b ? ? 1 ?
2

∴ f ( x) ? 4ln x ? x . ∴单调增区间为(0, 2 ) ,减区间为[ 2 ,+ ?) (2)f(x)的定义域为 (0,??) . g ( x) ? f ( x) ? m ? 1n4 =4lnx-x2+m-ln4. 令 g(x)=0, 得 4lnx-x2+m-ln4.=0 ? m=x2-4lnx+ln4.

4 2x 2 ? 4 记 ? ( x) ? x ? 4 ln x ? ln 4 .则 ? ( x) ? 2 x ? ? , x x
2
'

' 当 x ? ( , 2 ) 时, ? ( x)?0 ,

1 e

? ( x) 单调递减;

当 x ? ( 2 ,2) 时, ? ' ( x)?0 ,

? ( x) 单调递增.

?( ) ?

1 e

1 ? 4 ? 2 ln 2 , e2

? ( 2 ) ? 2,

? (2) ? 4 ? 2 ln 2 .

由题意, 2? m ? 4 ? 2 ln 2 . 考点:1、导数的几何意义;2、利用导数判断函数的单调性.

? ?) . 55. (1) h ? x ? 在 ? 0, ? ?? 上单调递减;(2) [ ,
【解析】 试题分析: ( 1 ) 对 h? x ,令 ln x ? x ?1进 行 求 导 可 得 h ' ? x? ? l n x? 1? 2x ?? x
2

1 2

t ? x? ? l n x? 1 ? 2x求 , 导 可 得 t '? x? ?

1 1? 2x ? 1? ?2? , 即 可 得 到 t ? x ? 在 ? 0, ? 递 增 , x x ? 2?

?1 ? ?1? ? , ?? ? 递减,可得 t ? x ? ? t ? ? ? ? ln 2 ? 0 ?2 ? ?2?
即可得 h ' ? x ? ? 0 ,根据导数在函数单调性中的应用可知 h ? x ? 在 ? 0, (2) ? ?? 上单调递减;
2 令 F ? x ? ? x ln x ? m x ? 1 则 F ' ? x ? ? ln x ?1? 2mx ; 令 G ? x x ? ? l n x? 1? 2m则

?

?

G '? x? ?

1 1 1 ? 2m ,对分 m ? , m ? 0 和 0 ? m ? 进行分类讨论,即可得到结果. x 2 2
2

试题解析:解: (1) h ? x ? ? x ln x ? x ?1

h ' ? x ? ? ln x ? 1 ? 2x
令 t ? x ? ? ln x ? 1 ? 2 x, t ' ? x ? ? ∴ t ? x ? 在 ? 0, ? 递增, ?

1 1? 2x ?2? x x

? ?

1? 2?

?1 ? , ?? ? 递减 ?2 ?

∴ t ? x ? ? t ? ? ? ? ln 2 ? 0 即 h ' ? x? ? 0 ∴ h ? x ? 在 ? 0, ? ?? 上单调递减 6分

?1? ?2?

(也可以先证明 ln x ? x ? 1 ,再由 ln x ?1 ? 2 x ? ? x ?1? ? ?1 ? 2 x ? ? ? x ? 0 证明 h ' ? x ? ? 0 ,同样赋分)

2 (2)令 F ? x ? ? x ln x ? m x ? 1 则 F ' ? x ? ? ln x ?1? 2mx

?

?

令 G ? x ? ? ln x ? 1 ? 2mx 则 G ' ? x ? ? 当m ?

1 时,∵ x ? 1 2



1 ?1 x

1 ? 2m x 1 ∴ ? 2m ? 0 x

即 G ' ? x? ? 0

∴ G ? x ? 在 [1, ? ?) 上单调递减 ∴ G ? x ? ? G ?1? ? 1 ? 2m ? 0 即 F ' ? x ? ? 0 ∴ F ? x ? 在 [1, ? ?) 上单调递减 ∴ F ? x ? ? F ?1? ? 0 ∴ f ? x ? ? mg ? x ? ? 0 ∴m ?

1 合题意; 2

②当 m ? 0 时,显然有 F ' ? x ? ? ln x ?1 ? 2mx ? 0 ∴ F ? x ? 在 ?1 , ? ?? 上单调递增 ∴ F ? x ? ? F ?1? ? 0 即 f ? x ? ? mg ? x ? ? 0 不合题意 ③当 0 ? m ?

1 1 1 1 时, 令 G ' ? x ? ? ? 2m ? 0 解得:1 ? x ? , G ' ? x ? ? ? 2m ? 0 解得: 2 x 2m x

x?

1 2m

1 ] 上单调递增,∴ G (x) ? G ?1? ? 1 ? 2m ? 0 即 F ' ? x ? ? 0 2m 1 1 ] 上单调递增 ∴当 x ? (0, ) 时, F ? x ? ? F ? 0? ? 0 ∴ F ? x ? 在 [1, 2m 2m
∴ G ? x ? 在 [1, 即 f ? x ? ? mg ? x ? ? 0 不合题意 综合①②③可知, m ?

1 1 ? ?) ,合题意∴m 的取值范围是 [ , 2 2

12 分.

考点:1.导数在求函数最值中的应用;2.分类讨论思想. 56. (1)见解析; (2) (0,

2 )∪(6,+∞) 3

【解析】 试题分析: (1)只需证明 x=1 是导函数的零点,进而通过对 a 的讨论,可求出单调区间; (2)只需在(0,+∞)上 f(x)最小值<1 即可.

试题解析: (1)∵ f ( x) ?

1 3 1 ax ? (a ? 2) x 2 ? 2 x ? 1 3 2

∴f '(x)=ax -(a+2)x+2=a(x-1) (x-

2

2 ) a

当 a>2 时,0<

2 <1,列表如下: a

∴函数 f(x)在 x=1 处取得极小值, f(x)的单调递增区间是(-∞,

2 2 )和(1,+∞) ,单调递减区间是( ,1). a a

当 0<a<2 时,

2 >1,列表如下: a

∴函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(x)的单调递增区间是(-∞,1)和(

2 2 ,+∞) ,单调递减区间是(1, ). a a

(2)因为 f(0)=1,由(1)知要使在区间(0,+∞)上至少存在一点 x0,使得 f(x0) <1 成立,只需在区间(0,+∞)上 f(x)极小值<1 即可 当 a>2 时,f(x)极小值=f(1)=2-

a <1,所以 a>6. 6

当 0<a<2 时,f(x)极小值=f(

2 2 2(3a ? 2) )=1+ <1,解得 0<a< 2 a 3 3a 2 )∪(6,+∞) 3

综上所述,实数 a 的取值范围是(0,

考点:利用导数研究函数的单调性,极值,不等式恒成立问题 57. (1)g(x)的单调递增区间是(-1,0) ,单调递减区间是(0,+∞) ,g(x)的极大值 是 g(0)=0; (2)证明见解析;

(3)证明见解析. 【解析】

? ?? 试题分析: (1)函数 y ? f ?x ? 在某个区间内可导,则若 f ?x ? ? 0 ,则 f x 在这个区间内

? ?? 单调递增,若 f ?x ? ? 0 ,则 f x 在这个区间内单调递减; (2)求函数 f ?x ? 的极值的一般

? ? 步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f ? x ? ; (3)解方程 f ?x ? ? 0 ,求出函数定义域

? ? 内的所有根; (4)列表检验 f ? x ? 在 f ?x ? ? 0 的根 x 0 左右两侧的符号,如果在 x 0 附近的左
? ? ? 侧 f ?x ? ? 0 ,右侧 f ?x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值;如果在 x 0 附近的左侧 f ?x ? ? 0 ,右 ? 侧 f ?x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值; (3)利用导数方法证明不等式 f ?x ? ? g ?x ? 在区间 D 上
恒成立的基本方法是构造函数 h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? ,然后根据函数的单调性,或者函数的最 值证明函数 h?x ? ? 0 ,其中一个重要的技巧就是找到函数 h?x ? 在什么地方可以等于零,这 往往就是解决问题的一个突破口,观察式子的特点,找到特点证明不等式. 试题解析:解: (1)由已知有 g ( x) ? 于是 g ?( x) ?

f ( x+1) ? x = ln( x +1) ? x , x+1

1 x . ? 1= ? x+1 x ?1

? ? 故当 x∈(-1,0)时, g ( x) >0;当 x∈(0,+∞)时, g ( x) <0.
所以 g(x)的单调递增区间是(-1,0) ,单调递减区间是(0,+∞) , g(x)的极大值是 g(0)=0. 4分 f ( x ) ? f ( x ) ? 2 1 (2)因为 f ( x) ? ln x +1 ,所以 ln x0 +1 = ,于是 x2 ? x1
x ln x2 ? x1 ln x1 ln x0 ? ln x2 = f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ln x2 ? 1 = 2 ? ln x2 ? 1 x2 ? x1 x2 ? x1

= x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? 1 = ?1 , x2 x2 ? x1 ?1 x1 令

ln

x2 x1

x2 ln t ln t ? t ? 1 =t (t>1) , h(t )= , ?1 ? x1 t ?1 t ?1

因为 t ? 1 ? 0 ,只需证明 ln t ? t +1 ? 0 .

1 (t )? ln t ? t +1 ,则 ? ? 令? (t )? ? 1 ? 0 , t

+?) 递减,所以 ?(t )? ?(1)=0 , ∴ ?(t )在 t ? (1,
于是 h(t)<0,即 ln x0 ? ln x2 ,故 x0 ? x2 .

仿此可证 x1 ? x0 ,故 x1 ? x0 ? x2 .

10 分

1 1 (3)因为 a1 ? 1 , an?1 ? (1 ? n )an ? 2 ? an ,所以 {an } 单调递增, a n ≥1. 2 n 1 1 1 1 1 1 )an ? 2 ? (1 ? n )an ? 2 an =(1 ? n ? 2 )an , n 2 n 2 n 2 n 1 1 所以 ln an?1 ? ln an ? ln(1 ? n ? 2 ) . (*) 2 n
于是 an?1 ? (1 ? 由(1)知当 x>0 时, ln(1+x) <x. 所以(*)式变为 ln an?1 ? ln an ? 即 ln ak ? ln ak ?1 ?

1 1 ? . 2n n2

1 1 (k∈N,k≥2) , ? k ?1 2 (k ? 1) 2

令 k=2,3, , n,这 n-1 个式子相加得

ln an ? ln a1 ? (

1 1 + + 21 22

+

1 1 1 ) ?[ 2 ? 2 ? 2n ?1 1 2 ?

?

1 ] ( n ? 1) 2

?(1-

1 1 1 1 1 ) ?[ 2 ? 2 ? ? ? n ?1 2 1 2 2 ? 3 3? 4

1 ] ( n ? 2)(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ) ? [1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? n ?1 2 4 2 3 3 4 1 1 1 1 =(1- n?1 ) ?(1 ? ? ? ) 2 4 2 n ?1 11 1 1 11 = - n?1 ? ? , 4 2 n ?1 4
=(1-

?(

1 1 ? )] n ? 2 n ?1

11 11 11 ? ,所以 an ? e 4 . 即 ln an ? ln a1 ? 4 4

14 分

考点:1、利用导数求函数的单调区间和极值;2、证明不等式. 58. (1) 4 x ? y ? 1 ? 0 ;(2)当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间为 (?a, ) ,单调递增区 间为 (??, ?a) 和 ( , ??) ;当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间为 ( , ? a ) 单调递增区间为

a 3

a 3

a 3

a (??, ) 和 (?a, ??) . 3
【解析】
3 2 2 试题分析: (1) 首先根据 a ? 1 求出 f ( x) ? x ? x ? x ? 2 和 f ?( x) ? 3x ? 2 x ? 1 ,

即可求出切线斜率 k ? f ?(1) ? 4 ,

利用点斜式即可求出切线方程. (2)令 f ?( x) ? 0 得

a x ? ?a 或 x ? , 3
对 a 进行分类讨论,即可求出函数的单调区间. 试题解析:解: (1) ∵ a ? 1 ∴ f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? 2 ∴ f ?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 1 , ∴ k ? f ?(1) ? 4 , 又 f (1) ? 3 ,所以切点坐标为 (1,3) ∴ 所求切线方程为 y ? 3 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 1 ? 0 . (2) f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? a2 ? ( x ? a)(3x ? a) 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a 或 x ?

a , 3
a . 3

(1)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 , 得 ? a ? x ? 由 f ?( x) ? 0 , 得 x ? ?a 或 x ?

a 3 a a 此时 f ( x) 的单调递减区间为 (?a, ) ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) . 3 3 a (2)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? ? a . 3 a 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? ?a , 3 a a 此时 f ( x) 的单调递减区间为 ( , ? a ) ,单调递增区间为 ( ??, ) 和 (?a, ??) . 3 3 a a 综上:当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间为 (?a, ) ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) 3 3 a a 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间为 ( , ? a ) 单调递增区间为 ( ??, ) 和 (?a, ??) . 3 3
考点:1.导数在求曲线切线方程中的应用;2.导数在求函数单调性中的应用. 59. (1) f ( x ) ? 【解析】 试题分析: (I)首先求出 f(1)的值,得 b-a=-4,然后求导,得 f ' ? ?1? ?

2x ? 2 ;(2)详见解析. x2 ?1 b ? ?1 ,就可 2

2 以求出 a、b 的值,得出函数的解析式; (II)将不等式整理得出 x ? 1 ln x ? 2 x ? 2 ,问

?

?

