tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

选修4-2矩阵与变换


矩阵与变换

一、矩阵的概念
?1 ? 形如 ? ?, ?3?
2 ? 1矩 阵

? 80 90 ? ? 2 3 m ? ? 的阵列称为矩阵 ? ?, ? ? 60 85 ? ? 3 ? 2 4 ?
2 ? 2矩 阵 2 ? 3矩 阵

通常用大写黑体的字母A、B、C…表示 组成矩阵的每

一个数(或字母)称为矩阵的元素 同一横排中的一行数(或字母)叫做矩阵的行, 同一竖排中的一行数(或字母)叫做矩阵的列.
对 于 两 个 矩 阵 A、 B的 行 数 与 列 数 分 别 相 等 , 且 对 应 位 置 上 的 元 素 也 分 别 相 等 时 , A和 B 才 相 等 , 记 作 A ? B.

二、矩阵的乘法
?a b ? ?u v ? ?x ? 已 知 A= ? ? ,B= ? ? ,X= ? ? ?c d ? ?s t ? ? y? ? a b ? ? x ? ? ax ? by ? 则 AX= ? ? ? ?= ? ?. ? c d ? ? y ? ? cx ? dy ?

?a AB ? ? ?c

b ? ?u ?? d ? ?s

v ? ? au ? bs av ? bt ? ??? ? t ? ? cu ? ds cv ? dt ?

注意:矩阵乘法满足结合律,通常不满足交换律与消去律

①(AB)C=A(BC) ② AB≠BA

③若AB=AC

? B=C

计算:

二、矩阵的乘法
?1 2 ? ? 5 ? ?17 ? (2) ? ?? ? ? ? ? ? 3 4 ? ? 6 ? ?39?

?1 2 ? ? 2 ? ? 0 ? (1) ? ?? ? ? ? ? ? 0 1? ? - 1 ? ??1?

? ?1  1? ?1 - 1? ? 1 0 ? ?? 1  1? ? 1 0 ? ?1 - 1? ? (3) ? ?? ??? ?? ? ? ?4  1? ? (4) ? 2 1 ? ? 2 1 ? ? 4  1? 2 1 ? ? 2 1? ? ? ? ? ?

?

? 2 1? ? 1 - 2 ? ? 2  3? ?1 - 1 ? ?1 0 ? ?1  1 ? ? ? (5) ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? (6) ? ? ? 1 2 ? ? 0 1 ? ?? 1  4? ? 2 1 ? ? 0 1? ?2  1?

(7) K=5
1

2 b ? 0, y ? 1

a ? 2, x ?

a ? 1, x ? 1 b ? 4, y ? 1

三、逆矩阵
?1 0 ? 1. 二阶单位方阵 E ? ? ? ? 0 1?

2.二阶行列式
a c b d 称 为 二 阶 行 列 式 , 记 为 de t(A)= a c b d ? ad ? bc

3.逆矩阵 对于二阶矩阵 A,B 若有 AB=BA=E 则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵(简称A 的逆).

A的逆矩阵记为 A-1

三、逆矩阵
?a 若A ? ? ?c

a b? ? 则 当 det(A)= d? c

b d

? ad ? bc ? 0时

二阶矩阵 A 存在唯一的逆矩阵 A-1
?1

A

求下列矩阵的逆矩阵
? 1 - 1? (1) ? ? ? 1 1 ?

d ? ? ad ? b c ?? ? -c ? ad ? b c ?

? ad ? b c ? ? a ? ad ? b c ? ? -b

(2)

?1 0 ? ? c os ? sin ? ? ? ? (3) ? ? ?0 2 ? ? - sin ? c os ? ?

四、线性变换与矩阵
一 般 地 , 对 于 平 面 上 的 任 意 一 点 ( 向 量 )x , y ), 若 按 照 ( 对 应 法 则 T , 总 能 对 应 唯 一 的 一 个 平 面 点 (向 量 ) x ?, y ?), ( 则称T为一个变换,简记为: T :x , y ) ? x ?, y ?), 或 ( ( ?x? ? x? ? T: ? ? ? ? . ? ? y? ? y ??

线性变换

? x ? ? ax ? by 若 T :x , y ) ? x ?, y ?)可 用 公 式 表 示 : ? ( ( ? y ? ? cx ? dy

原像



? x? ? ? a 用矩阵可表示为: ? ?? ? ? c ?y ? ?

b? ? d?

