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2013高中数学精讲精练(新人教A版)第02章


2013 高中数学精讲精练 第二章 函数 A
【知识导读】 表 示 方 法 一般化 概念 定义域 值域 图像 单调性 奇偶性

幂函数 映射 特殊化 函数 具体化 基本初等 函数Ⅰ 指数函数 对数函数 二次函数 指数 互 逆 对数

函数与方程 应用问题 【方法点拨】 函数是中学数学中最重要,最基础的内容之一,是学习高等数学的基础

.高中函数以具体的幂函数, 指数函数,对数函数和三角函数的概念,性质和图像为主要研究对象,适当研究分段函数,含绝对值的函 数和抽象函数;同时要对初中所学二次函数作深入理解. 1.活用“定义法”解题.定义是一切法则与性质的基础,是解题的基本出发点.利用定义,可直接判断所 给的对应是否满足函数的条件,证明或判断函数的单调性和奇偶性等. 2.重视“数形结合思想”渗透. “数缺形时少直观,形缺数时难入微” .当你所研究的问题较为抽象时,当 你的思维陷入困境时,当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时,一个很好的建议:画个图像!利用图形的 直观性,可迅速地破解问题,乃至最终解决问题. 3.强化“分类讨论思想”应用.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的 解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.进行分类讨论时,我们要遵循的原则 是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中 最重要的一条是“不漏不重” . 4.掌握“函数与方程思想” .函数与方程思想是最重要,最基本的数学思想方法之一,它在整个高中数学中 的地位与作用很高.函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题,转化问题和解决问题.

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第1课
【考点导读】

函数的概念

1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上,通过集合与对应的语言刻画函数,体 会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域. 2.准确理解函数的概念,能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数. 【基础练习】 1. 设有函数组: y ? x ,y ? ① ② ③ x 2 ; y ? x ,y ? 3 x3 ; y ? x ,y ?

?1 x ; y?? ④ x ??1

( x ? 0), , ( x ? 0),

y?

x x ;⑤ y ? lg x ? 1 , y ? lg .其中表示同一个函数的有___②④⑤___. 10 x

2.设集合 M ? {x 0 ? x ? 2} , N ? { y 0 ? y ? 2} ,从 M 到 N 有四种对应如图所示: y 2 y 2 y 2 y 2

O

1 ①

2

x

O

1 ②

2

x

O

1 ③

2

x

O

1 ④

2

x

其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有_____②③____. 3.写出下列函数定义域:

R (1) f ( x) ? 1 ? 3x 的定义域为______________;
(3) f ( x ) ?

(2) f ( x) ?

1 {x x ? ?1} 的定义域为______________; x ?1
2

( x ? 1)0 1 [?1, 0) ? (0, ??) (??, ?1) ? (?1,0) x ? 1 ? 的定义域为______________; (4) f ( x) ? 的定义域为_________________. x x ?x

4.已知三个函数:(1) y ?

P( x) ; (2) y ? 2n P( x) (n ? N *) ; (3) y ? logQ( x ) P( x) .写出使各函数式有意 Q( x)

义时, P ( x) , Q ( x) 的约束条件:

Q( x) ? 0 P( x) ? 0 Q ( x ) ? 0 且 P ( x ) ? 0 且 Q( x) ? 1 (1)______________________; (2)______________________; (3)______________________________. 5.写出下列函数值域:
(1) f ( x) ? x ? x , x ?{1, 2,3} ;值域是 {2, 6,12} .
2

(2) f ( x) ? x ? 2x ? 2 ; 值域是 [1, ??) .
2

(3) f ( x) ? x ? 1 , x ? (1, 2] . 值域是 (2,3] .

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【范例解析】 例 1.设有函数组:① f ( x) ? ③ f ( x) ?

x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 ;② f ( x) ? x ? 1 ? x ?1 , g ( x) ? x 2 ? 1 ; x ?1

x 2 ? 2 x ? 1 , g ( x) ? x ?1 ;④ f ( x) ? 2 x ? 1 , g (t ) ? 2t ? 1 .其中表示同一个函数的有③④.