2 h x) ? x2 ln x ? ln x ? 2 x ? 2 , 题转化成 x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在[1, +∞) 上恒成立, 设(

' x) ? 0 ,可知 h ? x ? 在[1,+∞)上单调递增,从而求出 h 并求出 h ' ? x ? ,得出 x≥1 时 h(
(x)的最小值,即可得到结论. 试题解析:解: (Ⅰ)将 x ? 1 代入切线方程得 y ? 0

∴ f (1) ?

a ?b ? 0 ,化简得 a ? b ? 0 1?1

2分

f ?( x) ?

a( x 2 ? 1) ? (ax ? b) ? 2 x (1 ? x2 )2
2a ? 2(a ? b) ?1 4

由题意,切线的斜率为 1 ,即 f ?(1) ? 解得: b ? 2, a ? 2 . ∴ f ( x) ?

2x ? 2 . x2 ?1 2x ? 2 在 [1 上恒成立 , ? ?) x2 ? 1

4分

(Ⅱ)由已知得 ln x ?

2 化简得 x ? 1 ln x ? 2 x ? 2

?

?

2 即 x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1 上恒成立. , ? ?)

(8 分)

h x) ? x 2 ln x ? ln x ? 2 x ? 2,h?( x)=2 x ln x ? x ? 设(
∵ x ? 1? 2 x ln x ? 0,x ?

1 ?2 x
(10 分)

1 ' x) ?0 . ? 2 ,即 h( x

h x) ?( h1 ) ?0 ∴h(x)在 [1 上单调递增, ( , ? ?)
∴g(x)≥f(x)在 x∈[1,+∞)上恒成立. (12 分) . 考点:1.利用导数研究曲线上某点切线方程;2.函数恒成立问题. 60. (1) a ? 0 ; (2) f ( x ) 在 [1, a] 上的最大值为 f (1) ? ?6 ; (3)存在,实数 b 的取值 范围为 b ? ?7 且 b ? ?3 . 【解析】 试题分析: (1)若 f ( x ) 在区间 [1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围,可利用导数法, 故对函数 f ( x ) 求导函数,利用 f ( x ) 在区间 [1,??) 上是增函数,可得 f ' ( x) ? 0, 在区间

[1,??) 上恒成立,即 3x 2 ? 2ax ? 3 ? 0 在 [1,??) 上恒成立,即 2a ? 3 x ?
小值,从而可求实数 a 的取值范围; (2)若 x ? ?

3 3 ,求出 3 x ? 最 x x

1 是 f ( x ) 的极值点,求 f ( x ) 在 [1, a] 上 3 1 的最大值,先求出函数 f ( x ) 的解析式,可利用 x ? ? 是 f ( x ) 的极值点,求出 a 的值,再 3
求出函数的极值,把极值同两个端点的值进行比较得到最值; (3)在(2)的条件下,是否 存在实数 b,使得函数 g ( x) ? bx 的图象与函数 f ( x ) 的图象恰有 3 个交点,若存在,请求 出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由,这是探索性命题,一般假设其存在,本题假 设 存 在 实 数 b , 使 得 函 数 g ( x) ? bx 的 图 象 与 函 数 f ( x ) 的 图 象 恰 有 3 个 交 点 , 即

x 3 ? 4 x 2 ? 3x ? bx 恰有 3 个不等实根, 注意到 x ? 0 是其中一个根, 只需 x 2 ? 4 x ? 3 ? b ? 0
?? ? 16 ? 4(3 ? b) ? 0 有两个不等零的不等实根. ,可由二次方程得 ? ,从而可求的实数 b 的取 ?3 ? b ? 0 ?
值范围. 试题解析: (1) f '( x) ? 3x2 ? 2ax ? 3

? f ( x) 在[1,+ ? )单增 ? f ' ( x) 在[1,+ ? )

上 恒 有 f ' ( x) ? 0, 即 3x 2 ? 2ax ? 3 ? 0 在 [1,??) 上 恒 成 立 , 则 必 有

a ? 1, 且 3

f ' (1) ? ?2a ? 0,? a ? 0
(2) f ' ( ? ) ? 0 ,即

4分

1 2 ? a ? 3 ? 0,? a ? 4,? f ( x) ? x 3 ? 4 x 2 ? 3x ,令 3 3 1 f '( x) ? 3x 2 ? 8 x ? 3 ? 0 ? x1 ? ? , x2 ? 3 ,则 3
1 (1,3) _ -6 3 0 -18 (3,4) + -12 4

1 3

x

f '( x )
f ( x)

? f ( x) 在[1,4]上最大值 f (1) ? ?6

8分

3 2 (3)函数 g ? x ? ? bx 的图象与 f ( x) 图象恰有 3 个交点,即 x ? 4 x ? 3x ? bx 恰有 3 个不

3 2 等实根,? x ? 4 x ? 3x ? bx ? 0 ,其中 x ? 0 是其中一个根

? x 2 ? 4 x ? 3 ? b ? 0 ,有两个不等零的不等实根.
?? ? 16 ? 4(3 ? b) ? 0 ∴? , ? b ? ?7 且 b ? ?3 ?3 ? b ? 0 ?
考点:函数单调性,函数最值,方程的根. 13 分

0 ? x ? 20 ? 60, ? 61. (1) v ? x ? = ? 1 ; (2) 当车流密度为 100 辆/千米时,车 ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200 ? ?3
流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 【解析】 试题分析: (1)本题是一个分段函数,当车流量小于等于 20 时,速度为 60 千米/小时, 当车流量大于 20 时小于或等于 200 时通过两端点解出一次函数的解析式. (2)通过计算分 段函数一个是一次函数,一个是二次函数来确定最大值.本题属于分段函数的应用,这类应 用题关键就是审清题意. 分段函数的最大值是分别求出各段函数的最大值, 再求出总的最大

值.

0 ?x? 2 0 0 试题解析: (Ⅰ) 由题意: 当 0 ? x ? 20 时, 当2 v ? x ? ? 60 ;

时, 设 v ? x ? ? ax ? b ,

1 ? a?? ? ?200a ? b ? 0 ? 3 显然 v ? x ? ? ax ? b 在 ? 20, 200? 是减函数,由已知得 ? , ,解得 ? ?20a ? b ? 60 ?b ? 200 , ? 3 ?

0 ? x ? 20 ? 60, ? 故函数 v ? x ? 的表达式为 v ? x ? = ? 1 ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200, ? ?3

6分

0 ? x ? 20 ? 60 x, ? (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ? x ? ? ? 1 x ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200, ? ?3

8分

当 0 ? x ? 20 时, f ? x ? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ;

1 1 ? x ? ? 200 ? x ? ? 10000 当 20 ? x ? 200 时, f ? x ? ? x ? 200 ? x ? ? ? , ? ? 3 3? 2 3 ?
2

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立.

10000 . .12 分 3 10000 ? 3333. , 综上,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ?0,200? 上取得最大值 3
所以,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ? 20, 200? 上取得最大值 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大, 最大值约为 3333 辆/小时 . . .13 分 考点:函数的应用问题.

0?a?
62. ( 1)

1 2; (2) f ( x) 在区间 (?1, x1 ) , ( x2 ,??) 上单调递增,在区间 ( x1 , x2 ) 上
m? 1 ? 2 ln 2 4 .

单调递减; (3)实数 m 的取值范围为

【解析】 试 题分析 : ( 1 )求实 数 a 的 取值范围 ,先确 定函数 的定义域 为 x ? ?1 ,然 后求导 数

f '( x) ?

2x2 ? 2x ? a 2 x ?1 ,令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ,由题意知 x1 , x2 是方程 g ( x) ? 0 的两个均

大于 ?1 的不相等的实根,建立不等关系解之即可; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性,在函数的 定义域内解不等式 f ' ( x) ? 0 和 f ' ( x) ? 0 ,求出单调区间; (3)若对任意的 x ? ( x1 ,??) ,

都有 f ( x) ? m 成立,求实数 m 的取值范围, x2 是方程 g ( x) ? 0 的根,将 a 用 x2 表示,消去

a 得到关于 x2 的函数,研究函数的单调性求出函数的最大值,即可求 m 的取值范围.
f ' ( x) ? 2 x ? a 2x2 ? 2x ? a ? x ?1 x ?1 ( x ? ?1) .

试题解析: (1)由 f ( x) ? x ? a ln( x ? 1) 可得
2

令 g ( x) ? 2 x 2 ? 2 x ? a ( x ? ?1) , 则 其 对 称 轴 为

x??

1 2 , 故 由 题 意 可 知 x1 , x2 是 方 程
? g (?1) ? a ? 0

? ? 4 ? 8a ? 0 , g ( x) ? 0 的两个均大于 ? 1 的不相等的实数根,其充要条件为 ? ?

0?a?
解得

1 2.
f ' ( x) ?

4分
2 x 2 ? 2 x ? a 2( x ? x1 )( x ? x2 ) ? x ?1 x ?1 ,其中 ? 1 ? x1 ? x2 ,故

(2)由(1)可知

①当 x ? (?1, x1 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 (?1, x1 ) 上单调递增; ②当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递减; ③当 x ? ( x2 ,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 ( x2 ,??) 上单调递增. (3)由(2)可知 f ( x) 在区间 ( x1 ,??) 上的最小值为 f ( x2 ) . 8分

1 ? x2 ? 0 2 又由于 g (0) ? a ? 0 ,因此 2 .又由 g ( x2 ) ? 2 x2 ? 2 x2 ? a ? 0 ?
可得 a ? ?(2 x2 ? 2 x2 ) ,从而 f ( x2 ) ? x2 ? a ln( x2 ? 1) ? x2 ? (2 x2 ? 2 x2 ) ln( x2 ? 1) .
2 2 2 2

1 ?x?0 设 h( x) ? x ? (2 x ? 2 x) ln( x ? 1) ,其中 2 ,
2 2

?

则 h' ( x) ? 2 x ? 2(2 x ? 1) ln( x ? 1) ? 2 x ? ?2(2 x ? 1) ln( x ? 1) .

1 1 ?x?0 (? ,0) 由 2 知: 2 x ? 1 ? 0 , ln( x ? 1) ? 0 ,故 h' ( x) ? 0 ,故 h( x) 在 2 上单调递增. ?
1 1 ? 2 ln 2 f ( x2 ) ? h ( x2 ) ? h ( ? ) ? 2 4 所以, . m? 1 ? 2 ln 2 4 .

所以,实数 m 的取值范围为

13 分

考点:函数极值,函数单调性,恒成立问题. 63. (1)国家至少需要补贴 700 万元,该工厂才不会亏损; (2)当处理量为 40 吨时,每吨 的平均处理成本最少. 【解析】 试题分析: (1) 利用每处理一吨二氧化碳可得价值为 20 万元的某种化工产品, 及处理成本 y (万元)与处理量 x (吨)之间的函数关系,可得利润函数,利用配方法,即可求得结论; (2)求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数是分段函数,再分段求出函数的最值,比较其 大小,即可求得结论. 试 题 解 析 : ( Ⅰ ) 当 x ??3 0 ,? 5时 0, 设 该 工 厂 获 利 为 S , 则

S ? 2 0x ? ?

2

x ? 4 0 x ? ?1 6 ?0?0 ?x ?

2

?

3 0? 7?0 0 ? 时, S ? 0 ,因此, ,所以当 x ?30,50

该工厂不会获利,所以国家至少需要补贴 700 万元,该工厂才不会亏损; 5分 ( Ⅱ ) 由 题 意 可 知 , 二 氧 化 碳 的 每 吨 平 均 处 理 成 本 为

? 1 2 64 x ? , x ? ?10,30 ? y ? ? 25 x P ? x? ? ? ? , x ? 1600 x? ? 40, x ? ?30,50? ? x ?

6分

3 1 2 64 2 64 2 x ? 8000 ' P ? x? ? x ? P ? x? ? x? 2 ? 25 x ,所以 25 x 25 x 2 (1)当 x ??10,30? 时, ,

?

?

因为 x ??10,30? ,所以当 x ??10,20? 时, P ? x ? ? 0 , P ? x ? 为减函数;当 x ?? 20,30? 时,
'

P' ? x ? ? 0 , P ? x ? 为 增 函 数 , 所 以 当 x ? 20 时 , P ? x ? 取 得 极 小 值
P ? 20 ? ? 202 640 ? ? 48 25 20 .

9分

? ( 2 ) 当 x ??3 0 , 5?0时 , P ? x? ? x
x?

1600 1600 ? 4 0? 2 ?x ? 4? 0 x x

4 0当 且 仅 当 ,

1600 x ,即 x ? 40 ??30,50? 时, P ? x ? 取最小值 P ? 40? ? 40 ,

12 分 13 分

因为 48 ? 40 ,所以当处理量为 40 吨时,每吨的平均处理成本最少. 考点:应用题,基本不等式.

3 1 1 4? a ? e?2? f ( x )min ? f ( ) ? ? e. e e ; (3) 64. (1) y ? 4ex ? 3e ;(2)
【解析】 试题分析: (1)写出当 a=5 时 g(x)的表达式,求出导数,求得切线的斜率和切点,再由 点斜式方程,即可得到切线方程;

(2)求出 f(x)的导数,求出极值点,讨论①当 t ? 的单调性,即可得到最小值;

1 1 时,②当 0<t< 时,函数 f(x) e e 3 3 ,令 h(x)═x+2lnx+ , x x

(3)由 g(x)=2e f(x)可得 2xlnx=-x +ax-3,得到 a=x+2lnx+

x

2

求出导数,列表求出极值,求出端点的函数值,即可得到所求范围. 试题解析: (1)当 a ? 5 时 g( x ) ? (? x ? 5 x ? 3) ? e , g (1) ? e .
2 x

g?( x ) ? (? x 2 ? 3 x ? 2) ? e x ,故切线的斜率为 g?(1) ? 4e .
所以切线方程为: y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 y ? 4ex ? 3e .