?x ? ? ? ? y?

由 矩 阵 M 确 定 的 变 换 T , 通 常 记 为 TM

几种常见的矩阵变换 写出下列各矩阵变换下的新旧坐标关系:
?1 0 ? (1) ? ? ? 0 1? ?k 0? (2) ? ? 0 1? ? ?1 0 ? (3) ? ? 0 k? ?
? x? ? x ? ? y? ? y ? x ? ? kx ? ? y? ? y ? x? ? x ? ? y ? ? ky

恒等变换

纵坐标不变,横坐标变 为原来的k倍
x轴方向的伸压变换 横坐标不变,纵坐标变 为原来的k倍

y轴方向的伸压变换

几种常见的矩阵变换 根据下列新旧坐标关系写出相应矩阵变换
? x? ? ? x (4) ? ? y? ? y ? x? ? x (5) ? ? y? ? ? y ? x? ? y (6) ? ? y? ? x ? x? ? ? y (7) ? ? y? ? ? x

?? 1 0 ? ? ? 0 1? ? ?1 0 ? ? ? 0 - 1? ? ?0 ? ?1 1? ? 0?

关于y轴的反射变换

关于x轴的反射变换
关于直线y=x的反射变换

? 0 - 1? ? ? ? 1 0? ?

关于直线y=-x的反射变换

(8)旋转变换
将点A绕原点O逆时针旋转α角得A`,写出对应的变换矩阵
? cos ? 矩阵 ? ? sin ? ? sin ? ? ? 通常叫做旋转变换矩阵. cos ? ?

其中的角α做旋转角.点O叫做旋转中心. 旋转变换只改变几何图形的位置,不会改变其形状.

图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
当旋转角α=1800时
?? 1 0 ? ? ? ? 0 - 1?

即原点中心对称

(9)投影变换
?1 ? ?0
?0 ? ?0

0? ? 0?
0? ? 1?

( x , y ) ? x , 0) (

x轴上的投影变换 y轴上的投影变换

( x , y ) ? 0, y ) (

类似地,将平面内图形投影到某条直线(或某 个点上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,相应 的变换称做投影变换

五、矩阵的应用

(一)求变换的像或原像

1.已 知 变 换 T: P(x,y) ? P ?(x ?,y ?) 由 表 达 式 ? x ? ? ? 0 ? 1? ? x ? ? ?? ? ? ? ? ?决定 0 ? ? y? ? y ? ?1

(1)写出由 x,y计算x`,y`的表达式
(2)已知点O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),计算 这4个点经过变换之后的像的坐标, (3)正方形OABC被变换成什么图形? (4)问点(2,3)是由哪个点变换得到?

五、矩阵的应用

(一)求变换的像或原像

2.例1: 已 知 直 线 l过 点 A(0,4), 其 方 向 向 量 ? 0 ? 1? ? 1 ? 1? 是 v=(2,2), 给 定 矩 阵 M= ? ? 和 N= ? ? 1 0? -1 1 ? ? ?

(1)写出直线 l 方程的向量表示
(2)分别求出点A(1,0)和向量v在矩阵M、N变换 下 的像 (3)分别求直线 l 在矩阵M、N变换 下的像

五、矩阵的应用

(一)求变换的像或原像

3.练 习 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 一 种 线 性 变 换 对 应 的 ?1 0 ? ? 二 阶 矩 阵 为 M= ? 1 ,求 ?0 ? ? 2? (1)点 A(
2

1 5

,3)在 该 变 换 作 用 下 的 像
2

(2)圆 x +y =1在 该 变 换 作 用 下 的 像 的 方 程

五、矩阵的应用

(一)求变换的像或原像

?t 0? ? 0 ? 1? 5.若曲线 y ? 4 x 依次经过矩阵 A ? ? ? ? ? 0 1 ? , B ? ?1 0 ? ? ? ? ? ?
2
2 作用下变换得到的曲线方程为 x ? 2 y ,求实数 t; 复合变换

6.求曲线xy=1绕原点旋转450后所得曲线的方程

五、矩阵的应用
7.

(二)求变换的矩阵

关键找到变换前后的对应点

? 1 1? ? ? 0 ?? 1   ?

五、矩阵的应用
8.

