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导学案4-4 参数方程


选修 4-4

学讲稿

圆的参数方程
学习目标
1.通过求做匀速圆周运动的质点的参数方程,掌握求一般曲线的参数方程的基本步骤. 2.熟悉圆的参数方程,进一步体会参数的意义。

学习过程
一、学前准备 1.在直角坐标系中圆的标准方程 在直角坐标系中圆的一般方程 二、新课导学

/>y r O M

?
x M0 x

◆探究新知(预习教材23、24页,找出疑惑之处) 如图:设圆 O 的半径是 r ,点 M 从初始位置 M 0 ( t ? 0 时的位置)出发,按逆时针方向 在圆 O 上作匀速圆周运动,点 M 绕点 O 转动的角速度为 ? ,以圆心 O 为原点,OM 0 所 在的直线为 x 轴,建立直角坐标系。显然,点 M 的位置由时刻 t 惟一确定,因此可以取 t 为参数。如果在时刻 t ,点 M 转过的角度是 ? ,坐标是 M ? x, y ? ,那么 ? ? ?t 。设

OM ? r ,那么由三角函数定义,有
s ? x ? r c o ?t x y ,sin ?t ? , 即 ? (t为 参 数 ) r r ? ?y ? r s i n t 这就是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程,其中参数 t 有明确的物理意 义(质点作匀速圆周运动的时刻) 。考虑到 ? ? ?t ,也可以取 ? 为参数,于是 ? x ? r cos? 有 ? (?为参数) ? y ? r sin ?
cos ?t ?
◆应用示例 例1.圆 O 的半径为2, P 是圆上的动点, Q ? 6,0? 是 x 轴上的定点, M 是 PQ 的中点, 当点 P 绕 O 作匀速圆周运动时,求点 M 的轨迹. 解:

1

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◆反馈练习 1.下列参数方程中,表示圆心在 (1, 0) ,半径为 1 的圆的参数方程为(



? x ? 1 ? cos ? ? x ? cos ? C、 ? ? y ? sin ? ? y ? 1 ? sin ? 2、 如图, ABM 为一钢体直杆,AM ? a , BM ? b , 设 A 点沿 x 轴滑动, B 点沿 y 轴滑动,则端点 M 的运动 轨迹的参数方程为 ( ) (提示: ?xAM ? ? 为 取
A、 ?

? x ? cos ? ? y ? sin ?

B、 ?

D、 ?
y

? x ? 1 ? cos ? ? y ? 1 ? sin ?
M

参数)

a

b B

? x ? a cos ? A、 ? ? y ? b sin ? ? x ? b cos ? C、 ? ? y ? a sin ? 课后作业
1.曲线 ? A.
1 2
? x ? cos? ? y ? sin?

? x ? b sin ? B、 ? ? y ? a cos ? ? x ? a sin ? D、 ? ? y ? b cos ?

A

o

x

(?为参数) 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是(



2 C.1 D. 2 2 2、动点 M 作匀速直线运动,它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 3m / s 和 4m / s ,直角

B.

坐标系的单位长度是 1m , M 的起始位置在点 M 0 (2,1) 处, 点 求点 M 的轨迹的参数方程。

3、 已知 M 是正三角形 ABC 的外接圆上的任意一点, 求证 MA ? MB ? MC
2 2

2

为定值。

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4.已知 P( x, y) 是圆心在 (1 , 1) ,半径为 2 的圆上任意一点,求 x ? y 的最大值和最小值。

2

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学讲稿

参数方程与普通方程的互化
学习目标
1.明确参数方程与普通方程互化的必要性. 2.掌握参数方程化为普通方程的几种基本 方法,能选取适当的参数化普通方程为参数方程.

学习过程
一、学前准备 复习:1、在解方程组中通常用的消元方法有哪些?
2 2. 写出圆 x2 ? y 2 ? r 2 的参数方程,圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 呢? 2 2

二、新课导学 ◆探究新知(预习教材P24~P26,找出疑惑之处)
2 问题1:方程 ? x ? 3? ? y ? 1 表示什么图形? 2

问题2: 上节课例2中求出点 M 的参数方程是 ?