? (2) f ( x ) ? ln x ? 1 ,

x
f ?( x ) f ( x)

1 (0, ) e ?
单调递减

1 e

1 ( , ??) e

0
极小值(最小值)

?
单调递增

t?
当 所以

1 e 时,在区间 ( t , t ? 2) 上 f ( x ) 为增函数,

f ( x)min ? f (t ) ? t ln t
0?t ? 1 1 ?1 ? (t , ) ,t ? 2? f ( x) e 时,在区间 e 上 f ( x ) 为减函数,在区间 ? 为增函数, ?e ?上

②当

1 1 f ( x )min ? f ( ) ? ? e e 所以
x 2 (3)由 g( x) ? 2e f ( x) ,可得: 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,

a ? x ? 2 ln x ?

3 x,



h( x) ? x ? 2 ln x ?

2 3 ( x ? 3)( x ? 1) 3 h ?( x) ? 1 ? ? 2 ? x x x2 x, .

x

h ?( x )

1 ( ,1) e ?

1

(1,e)

0

?

h( x)

单调递减

极小值(最小值)

单调递增

1 1 3 h( ) ? ? 3e ? 2 h(e) ? ? e ? 2 (1) ? 4 , e e e ,h . 1 2 h(e) ? h( ) ? 4 ? 2e ? ? 0 e e .
4? a ? e?2? 3 e

实数 a 的取值范围为

考点:1.利用导数研究曲线上某点切线方程;2.利用导数求闭区间上函数的最值. 65. (1)最大值为 f (0) ? 0 ; (2)①存在, b 的取值范围是 ?1,??? ;②祥见解析. 【解析】 试题分析: (1)由已知得: f ?( x) ?

1

?1 ? x ?

2

?

a ,且函数 f(x)在 x=0 处有极值,得 1? x

a=1,从而求出函数的表达式,找出单调区间求出最值; (2)由已知得: g ?( x ) ?

1 ? b 再对 b 分情况讨论:①若 b≥1,②若 b≤0,③若 0<b< 1? x

1 综合得出 b 的取值范围是 x∈[1,+∞) ; (3)由前两问综合得出. 试题解析: (1)由已知得: f ?( x) ?

1

?1 ? x ?

2

?

a ,且函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值 1? x

∴ f ?(0) ?

1

?1 ? 0?

2

?

a ? 0 ,即 a ? 1 1? 0

∴ f ( x) ?

x 1 1 ?x ? ln(1 ? x), ∴ f ?( x) ? , ? ? 2 2 1? x ?1 ? x ? 1 ? x ?1 ? x ?

当 x ? ? ?1,0? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 x ? ? 0, ??? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; ∴函数 f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0 (2)①由已知得: g ?( x ) ?

1 ?b 1? x 1 ?b ? 0 1? x

(i)若 b ? 1 ,则 x ? ?0, ?? ? 时, g ?( x ) ?

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; (ii)若 b ? 0 ,则 x ? ?0, ?? ? 时, g ?( x ) ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立;----6 分 (iii)若 0 ? b ? 1 ,则 g ?( x ) ? 当 x ? ?0,

1 1 ? b ? 0 时, x ? ? 1 , b 1? x

? 1 ? ? 1 ? ? 1? 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ? 1 ? 上为增函数, ? b ? ? b ?

此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 , ∴不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; 综上所述, b 的取值范围是 ?1,??? ②由以上得:

1 x ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0) ,取 x ? 得: n 1? x 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? 1? n n n

令 xn ?

?k
k ?1

n

2

k ? ln n , ?1

则 x1 ?

n 1 ? n 1 1 1 ? ? ln ?1 ? ? ?? 2 ?0. , xn ? xn ?1 ? 2 ?? 2 n ?1 2 n ?1 n ? n ?1 ? n ?1 n

?

?

因此 xn ? xn ?1 ? ??? ? x1 ?
n

n 1 k 1 ;即: ? 2 ? ln n ? . 2 2 k ?1 k ? 1
n ?1

又 ln n ?

?? ?ln k ? ln ? k ? 1?? ? ? ln1 ? ? ln ?1 ? k ? ? ?
k ?2 k ?1

?

1?

故 xn ?

n ?1 k n ? 1 ? n?1 ? k ? 1 ?? ? ln ? ln ?1 ? ?? ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 2 ? k ? k ?1 ? k ? 1 ? k ?? n ? 1 k ?1 k ? 1 k ?1 n

? ?(
k ?1

n ?1

n ?1 n ?1 k 1 1 1 1 ? ) ? ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? 2 2 n k ?1 k k ?1 (k ? 1)k k ?1 (k ? 1)k

综上所述:不等式 ?1 ? ?

k 1 ? ln n ? ? n ? 1, 2, ???? 成立 2 k ?1 k ? 1
2

n

考点:1. 利用导数研究函数的单调性;2. 利用导数求闭区间上函数的最值. 66. (1) f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是单调递增函数; (2) a=- e ; (3) a ? ?1 . 【解析】 试题分析: (1) 由题意知 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? ,求导数知 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上 是单调递增函数;

a ? ?1 ;② a ? ? e ;③ (2)讨论① ?e ? a ? ?1, 等几种情况,通过研究函数的单调性、确定
最小值,建立方程求解. (3)由已知得到 a ? xln x ? x3 , 令 g ? x ? ? xln x ? x , h ? x ? ? g ? ? x ? ? 1 ? ln x ? 3x , h? ? x ? ?
3 2

1 1 ? 6 x2 ? 6x ? .. x x

通过讨论函数的单调性明确 g

? x? ? g ?1? ? ?1得解.
1 a x?a + = 2 , a>0, , x x2 x

试题解析: (1)由题意知 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? ,且 f '(x)= ∴f ? ? x ? ? 0 , 故 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是单调递增函数 (2)由(1)可知, f ? ? x ? =

4分

x?a . x2

① 若 a ? ?1 ,则 x ? a ? 0 ,即 f ? ? x ? ? 0 在 ?1, e? 上恒成立, 此时 f ? x ? 在 ?1, e? 上为增函数, ∴f ? x ?min =f(1)=-a=

3 3 , ? a=- (舍去) 2 2

6分

② 若 a ? ? e ,则 x ? a ? 0 ,即 f ? ? x ? ? 0 在 ?1, e? 上恒成立, 此时 f ? x ? 在 ?1, e? 上为减函数, ∴f ? x ?min =f(e)=1-

a 3 e = , ? a=- (舍去) e 2 2

8分

③ 若 ?e ? a ? ?1, 令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? ? a , 当 1 ? x ? ? a 时, f ? ? x ? ? 0, ∴f ? x ? 在 ?1, ?a ? 上为减函数; 当 ?a ? x ? e 时, f ? ? x ? ? 0 ,∴f ? x ? 在 ? ?a, e ? 上为增函数, ∴f ? x ?min =f (-a)=ln(-a)+1=

3 , ? a=- e .综上所述, a=- e 2

10 分

f(x)<x 2 , ? ln x(3)∵

a 2 <x .又 x ? 0,? a ? xln x ? x3 , x

令 g ? x ? ? xln x ? x , h ? x ? ? g ? ? x ? ? 1 ? ln x ? 3x , h? ? x ? ?
3 2

1 1 ? 6 x2 ? 6x ? .. x x

∵ x ? ?1, ?? ? 时, h? ? x ? ? 0, ?h ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上是减函数. ∴ h ? x ? ? h ?1? ? ?2 ? 0 ,即 g? ? x ? ? 0,? g ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上也是减函数.
2 当 a ? ?1 时, f ? x ? ? x 在 x ? ?1, ?? ? 上恒成立 g ? x ? ? g ?1? ? ?1,∴

14 分

考点:1.应用导数研究函数的单调性、极值、最值;2.转化与化归思想.
7 67. (1) a ? ?3 .(2) a ? ? . 2 【解析】

试题分析: (1)求导数 f '( x) ? 2 x ?
2 x

2a 2 x2 ? 2a ,由已知 f '(2) ? 1 ,解得 a ? ?3 . ? x x
2 2a , ? 2x ? 2 x x

(2)由 g ( x) ? ? x2 ? 2a ln x 得 g '( x) ? ?

由已知函数 g ( x) 为 [1, 2] 上的单调减函数, 转化成 ?
2 2a 1 ? 2x ? ? 0 在 [1, 2] 上恒成立.即 a ? ? x 2 在 [1, 2] 上恒成立. x x x2 1 x

令 h( x) ? ? x2 ,在 [1, 2] 上 h '( x) ? ? 可得 h( x) 在 [1, 2] 为减函数. h( x)
7 得解 a ? ? . 2

1 1 ? 2x ? ?( 2 ? 2 x) ? 0 , x2 x

min

7 ? h(2) ? ? , 2

2a 2 x2 ? 2a ? x x 由已知 f '(2) ? 1 ,解得 a ? ?3 . 4分

试题解析: (1) f '( x) ? 2 x ?

2分

(2)由 g ( x) ? ? x2 ? 2a ln x 得 g '( x) ? ?

2 x

2 2a , ? 2x ? x x2

由已知函数 g ( x) 为 [1, 2] 上的单调减函数, 则 g '( x) ? 0 在 [1, 2] 上恒成立, 即?
2 2a ? 2x ? ? 0 在 [1, 2] 上恒成立. 2 x x 1 ? x 2 在 [1, 2] 上恒成立. x 1 x

即a?

9分
1 1 ? 2x ? ?( 2 ? 2 x) ? 0 , x2 x

令 h( x) ? ? x2 ,在 [1, 2] 上 h '( x) ? ? 所以 h( x) 在 [1, 2] 为减函数. h( x)

min

7 ? h(2) ? ? , 2

7 所以 a ? ? . 13 分 2 考点:1.应用导数研究函数的单调性、最值;2.导数的几何意义;3.转化与化归思想.

68. (1)函数 f ( x) 的增区间是 ? a, ??? 和 ? 0,1? ,减区间是 ?1, a ? ; (2) a? ? 【解析】 试 题 分 析 : (1) 由 已 知

1 ; (3)略. 2
可 得

f ' ( x) ?

a x 2 ? (1 ? a) x ? a ( x ? a)( x ? 1) ? x ? (1 ? a) ? ? ( x ? 0) , x x x

当 a ? 0 时,令 f ' ( x) ? 0 得 x ? 1 ; f ' ( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 , 此时,函数 f ( x) 的增区间是 ?1. ? ?? ,减区间是 ? 0,1? , ①当 0 ? a ? 1 时,令 f ' ( x) ? 0 得 x ? 1 或 0 ? x ? a ;令 f ' ( x) ? 0 得 a ? x ? 1 , 此时,函数 f ( x) 的增区间是 ?1, ?? ? 和 ? 0, a ? ,减区间是 ? a,1? ; ②当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 对任意 x ? ? 0, ??? 恒成立, 此时,函数 f ( x) 的增区间是 ? 0, ?? ? ,无减区间;
' ' ③当 a ? 1 时,令 f ( x) ? 0 得 x ? a 或 0 ? x ? 1 ; f ( x) ? 0 得 1 ? x ? a ,

综上可得,函数 f ( x) 的增区间是 ? a, ??? 和 ? 0,1? ,减区间是 ?1, a ? . (2) 由于 f ?1? ? ?

1 ? a ,显然当 a ? 0 时, f ?1? ? 0 ,此时 f ? x ? … 0 对定义域内的任意 x 2

不是恒成立的;当 a? 0 时,根据(1)函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上的极小值(也是最小值) 是 f ?1? ? ?

1 1 ? a ,此时只要 f ? x ? … 0 即可,解得 a? ? ,故实数 a 的了取值范围是 2 2

1 a? ? . 2
( 3 )当 a ? ?

1 1 1 2 1 时, f ( x) ? ? ln x ? x ? x ? 0 (当且仅当 x ? 1 时等号成立)则 2 2 2 2 1 1 1 1 ? 2 ? ? ,分别令 ln x ? x 2 ? x , 当 x ? 1 时 , 此 不 等 式 可 以 变 形 为 ln x x ? x x ? 1 x
x ? m ? 1, m ? 2, m ? 3, ,m? n , 则

1 1 1 ? ? ? ln(m ? 1) ln(m ? 2) ln(m ? 3)

?

1 ln( m ? n)

?(

1 1 1 1 ? )?( ? )? m m ?1 m ?1 m ? 2

?(

1 1 n 1 1 ? )? ? ? m ? n ?1 m ? n m m ? n m( m ? n )

所以

1 1 ? ? ln(m ? 1) ln(m ? 2)

?

1 n ? . ln(m ? n) m(m ? n)

试题解析:(1)因为 f ( x) ?
'

a x 2 ? (1 ? a) x ? a ( x ? a)( x ? 1) ? x ? (1 ? a) ? ? ( x ? 0) x x x

当 a ? 0 时,令 f ' ( x) ? 0 得 x ? 1 ; f ' ( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 此时,函数 f ( x) 的增区间是 ?1. ? ?? ,减区间是 ? 0,1? 当 0 ? a ? 1 时,令 f ' ( x) ? 0 得 x ? 1 或 0 ? x ? a ; f ' ( x) ? 0 得 a ? x ? 1 此时,函数 f ( x) 的增区间是 ?1, ?? ? 和 ? 0, a ? ,减区间是 ? a,1? 当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 对任意 x ? ? 0, ??? 恒成立, 此时,函数 f ( x) 的增区间是 ? 0, ?? ? ,无减区间 当 a ? 1 时,令 f ' ( x) ? 0 得 x ? a 或 0 ? x ? 1 ; f ' ( x) ? 0 得 1 ? x ? a 此时,函数 f ( x) 的增区间是 ? a, ??? 和 ? 0,1? ,减区间是 ?1, a ? . (2)由于 f ?1? ? ? (4 分)

1 ? a ,显然当 a ? 0 时, f ?1? ? 0 ,此时, f ? x ? … 0 对定义域内的任 2

意 x 不是恒成立的;当 a? 0 时,根据(1)函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上的极小值(也是最 小值)是 f ?1? ? ? 是 a? ?

1 1 ? a ,此时只要 f ? x ? … 0 即可,解得 a? ? ,故实数 a 的了取值范围 2 2
(8 分)

1 . 2

( 3 )当 a ? ?

