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导数专题之导数的综合应用3(真题专练)


导数应用之真题专练

脚踏实地仰望星空

导数专题之导数的综合应用——真题专练
1、已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax ? 1
2

(I)讨论函数 f ( x) 的单调性; (II)设 a ? ?1 .如果对任意 x1 , x2 ? (0,??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 | x1 ? x2 | ,求 a 的取值 范围。

2、已知函数 f(x)=lnx-ax2+(2-a)x. (I)讨论 f(x)的单调性; (II)设 a>0,证明:当 0<x< 3、设函数 f ? x ? ? 1 ? e .
?x

1 1 1 时,f( +x)>f( -x) ; a a a

(I)证明:当 x>-1 时, f ? x ? ? (II)设当 x ? 0 时, f ? x ? ?
x

x ; x ?1

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1
2

4、设函数 f ( x) ? e ? 1 ? x ? ax 。 (I)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间;
1

导数应用之真题专练

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(II)若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围 解: a ? 0 时, f ( x) ? e ? 1 ? x , f '( x) ? e ? 1 .
x x

当 x ? (??, 0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 .故 f ( x) 在 (??,0) 单调减 少,在 (0, ??) 单调增加 (II) f '( x) ? e ? 1 ? 2ax 由(I)知 e x ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.故
x

f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x ,
从而当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

1 时, f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,而 f (0) ? 0 , 2

于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 由 e ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e
x
?x

? 1 ? x( x ? 0) .从而当 a ?

1 时, 2

f '( x) ? e x ? 1 ? 2a(e? x ? 1) ? e? x (e x ? 1)(e x ? 2a) ,
故当 x ? (0,ln 2a) 时, f '( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? (0,ln 2a) 时, f ( x) ? 0 . 综合得 a 的取值范围为 ( ??, ] . 5、设函数 f ? x ? ? x ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2
2

1 2

(I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ?

1 ? 2 In2 4

解: (I) f ? ? x ? ? 2 x ?
2

a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? ?1) 1? x 1? x
1 。 由题意知 x1、x2 是方程 g ( x) ? 0 的两个 2
? ? ? 4 ? 8a ? 0 1 ,得 0 ? a ? 2 ? g (?1) ? a ? 0

令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a , 其对称轴为 x ? ?

均大于 ?1 的不相等的实根,其充要条件为 ?

⑴当 x ? (?1, x1 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 (?1, x1 ) 内为增函数; ⑵当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内为减函数; ⑶当 x ? ( x2, ? ?) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x2, ? ?) 内为增函数;
2



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