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职高数学拓展模块(高教版)课件:双曲线及其标准方程


双曲线及其标准方程

1. 椭圆的定义

平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. 2. 引入问题

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于非零常数 的点的轨迹是什么呢?
拉链实验

思 考:

面内与两 定点F1,F2 的距离的差 为非零常数 的点的轨迹 是什么?

一、双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝 对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;

问题

② |F1F2| ——焦距.
F

M

1. 为什么要强调差的绝对值? 2. 为什么这个常数要小于 | F 1F 2|?

1

F

2

请思考: 平面内与两定点F1, (1)平面内与两定点F 1,F2的距离的差等 F2的距离的差的绝对 值等于常数(小于 于常数(小于 F1F2 )的点的轨迹是什么?
1、定义: F1F2 )的点的轨迹 叫做双曲线。 记: 常数=2a, F1F2 =2c

双曲线的一支 (2)若常数2a=0,轨迹是什么? 垂直平分线 (3)若2a= F1F2 轨迹是什么? 两条射线 (4)若2a> F1F2 轨迹是什么?
不存在

二、如何求双曲线的标准方程?
以F 1. 建系. 1,F2所在的直线为X轴, 线段F1F2的中点为原点建立 直角坐标系, 设M(x , y), 双曲线的 2.设点. 焦距为2c(c>0),常数=2a(a>0), 则F1(-c,0),F2(c,0),
F
1

y
M

O

F

2

x

||MF1| 3.列式.
4.化简

- |MF2||= 2a
(x-c)2 + y2 | = 2a

即 | (x+c)2 + y2 -

?x ? c ?

2

?y ?
2

?x ? c ?

2

? y ? 2a
2

将上述方程化为: ?x ? c ? ? y 2 ?
2

?x ? c ?2 ? y 2 ? ?2a
?x ? c ?2 ? y 2

移项两边平方后整理得:cx ? a 2 ? ? a

两边再平方后整理得:c 2 ? a 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 c 2 ? a 2 x2 y2 2 2 2 两边同除以a (c ? a ), 得 2 ? 2 ?1 2 a c ?a

?

?

?

?

? 2c ? 2a ? 0? c ? a ? 0? c 2 ? a 2 ? 0
设b2 ? c 2 ? a 2 ?b ? 0?
代入上式得:

x2 y 2 ? 2 ? 1?a ? 0,b ? 0? 2 a b

焦点在y轴上的双曲线的

标准方程是什么?
y x ? 2 ? 1?a ? 0,b ? 0? 2 a b
2 2

M ?x, y ?

y
F2 (0,c)

o

x

c ? a ?b
2 2

2

F1 (0,-c)

两种标准方程的特点
y
M
M o

y
F2

F1

F2

x
F1

x

y x x y ? 2 ? 1?a ? 0,b ? 0? 2 ? 2 ? 1?a ? 0,b ? 0? a b a2 b ① 方程用“-”号连接。 ② a, b 大小不定。

2

2

2

2

? a ? b 。 如何确定焦点位置?? 2 ④如果 x 的系数是正的,则焦点在 x 轴上; 2 如果 y 的系数是正的,则焦点在 y 轴上。
③c
2 2 2

1.判断下列方程是否表示双曲线?若 是,求出 a , b, c及其焦点坐标.
x2 y2 (1) ? ?1 4 2 x2 y 2 (3) ? ? ?1 3 4 (2) x ? y ? 2
2 2

答案: )a ? 2, b ? 2, c ? 6, (1
(3)a ? 2, b ? 3, c ? 7 ,

x2 y 2 (4) ? ? 1(m ? 0, n ? 0) m n

F1(? 6,0), F2 ( 6,0)

(2)a ? 2, b ? 2, c ? 2 , F1(?2,0), F2 (2,0)

F1 (0,? 7 ), F2 (0, 7 )

(4)a ? m, b ? n , c ? m ? n , F1(? m ? n ,0), F2 ( m ? n ,0)

例1、已知双曲线两个焦点的坐标为F1( - 5 , 0)、 F2(5 , 0),双曲线上一点P到F1、F2的距离的差 的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。 解:因为双曲线焦点在x轴上,所以设它的 标准方程为 x 2 y 2

a
∵ ∴

2

?

b

2

?1 ( a ? 0 , b ? 0 )
∴ c=5 ,a=3

2c=10 ,2a=6 b2= 52- 32= 16

∴ 所求双曲线的标准方程为

x y ? ?1 9 16

2

2

1.求适合下列条件的双曲 线的标准方程:

?1?焦点在x轴上, a ? 4, b ? 3;
若去掉焦点在X 轴上的条件呢?

?2?焦点为?0,?6?, (0,6),且经过点(2,?5)
(3)经过点(5,2)与点(10,8)

x2 y2 例2.如果方程 表示双曲线, ? ?1 2?m m?1

求m的取值范围.

答案:{m︳ 1<m<2 }

变式:

?m m ? ?1 或 m ? 2 范围_________________.?

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线时,则m的取值 方程 2?m m?1

例3、已知A,B两地相距800m,在A地听到炮 弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求 炮弹爆炸点的轨迹方程。

思考:如果A,B两处同时听到爆炸声,那么爆 炸点在什么曲线上?为什么?

练习一
B

1.已知点F1 (?5,0), F2 (5,0), 动点P满足 PF1 ? PF2 ? 8, ) D.一条射线
2

则P的轨迹是(

A.双曲线 B.双曲线一支 C.直线 2.下列方程表示什么曲线?
(1)

? x ? 5?

?y ? 双曲线
2 2

? x ? 5?

2

? y ? 6 (2)
2

? x ? 5?

?y ?
2

? x ? 5?

2

? y2 ? 6

双曲线的一支(右支)

(3)

?x ? 5?2 ? y 2 ? ?x ? 5?2 ? y 2

? 10

两条射线

( 4)
(5)

?x ? 5?2 ? y 2 ? ?x ? 5?2 ? y 2
?x ? 5?2 ? y 2 ? ?x ? 5?2 ? y 2

? 0 垂直平分线
? 12 不存在

1、定义:平面内与两定点F1,F2的距离的差的绝对 值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨迹叫做双曲线。 2、双曲线的标准方程
(1)焦点在 x 轴上

x2 y2 ? ? 1, 2 2 a b (a ? 0 , b ? 0 )
(2)焦点在 y 轴上

y2 x2 ? ? 1, 2 2 a b (a ? 0 , b ? 0 )

c

2

? a

2

?b

2


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