1 1 1 2 1 时, f ( x) ? ? ln x ? x ? x ? 0 (当且仅当 x ? 1 时等号成立)则 2 2 2 2 1 1 1 1 ? 2 ? ? ,分别令 ln x ? x 2 ? x , 当 x ? 1 时 , 此 不 等 式 可 以 变 形 为 ln x x ? x x ? 1 x
x ? m ? 1, m ? 2, m ? 3, ,m? n , 则

1 1 1 ? ? ? ln(m ? 1) ln(m ? 2) ln(m ? 3)

?

1 ln( m ? n)

?(

1 1 1 1 ? )?( ? )? m m ?1 m ?1 m ? 2

?(

1 1 n 1 1 ? )? ? ? m ? n ?1 m ? n m m ? n m( m ? n )

所以

1 1 ? ? ln(m ? 1) ln(m ? 2)

?

1 n ? . ln(m ? n) m(m ? n)

考点:1.导数应用;2.函数最值;3.不等式证明. 69 . ( 1 ) x ? 2 y ? 2 ln 2 ? 0 ; ( 2 )函数 y ? f ( x) 的极小值为 f (1) ? 0 , 无极大值; ( 3)

b ? 1?

1 . e2

【解析】 试题分析: (1)先求出 f ( 2) ,再根据导数的几何意义,求出该点的导数值,即可得出曲线 在此点处的切线的斜率,然后用点斜式写出切线方程即可; (2)令导数大于 0 解出函数

y ? f ( x) 的增区间;令导数小于 0,解出函数 y ? f ( x) 的减区间,然后由极值判断规则确
定极值即可; (3)由 ?x? (0, ??), f (x ) ? bx ?2 恒成立,于是构造函数 g ( x) ? 1 ? 恒成立,得到 b ? 1 ?

1 ln x ? 在 (0, ??) 上 x x

1 ln x ? ,即可将所求问题转化为 b ? g ( x) min . x x 1 1 试题解析: (1)函数的定义域为 (0,??) , f ' ( x) ? 1 ? , f ' ( 2) ? , f (2) ? 1 ? ln 2 , x 2 1 ? 曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? (1 ? ln 2) ? ( x ? 2) , 2
即 x ? 2 y ? 2 ln 2 ? 0 , (2)令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 列表:

x
f ' ( x)

(0,1)


1
0

(1,??)
+ ↗

f ( x)

0

? 函数 y ? f ( x) 的极小值为 f (1) ? 0 , 无极大值。
(3)依题意对 ?x ? (0, ??), f ( x) ? bx ? 2 恒成立 等价于 x ? 1 ? ln x ? bx ? 2 在 (0, ??) 上恒成立

1 ln x ? 在 (0, ??) 上恒成立, x x 1 ln x ln x ? 2 令 g ( x) ? 1 ? x ? x , g ' ( x ) ? x 2
可得 b ? 1 ? 令 g ' ( x) ? 0 ,得 x ? e 列表:
2

x

(0, e 2 )

e2

(e 2 ,??)

g ' ( x)
g ( x)



0

+

1?

1 e2



? 函数 y ? g ( x) 的最小值为 g (e 2 ) ? 1 ?
根据题意, b ? 1 ?

1 , e2

1 . e2

考点:导数在最大值、最下值问题中的应用;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线 上某点切线方程. 70. (1)函数 (2) M

f ? x ? 的递减区间为 ? 0,ln 2? ,递增区间为 ? ??,0 ? , ? ln 2, ???

? ? k ?1? ek ? k 3

【解析】 (1)根据 k 的取值化简函数的表达式,明确函数的定义域,然后利用求导研究函数 的单调区间,中规中矩; (2)借助构造函数的技巧进行求解,如构造 g (k ) ? ln(2k ) ? k 达 到证明 ln(2k ) ? k 的目的,构造 h ? k ? ? ? k ?1? e (1) 当 k ? 1 时,
k

? k 3 ?1 达到证明 h ? k ? ? 0 的目的.

f ? x ? ? ? x ?1? ex ? x2 , f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 x ? xe x ? 2 x ? x ? e x ? 2 ?


f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2

当 x 变化时,

f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:
0 0
极大值

x
f ? ? x? f ? x?

? ??,0?
?

?0,ln 2?
?

ln 2

? ln 2, ???
?

0
极小值

由表可知,函数

f ? x ? 的递减区间为 ? 0,ln 2? ,递增区间为 ? ??,0 ? , ? ln 2, ??? .

x x x x (2) f ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? e ? 2kx ? xe ? 2kx ? x e ? 2k ,

?

?



f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2k ? ,
1 1? k ?1 ? ?1 ? ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? ,1? 上递增, k k ?2 ?

令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k ,则 g ? ? k ? ?

所以 g ? k ? ? ln 2 ? 1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ? 所以当 x ?

? 0, k ?

?0,ln ? 2k ?? 时, f ? ? x? ? 0 ;当 x ??ln ? 2k ? , ??? 时, f ? ? x? ? 0 ;
? ?

所以 M ? max f ? 0? , f ? k ? ? max ? 1,? k ? 1? ek ? k 3 令 h ? k ? ? ? k ?1? e 令 ? ?k ? ? e
k k

?

?

? k 3 ?1 ,则 h? ? k ? ? k ? ek ? 3k ? ,

? 3k ,则 ?? ? k ? ? ek ? 3 ? e ? 3 ? 0
3? ?1 ? ?1? ? ,1? 上递减,而 ? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 2? ?2 ? ?2? ?
?1 ? ?1 ? ,1? 使得 ? ? x0 ? ? 0 ,且当 k ? ? , x0 ? 时, ? ? k ? ? 0 , ?2 ? ?2 ?

所以 ? ? k ? 在 ?

所以存在 x0 ? ?

当 k ? ? x0 ,1? 时, ? ? k ? ? 0 , 所以 ? ? k ? 在 ? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减.

?1 ?2

? ?

因为 h ?

1 7 ?1? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 , ??? 2 8 ?2?
?1 ? ,1 上恒成立,当且仅当 k ? 1 时取得“ ? ”. ?2 ? ?

所以 h ? k ? ? 0 在 ? 综上,函数

f ? x ? 在 ?0, k ? 上的最大值 M ? ? k ?1? ek ? k3 .
3 ?3 ? ,c ? 3 ; (2) ? ,3 ? . 2 ?e ?

71. (1) b ? ? 【解析】

试题分析: (1)利用导数的几何意义求曲线在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程,注意这个点的切点, 利用导数的几何意义求切线的斜率 k ? f ??1? ; (2)求函数的最值,求出函数的极值和端点 值,然后比较去最大的为最大值,最小的为最小值; ( 3)求函数 f ?x ? 的极值的一般步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f ?? x ? ; (3)解方程 f ??x ? ? 0 ,求出函数定义域内的 所有根; ( 4)列表检验 f ?? x ? 在 f ??x ? ? 0 的根 x 0 左右两侧的符号,如果在 x 0 附近的左侧

f ??x ? ? 0 ,右侧 f ??x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值;如果在 x 0 附近的左侧 f ??x ? ? 0 ,右侧

f ??x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
试题解析: (1) f '( x) ? 3x2 ? 2bx ? c ,∴ f '(1) ? 2b ? c ? 3 ? 3 又 f (1) ? b ? c ? 1 , (1, f (1)) 在直线 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,∴ 6 ? 2(b ? c ? 1) ? 1 ? 0 , 解得 b ? ?

3 ,c ? 3 2
x 2

3x 2 ? 3x ? 3 (2)∵ g ( x) ? f '( x) ,∴ ae ? 3x ? 3x ? 3 , ∴ a ? ex
令 h( x ) ?

3x 2 ? 3x ? 3 , x ? ? 0, 2? , ex (6 x ? 3)e x ? (3x 2 ? 3x ? 3)e x ?3( x 2 ? 3x ? 2) ? e2 x ex

则 h '( x) ?

当 x 变化时, h( x) 与 h '( x ) 的变化如表所示

x
h '( x ) h( x )

(0,1)
— 单调递减

1 0

(1,2) + 单调递增

2 0

3 e
3 9 ,有极大值 h(2) ? 2 e e

9 e2

∴ h( x) 有极小值 h(1) ? ∵ h(0) ? 3 ?

9 ?3 ? , ∴ h( x) 的值域为 ? ,3 ? , 2 e ?e ?
(2)见解析

∴ a 的取值范围为 ? ,3 ? .

?3 ?e

? ?

考点:1、导数的几何意义;2、利用导数求函数的最值. 72. (1) a ? ?1 【解析】

试题分析: (1)利用导数方法证明不等式 f ?x ? ? g ?x ? 在区间 D 上恒成立的基本方法是构造 函数 h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? ,然后根据函数的单调性,或者函数的最值证明函数 h?x ? ? 0 ,其 中一个重要的技巧就是找到函数 h?x ? 在什么地方可以等于零,这往往就是解决问题的一个 突破口,观察式子的特点,找到特点证明不等式; (2)含参数的一元二次不等式在某区间内 恒成立的问题通常有两种处理方法: 一是利用二次函数在区间上的最值来处理; 二是分离参 数,再去求函数的最值来处理,一般后者比较简单.

试题解析: (1)∵ f '( x ) ? ln x ? ∵ x ln x ? 1 ? x 2 ? ax ? 1

1 x

∴ xf '( x) ? x ln x ? 1

∴ ln x ? x ? a

令 g ( x) ? ln x ? x ,则 g '( x ) ? ∴ g ( x) ? g (1) ? ?1 ? a

1 ?1 x

从而 gmax ( x) ? 1

∴ a ?? ?1, ??? 即 ln x ? x ? 1 ? 0 ∴ ( x ? 1) f ( x) ? 0

(2)由(1)知 g ( x) ? g (1) ? ?1

当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ln x ? (ln x ? x ? 1) ? 0

当 x ? 1 时, f ( x) ? ln x ? ( x ln x ? x ? 1) ? ln x ? x(ln x ?

1 ? 1) x

1 1 ? ln x ? x(ln x ? ? 1) ? 0 x x

∴ ( x ? 1) ? f ( x) ? 0 .

考点:1、利用导数求函数的最值;2、证明不等式. 73. (1) a ? ?1 , f ( x ) 在 (??, ?2) , (1, ??) 单调递减,在 (?2,1) 单调递增; (2)证明略 【解析】 试题分析: (1)利用导数的几何意义求曲线在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程,注意这个点的切点, 利用导数的几何意义求切线的斜率 k ? f ??1? ; (2)函数 y ? f ?x ? 在某个区间内可导,则若

f ??x ? ? 0 ,则 f ?x ? 在这个区间内单调递增,若 f ??x ? ? 0 ,则 f ?x ? 在这个区间内单调递减;
( 3 )若可导函数 f ?x ? 在指定的区间 D 上单调递增或单调递减,求参数问题,可转化为

f ??x ? ? 0 ?或f ??x ? ? 0? 恒成立,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到; (4)对于恒
成立的问题,常用到两个结论: ( 1 ) a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?max , (2)

a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?min .
试题解析:解: (1) f '( x) ? e (ax ? x ? 1 ? 2ax ? 1) .有条件知,
x 2

f '(1) ? 0 ,故 a ? 3 ? 2a ? 0 ? a ? ?1 .
于是 f '( x) ? e (? x ? x ? 2) ? ?e ( x ? 2)( x ? 1) .
x 2 x

2分

故当 x ? ?? ?,?2? ? ?1,??? 时, f '( x ) <0; 当 x ? (?2,1) 时, f '( x ) >0.

从而 f ( x ) 在 (??, ?2) , (1, ??) 单调递减,在 (?2,1) 单调递增.

6分

(2)由(1)知 f ( x ) 在 [0,1] 单调增加,故 f ( x ) 在 [0,1] 的最大值为 f (1) ? e , 最小值为 f (0) ? 1 . 从而对任意 x1 , x 2 ? [0,1] ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 ? 2 . 而当 ? ? [0, 10 分

?
2

] 时, cos ? ,sin ? ? [0,1] .
12 分

从而 f (cos? ) ? f (sin ? ) ? 2

考点:1、利用导数求函数的单调区间;2、利用导数求函数的最值. 74. (1) f max ( x) ? 【解析】 试题分析: (1) 利用导数的符号判断函数 f ( x) 在区间 [1, e] 上的单调性并由此求出函数 f ( x) 的最值;

1 2 1 e ? 1 f max ( x) ? ; (2) f ( x) ? g ( x) ;(3)详见解析. 2 2

1 2 2 x ? ln x ? x3 ,利用导数研究函数 F ( x) 的单调性,通过 2 3 2 Fmax ( x) 的最大值的符号来判断 f ( x) 与 g ( x) ? x 3 的大小. 3 1 1 n n 1 n ?1 1 2 n?2 n ?1 (3)根据二项式定理,?[ f ?( x)] ? f ?( x ) ? Cn x ? ? Cn x ? 2 ? Cn x ? n ?1 将此 x x x
(2)设 F ( x) ? f ( x)-g ( x) ? 和记为 S,结合组合数的性质,利用倒序相加的方法求出 S 的表达式,再由基本不等式得到 结果.

1 ? 0( x ? 0) ? f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数.? f ( x) 在 [1, e] 的 x 1 1 2 最大值,最小值,分别为 f max ( x) ? f (e) ? e ? 1 f max ( x) ? f (1) ? 2 2
试题解析: (1) f ?( x) ? x ? (2)作 F ( x) ? f ( x)-g ( x) ?

1 x 2 ? 1 ? 2 x3 1 2 2 x ? ln x ? x3 F ?( x) ? x ? ? 2 x 2 ? 2 3 x x

?

