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【创新设计】(全国通用)2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 空间向量及其运算练习 理 新人教A版


【创新设计】 (全国通用)2017 版高考数学一轮复习 第八章 立体几 何 第 5 讲 空间向量及其运算练习 理 新人教 A 版
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线

AB 与 CD 的位置关系是(
A.垂直 C.异面



) B.平行 D.相交但不垂直

→ → 解析 由题意得,AB=(-3,-3,3),CD=(1,1,-1), → → → → → → ∴AB=-3CD,∴AB与CD共线,又AB与CD没有公共点.∴AB∥CD. 答案 B 2.空间四边形 ABCD 的各边和对角线均相等,E 是 BC 的中点,那么( → → → → A.AE?BC<AE?CD → → → → B.AE?BC=AE?CD → → → → C.AE?BC>AE?CD → → → → D.AE?BC与AE?CD的大小不能比较 1 → → → → 解析 取 BD 的中点 F,连接 EF,则 EF 綉 CD,因为〈AE,EF〉=〈AE,CD〉>90°,因 2 → → → → → → → → 为AE?BC=0,∴AE?CD<0,所以AE?BC>AE?CD. 答案 C → 3→ 1→ 1→ 3.(2016?济南月考)O 为空间任意一点,若OP= OA+ OB+ OC,则 A,B,C,P 四点( 4 8 8 A.一定不共面 C.不一定共面 B.一定共面 D.无法判断 ) )

3 1 1 → 3→ 1→ 1→ 解析 因为OP= OA+ OB+ OC,且 + + =1.所以 P,A,B,C 四点共面. 4 8 8 4 8 8 答案 B 4.已知向量 a=(1, 1, 0), b=(-1, 0, 2), 且 ka+b 与 2a-b 互相垂直, 则 k 的值是( )
1

A.-1 解析

B.

4 3

C.

5 3

D.

7 5

由题意得,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)?(2a-b)

7 =3(k-1)+2k-2?2=5k-7=0,解得 k= . 5 答案 D 5.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分别是 BC,AD 的中点, → → 则AE?AF的值为( A.a
2

) 1 2 B. a 2 1 2 C. a 4 D. 3 2 a 4

→ → → 解析 如图,设AB=a,AC=b,AD=c, 则|a|=|b|=|c|=a,且 a,b,c 三向量两两夹角为 60°.

AE= (a+b),AF= c,
1 → → 1 ∴AE?AF= (a+b)? c 2 2 1 1 2 1 2 2 = (a?c+b?c)= (a cos 60°+a cos 60°)= a . 4 4 4 答案 C 二、填空题 6.(2016?衡阳模拟)已知 a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ ),若 a,b,c 三向量共面,则 λ =________. 解析 由题意知 c=xa+yb, 即(7,6,λ )=x(2,1,-3)+y(-1,2,3), 2x-y=7, ? ? ∴?x+2y=6, 解得 λ =-9. ? ?-3x+3y=λ , 答案 -9 7.已知 2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a?c=4,|b|=12,则以 b,c 为方向 向量的两直线的夹角为________. 解析 由题意得,(2a+b)?c=0+10-20=-10. 即 2a?c+b?c=-10,又∵a?c=4,∴b?c=-18,

→ 1 2

→ 1 2

b?c -18 1 ∴cos〈b,c〉= = =- , |b|?|c| 12? 1+4+4 2
2

∴〈b,c〉=120°,∴两直线的夹角为 60°. 答案 60° → → 8.(2016?徐州模拟)已知 O 点为空间直角坐标系的原点,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1, → → → → 2), OP=(1, 1, 2), 且点 Q 在直线 OP 上运动, 当QA? QB取得最小值时, OQ的坐标是__________. 解析 ∵点 Q 在直线 OP 上,∴设点 Q(λ ,λ ,2λ ), → → 则QA=(1-λ ,2-λ ,3-2λ ),QB=(2-λ ,1-λ ,2-2λ ),

QA ? QB = (1 - λ )(2 - λ ) + (2 - λ )(1 - λ ) + (3 - 2λ )(2 - 2λ ) = 6λ 2 - 16λ + 10 =
4?2 2 ? 6?λ - ? - . 3? 3 ? 4 2 → → → ?4 4 8? 即当 λ = 时,QA?QB取得最小值- .此时OQ=? , , ?. 3 3 ?3 3 3?