? x ? cos ? ? 3 , 那么点 M 的轨迹是什么? ? y ? sin ?

小结:1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 2.曲线的参数方程与普通方程一般可以互化. ◆应用示例 例 1.把下列参数方程化为普通方程,并说明它表示什么曲线: (1) ?

?x ? t ?1 ? ? y ? 1? 2 t ?

( t 为参数)

(2) ?

? x ? sin ? ? cos ? ( ? 为参数) ? y ? 1 ? sin 2?

x2 y 2 ? ? 1 按以下要求化为参数方程: 9 4 (1)设 x ? 3cos ? , ?为参数 (2) y ? 2 t , t为参数
例 2 .将椭圆普通方程

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◆反馈练习 1.把下列的参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线。 (1) ?

? x ? cos ? ? x ? 5cos ? (? 为参数) ) (2) ? (?为参数) ? y ? cos 2? ? 1 ? y ? 3sin ?

2.根据下列要求,把曲线的普通方程化为参数方程: 1) y 2 ? x ? y ?1 ? 0 设 y ? t ?1 , t为参数. 2) x 2 ? y 2 ? a 2
1 1 1

设 x ? a cos4 ? , ?为参数

三、总结提升 ◆本节小结 1. 消去参数的常用方法有:1)代入法 2)利用代数或三角函数中的恒 等式消去参数. 2.互化中必须使 x, y 的取值范围保持一致. 3.同一个普通方程可以有不同形式的参数方程. 检测试题 1.曲线 y ? x2 的一种参数方程是( ).

?x ? t ? x ? sin t ?x ? t ? B. ? C. ? D. ? 2 2 ?y ? t ? y ? sin t ?y ? t ? ? x ? sin? 1 2 (?为参数) 上的点为 2. 在曲线 ? ( ) (2,7) B. , ) A. ( y ? cos 2? 3 3 ? ? x ? 1 ? cos 2? (?为参数) 的轨迹是( ) 3. 曲线 ? 2 ? y ? sin ? ?x ? t2 ? A. ? 4 ?y ? t ?
A.一条直线
? x?2 4.方程 ? ? y ? cos?

1 1 C. , ) ( 2 2

D. (1,0)

B.一条射线

C.一个圆 )

D.一条线段

(?为参数) 表示的曲线是(

A.余弦曲线 B.与 x 轴平行的线段 C.直线 D.与 y 轴平行的线段 4.把下列的参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线。

(1) ?

? x ? sin ? ? cos ? ? y ? 1 ? sin 2?

??为参数?

1 ? ?x ? t ? t ? (t为参数) (2) ? ?y ? t ?1 ? t ?

2 2 5.已知圆的方程 x ? y ? 2 y ,选择适当的参数将它化为参数方程.

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椭圆的参数方程
学习重点:椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化 学习难点:(1)椭圆参数方程的建立及应用.(2)椭圆的参数方程与普通方程的互化 学法指导:认真阅读教材,按照导学案的导引进行自主合作探究式学习 学习过程:阅读教材 27—29 页,找出疑问。 典型例题 例 1. 参数方程与普通方程互化 1.把下列普通方程化为参数方程. (1)

x2 y2 ? ?1 4 9

(2) x ?
2

y2 ?1 16

2.把下列参数方程化为普通方程(1) ?

? x ? 3 cos? ? x ? 8 cos? (?为参数) (2) ? (?为参数) ? y ? 5 sin ? ? y ? 10sin ?

练习:已知椭圆的参数方程为

? x ? 2cos? ? ? y ? sin ?