(1 ? x)(2 x 2 ? x ? 1) x

? x) ? 当 0 ? x ? 1 时, F ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 ,F( 0 .当 x ? 1 时 F ?( x) ? 0 . F ( x) 在 (0,1) 上是增
函数;在 (1, ??) 是减函数, F ( x) 极大值为 F ( x) 是大值, Fmax ( x) ? F (1) ?

1 2 ? ? 0 ?当 2 3

x ? [1, ??) 时, F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) .

1 1 1 ( x ? 0) [ f ?( x)]n ? ( x ? ) n , f ?( x n ) ? x n ? n x x x 1 1 1 1 n ?1 2 n?2 n ?1 ?[ f ?( x)]n ? f ?( x n ) ? Cn x ? ? Cn x ? 2 ? Cn x ? n ?1 S x x x
(3) f ?( x ) ? x ?
n?1 n ?2 将倒序相加 Cn ? x?( n?2) ? Cn ? x?( n?4) ? 1 n ?2 ? Cn x ?S n?1 ? Cn [ x?( n?2) ? x( n?2) ]

1 2 ?2S ? Cn [ xn?2 ? x?( n?2) ] ? Cn [ xn?4 ? x?( n?4) ] ? 1 2 ? 2(Cn ? 2 ? Cn ?
n ?1 ?Cn ? 2)

1 2 ?S ? 2(Cn ? Cn ?

n?1 ? Cn ) ? 2(2n?1 ?1) ? 2n ? 2

考点:导数在研究函数性质中的应用;2、二项式定理;3、基本不等式. 75. (1) f ( x) 的递增区间是 (??, ??) . 【解析】 试题分析: (1)先求函数 f ( x) ? a ? 调区间; (2)首先利用奇函数的定义得 f ? 0 ? ? 0 求出实数 a 的值,再利用定义法求函数的值域. 试题解析:解:(1)因为函数 f ( x) ? a ? (2) a ? 1 , f ( x) 的值域是 (?1,1)

2 (a ? R) 的导数,再利用导数的符号求函数的单 e ?1
x

2e x 2 ? ( a ? R ) f ( x ) ? ,所以 ex ? 1 ex ? 1

?

?

2

x 因为 e ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在区间 (??, ??) 上单调递增;

(2)因为函数 f ( x) 是奇函数,所以 f ? 0 ? ? 0 , a ? 由此得: f ( x ) ? 1 ?
x 因为 e ?0

2 2 ? 0 ,所以 a ? 0 ?1 e ?1 e ?1
0

2 , e ?1
x

x , 所 以 e ?1 ? 1 , 所 以 0 ?

1 2 ? 1 , 所 以 ?2 ? ? x ?0 ,所以 e ?1 e ?1
x

2 ?1 ? 1 ? x ?1 e ?1
即函数 f ( x) 的值域为 (?1,1) 考点:1、函数的奇偶性;2、导数在研究函数性质中的应用;3、函数的值域. 76. (1) ?1 ? m ? 【解析】
3 2 试题分析: ( 1 ) a ? 1 时,函数有三个互不相同的零点,转化为 x ? x ? x ? m ? 0 即

5 ;(2) m ? ?87 . 27

m ? ? x3 ? x 2 ? x 有三个互不相等的实数根.令 g ( x) ? ? x3 ? x2 ? x ,利用导数可得 g(x)
的极值,借助图象可得 m 的范围; (2)要使得 f(x)≤1 对任意 x∈[-2,2]恒成立,可转 化为 [ f (x ) ]max ? 1 ,利用导数可求得 [ f ( x)]max ,然后分离参数 m 后可转化为求关于 a 的函 数最值问题解决. 试题解析:解: (1)当 a ? 1 时 f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ? m , 因为 f ( x) 有三个互不相同的零点,所以 f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ? m , 即 m ? ? x3 ? x 2 ? x 有三个互不相同的实数根。 令 g ( x) ? ? x ? x ? x ,则? g ' ( x) ? ?3x2 ? 2 x ? 1 ? ?(3x ?1)( x ? 1)
3 2

1 3 5 ? f min (?1) ? ?1, f max ( x) ? 27 5 ? ?1 ? m ? 27

易知 g ( x) 在和 (??, ?1) 和 ( , ??) 上为减函数,在 (?1, ) 为增函数

1 3

/ 2 2 (2)∵ f ( x) ? 3x ? 2ax ? a ? 3( x ? )( x ? a) ,且 a ? 0 ,

a 3

∴函数 f ( x) 的递减区间为 (?a, ) ,递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) ; 当 a ? [3, 6] 时,

a 3

a 3

a ? [1, 2], ? a ? ?3 又 x ? [?2, 2] , 3
又 f (?2) ? f (2) ? 4a ?16 ? 0
2

∴ f max ( x) ? { f (?2), f (2)}

∴ fmax ( x) ? f (2) ? ?8 ? 4a ? 2a2 ? m , 又∵ f ( x) ? 1在 x ? [?2, 2] 上恒成立,
2 2 ∴ f max ( x) ? 1 ,即 ?8 ? 4a ? 2a ? m ? 1 ,即 m ? ?2a ? 4a ? 9 在 a ? [3, 6] 恒成立。

? m ? ?87

13 分. 考点:导数在最大值、最小值问题中的应用. 77. (Ⅰ) m ? 1 ;(Ⅱ) g ( x) 在区间 (0,1) 和 (1, ??) 都是单调递增的; (Ⅲ)详见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)因为 f ( x) ? x ln x ? mx 图象在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 2 ,所以 (Ⅱ) 因为 g ( x) ? f ' (1) ? 2,即可求出 m 的值;

x ? 1 ? ln x x ln x , ( x ? 0, x ? 1) , . 所以 g ( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2

, 设 h( x) ? x ? 1 ? ln x, h ( x) ? 1 ?

1 . x
0 h( x) 是 增 函 数 , h( x) ? h(1) ? 0 , 所 以 ,

, ? ? 1 ? 当 x ? 1 时 , h (x )

1 x

g' (x ) ?

x ?1 ? l x n 1 h, ( x) ? 1 ? ? 0 , 故 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数; 当 0 ? x ? 1 时, ? , 0 2 x (x ? 1 )

h( x) 是减函数, h( x) ? h(1) ? 0 ,
所 以 g (x ) ?
,

x ? 1 ? ln x ? 0 ,故 g ( x) 在 ? 0,1? 上 为增函 数; 所以 g ( x) 在 区间 (0,1) 和 ( x ? 1)2
m n

(Ⅲ)利用分析证明法:由已知可知要证 (1, ??) 都 是 单 调 递 增 的 ;

n n ? ,即证 m m

ln n ln m n ?1 m ?1 m ln m n ln n ? ? ln n ? ln m, 即 证 ln m ? ln n , 即 证 ? 即证 m n n m m ?1 n ?1 ,
,又 g ( m)? g ( n ) m ? n ? 1(m, n ? N ) ,由(2)知 g (m) ? g (n) 成立,所以
*
m n

n n ? . m m

试题解析:解: (Ⅰ) f ( x) ? x ln x ? mx, 所以 f ' ( x) ? 1 ? ln x ? m 由题意 f (1) ? 1 ? ln1 ? m ? 2 ,得 m ? 1
'

3分

(Ⅱ) g ( x) ?

x ? 1 ? ln x f ( x) ? x x ln x ? ( x ? 0, x ? 1) ,所以 g , ( x) ? . x ?1 x ?1 ( x ? 1) 2
1 . x

, 设 h( x) ? x ? 1 ? ln x, h ( x) ? 1 ? , 当 x ? 1 时, h ( x ) ? 1 ?

1 ? 0 , h( x) 是增函数, h( x) ? h(1) ? 0 , x
6分

所以 g ( x) ?
'

x ? 1 ? ln x ? 0 ,故 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数; ( x ? 1)2
1 ? 0 , h( x) 是减函数, h( x) ? h(1) ? 0 , x

, 当 0 ? x ? 1 时, h ( x ) ? 1 ?

所以 g ( x) ?
,

x ? 1 ? ln x ? 0 ,故 g ( x) 在 ? 0,1? 上为增函数; ( x ? 1)2
8分

所以 g ( x) 在区间 (0,1) 和 (1, ??) 都是单调递增的。
m

(Ⅲ)由已知可知要证

n

ln n ln m n n ? ? ln n ? ln m, ? ,即证 m n m m

10 分

即证

n ?1 m ?1 m ln m n ln n ln m ? ln n ,即证 ? 即证 g (m) ? g (n) , n m m ?1 n ?1 ,
m

12 分

* 又 m ? n ? 1(m, n ? N ) ,由(2)知 g (m) ? g (n) 成立,所以 n

n n ? 。 m m

14 分.

考点:1.导数的几何意义;2.导数在函数单调性中的应用;3.函数单调性在不等式证明中的 应用. 78. (Ⅰ) (??, ?1] ;(Ⅱ) ln 2 ? 2 ? b ? ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ) f ( x) 的定义域是 (0, ??) ,由于函数 f ( x) 在其定义域内单调递减,所以

5 . 4

f ' ( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,即 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? 0 恒成立. 解法一:因为 a ? 0 ,所
1 ? 0 ,问题转化为 ? ? 22 ? 4a ? 0 ;即可求出 a 的范 a 1? 2x 1 1 ? ( ? 1) 2 ? 1 在 x ? 0 恒成立,即 a ? (( ? 1) 2 ? 1) min 围; 解法二, 分离变量, 得a ? 2 x x x 1 ( x ? 0) ,当 x ? 1 时, ( ? 1) 2 ? 1 取最小值 ?1 , 即可求出 a 的范围; (Ⅱ)由题意 x 1 2 1 1 3 ? x ? 2 x ? ln x ? x ? b ,即 x 2 ? x ? ln x ? b ? 0 , 4 2 4 2 1 2 3 ( x ? 2)( x ? 1) . 列 表 可 知 设 g ( x) ? x ? x ? ln x ? b( x ? 0). 则 g ?( x ) ? 4 2 2x 5 g ( x)极大值 ? g (1) ? ?b ? , g ( x)极小值 ? g (2) ? ln 2 ? b ? 2 ,又 g (4) ? 2 ln 2 ? b ? 2 ,方 4
以二次函数开口向下,对称轴 x ? ?

? g (1) ? 0 ? 程 g ( x) ? 0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.根据函数图象可知 ? g (2) ? 0 , 即可求 ? g (4) ? 0 ?
出 b 的范围. 试 题 解 析 : 解 :( Ⅰ )

f ( x) 的 定 义 域 是 (0, ??) , 求 导 得

f ' ( x) ? ax ? 2 ?

1 ax 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 0) x x
3分

2 ' 依题意 f ( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,即 ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? 0 恒成立.

这个不等式提供 2 种解法,供参考 解法一:因为 a ? 0 ,所以二次函数开口向下,对称轴 x ? ?

1 ? 0 ,问题转化为 a

? ? 22 ? 4a ? 0

所以 a ? ?1 ,所以 a 的取值范围是 (??, ?1] 解法二,分离变量,得 a ?

6分

1? 2x 1 1 ? ( ? 1) 2 ? 1 在 x ? 0 恒成立,即 a ? (( ? 1) 2 ? 1) min 2 x x x

( x ? 0)
2 当 x ? 1 时, ( ? 1) ? 1 取最小值 ?1 ,∴ a 的取值范围是 (??, ?1]

1 x

6分

1 2 1 1 3 x ? 2 x ? ln x ? x ? b ,即 x 2 ? x ? ln x ? b ? 0 , 4 2 4 2 1 2 3 ( x ? 2)( x ? 1) . 列表: 设 g ( x) ? x ? x ? ln x ? b( x ? 0). 则 g ?( x ) ? 4 2 2x x 1 2 (0,1) (1, 2) (2, 4)
(Ⅱ)由题意 ?

g ?( x) g ( x)

?

0
极大值

?

0
极小值

?

∴ g ( x )极大值 ? g (1) ? ?b ? 10 分

5 2b ? , g ( x)极小值 ? g (2) ? ln 2 ? b ? 2 , 又 g ( 4 )? 2 l n ? 4

2

方程 g ( x) ? 0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.

? g (1) ? 0 5 5 ? 则 ? g (2) ? 0 , 得 ln 2 ? 2 ? b ? ? (注意 ? ? ?1 ? 2 ln 2 ? 2 ) 4 4 ? g (4) ? 0 ?
考点:1.导数在研究函数单调性中的应用;2.函数的零点与方程的根. 79. (1)函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0,

13 分.

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) ;递减区间是 ( , ??) ; (2)3 4 4

(3) ?1, e ? ? . e

? ?

2? ?

【解析】 试题分析: (1)函数 y ? f ?x ? 在某个区间内可导,则若 f ??x ? ? 0 ,则 f ?x ? 在这个区间内 单调递增,若 f ??x ? ? 0 ,则 f ?x ? 在这个区间内单调递减; (2)利用导数方法证明不等式

f ?x? ? g ?x? 在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函数 h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? ,然后根据函数
的单调性,或者函数的最值证明函数 h?x ? ? 0 ,其中一个重要的技巧就是找到函数 h?x ? 在

什么地方可以等于零,这往往就是解决问题的一个突破口,观察式子的特点,找到特点证明 不等式; (3) )对于恒成立的问题,常用到两个结论: (1)a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?max , (2) a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?min , (4)解决含有参数的单调性的问题,要注意分类讨 论和数形结合的思想. 试题解析: (1) f ?( x) ?

1 ?2x2 ? ax ? 1 , 1分 ? 2x ? a ? x x

由 f ?( x) ? 0 ,得 ?2 x2 ? ax ? 1 ? 0 ,该方程的判别式△= a 2 ? 8 ? 0 ,
a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ,又 x ? 0 ,故取 x ? , 4 4

可知方程 ?2 x2 ? ax ? 1 ? 0 有两个实数根

当 x ? (0,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 时 , f ?( x ) ? 0 , 函 数 f ( x) 单 调 递 增 ; 当 x ? ( , ??) 时 , 4 4

f ?( x ) ? 0,函数 f ( x) 单调递减.

