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高中数学竞赛 第四讲 例析圆锥曲线的离心率问题的求解


第四讲:例析圆锥曲线的离心率问题的求解
离心率是圆锥曲线的一个重要性质。椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据;双曲线的 离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据;而抛物线的离心率是特征值 1。圆锥曲线的统一定义 是按离心率的范围不同,确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线和抛物线的类型。近几年的高考中对离心率的 考查相当的火暴,因此,我们有必要对其作一翻专门的研究与探讨。题型主要以离心率的求值或范围问 题为主。求离心率的关键是列出一个与 a,b,c,e 有关的等式或不等关系。 一、 由曲线图形的性质求离心率的大小或范围问题 例 1、 (1)已知双曲线

x2 2 -y =1(a>0)的一条准线为 x=1.5,则该双曲线的离心率为 2 a (2)设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角 三角形,则椭圆的离心率是 . 2 2 2 2 (3) 点 P(-3,1)在椭圆 x /a +y /b =0(a>b>0)的左准线上.过点 P 且方向为 a=(2,-5)的光线,经直 线 y =-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为 .
(4)已知双曲线 x /a +y /b = 0 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是
2 2 2 2

x2 2 -y =1(a>1)的两条渐近线的夹角为 60°,则双曲线的离心率为 a2 (6)过标准型双曲线的右焦点作其在第一三象限的渐近线的垂线,垂足为 P,若此垂线与双曲线的 左右两支个交于一点,则双曲线的离心率的范围为 . (7) (浙江) 过标准型双曲线的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、N 两点,以 MN 为直 径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_________. (8)设标准型双曲线的右焦点为 F,右准线 L 与两条渐近线交于 P、Q 两点,如果 Δ PQF 是直角三角 形,则双曲线的离心率 e= .
(5)已知双曲线 (9)过双曲线 M:x -y /b =1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 L,若 L 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交 于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 (10)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2,焦点到相应准线的距离为 2,则该椭圆的离 心率为 .
2 2 2

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1

例 2、已知 A、B 是椭圆长轴的两个端点,如果椭圆上存在一点 Q,使∠AQB=120°,求椭圆离心率的 取值范围。

练习:椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,若存在过椭圆左焦点的直线 L 交椭圆于 P、Q 两点,使得 OP ⊥OQ,求离心率 e 的取值范围。 二、 由参变量范围求离心率的范围问题 例 3、已知斜率为 k 的直线经过标准椭圆的右焦点 F 并与椭圆交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,B 为 CF 的中点,若|k|≤1,求椭圆离心率的范围。

三、 由离心率的范围求参变量范围问题 2 例4 、 标准型椭圆与直线 x+y+1=0 相交于 P、 Q 两点, 满足 OP⊥OQ,且椭圆的离心率满足 1/3≤e ≤1/2, 求 椭圆长轴的取值范围。

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