分析:判断两个函数是否为同一函数,关键看函数的三要素是否相同. 解:在①中, f ( x ) 的定义域为 {x x ? 1} , g ( x) 的定义域为 R ,故不是同一函数;在②中, f ( x ) 的定义 域为 [1, ??) , g ( x) 的定义域为 (??, ?1] ? [1, ??) ,故不是同一函数;③④是同一函数. 点评: 两个函数当它们的三要素完全相同时, 才能表示同一函数. 而当一个函数定义域和对应法则确定时, 它的值域也就确定,故判断两个函数是否为同一函数,只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可. 例 2.求下列函数的定义域:① y ?

1 ? x2 ?1 ; 2? x

② f ( x) ?

x ; log 1 (2 ? x)
2

解得 x ? ?1 且 x ? ?2 或 x ? 1 且 x ? 2 , 2 ? x ? 1 ? 0, ? 故定义域为 (??, ?2) ? (?2, ?1] ? [1, 2) ? (2, ??) . ② 由题意得: log 1 (2 ? x) ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 ,故定义域为 (1, 2) . 解: (1)① 由题意得: ?
2

?2 ? x ? 0, ?

例 3.求下列函数的值域: (1) y ? ? x 2 ? 4 x ? 2 , x ? [0,3) ;

x2 ( x ? R) ; (2) y ? 2 x ?1 (3) y ? x ? 2 x ? 1 .
分析:运用配方法,逆求法,换元法等方法求函数值域. (1) 解: y ? ? x2 ? 4x ? 2 ? ?( x ? 2)2 ? 2 ,? x ? [0,3) ,? 函数的值域为 [?2, 2] ; (2) 解法一:由 y ?

1 1 x2 1 ? 1 ,则? ?1 ? ? 2 ? 0 ,? 0 ? y ? 1,故函 ? 1? 2 ,? 0 ? 2 2 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

数值域为 [0,1) .

x2 y y 2 ? 2 ? ? 0 , 0 ? y ? 1,故函数值域为 [0,1) . 解法二: y ? 2 由 , x ? 则 , x ? 0, ? x ?1 1? y 1? y
(3)解:令 x ? 1 ? t (t ? 0) ,则 x ? t ? 1 ,? y ? t 2 ? 2t ?1 ? (t ?1)2 ? 2 ,
2

当 t ? 0 时, y ? ?2 ,故函数值域为 [?2, ??) . 点评:二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法;逆求法利用函数有界性求函数的值域;用换元法 求函数的值域应注意新元的取值范围.

第 3 页 【精讲精练】共 16 页

【反馈演练】

(??, 0] 1.函数 f(x)= 1? 2 x 的定义域是___________.
2.函数 f ( x) ? 3. 函数 y ?

1 (1, 2) ? (2,3) 的定义域为_________________. log2 (? x ? 4 x ? 3)
2

1 (0,1] ( x ? R ) 的值域为________________. 1 ? x2

(??, 4] 4. 函数 y ? 2x ? 3 ? 13 ? 4x 的值域为_____________.
1 3 [? , 0) ? ( ,1] 5.函数 y ? log 0.5 (4 x ? 3x) 的定义域为_____________________. 4 4
2

6.记函数 f(x)= 2 ?

x?3 的定义域为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1) 的定义域为 B. x ?1

(1) 求 A; (2) 若 B ? A,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由 2-

x?3 x ?1 ≥0,得 ≥0,x<-1 或 x≥1, 即 A=(-∞,-1)∪ [1,+ ∞) . x ?1 x ?1

(2) 由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0. ∵ a<1,∴ a+1>2a,∴ B=(2a,a+1) . ∵ ? A, ∴ B 2a≥1 或 a+1≤-1,即 a≥

1 或 a≤-2,而 a<1, 2 1 2

∴ ≤a<1 或 a≤-2,故当 B ? A 时, 实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪ ,1). [

1 2

第 4 页 【精讲精练】共 16 页

第2课
【考点导读】

函数的表示方法

1.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数. 2.求解析式一般有四种情况: (1)根据某个实际问题须建立一种函数关系式; (2)给出函数特征,利用待 定系数法求解析式; (3)换元法求解析式; (4)解方程组法求解析式. 【基础练习】

6x ? 7 6x ? 4 1.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3 , g ( x) ? 3x ? 5 ,则 f ( g ( x)) ? _________; g ( f ( x)) ? __________.
2.设函数 f ( x ) ?