则函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0, (2)不妨设 x1 ? x2 ? 1 ,不等式

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) ;递减区间是 ( , ??) . 3 分 4 4

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 转化为 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 , x1 ? x2 令 ? ( x) ? f ( x) ? 2 x ,可知函数 ? ( x) 在区间 [1, ??) 上单调递减,故 ? ?( x) ? f ?( x) ? 2 ? 0 恒成立,

1 1 ? 2 x ? a ? 2 ? 0 恒成立,即 a ? 2 x ? ? 2 恒成立. 5 分 x x 1 1 ? 2 单调递增,故当 x ? 1 时,函数 y ? 2 x ? ? 2 取得最小值 x x

当 x ? [1, ??) 时,函数 y ? 2 x ?

3,则实数 a 的取值范围是 a ? 3 ,则实数 a 的最大值为 3. 7 分 (3)g ?( x) ? (1 ? x)e1? x ,当 x ? (0,1) 时,g ?( x) ? 0 ,g ( x) 是增函数;当 x ? (1, e) 时,g ?( x) ? 0 ,
g ( x) 是减函数.可得函数 g ( x) 在区间 (0,e] 的值域为 (0,1] . 9 分

令 F ( x) ? f ( x) ? 1 ,则 F ?( x) ? f ?( x) ?

?2x2 ? ax ? 1 , x

由 F ?( x) ? 0 ,结合(1)可知,方程 F ?( x) ? 0 在 (0, ? ) 上有一个实数根 x3 ,若 x3 ? e ,则 F ( x) 在 (0,e] 上单调递增,不合题意,可知 F ?( x) ? 0 在 (0,e] 有唯一的解 x3 ?
a ? a2 ? 8 ,且 F ( x) 4

在 (0,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 上单调递增;在 ( , ??) 上单调递减. 10 分 4 4

因为 ?x0 ? (0,e] ,方程 f ( x) ? 1 ? g ( x0 ) 在 (0,e] 内有两个不同的实数根,所以 F (e) ? 0 ,且
F ( x)max ? 1 . 11 分

由 F (e) ? 0 ,即 ln e ? e2 ? ae ? 1 ? 0 ,解得 a ? e ?

2 . e

2 2 ? ax3 ? 1 ? 1 , ln x3 ? x3 ? ax3 ? 0 , 由 F ( x)max ? f ( x3 ) ? 1 ? 1 ,即 ln x3 ? x3 2 因为 ?2 x3 ? ax3 ? 1 ? 0 ,所以 a ? 2 x3 ?

1 2 2 ,代入 ln x3 ? x3 ? ax3 ? 0 ,得 ln x3 ? x3 ?1 ? 0 , x3

令 h?x ? ? ln x ? x 2 ? 1, 可知函数 h?x ? 在 ?0, e? 上单调递增, 而 h?1? ? 0 , 则 h?x3 ? ? h?1? ? 0 , 所以 1 ? x3 ? e ,而 a ? 2 x3 ?

1 1 在 1 ? x3 ? e 时单调递增,可得 1 ? a ? 2e ? , e x3

综上所述,实数 a 的取值范围是 ?1, e ? ? e

? ?

2? ?

14 分.

考点:1、利用导数求函数的单调区间;2、利用导数求函数的最值;3、方程根的个数. 80. (1)[1,+∞) ; (2)f(x)min=0,f(x)max=1-ln2. 【解析】试题分析: (1)求出导函数,由题意,有导函数在 x∈[1,+∞)上恒为非负,可 求出参数的取值范围; (2)a=1 时,利用导函数讨论出函数在 x∈[ 而求出最大值和最小值. 试题解析: (1)由已知得 f ' ( x ) ? 依题意得

1 ,2]上的单调性,进 2
2分

ax ? 1 ( x ? 0) , ax 2

ax ? 1 ? 0 对任意 x ? [1,??) 恒成立 ax 2 1 即 ax ? 1 ? 0 ? a ? 对任意 x ? [1,??) 恒成立, x 1 而 ( ) max ? 1 x ?a ?1
所以 a 的取值范围为 1,+? ? (2)当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 若 x ? [ ,1] 时, f ' ( x) ? 0 ,若 x ? [1,2] 时, f ' ( x) ? 0 , 故 x ? 1 是函数在区间 [ , 2 ] 上的唯一的极小值,也是最小值, 即 f min ( x) ? f (1) ? 0 , 而 f ( ) ? 1 ? ln 2, f (2) ? ? 2分

2分 1分

?

1分

x ?1 , x2

1分 1分

1 2

1 2

1 2

1 ? ln 2 , 2

1分

由于 f ( ) ? f (2) ?

1 2

3 ln e 3 ? ln 16 ? 2 ln 2 ? ?0, 2 2

2分

则 f max ( x ) ? f ( ) ? 1 ? ln 2 考点:利用导数研究函数性质,不等式恒成立问题,函数的最值 81. (1)f(x)在区间 (0,

1 2

1分

a2 ? 8 ? a a2 ? 8 ? a ( 2) ) 内单调递减,在 ( ,??) 内单调递增; 4 4

一条 【解析】试题分析: (1)求出导函数,利用导函数值的符号判定单调区间,注意对参数 a 的讨论; (2)设出切点,用参数表示出切线方程,再根据切线过原点,求出参数值,有几个 不同的参数值,就有几条切线. 试题解析: (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) 1分 由 f ?( x) ? 2 x ? a ?

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? ? 0( x ? 0) 得 x x

2分

x1 ?

? a ? a2 ? 8 ? a ? a2 ? 8 ? 0 , x2 ? ? 0 (舍去). 4 4

1分

所以 f(x)在区间 (0,
2

a2 ? 8 ? a a2 ? 8 ? a ) 内单调递减,在 ( ,??) 内单调递增. 4 4
1分

2分

(2)设切点 (t , t ? at ? ln t ) ,则切线方程为

因为过原点,所以 0 ? (2t ? a ? )( ?t ) ? t 2 ? at ? ln t ,化简得 t 2 ? 1 ? ln t ? 0 (※). 设 h(t ) ? t ? 1 ? ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t ? ? 0 ,
2

1 t

1分

1 t

所以 h(t)在区间(0,+∞)内单调递增. 2分 又 h(1)=0,故方程(※)有唯一实根 t=1, 2分 从而满足条件的切线只有一条. 1分 考点:利用导数研究函数性质,导数的几何意义 82. (1) y ? ? . ; (2)a=2; (3)0≤a≤4 【解析】试题分析: (1)先求导函数,找出切线斜率及切点坐标,可写出切线方程; (2)利 用导函数,找到函数在[1,e]上的最小值点,讨论最小值等于-2 的各种情况,求出 a 的值; (3)转化为函数 g(x)=f(x)+x 在(0,+∞)上单调递增求解. 试题解析: (1)当 a=1 时, f ( x) ? ln x ? 因为 f '(1)=0,.

3 2

1 2 1 x ? 2 x, f '( x) ? ? x ? 2 . 2 x
1分 1分

1分

f (1) ? ?

3 2

所以切线方程为 y ? ? . (2)函数 f ( x ) ? ln x ? 当 a>0 时, f '( x) ?

3 2

1分

1 2 (0, ? ?) ax ? (a ? 1) x 的定义域是 . 2

1 ax 2 ? (a ? 1) x ?1 ? ax ? (a ?1) ? ( x ? 0) x x ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ( x ? 1)(ax ? 1) ? ? 0, x x
1分

令 f '(x)=0,即 f '( x) ? 所以 x=1 或 x ? ①当 0 ?

1 . a

1 ? 1 ,即 a≥1 时,f(x)在[1,e]上单调递增, a 1 所以 f(x)在[1,e]上的最小值是 f (1) ? ? a ? 1 ? ?2 ,解得 a ? 2 ; 1分 2 1 1 1 1 ? 1 ? ?2 , l a? 1 ? ②当 1 ? ? e 时, f (x) 在 [1, e]上的最小值是 f ( ) ? ? ln a ? 即n a a 2a 2a
令 h( a ) ? ln a ?

1 1 2a ? 1 1 ? ?0, , h '( a ) ? ? 2 a 2a 2a 2 2a

1分

1 1 1 e 2 2 1 e 1 而 h( ) ? ?1 ? ? 1 , h(1) ? ? 1 ,不合题意,舍去; 1分 e 2 2 1 ③当 ? e 时,f(x)在[1,e]上单调递减, a 1 所以 f(x)在[1,e]上的最小值是 f (e) ? 1 ? ae 2 ? (a ? 1)e ? ?2 , 2 6 ? 2e ? 0 ,不合题意,舍去. 解得 a ? 1分 2e ? e 2 ( , )递减,a ? ( ,递增 1) 可得: a ? ,
综上:a=2. (3)设 g(x)=f(x)+x,则 g ( x ) ? ln x ? 只要 g(x)在(0,+∞)上单调递增即可. 而 g '( x) ? ax ? a ? 1分

1 2 ax ? ax , 2
1分

1 ax 2 ? ax ? 1 ? x x
1 ? 0 ,此时 g(x)在(0,+∞)上单调递增; x
1分

当 a=0 时, g '( x) ?

当 a≠0 时,只需 g'(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立, 2 因为 x∈(0,+∞) ,只要 ax -ax+1≥0, 则需要 a>0,

1分

对于函数 y=ax -ax+1,过定点(0,1) ,对称轴 x ?
2

1 ? 0 ,只需 ? ? a 2 ? 4a ? 0 , 2
1分

即 0<a≤4. 综上 0≤a≤4. 考点:导数的几何意义,函数的单调性,不等式恒成立问题 83. (1) (??,0) (2)见解析. ?1,+?? ;

【解析】试题分析: (1)先求导函数,利用导函数值在[1,+∞)上恒非负可求的 a 的取值 范围; (2)选取满足条件(1)的某个 a 值,得到恒成立的不等式,再取相应的 x,得到一 系列不等式,求和即可. 试题解析: (Ⅰ)由已知得 f ' ( x ) ? 依题意得

ax ? 1 ( x ? 0) , ax 2

1分

ax ? 1 ? 0 对任意 x∈[1,+∞)恒成立 ax 2
1分

若 a<0,则符合题意要求. 若 a>0,则 ax ? 1 ? 0 ? a ? 而 ( ) max ? 1 ∴a≥1 所以 a 的取值范围为 (??,0)

1 对任意 x∈[1,+∞)恒成立, x

2分

1 x

1分

?1,+??
1 对 ?x ? (1,??) 恒成立. x

1分

(2)由(Ⅰ)知:当 a=1 时, ln x ? 1 ?

1分

当 n≥2 时,令 x ?

k ?1 1 k ?1 ? , (k ? 1,2,??, n ? 1) ,得 ln , k k ?1 k
?1 n

3分

再将这 n-1 个不等式相加得:
ln 2 ? ln 3 ? 1 2 ? ln n ? 1 ? 1 ? n ?1 2 3

则: 1? ln n ?1? 1 ? 1 ? 2 3

? 1 ? S n ,即原不等式成立. n

3分

考点:利用导数研究函数的性质,不等式证明 84. (1) a ? 1, b ? ?12 ; (2) f (?3) ? 21 【解析】 试题分析: (1) 利用 f (2) ? c ? 16 与 f (2) ? 0 整理得到关于 a , b 的方程组, 解得即可; (2)
'

借助(1)的结果,找出分界点,研究单调区间,取得极大值,求出 c 值,再研究端点值与 极值对应的函数值的大小确定最大值. 试题解析: (1)因 f ( x) ? ax ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax ? b
3 2

由于 f ( x) 在点 x ? 2 处取

得极值

故有 ?

? f ?(2) ? 0 ? 12a ? b ? 0 ?12a ? b ? 0 ? a ?1 即? ,化简得 ? 解得 ? ? f (2) ? c ? 16 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?4a ? b ? ?8 ?b ? ?12
f ( x) ? x3 ?12x ? c , f ?( x) ? 3x2 ?12

(2)由(1)知

令 f ?( x) ? 0 , 得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时 , f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??, ?2) 上为增 函数; 当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (2, ??) 上为增函数. 由此可知 f ( x) 在 x1 ? ?2 处取得极大值 f (?2) ? 16 ? c , f ( x) 在 x2 ? 2 处取得极小值

f (2) ? c ? 16













16 ? c ? 28





c ? 12





f (?3) ? 9 ? c ? 21, f (3) ? ?9 ? c ? 3 , f (2) ? c ?16 ? ?4 因此 f ( x) 上 [?3,3] 的最大为
f (?3) ? 21 .
考点:1.函数的极值;2.函数的最值. 85. (1) a ?

1 ; (2)见解析; (3) a ? 1 . 4

【解析】 试题分析: (1)利用极值点对应的导函数的值为 0 进行求解; (2)求导,讨论两根的大小进 行求函数的单调区间; (3)借助(2)问结论进行求解. 试题解析: (1)由题意得 f ?( x) ? 由 f ?(3) ? 0 ? a ?

?ax 2 ? (a ? 1) x , x ? (?1, ??) x ?1

1 ,经检验符合题意 4 1 (2)令 f ?( x) ? 0 ? x1 ? 0, x2 ? ? 1 a
①当 0 ? a ? 1 时, x1 ? x2 f ( x) 与 f ?( x ) 的变化情况如下表

x
f ?( x ) f ( x)

(?1, 0)

0 0

(0,

?


1 ? 1) a

1 ?1 a
0

?


1 ( ? 1, ?? ) a ?


f (0)

1 f ( ? 1) a

? f ( x) 的单调递增区间是 (0,

1 ? 1) 。 a

1 f ( x) 的单调递增减区间是 (?1, 0) , ( ? 1, ?? ) a
②当 a ? 1 时, f ( x) 的单调递减区间是 (?1, ??) ③当 a ? 1 时, ?1 ? x2 ? 0

f ( x) 与 f ?( x ) 的变化情况如下表

x
f ?( x ) f ( x)

1 (?1, ? 1) a ?