( ? 是参数) ,则此椭圆的长轴长为

______,短轴长为_______,焦点坐标是________,离心率是_______。 例 2、在椭圆 x ? 8 y ? 8 上求一点 P,使 P 到直线 l: x ? y ? 4 ? 0 的距离最小.
2 2

思考: 与简单的线性规划问题 进行类比,你能在实数 , y满足 x 求出z ? x ? 2 y的最大值和最小值吗? x2 y2 ? ? 1的前提下, 25 16
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例 3、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 有一内接矩形 ABCD,求矩形 ABCD 的最大面积。 100 64

达标检测:

1、当参数?变化时,动点P(3 cos? ,2 sin ? )所确定的曲线必过 A、点(2,3), B、点(3,0), C、点(1,3), D、点(0, ) 2

?

(

)

2、已知圆的方程为 2 ? y 2 ? 4 x cos? ? 2 y sin ? ? 3 cos2 ? ? 0, (?为参数), x 那么圆心的轨迹的普通 方程为 __________ __________ ?
3、求定点(2a,0)和椭圆 { x ? a cos? (?为参数)上各点连线的中点轨迹 方程。 y ? b sin ?

? x ? 4 cos? 4、P是椭圆? (?为参数)上一点,且在第一象限 OP(O为原点) , ? y ? 2 3 sin ? 的倾斜角为 ,求点P的坐标 3

?

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直线的参数方程 教学重点:联系数轴、向量等知识,写出直线的参数方程. 教学难点:通过向量法,建立参数 t (数轴上的点坐标)与点在直角坐标系中 的坐标 x, y 之间的联系. 教学过程:
一、回忆旧知,做好铺垫 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程.

2.写出直线的方向向量的概念.

3.在平面直角坐标系中,确定一条直线的几何条件是什么? 4.已知一条直线的倾斜角 ? 和所过的一个定点 A?x0 , y0 ? ,请写出直线的方程.

5. .已知两个向量 a, b(a 二、直线参数方程探究 1.回顾数轴,引出向量

? 0) ,则 a, b 共线的充要条件是

数轴是怎样建立的?数轴上点的坐标的几何意义是什么?

如果数轴原点为 O,数 1 所对应的点为 A,数轴上点 M 的坐标为 t ,那么: ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? ① OA 为数轴的单位方向向量, OA 方向与数轴的正方向一致,且 OM ? tOA ; ???? ??? ? ? ???? ? ②当 OM 与 OA 方向一致时(即 OM 的方向与数轴正方向一致时) t ? 0 ; , ???? ??? ? ? ???? ? 当 OM 与 OA 方向相反时(即 OM 的方向与数轴正方向相反时) t ? 0 ; , ???? ? 当 M 与 O 重合时, t ? 0 ; ③ | OM |? t . 2. 类比分析,异曲同工 问题: (1)类比数轴概念,平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴?
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(2)把直线当成数轴后,直线上任意一点就有两种坐标.怎样选取单位长度和方向才有 利于建立这两种坐标之间的关系? 教师提出问题后,引导学生思考并得出以下结论: 选取直线 l 上的定点 M 0 为原点, 与直线 l 平行且方向向 上( l 的倾斜角不为 0 时)或向右( l 的倾斜角为 0 时) 的单位向量 e 确定直线 l 的正方向,同时在直线 l 上确 定进行度量的单位长度,这时直线 l 就变成了数轴.于 是,直线 l 上的点就有了两种坐标(一维坐标和二维坐 标) .在规定数轴的单位长度和方向时,与平面直角坐 标系的单位长度和方向保持一致, 有利于建立两种坐标 之间的联系. 【设计意图】 使学生明确平面直角坐标系中的任意直线 都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴, 为建立直线参数方程作准备. 3. 选好参数,柳暗花明 问题(1) :当点 M 在直线 l 上运动时,点 M 满足怎样的几何条件? 问题(2) :如何确定直线 l 的单位方向向量 e ? 教师启发学生:如果所有单位向量起点相同,那么终点的集合就是一个圆.为了研究问 题方便,可以把起点放在原点,这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆.因此 在单位圆中来确定直线的单位方向向量. 教师引导学生确定单位方向向量,在此基础上启发学 生得出 e ? (cos ? ,sin ? ) , 从而明确直线 l 的方向向量 可以由倾斜角 ? 来确定. 当 0 ? ? ? ? 时,sin ? ? 0 , 所以直线 l 的单位方向向 量 e 的方向总是向上.