1 1 1 , g ( x) ? x2 ? 2 ,则 g (?1) ? _____3_______; f [ g (2)] ? ; f [ g ( x)] ? 2 . 1? x x ?3 7

3.已知函数 f ( x ) 是一次函数,且 f (3) ? 7 , f (5) ? ?1 ,则 f (1) ? __15___.

4 ?| x ? 1| ?2,| x |? 1, 1 ? 13 4.设 f(x)= ? 1 ,则 f[f( )]=_____________. 2 ?1 ? x 2 , | x |? 1 ? 3 3 y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________. 2 2
【范例解析】 例 1.已知二次函数 y ? f ( x) 的最小值等于 4,且 f (0) ? f (2) ? 6 ,求 f ( x ) 的解析式. 分析:给出函数特征,可用待定系数法求解. 第5题

? ?c ? 6, ? a ? 2, ? ? ? 2 解法一:设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,则 ?4a ? 2b ? c ? 6, 解得 ?b ? ?4, ?c ? 6. ? 4ac ? b 2 ? ? ? 4. ? 4a ? 2 故所求的解析式为 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 6 . 解法二:? f (0) ? f (2) ,? 抛物线 y ? f ( x) 有对称轴 x ? 1 .故可设 f ( x) ? a( x ?1)2 ? 4(a ? 0) . 将点 (0, 6) 代入解得 a ? 2 .故所求的解析式为 f ( x) ? 2 x2 ? 4 x ? 6 . 解法三:设 F ( x) ? f ( x) ? 6. ,由 f (0) ? f (2) ? 6 ,知 F ( x) ? 0 有两个根 0,2, 可设 F ( x) ? f ( x) ? 6 ? a( x ? 0)( x ? 2) (a ? 0) ,? f ( x) ? a( x ? 0)( x ? 2) ? 6 , 2 将点 (1, 4) 代入解得 a ? 2 .故所求的解析式为 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 6 .
点评:三种解法均是待定系数法,也是求二次函数解析式常用的三种形式:一般式,顶点式,零点式. 例 2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2km,甲 10 时出发前往乙家. 如图, 表示甲从出发到乙家为止经过的路程 y km) ( 与时间 (分) x 的关系. 试写出 y ? f ( x) 的函数解析式. y 4 3 2 分析:理解题意,根据图像待定系数法求解析式.
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1 O 10 20 30 40 50 60 例2 x

解:当 x ? [0,30] 时,直线方程为 y ?

1 1 x ,当 x ?[40,60] 时,直线方程为 y ? x ? 2 , 15 10

?1 ?15 x x ? [0,30], ? ? f ( x) ? ?2 x ? (30, 40), ?1 x ? [40, 60]. ? x?2 ?10
点评: 建立函数的解析式是解决实际问题的关键, 把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达. 要 注意求出解析式后,一定要写出其定义域. 【反馈演练】

e x ? e? x e x ? e? x , g ( x) ? ,则 f (2 x) ? ( D ) 2 2 A. 2 f ( x) B. 2[ f ( x) ? g ( x)] C. 2 g ( x) 1 ? 1 2.已知 f ( x ? 1) ? 2 x ? 3 ,且 f (m) ? 6 ,则 m 等于________. 4 2
1.若 f ( x) ?
2

D. 2[ f ( x) ? g ( x)]

3. 已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x.求函数 g(x)的解析式. 解:设函数 y ? f ? x ? 的图象上任意一点 Q ? x0 , y0 ? 关于原点的对称点为 P ? x, y ? ,

? x0 ? x ? 2 ? 0, ? x0 ? ? x, ? 即? 则? ? y0 ? y ? 0, ? y0 ? ? y. ? 2 ?
∵点 Q ? x0 , y0 ? 在函数 y ? f ? x ? 的图象上 ∴ ? y ? x ? 2x,即y ? ?x ? 2x, 故g ? x ? ? ?x ? 2x .
2 2 2

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第3课
【考点导读】 1.理解函数单调性,最大(小)值及其几何意义;

函数的单调性

2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性. 【基础练习】 1.下列函数中: ① f ( x) ?