1 ?1 a
0

1 ( ? 1, 0) a

0 0

(0, ??)

?


?


1 f ( ? 1) a

f (0)

1 ? f ( x) 的单调递增区间是 ( ? 1, 0) 。 a 1 f ( x) 的单调递增减区间是 (?1, ? 1) , (0, ??) a
(3)由(2)可知当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (0, ??) 的最大值是 f ( ? 1) 但 f ( ? 1) ? f (0) ? 0 ,所以 0 ? a ? 1 不合题意 当 a ? 1 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减

1 a

1 a

f ( x) ? f (0) 可得 f ( x) 在 [0, ??) 上的最大值为 f (0) ? 0 ,符合题意
? f ( x) 在 [0, ??) 上的最大值为 0 时, a 的取值范围是 a ? 1 .
考点:1.函数的极值;2.函数的单调区间;3,函数的最值.

t?
86. (1)2;(2)当 【解析】

1 2 2 2 2 时, ymin ? t ? t ; ym ax ? e ? ? 2t ?1? e ? t ? t ..

试题分析: (1)分别求出 f ( x)、g ( x ? 1) 的导数,由 l1 与 l2 平行,得它们的斜率相等,即有 切线的斜率相等,得到 a 的方程,解出 a,即可得到 f(2) ; (2) u ? xlnx ,当 x ?[1 ,e] 时, u? ? lnx ? 1>0 ,则 u 在[1,e]单调递增,即可得到取值 范围;又化简 y ? f (u ? t ) ? u ? (2t ?1)u ? t ? t 图象的对称轴 u ?
2 2

1 ? 2t ,考虑与区间的 2

关系抛,由 t ?

1 1 ? 2t ? 0 ,即函数在[0,e]上单调递增,即可得到最值. 有u ? 2 2

试题解析:解: (1) y ? f ( x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M (a, 0) , f '( x) ? 2 x ? a

y ? g ( x ? 1) ? ln( x ? 1) 图象与 x 轴的交点 N (2, 0) ,

g '( x ? 1) ?

1 x ?1

由题意可得

kl1 ? kl2

2a ? a ?
, 即

1 ?1 2 ?1

?a ?1

, ∴ f ( x) ? x ? x, ,
2

f (2) ? 22 ? 2 ? 2

x ??1, e? ?1, e? 单调递增,0 ? u ? e, u ? x ln x , u ' ? ln x ? 1 ? 0 , (2) 当 时, ∴ u ? x ln x 在
y ? u ? (2t ?1)u ? t ? t 图象的对称轴
2 2

u?

1 ? 2t 2 ,抛物线开口向上

t?


1 1 ? 2t u? ?0 ?0, e? 上单调递增 2有 2 ,即函数在

ymin ? y |u?0 ? t 2 ? t
t?
综上:当

ymax ? e2 ? ? 2t ?1? e ? t 2 ? t

1 2 2 2 2 时, ymin ? t ? t ; ym ax ? e ? ? 2t ?1? e ? t ? t .

考点:1.利用导数研究曲线上某点切线方程;2.导数在最大值、最小值问题中的应用. 87.此轮船以 20 公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小. 【解析】 试题分析:根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键.建立起函数的模型之后,根据 函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题,充分发挥导数的工具作用. 3 解:设船速度为 x(x>0)时,燃料费用为 Q 元,则 Q=kx , 由 6=k×10 可得 ∴总费用 ,令 y′=0 得 x=20, 当 x∈(0,20)时,y′<0,此时函数单调递减, 当 x∈(20,+∞)时,y′>0,此时函数单调递增, ∴当 x=20 时,y 取得最小值, 答:此轮船以 20 公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小. 点评:本题考查函数模型的应用,考查建立函数模型解决实际问题的思想和方法.建立起函 数模型之后选择导数作为工具求解该最值问题,体现了转化与化归的思想. 88.即在离点 B 距离为 的点 M 处修筑公路至 C 时,货物运费最省.
3

,∴

, ,

【解析】 试题分析:由已知,我们可计算出公路上的运费和铁路上的运费,进而得到由 A 到 C 的总运 费,

利用导数法,我们可以分析出函数的单调性,及函数的最小值点,得到答案. 解: 设 M 为 AB 上的一点, 且 MB=x, 于是 AM 上的运费为 2 (50﹣x) , MC 上的运费为 4 则由 A 到 C 的总运费为 p(x)=2(50﹣x)+4 (0≤x≤50) . p′(x)=﹣2+ 令 p′(x)=0,解得 x1= 当 x< 故当 x= , ,x2=﹣ (舍去) . 时,p′(x)>0,



时,p′(x)<0;当 x> 时,p(x)取得最小值.

即在离点 B 距离为

的点 M 处修筑公路至 C 时,货物运费最省.

点评:本题考查的知识点是导数在最大值最小值问题中的应用,函数最值的应用,其中根据 已知条件求出函数的解析式,并确定函数的单调性是解答本题的关键. 3 2 89. (1)y=﹣2x +33x ﹣108x﹣108. (2)售价为 9 元时,年利润最大,最大年利润为 135 万元. 【解析】 试题分析: (1)根据题中条件:“若已知 与 成正比”可设

,再依据售价为 10 元时,年销量为 28 万件求得 k 值,从而得出年 销售利润 y 关于 x 的函数关系式. (2)利用导数研究函数的最值,先求出 y 的导数,根据 y′>0 求得的区间是单调增区间, y′<0 求得的区间是单调减区间,从而求出极值进而得出最值即可. 解: (1)设 ,

∵售价为 10 元时,年销量为 28 万件; ∴ ∴
2

,解得 k=2. =﹣2x +21x+18.
3 2 2

∴y=(﹣2x +21x+18) (x﹣6)=﹣2x +33x ﹣108x﹣108. 2 2 (2)y'=﹣6x +66x﹣108=﹣6(x ﹣11x+18)=﹣6(x﹣2) (x﹣9) 令 y'=0 得 x=2(∵x>6,舍去)或 x=9 显然,当 x∈(6,9)时,y'>0 当 x∈(9,+∞)时,y'<0 3 2 ∴函数 y=﹣2x +33x ﹣108x﹣108 在(6,9)上是关于 x 的增函数; 在(9,+∞)上是关于 x 的减函数. ∴当 x=9 时,y 取最大值,且 ymax=135. ∴售价为 9 元时,年利润最大,最大年利润为 135 万元. 点评:本小题主要考查根据实际问题建立数学模型,以及运用函数、导数的知识解决实际问 题的能力.属于基础题. 90.当高为 10,最大容积为 19600.

【解析】 试题分析:首先分析题目求长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的 高为多少时,容器的容积最大.故可设容器的高为 x,体积为 V,求出 v 关于 x 的方程,然 后求出导函数,分析单调性即可求得最值. 解:根据题意可设容器的高为 x,容器的体积为 V, 3 2 则有 V=(90﹣2x) (48﹣2x)x=4x ﹣276x +4320x, (0<x<24) 2 求导可得到:V′=12x ﹣552x+4320 2 由 V′=12x ﹣552x+4320=0 得 x1=10,x2=36. 所以当 x<10 时,V′>0, 当 10<x<36 时,V′<0, 当 x>36 时,V′>0, 所以,当 x=10,V 有极大值 V(10)=19600,又 V(0)=0,V(24)=0, 所以当 x=10,V 有最大值 V(10)=19600 故答案为当高为 10,最大容积为 19600. 点评: 此题主要考查函数求最值在实际问题中的应用, 其中涉及到由导函数分类讨论单调性 的思想,在高考中属于重点考点,同学们需要理解并记忆. 91.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 于

f ? 0? ? ?2
2 1 f ?? ? ? ? 2





f ?? ? ?

1 f ? 0? ? ? , 1 f 2
n ?1

? ? ? ?2

1

1 f ? x? 2 1 ,f ? 3? ? ? ? , 4 f (x ? ? ) ?





?1? ?,f ? n? ? ? ? ? ? ?2?


.由于当 x ? [0,? ) 时, f ? ? x ? ? cos 2x>f ? x ? ? sin 2x ? f ? ? x ? ,则 , 即 , 则 有 有

f ? ? x ??1 ? cos 2x ? ? f ? x ? sin 2x ? 0

2cos x ? f ? ? x ? cos x ? f ? x ? sin x ? ? 0,则2cos x ? ? f ? x ? cos x ? ? ? 0
c x? o , ? s? ?f

?0 x

, ?

? ? ? xc

o

在 sf

? ?? 0? 0, ?x ? 2?

x递 c

增 o

s,

? ? 由于方程 f ( x) ? kn sec x ? 0 在 cos x ? 0, ? f ? x? cos x? ? ? 0,f ? x? cos x 在 ? ? ,? ? 递减, ?2 ?
[0, ? ?) 上 有 n 个 解 , 即 有 kn ? ? f? ?x ? ?) 上 有 n 个 解 , 则 cos 在 x [0,

k1 ? ? f? 0 ? c o s ? 0, 2 k 2

? ?? ? f?

?c o , s ? ? 3k 1

? ? ? ? f?

1 2? , c o s? 2 2
n ?1

1 k4 ? ? f ? 3? ? cos 3? ? ? , ?,kn ? ? f 4

?1? 则有 k2 n ? ? ? ?? n ?1?? ? cos ? n ?1??, ?2?

,即有

n 2 n ?1 2 3 n 令 S ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ??? n ? 2 , 则 2S ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ??? n ? 2 , ? n ? 2n ?1 , k2 n

两 式 相 减 得 ,

3 ? S ? 1 ? 2 ? 22 ? 2 ??? 2n ? ? n1? 2n ?

1 ? 2n ? n ? 2n , 则 1? 2

S ? ? n ?1? ? n2 ? .故选 1 A.
考点:等比数列求和. 92.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 于

f ? 0? ? ?2
2 1 f ?? ? ? ? 2





f ?? ? ?

1 f ? 0? ? ? , 1 f 2
n ?1

? ? ? ?2

1

1 f ? x? 2 1 ,f ? 3? ? ? ? , 4 f (x ? ? ) ?





?1? ?,f ? n? ? ? ? ? ? ?2?


.由于当 x ? [0,? ) 时, f ? ? x ? ? cos 2x>f ? x ? ? sin 2x ? f ? ? x ? ,则 , 即 , 则 有 有

f ? ? x ??1 ? cos 2x ? ? f ? x ? sin 2x ? 0

2cos x ? f ? ? x ? cos x ? f ? x ? sin x ? ? 0,则2cos x ? ? f ? x ? cos x ? ? ? 0
c x? o , ? s? ?f

?0 x

, ?

? ? ? xc

o

在 sf

? ?? 0? 0, ?x ? 2?

x递 c

增 o

s,

? ? 由于方程 f ( x) ? kn sec x ? 0 在 cos x ? 0, ? f ? x? cos x? ? ? 0,f ? x? cos x 在 ? ? ,? ? 递减, ?2 ?
[0, ? ?) 上 有 n 个 解 , 即 有 kn ? ? f? ?x ? ?) 上 有 n 个 解 , 则 cos 在 x [0,

k1 ? ? f? 0 ? c o s ? 0, 2 k 2

? ?? ? f?

?c o , s ? ? 3k 1

? ? ? ? f?

1 2? , c o s? 2 2
n ?1

1 k4 ? ? f ? 3? ? cos 3? ? ? , ?,kn ? ? f 4

?1? 则有 k2 n ? ? ? ?? n ?1?? ? cos ? n ?1??, ?2?

,即有

n 2 n ?1 2 3 n 令 S ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ??? n ? 2 , 则 2S ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ??? n ? 2 , ? n ? 2n ?1 , k2 n
两 式 相 减 得 ,
3 ? S ? 1 ? 2 ? 22 ? 2 ??? 2n ? ? n1? 2n ?

1 ? 2n ? n ? 2n , 则 1? 2

S ? ? n ?1? ? n2 ? .故选 1 A.
考点:等比数列求和. 93. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) a > 【解析】

1 e2

试题分析: (Ⅰ) 当 a = 0 时, f ( x) = x ln x ,对函数进行求导,求出函数的单调区间, 即 可 求 出 函 数 的 最 小 值 , 又 由 于 x ? (0,1) , ln x < 0 , 即 可 得 到 结 论 ; (Ⅱ)由

f? ( x) =

x ln x + x - a , 设 g ( x)= x l n x + x

x -

. a 令 g ( x)= x l n x +

x -

a = , 0 即

a = x ln x + x ,设函数 h( x) = x ln x + x .求出 h? ( x) = ln x + 2 = 0的解为 x = e- 2 .然
后再利用导数 求出函数的单调区间和函数的极值,即可求出结果. 试题解析:解:(Ⅰ) 当 a = 0 时, f ( x) = x ln x , f ? ( x) = ln x + 1 . 令 f? ( x) = ln x + 1 = 0 ,解得 x =

1 . e 1 e

( x) < 0 ,所以函数 f ( x) 在 (0, ) 是减函数; 当 x ? (0, ) 时, f ?
1 ) 时, f ? ( x) > 0 ,所以函数 f ( x) 在 ( , + e 1 1 1 所以函数 f ( x) 在 x = 处取得最小值, f ( ) = - . e e e
当x? ( ,

1 e

1 e

) 为增函数.

因为 x ? (0,1) , ln x < 0 ,所以对任意 x ? (0,1) ,都有 f ( x) < 0 . 即对任意 x ? (0,1) , -

1 ? f ( x) e

0.
).

6分

(Ⅱ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, +

( x) = 又 f?

x ln x + x - a ,设 g ( x) = x ln x + x - a . x

令 g ( x) = x ln x + x - a = 0 ,即 a = x ln x + x ,设函数 h( x) = x ln x + x .