?4 4 8? 答案 ? , , ? ?3 3 3?
三、解答题 → → 9.已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC. → (1)若|c|=3,且 c∥BC,求向量 c. (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值. 解 → → (1)∵c∥BC,BC=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2),

→ ∴c=mBC=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m), ∴|c|= (-2m) +(-m) +(2m) =3|m|=3, ∴m=±1.∴c=(-2,-1,2)或(2,1,-2). (2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2), ∴a?b=(1,1,0)?(-1,0,2)=-1, 又∵|a|= 1 +1 +0 = 2,|b|= (-1) +0 +2 = 5,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

a?b -1 10 ∴cos〈a,b〉= = =- , |a|?|b| 10 10
即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为- 10 . 10

10.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,G 为△BC1D 的重心,
3

(1)试证:A1,G,C 三点共线; (2)试证:A1C⊥平面 BC1D. → → → → → → → 证明 (1)CA1=CB+BA+AA1=CB+CD+CC1, 1→ → 1 → → → → → → → 可以证明CG= (CB+CD+CC1)= CA1,∴CG∥CA1,又CG与CA1有公共点 C,即 A1,G,C 三 3 3 点共线. → → → (2)设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|=|c|=a,且 a?b=b?c=c?a=0, → → ∵CA1=a+b+c,BC1=c-a, → → 2 2 ∴CA1?BC1=(a+b+c)?(c-a)=c -a =0, → → 因此CA1⊥BC1,即 CA1⊥BC1,同理 CA1⊥BD, 又 BD 与 BC1 是平面 BC1D 内的两相交直线,故 A1C⊥平面 BC1D. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.若向量 c 垂直于不共线的向量 a 和 b,d=λ a+μ b(λ ,μ ∈R,且 λ μ ≠0),则( A.c∥d C.c 不平行于 d,c 也不垂直于 d 解析 由题意得,c 垂直于由 a,b 确定的平面. ∵d=λ a+μ b,∴d 与 a,b 共面.∴c⊥d. 答案 B → → → → → → 12.在空间四边形 ABCD 中,AB?CD+AC?DB+AD?BC=( A.-1 B.0 C.1 ) B.c⊥d D.以上三种情况均有可能 )

D.不确定

→ → → 解析 如图,令AB=a,AC=b,AD=c, → → → → → → 则AB?CD+AC?DB+AD?BC =a?(c-b)+b?(a-c)+c?(b-a) =a?c-a?b+b?a-b?c+c?b-c?a=0. 答案 B

4

13.(2016?北京西城模拟)如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, → → 若动点 P 在线段 BD1 上运动,则DC?AP的取值范围是________. → → → → → → 解析 如图所示, 由题意, 设BP=λ BD1, 其中 λ ∈[0, 1], DC? AP=AB? (AB → +BP) → → → →2 → → →2 → → → → =AB? (AB+λ BD1)=AB +λ AB? BD1=AB +λ AB? (AD1-AB)=(1-λ )AB
2

→ → =1-λ ∈[0,1].因此DC?AP的取值范围是[0,1].

答案 [0,1] 14.如图所示,已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1,点 E,

F,G 分别是 AB,AD,CD 的中点,计算:
→ → (1)EF?BA;(2)EG 的长; (3)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值. 解 → → → 设AB=a,AC=b,AD=c.

则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, 1 → → 1→ 1 → (1)EF= BD= c- a,BA=-a,DC=b-c, 2 2 2 1 1 1 → → ?1 1 ? EF?BA=? c- a??(-a)= a2- a?c= ,

?2

2 ?

2

2

4

1 1 1 1 1 → → → → 1 (2)EG=EB+BC+CG= a+b-a+ c- b =- a+ b+ c, 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 → 2 1 2 1 2 1 2 1 → |EG| = a + b + c - a?b+ b?c- c?a= ,则|EG|= . 4 4 4 2 2 2 2 2 1 → 1 1 → → → (3)AG= b+ c,CE=CA+AE=-b+ a, 2 2 2 → → AG?CE 2 → → cos〈AG,CE〉= =- , → → 3 |AG||CE|

? π? 由于异面直线所成角的范围是?0, ?, 2? ?
2 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为 . 3

5


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