1 ; ② f ? x ? ? x2 ? 2 x ? 1 ; x

③ f ( x) ? ? x ;

④ f ( x) ? x ?1 .

其中,在区间(0,2)上是递增函数的序号有___②___. 2.函数 y ? x x 的递增区间是___ R ___. 3.函数 y ?

(??, ?1] x2 ? 2 x ? 3 的递减区间是__________.

(1, ??) 4.已知函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上是单调减函数, f (a ? 1) ? f (2a) , 且 则实数 a 的取值范围__________.
5.已知下列命题: ①定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f ( x ) 是 R 上的增函数; ②定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f ( x ) 在 R 上不是减函数; ③定义在 R 上的函数 f ( x ) 在区间 (??, 0] 上是增函数, 在区间 [0, ??) 上也是增函数, 则函数 f ( x ) 在 R 上 是增函数; ④定义在 R 上的函数 f ( x ) 在区间 (??, 0] 上是增函数, 在区间 (0, ??) 上也是增函数, 则函数 f ( x ) 在 R 上 是增函数. 其中正确命题的序号有_____②______. 【范例解析】 例 . 求证: (1)函数 f ( x) ? ?2 x2 ? 3x ?1 在区间 (??, ] 上是单调递增函数; (2)函数 f ( x) ?

3 4

2x ?1 在区间 (??, ?1) 和 (?1, ??) 上都是单调递增函数. x ?1 3 4

分析:利用单调性的定义证明函数的单调性,注意符号的确定. 证明: (1)对于区间 (??, ] 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?2x12 ? 3x1 ?1 ? (?2x22 ? 3x2 ?1) ? 2x22 ? 2x12 ? 3x1 ? 3x2

? ( x1 ? x2 )[3 ? 2( x1 ? x2 )] ,
又 x1 ? x2 ?

3 3 ,则 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? ,得 3 ? 2( x1 ? x2 ) ? 0 , 4 2
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故 ( x1 ? x2 )[3 ? 2( x1 ? x2 )] ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 所以,函数 f ( x) ? ?2 x2 ? 3x ?1 在区间 (??, ] 上是单调增函数. (2)对于区间 (??, ?1) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

3 4

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 3( x1 ? x2 ) , ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

又 x1 ? x2 ? ?1 ,则 x1 ? x2 ? 0 , ( x1 ? 1) ? 0 , ( x2 ? 1) ? 0 得, ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 故

3( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

2x ?1 在区间 (??, ?1) 上是单调增函数. x ?1 2x ?1 同理,对于区间 (?1, ??) ,函数 f ( x) ? 是单调增函数; x ?1 2x ?1 所以,函数 f ( x) ? 在区间 (??, ?1) 和 (?1, ??) 上都是单调增函数. x ?1
所以,函数 f ( x) ? 点评:利用单调性定义证明函数的单调性,一般分三步骤: (1)在给定区间内任意取两值 x1 , x2 ; (2)作 差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,化成因式的乘积并判断符号; (3)给出结论. 例 2.确定函数 f ( x) ?

1 的单调性. 1? 2x

分析:作差后,符号的确定是关键. 解:由 1 ? 2 x ? 0 ,得定义域为 (??, ) .对于区间 (??, ) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 则

1 2

1 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 ? 2 x2 ? 1 ? 2 x1 2( x1 ? x2 ) 1 1 ? ? ? 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ( 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 )

又 x1 ? x2 ? 0 , 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ( 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ) ? 0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
所以, f ( x ) 在区间 (??, ) 上是增函数. 点评:运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定.