( x) = ln x + 2 = 0 ,则 x = e- 2 . 令 h?
1 1 ) 时, h? ( x) < 0 ,所以 h( x) 在 (0, 2 ) 上是减函数; 2 e e 1 1 ) 时, h? ( x) > 0 ,所以 h( x) 在 ( 2 , + ) 上是增函数; 当x? ( 2 , e e 1 1 1 所以 h( x ) min = h( 2 ) = - 2 .则 x ? ? 0, ??? 时, h( x ) ? ? . e e e 1 于是,当 a ? 时,直线 y = a 与函数 h( x) = x ln x + x 的图象有公共点, e2
当 x ? (0,

( x) = 0 至少有一个实数根. 即函数 g ( x) = x ln x + x - a 至少有一个零点,也就是方程 f ?
当a = -

1 时, g ( x) = x ln x + x - a 有且只有一个零点, e2

( x) = 所以 f ?
即当 a > -

x ln x + x - a x

0 恒成立,函数 f ( x) 为单调增函数,不合题意,舍去.

1 时,函数 f ( x) 不是单调增函数. e2

又因为 f ? ( x) < 0 不恒成立, 所以 a > -

1 为所求. e2

13 分.

考点: 1.利用导数研究函数的单调性.2.导数在证明不等式中的应用. 94.D 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 ,曲 线 y ?

1 与 直 线 x ? 1, x ? e2 及 x 轴 所 围成 的 图 形 的 面 积 是 x

S??

e2

1

1 dx ? ln x x

e2 1

? 2.

故选:D. 考点:定积分. 95. (1) 【解析】 试题分析: (1)令 ? ( x ) ?
f ( x) 1 在 (0,??) 单调递增; (2)2; (3) a ? e ? ? 2 . x e

f ( x) ,求 Φ'(x) ,通过 Φ'(x)>0 可得单调性; (2)根据(1) x

的单调性,结合特殊值的符号,可确定零点的个数; (3)通过 g'(x)求出 g(x)的单调性,
1 得到 g(x)有两个极值点,并得出两个极值点的关系,通过其中一个极值点在 (0, ) 内,可 e

得另一个极值点的范围,然后将 a 表示为这两个极值点的关系式,求出范围. 试题解析: (1)设 ? ( x) ? x 2 ? 1 ? ∴ ? ( x) 在 (0,??) 单调递增 (2)因为 ? (1) ? ?1 ? 0 , ? ( 2) ? 3 ? 故 ? ( x) 在(1, 2)内有唯一零点 又 f ( x) ? x3 ? x ? x ? x ? ? ( x) ,显然 x ? 0 为 f ( x) 一个零点, 因此 y ? f ( x) 在 [0,??) 有且仅有 2 个零点 (3) g ( x) ?
ax2 ? ax ax( x ? 1) a ? ln x ? ? ln x ? ln x ? 3 x( x ? 1)( x ? 1) x ?1 x ?x
1 2 1 x

,其中 x ? 0 , ? ' ( x) ? 2 x ?

1 2 x3

?0,

3分 ,有 ? ( x) 在 (0,??) 单调递增 5分

7分

g ' ( x) ?

1 a x 2 ? 2 x ? 1 ? ax x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2 x( x ? 1)2

9分

1 设 h( x) ? x2 ? (2 ? a) x ? 1 ,则 h( x ) ? 0 有两个不同的根 x1, x2,且一根在 (0, ) 内, e

不妨设 0 ? x1 ?

1 ,由于 x1 ? x2 ? 1 ,所以 x2 ? e e

12 分

1 1 1 由于 h(0) ? 1 ,则只需 h( ) ? 0 ,即 2 ? (2 ? a) ? 1 ? 0 , e e e 1 解得: a ? e ? ? 2 14 分 e 考点:利用导数研究函数的性质,单调性,极值,零点,范围. 96.-2

【解析】设切点为( x 0 , a ln x0 ) ,则 y ? a ln x 上此点处的切线为 y ?
?a ? ?2 ? x0 ?a ln x ? a ? b 0 ?

a x ? a ln x0 ? a ,故 x0

a ?b ? a ln ? a ?a ? 0? 在 ?0,2? 上单调递减,在 ?2,??? 上单调递增. 2
? b 的最小值为 ?2 .

考点:利用导数研究函数性质,切线 97. (1) f ( x) 的最大值为 f (1) ? ?1 ; (2) (i) a ? 1 ; (ii) (??, ? 【解析】 试 题 分 析 :( 1 ) 考 虑 通 过 求 导 判 断 函 数 f ( x) 的 单 调 性 来 求 其 最 大 值 :
f ?( x) ? ?2 x ? 2 2( x ? 1)( x ? 1) ,从而可知 f ( x) 在 (0,1) 上为增函数, 在 (1, ??) 上为减函数, ?? x x
a 有相同极值点, x 34 ? 2ln 3] (1, ??) . 3

因此 f ( x) 的最大值为 f (1) ? ?1 ; (2) (i)根据条件函数 f ( x) 与 g ( x) ? x ?

即 f '( x ) 与 g '( x ) 有相同的零点,从而由(1) g ?(1) ? 1 ? a ? 0 ,即有 a ? 1 ; (ii)首先根据
1 1 前 述 问 题 可 知 ?x ?[ ,3] , f ( x)min ? f (3) ? ?9 ? 2ln 3 , f ( x)max ? f (1) ? ?1 , ?x ?[ ,3] , e e g ( x)min ? g (1) ? 2 , g ( x)max ? g (3) ?
f ( x1 ) ? g ( x2 ) 10 , 而要使不等式 故需对 k 的取 ? 1 恒成立, k ?1 3

1 值 进 行 分 类 讨 论 , 从 而 可 得 ① 当 k ? 1 ? 0 , 即 k ? 1 时 , 对 于 ? x1 , x2 ?[ ,3] , 不 等 式 e
f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 恒成立 k ?1

? k ? 1 ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]max

? k ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? 1





f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f (1) ? g (1) ? ?1 ? 2 ? ?3 ,
∴ k ? ?3 ? 1 ? ?2 ,又∵ k ? 1 ,∴ k ? 1 ,
f ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 ②当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,对于 ? x1 , x2 ?[ , e] ,不等式 ?1, e k ?1

? k ? 1 ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]min ? k ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]min ? 1 ,

∵ f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f (3) ? g (3) ? ?9 ? 2ln 3 ? ∴k ??
34 ? 2ln 3 , 3

34 10 37 ? ? ? 2ln 3 ,∴ k ? ? ? 2ln 3 ,又∵ k ? 1 , 3 3 3

即实数 k 的取值范围为 (??, ? 试题解析: (1) f ?( x) ? ?2x ?

34 ? 2ln 3] (1, ??) . 3
? f ?( x ) ? 0 2 2( x ? 1)( x ? 1) 得 0 ? x ? 1, ?? ( x ? 0) , 1 分 由 ? x x ?x ? 0

? f ?( x ) ? 0 由? 得 x ? 1 ,∴ f ( x) 在 (0,1) 上为增函数,在 (1, ??) 上为减函数, 3 分 ?x ? 0

∴函数 f ( x) 的最大值为 f (1) ? ?1 ;

4 分(2)∵ g ( x) ? x ?

a a ,∴ g ?( x) ? 1 ? 2 , x x
a 有相同极值点, x

(i)由(1)知, x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点,又∵函数 f ( x) 与 g ( x) ? x ? ∴ x ? 1 是函数 g ( x) 的极值点,∴ g ?(1) ? 1 ? a ? 0 ,解得 a ? 1 , 经检验,当 a ? 1 时,函数 g ( x) 取到极小值,符合题意; 8 分 7分

1 1 1 (ⅱ)∵ f ( ) ? ? 2 ? 2 , f (1) ? ?1 , f (3) ? ?9 ? 2ln 3 , ∵ ?9 ? 2ln 3 ? ? 2 ? 2 ? ?1 , 即 e e e
1 f (3) ? f ( ) ? f (1) , e

1 ∴ ?x ?[ ,3] , f ( x)min ? f (3) ? ?9 ? 2ln 3 , f ( x)max ? f (1) ? ?1 , e

9分

由 (ⅰ) 知 g ( x) ? x ?

1 1 1 , ∴ g ?( x) ? 1 ? 2 , 当 x ?[ ,1) 时,g ?( x) ? 0 , 当 x ? (1,3] 时,g ?( x) ? 0 , x e x

1 1 1 1 10 故 g ( x) 在 [ ,1) 为减函数,在 (1, 3] 上为增函数,∵ g ( ) ? e ? , g (1) ? 2, g (3) ? 3 ? ? , e e e 3 3
1 1 10 1 而2?e? ? , ∴ g (1) ? g ( ) ? g (3) , ∴ ?x ?[ 3 ,] e e 3 e 10 分

,g ( x)min ? g (1) ? 2 , g ( x)max ? g (3) ?

10 , 3

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 ①当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,对于 ? x1 , x2 ?[ ,3] ,不等式 ? 1 恒成立 k ?1 e

? k ? 1 ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? k ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? 1 ,
∵ f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f (1) ? g (1) ? ?1 ? 2 ? ?3 ,∴ k ? ?3 ? 1 ? ?2 ,又∵ k ? 1 ,∴ k ? 1 ,
f ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 ②当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,对于 ? x1 , x2 ?[ , e] ,不等式 ?1, e k ?1
? k ? 1 ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]min ? k ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]min ? 1 ,

12 分

∵ f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f (3) ? g (3) ? ?9 ? 2ln 3 ? ∴k ??

10 37 ? ? ? 2ln 3 , 3 3

34 34 ? 2ln 3 ,又∵ k ? 1 ,∴ k ? ? ? 2ln 3 , 3 3 34 ? 2ln 3] (1, ??) . 14 分 3

综上,所求的实数 k 的取值范围为 (??, ? 98. s ? 6t ? 1 . 【解析】

考点:1.导数的运用;2.恒成立问题.

试 题 分 析 : 当 0 ? t ? 3 时 , s ' ? 6t , ∴ s ' |t ?1 ? 6 , t ? 1 时 , s ? 5 , ∴ 切 线 方 程 为

s ? 5 ? 6(t ? 1) ? s ? 6t ? 1 .
考点:导数的运用. 99. (1) 2 x ? y ? 0 ; (2)综 上 , a ? ?2 时 , f ( x) 的增区间为 ( ?

1 1 1 1 , ) ,减区间为 (0, ? ) ( , , +?) ; a 2 a 2

a ? ?2 时 , f ( x ) 在 (0, +?) 单减;

1 1 1 1 a ? ?2 时 , f ( x) 的增区间为 ( , ? ) ,减区间为 (0, ) ( , ? , +?) ; 2 a 2 a (3) a ? 1
【解析】 试题分析:解: (1)当 a=b=1 时, f ( x) ? x ? x ? ln x ,
2

f’ ( x) ? 2 x ? 1 ?
2

1 (1) ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 , f’ x

又 f (1) ? 1 ? 1 ? ln1 ? 2 ,∴函数 y ? f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

y ? 2 ? 2(x ? 1) 即 2 x ? y ? 0
(2) f ?( x) ? 2ax ? (2 ? a) ? 当?

1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 (ax ? 1)(2 x ? 1) ? = x x x

1 1 1 1 1 1 ? ? a ? ?2 时, f ( x) 的增区间为 ( ? , ) ,减区间为 (0, ? ) ( , , +?) a 2 a 2 a 2 1 1 (0, +?) 当 ? = ? a = ? 2 时, f ( x) 在 单减 a 2 1 1 1 1 1 1 (0, ) ( , ? , +?) , 当 ? ? ? 0 ? a ? ?2 时, f ( x) 的增区间为 ( , ? ) ,减区间为 2 a a 2 2 a 1 1 1 1 (0, ? ) ( , , +?) ; 综 上 , a ? ?2 时 , f ( x) 的增区间为 ( ? , ) ,减区间为 a 2 a 2
a ? ?2 时 , f ( x ) 在 (0, +?) 单减;

1 1 1 1 a ? ?2 时 , f ( x) 的增区间为 ( , ? ) ,减区间为 (0, ) ( , ? , +?) ; 2 a 2 a (3)依题意,对 ?b ?[?2, ?1] , ?x ? (1, e) 使得 f ( x) ? 0 成立
即对 ?b ?[?2, ?1] , ?x ? (1, e) , ax 2 ? bx ? ln x ? 0 成立, 即 ax 2 ? x ? ln x ? 0 在 (1, e) 内有解,即 a ? 即a ? (

ln x ? x 在 (1, e) 内有解, x2

ln x ? x ) max x2 ? x( x ? 1 ? 2 ln x) ln x ? x 令 g ( x) ? ,则 g ?( x) ? 2 x4 x x ? (1, e) ∴ g ?( x) ? 0 ,
∴ g ( x ) 在(1,e)内单调递减, 又 g(1)=1∴a ? 1 考点:导数及几何意义、单调性、分类讨论、函数与不等式 100.

2 2? ? ? 3 3 3

【解析】 【试题分析】因为

?

1

?1

( x 2 ? 4 ? x 2 )dx ? ? x 2dx ? ?
?1

1

1

?1

4 ? x 2 dx ,又

1 1 31 1 1 2 x |?1 ? ? ( ? ) ? , ? 4 ? x 2 dx 表示圆 x2 ? y 2 ? 4 的上半部分与 x ? ?1 ?1 ?1 3 3 3 3 1 2? 1 2? 2 ? 2 ? ?1? 3 ? ? 3 ,所以 以 及 x 轴 所 围 成 的 面 积 , 所 以 ? 4 ? x dx ? ?1 3 2 3 1 2 2? 2 2 ??1 ( x ? 4 ? x )dx = 3 ? 3 ? 3

?

1

x 2dx ?

考点:积分运算及几何意义


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