(三)求逆矩阵

五、矩阵的应用
(四)利用逆矩阵求二元一次方程组的解

10.

11 .用矩阵方法求二元一次

?2 x ? 3 y ? 1 方程组 ? ?4 x ? y ? 6

六、矩阵的特征值与特征向量
?a 对于二阶矩阵A ? ? ?c b? ? , 若 对 于 实 数 ?, d?

? x? 存 在 一 个 非 零 向 量 ? = ? ? , 使 得 : A ? =? ? ? y? ?a 即? ?c b?? x? ? x? ??x? ?, ? ? ? =? ? ? = ? d?? y? ? y? ?? y?

则称λ是A的一个特征值, α称为是A属于λ的一个特征向量
?2 求矩阵M ? ? ?3 1? ?的特征值和特征向量 0?

特征值对应的特征向量不唯一

六、矩阵的特征值与特征向量
?a 若A ? ? ?c b? ? d? ?? ? a 则称 ? ? ?c ?b ? ? 为A的特征矩阵 ? ?d?

对应的行列式 f ( ? ) ?

??a
?c

?b

??d

? ? ? ( a ? d ) ? ? ad ? bc
2

称为矩阵A的特征多项式 如果λ是矩阵A的特征值,则f (λ)=0
? -1 求矩阵M ? ? 5 ? ?2 2? ?的特征值和特征向量 3? ?

矩阵的特征值最多两个

六、矩阵的特征值与特征向量
设矩阵A的特征值?1对应的特征向量为?1,特征值?2 对应的特征向量为? 2 , 则A ?1 ? ?1 ?1 , A ? 2 ? ?2 ? 2
k k k k

设? ? m?1 ? n? 2,则A ? ? m?1 ?1 ? n?2 ? 2
k k k

?8 [例 2 ] 已 知 矩 阵 M ? ? ?6

-5 ? ? -3 ?

(1) 判 断 M 是 否 有 特 征 值 和 特 征 向 量 , 如果有,求出M的特征值和特征向量 ?7? 5 (2) 若 向 量 e = ? ? , 求 M e ?8?

六、矩阵的特征值与特征向量

六、矩阵的特征值与特征向量


推荐相关:

选修4-2矩阵与变换教案

第一讲阶矩阵、矩阵与平面向量的乘法、矩阵与线性变换阶矩阵、矩阵与平面向量的乘法、矩阵与线性变换 阶矩阵 一、阶矩阵 1.矩阵...


选修4-2矩阵与变换知识点讲解

选修4-2矩阵与变换知识点讲解_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档选修4-2矩阵与变换知识点讲解_理学_高等教育_教育专区。第一讲二阶...


选修4-2矩阵与变换教案[1]

选修4-2矩阵与变换教案[1] 隐藏>> 二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。 一、二阶矩阵 1.矩阵的概念 ?2 ? ①→ ? (2, y3),将...


选修4-2矩阵与变换习题

选修4-2矩阵与变换习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中理科选修4-2矩阵与变换习题第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。 一...


《选修4-2矩阵与变换》教案

人教A 版《选修 4-2 矩阵与变换》教案第一讲一、二阶矩阵 1.矩阵的概念 二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换 ?2 ? ①→ OP ? (2...


选修4-2矩阵与变换

4页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 选修4-2矩阵与变换 隐藏>> 江苏省 13 大市 2013 届高三...


教师版-高中数学知识手册:选修4-2矩阵与变换

教师版-高中数学知识手册:选修4-2矩阵与变换_数学_高中教育_教育专区。教师版-高中数学知识手册:选修4-2矩阵与变换 选修4-2—矩阵与变换 选修 4-2 数学知识点...


2015选修4-2+矩阵与变换

选修4-2 矩阵与变换 A [最新考纲] 1.了解二阶矩阵的概念,了解线性变换与二阶矩阵之间的关系. 2.了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种...


选修4-2+矩阵与变换

选修4-2+矩阵与变换_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考复习 /选修 4-2 矩阵与变换 A [最新考纲] 1.了解二阶矩阵的概念,了解线性变换与二阶矩阵之间的...


题目5ae8806e58fafab069dc02f3

选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)在极坐标系中,A为曲线上的动点,B为直线上的动点,求AB的最小值。_答案解析_2016年数学_一模/二模/三模/联考_图文_...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com