1 2

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【反馈演练】

1 (0,1) ,则该函数在 R 上单调递__减__, (填“增” “减” )值域为_________. 2 ?1 2.已知函数 f ( x) ? 4 x2 ? mx ? 5 在 (??, ?2) 上是减函数,在 (?2, ??) 上是增函数,则 f (1) ? __25___.
1.已知函数 f ( x) ?
x

3. 函数 y ?

1 ? x2 ? x ? 2 的单调递增区间为 [?2, ? ] . 2 1 2

2 4. 函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x 的单调递减区间为 (??, ?1],[ ,1] .

5. 已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x?2

解:设对于区间 (?2, ??) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

ax1 ? 1 ax2 ? 1 (1 ? 2a)( x2 ? x1 ) ? ? ?0, x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
1 . 2

? x1 ? x2 ? 0 , ( x1 ? 2) ? 0 , ( x2 ? 2) ? 0 得, ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 ,?1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

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第4课
【考点导读】

函数的奇偶性

1.了解函数奇偶性的含义,能利用定义判断一些简单函数的奇偶性; 2.定义域对奇偶性的影响:定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件;不具备上 述对称性的,既不是奇函数,也不是偶函数. 【基础练习】 1.给出 4 个函数:① f ( x) ? x5 ? 5x ;② f ( x) ?

x4 ?1 ;③ f ( x) ? ?2 x ? 5 ;④ f ( x) ? e x ? e? x . 2 x

其中奇函数的有___①④___;偶函数的有____②____;既不是奇函数也不是偶函数的有____③____. 2. 设函数 f ? x ? ?

?x ? 1??x ? a ? 为奇函数,则实数
x
B. y ? sin x, x ? R

a?

-1



3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A ) A. y ? ? x 3 , x ? R 【范例解析】 例 1.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? C. y ? x, x ? R D. y ? ( ) , x ? R

1 x 2

(1 ? 2 x ) 2 ; 2x
2

(2) f ( x) ? lg( x ?

x2 ? 1) ;
1? x ; 1? x

(3) f ( x ) ? lg x ? lg

1 ; x2

(4) f ( x) ? (1 ? x)

(5) f ( x) ? x ? x ?1 ?1 ;
2

(6) f ( x) ? ?

?? x 2 ? x ( x ? 0), ? 2 ? x ? x ( x ? 0). ?

分析:判断函数的奇偶性,先看定义域是否关于原点对称,再利用定义判断. 解: (1)定义域为 x ? R ,关于原点对称;? f (? x) ? 所以 f ( x ) 为偶函数. (2)定义域为 x ? R ,关于原点对称;? f (? x) ? f ( x) ? lg(? x ? x 2 ? 1) ? lg( x ? x 2 ? 1) ? lg1 ? 0 ,

(1 ? 2? x )2 22 x ? (1 ? 2? x ) 2 (1 ? 2 x ) 2 ? ? ? f ( x) , 2? x 22 x ? 2? x 2x

? f (? x) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数.
(3)定义域为 x ? (??,0) ? (0, ??) ,关于原点对称;? f ( x) ? 0 ,? f (? x) ? ? f ( x) 且 f (? x) ? f ( x) , 所以 f ( x ) 既为奇函数又为偶函数. (4)定义域为 x ?[?1,1) ,不关于原点对称;故 f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数.

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(5)定义域为 x ? R ,关于原点对称;? f (?1) ? 4 , f (1) ? 2 ,则 f (?1) ? f (1) 且 f (?1) ? ? f (1) ,故

f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数.
(6)定义域为 x ? R ,关于原点对称;

??(? x) 2 ? (? x) (? x ? 0), ?? x 2 ? x ( x ? 0), ? ? ? f (? x) ? ? ,? f (? x) ? ? 2 又 f (0) ? 0 , 2 ?(? x) ? (? x) (? x ? 0). ? x ? x ( x ? 0). ? ?