?

?

?

?

4. 等价转化,深入探究 问题:如果点 M 0 ,M 的坐标分别为 ( x0 , y0 )、 , y) , (x 怎样用参数 t 表示 x, y ?

, [ 因为 e ? (cos ? ,sin ? ) , ? ?0 ) ? ) MM ? (, ) x , ) ( x ? ,? y0 ) ( , 0 xy (? y 0 0 x y ?

?

??? ??

0



?????? ? ? ?????? ? ? 又M0 M // e ,所以存在实数 t ? R ,使得 M 0 M ? te ,即
( x ? x0 , y ? y0 ) ? t (cos ? ,sin ? ) .
于是 x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ? ,
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即 x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ? . 因此,经过定点 M ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线的参数方程为

? x ? x 0 ? t cos ? ? ? y ? y 0 ? t sin ?
②参数 t 的取值范围是什么?

( t 为参数) .

问题:①直线的参数方程中哪些是变量?哪些是常量? ③参数 t 的几何意义是什么? 总结如下:① x0 , y0 , ? 是常量, x , y , t 是变量; ② t ? R ; ③由于 | e |? 1 ,且 M 0 M ? te ,得到 M 0 M ? t ,因此 t 表示直线上的动点 M 到定点 M 0 的距离.当 M0 M 的方向与数轴(直线)正方向相同时,t ? 0 ;当 M0 M 的 方向与数轴(直线)正方向相反时, t ? 0 ;当 t ? 0 时,点 M 与点 M 0 重合. 抄写一遍:

?

?????? ?

?

?????? ?

?????? ?

?????? ?

练一练

1.直线 x ?

y ? 3 ? 0 的一个参数方程为
,那么它的斜截式方程为 (t为参数)

1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? 2.直线的参数方程 ? ?y ? 3 ? 3 t ? 2 ?

? x ? 3 ? t sin 200 ? 3.直线 ? ? y ? t cos 200 ?
三、运用知识,培养能力

(t为参数) 的倾斜角是

2 例 1.已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? x 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长度和点

M (?1, 2) 到 A,B 两点的距离之积.

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? x ? x 0 ? t cos ? ? ? y ? y 0 ? t sin ? 应的参数分别为 t1 , t2 .
探究:直线

( t 为参数)与曲线 y ? f ( x) 交于 M1 , M 2 两点,对

(1)曲线的弦 M1M 2 的长是多少? (2)线段 M1M 2 的中点 M 对应的参数 t 的值是多少?

例 2、经过点 M (2,1) 作直线 l ,交椭圆 AB 的中点,求直线 l 的方程.

x2 y 2 ? ? 1 于 A,B 两点.如果点 M 恰好为线段 16 4

思考:例 2 的解法对一般圆锥曲线适用吗?把“中点”改为“三等分点” ,直线 l 的方程 怎样求?由学生课下解决.
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四、自主解决,深入理解 练习:已知过点 P(2, 0) ,斜率为 的中点为 M,求点 M 的坐标.

4 的直线和抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A,B 两点,设线段 AB 3

五、归纳总结,提升认识 1.知识小结 本节课联系数轴、向量等知识,推导出了直线的参数方程,并进行了简单应用,体 会了直线参数方程在解决有关问题时的作用. 2.思想方法小结 在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想. 思考题:若直线 l 的参数方程为 数 t 的意义. 六、布置作业,巩固提高 1. 教材 P39 第一题:

? x ? x 0 ? at ? ? y ? y 0 ? bt

( a, b 为常数, t 为参数) ,请思考参

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2. 教材 P39 第三题:

3. 教材 P39 第四题:

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