?? x 2 ? x ( x ? 0), ? ? f (? x) ? ? 2 ? f (? x) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数. ? x ? x ( x ? 0). ?
点评:判断函数的奇偶性,应首先注意其定义域是否关于原点对称;其次,利用定义即 f (? x) ? ? f ( x) 或

f (? x) ? f ( x) 判断,注意定义的等价形式 f (? x) ? f ( x) ? 0 或 f (? x) ? f ( x) ? 0 .
例 2. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是奇函数, 且当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 , 求函数 f ( x ) 的解析式, 并指出它的单调区间. 分析:奇函数若在原点有定义,则 f (0) ? 0 . 解:设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,? f (? x) ? x ? 2x ? 2 .
2 2 又 f ( x ) 是奇函数,? f (? x) ? ? f ( x) ,? f ( x) ? ? f (? x) ? ? x ? 2 x ? 2 .

当 x ? 0 时, f (0) ? 0 .

? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ? x ? 0. 综上, f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? ?0, ?? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ?
作出 f ( x ) 的图像,可得增区间为 (??, ?1] , [1, ??) ,减区间为 [?1, 0) , (0,1] . 点评: (1)求解析式时 x ? 0 的情况不能漏; (2)两个单调区间之间一般不用“ ? ”连接; (3)利用奇偶 性求解析式一般是通过“ ?x ”实现转化; (4)根据图像写单调区间.

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【反馈演练】 1.已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数,则( D ) A. f ?6? ? f ?7? B. f ?6? ? f ?9? C. f ?7? ? f ?9? D. f ?7? ? f ?10?

2. 在 R 上定义的函数 f ?x ? 是偶函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ,若 f ?x ? 在区间 ?1,2? 是减函数,则函数 f ?x ? ( B )

A.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数

1 ? ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为____1,3 ___. 2 ? 5 1 4.设函数 f ( x)(x ? R) 为奇函数, f (1) ? , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 f (5) ? ________. 2 2
3. 设 ? ? ?? 1,1, 5.若函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 的 x 的取 值范围是(-2,2) . 6. 已知函数 f ( x) ?

? ?

ax 2 ? 1 (a, b, c ? Z ) 是奇函数.又 f (1) ? 2 , f (2) ? 3 ,求 a,b,c 的值; bx ? c

解:由 f (? x) ? ? f ( x) ,得 ?bx ? c ? ?(bx ? c) ,得 c ? 0 .又 f (1) ? 2 ,得 a ? 1 ? 2b ,

4a ? 1 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 2 .又 a ? Z ,? a ? 0 或 1. a ?1 1 若 a ? 0 ,则 b ? ? Z ,应舍去;若 a ? 1 ,则 b ? 1 ? Z . 2
而 f (2) ? 3 ,得 所以, a ? 1, b ? 1, c ? 0 . 综上,可知 f ( x ) 的值域为 {0,1, 2,3, 4} .

第 12 页 【精讲精练】共 16 页

第5 课
【考点导读】

函数的图像

1.掌握基本初等函数的图像特征,学会运用函数的图像理解和研究函数的性质; 2.掌握画图像的基本方法:描点法和图像变换法. 【基础练习】 1.根据下列各函数式的变换,在箭头上填写对应函数图像的变换: (1) y ? 2x 向右平移 1 个单位 向上平移 3 个单位

y ? 2x?1

y ? 2x?1 ? 3 ; y ? log2 (3 ? x) .
2? x . x ?1

(2) y ? log 2 x

作关于 y 轴对称的图形

y ? log2 (? x)

向右平移 3 个单位

2.作出下列各个函数图像的示意图: (1) y ? 3x ?1 ;
x

(2) y ? log2 ( x ? 2) ;
x

(3) y ?

解: (1)将 y ? 3 的图像向下平移 1 个单位,可得 y ? 3 ?1 的图像.图略; (2)将 y ? log 2 x 的图像向右平移 2 个单位,可得 y ? log2 ( x ? 2) 的图像.图略;

2? x 1 1 1 ? ? 1 ,将 y ? 的图像先向右平移 1 个单位,得 y ? 的图像,再向下平移 1 x ?1 x ?1 x x ?1 2? x y 个单位,可得 y ? 的图像.如下图所示: x ?1
(3)由 y ? O -1 3.作出下列各个函数图像的示意图: (1) y ? log 1 (? x) ;
2

1

x

(2) y ? ?( ) ; (3) y ? log 1 x ;
x

1 2

2 (4) y ? x ? 1 .

2

解: (1)作 y ? log 1 x 的图像关于 y 轴的对称图像,如图 1 所示;
2

(2)作 y ? ( ) 的图像关于 x 轴的对称图像,如图 2 所示;
x

1 2

(3)作 y ? log 1 x 的图像及它关于 y 轴的对称图像,如图 3 所示;
2

(4)作 y ? x ?1 的图像,并将 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方,如图 4 所示.
2

y

y O -1 x

-1

O

x

图1

第 13 页 【精讲精练】共 16 页

图2

y y

-1 -1 O 1 x

O

x

图4 图3 4. 函数 f ( x) ?| x ?1| 的图象是 y 1 -1 O 1 A x -1 O y 1 1 B x -1 O C y 1 1 x -1 O ( B ) y 1 1 D x

【范例解析】 例 1.作出函数 f ( x) ? ?2 x2 ? 2 x ? 3 及 f (? x) , ? f ( x) , f ( x ? 2) , f ( x) , f ( x ) 的图像. 分析:根据图像变换得到相应函数的图像. 解: y ? f (? x) 与 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称;

y ? ? f ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称;
将 y ? f ( x) 的图像向左平移 2 个单位得到 y ? f ( x ? 2) 的图像; 保留 y ? f ( x) 的图像在 x 轴上方的部分,将 x 轴下方的部分关于 x 轴翻折上去,并去掉原下方的部分; 将 y ? f ( x) 的图像在 y 轴右边的部分沿 y 轴翻折到 y 轴的左边部分替代原 y 轴左边部分, 并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分.图略. 点评:图像变换的类型主要有平移变换,对称变换两种.平移变换:左“+”右“-” ,上“+”下“-” ; 对称变换: y ? f (? x) 与 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称;

y ? ? f ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称; y ? ? f (? x) 与 y ? f ( x) 的图像关于原点对称;

y ? f ( x) 保留 y ? f ( x) 的图像在 x 轴上方的部分,将 x 轴下方的部分关于 x 轴翻折上去,并去掉原下方
的部分;

y ? f ( x ) 将 y ? f ( x) 的图像在 y 轴右边的部分沿 y 轴翻折到 y 轴的左边部分替代原 y 轴左边部分,并保
留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分.
第 14 页 【精讲精练】共 16 页

例 2.设函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 . (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f (x) 的图像; (2) 设集合 A ? x f ( x) ? 5 , 出证明.

?

?

并给 B ? ( ? ?, ? 2 ] ? [ 0, 4 ] ? [ 6, ? ? ) . 试判断集合 A 和 B 之间的关系,

分析:根据图像变换得到 f (x) 的图像,第(3)问实质是恒成立问题. 解: (1)

(2)方程 f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14, 0, 4 和 2 ? 14 ,由于 f (x) 在 ( ? ?, ? 1 ] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减, 在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? ) 上单调递增,因此 A ? ? ?, 2 ? 14 ? [ 0, 4 ] ? 2 ? 14, ? ? . 由于 2 ? 14 ? 6, 2 ? 14 ? ?2, ? B ? A .

?

?

?

?

第 15 页 【精讲精练】共 16 页

【反馈演练】 1.函数 y ? 1 ? 的图象是( B ) x ?1 y

1

y

1 O 1 A. y x

1 O 1 B. y x

1 -1 O C. x -1

1 O D. x

2. 为了得到函数 y ? 3? ( ) 的图象,可以把函数 y ? ( ) 的图象向右平移 1 个单位长度得到.
x x

1 3

1 3

3.已知函数 y ? log 1 x与y ? kx 的图象有公共点 A,且点 A 的横坐标为 2,则 k = ?
4

1 . 4

4.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f (x)的图象关于直线 x ? f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ . 5. 作出下列函数的简图: (1) y ? x ? 2 ( x ?1) ;

1 对称,则 2

x (2) y ? 2 ? 1 ; (3) y ? log2 2x ?1 .

第 16 页 【精讲精练】共 16 页


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