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2013~2014学年高二期末考试理科数学试题含答案


2013~2014 学年高二期末考试 数学(理)试题
考生注意:考试用时 120 分钟,必须在答题卡上的指定位置按规定要求作答,答在试卷上 一律无效. 考试结束,将答题卡交回。 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 球的表面积公式: S ? 4? R ,其中 R 表示球的半径.
2

r />柱体的体积公式:V=SH,其中 S 是柱体的底面积, h 是柱体的高. 锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应的位置上填涂. 1.已知集合 A ? x x ( x ? 1) ? 0 ,那么下列结论正确的是( ) A. 0 ? A B. 1 ? A C. ?1 ? A ) D. 0 ? A

?

?

2.复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则复数 z 在复平面内对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

3.已知向量 a ? (3,4),b ? (2,?1), 如果向量 a ? xb 与 b 垂直,则 x ? A.

23 3

B.

3 23

C. 2 )

D.

?

2 5

4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=(

2

A.5

B.5

C.2
2

D.1

5.如果二次函数 y ? x ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,那么 m 的取值范围是. A. ? ?2, 6? B. ? ?2, 6? C. ??2, 6? D. ? ??, ?2?

?6, ???

6.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是 A.1cm
3

B.2cm

3

C.3cm

3

D.6cm

3

7.执行如图所示的程序框图,输出 S 值为 A.2 B.4 C.8 D.16
1

8.设曲线 y ? ax ? ln(x ? 1) 在点(0,0)处的切线方程为 y=2x, 则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

? x ? y ? 7≤0 ? 9.设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 5≥0 ?
A. 10 B. 8
2



C. 3

D. 2

10.已知抛物线 C:y ? x 的焦点为 F , A A. 1 B. 2 C. 4

?x , y ?是 C 上一点, AF ? 5 , 则x 4x
0 0
0

0

?(



D. 8

11.11.平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面α 的距离为 2, 则此球的体积 为( A. 6π ) B.4 3π
2

C.4 6π

D.6 3π

12.若函数 f ? x ? =x ? ax ? A.[-1,0]

1 ?1 ? 在 , +? ? 是增函数,则 a 的取值范围是 x ? ?2 ?
C. [0,3] D. [3, ??)

B. [?1, ??)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.二项式 ( x ? y) 的展开式中,含 x y 的项的系数是_________.(用数字作答)
5 2 3

14. 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? b 2 x ? 1 ,若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数,b 是 3

从 0,1,2 三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为________. 15.函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________.

2

?e x ?1 , x ? 1, ? 16.设函数 f ? x ? ? ? 1 则使得 f ? x ? ? 2 成立的 x 的取值范围是________. 3 ? ? x , x ? 1,
三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根。
2

(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?
频 率 组 0.06 距 0.05 0.04

18.(本题满分 12 分 ) 2013 年国庆期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服 务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查, 将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段 [80,85) ,

[85,90) ,[90,95) ,[95,100) ,[100,105) ,[105,110) 后
得到如下图的频率分布直方图. (1)此调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法? (2)求这 40 辆小型车辆车速的中位数的估计值;

0.02 0.01

8 0

85 90 95

100 10 5

110 车速

(3) 若从车速在 [80,90) 的车辆中任抽取 3 辆,求抽出的 3 辆车中车速在 [85,90) 的车辆数 ? 的分布列及数学期望. 19.( 本大题满分 12 分) 如 图 , 正 四 棱 柱 A BCD - A1B1C1D1 中 , AA1 ? 2 AB ? 4 , 点 E 在 上 且

C1 E ? 3EC .
(1)证明: A1C ? 平面 BED ; (2)求二面角 A1 - DE - B 的大小.

3

20.(本题满分 12 分 ) 已知椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点到焦点的最小距离为 3 ? 1 ,离心 率e ?

3 . 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若直线 l : y ? x ? m 交 E 于 P 、Q 两点,点 M (1,0) ,问是否存在 m ,使 MP ? MQ ? 若存在求出 m 的值,若不存在,请说明理由. 21.已知函数 f ( x) ? x 3 ? (1 - a) x 2 ? a (a ? 2) x ? b (a, b ? R). (1)若函数 f ( x) 的图像过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求 a,b 的值; (2)若函数 f ( x) 在区间(-1,1)上不单调,求 a 的取值范围。 选考题:本小题满分 10 分 请考生在第 22、23 三道题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? ? 2 已知直线 l 的参数方程是 ? 圆 C 的极坐标方程为 (t为参数), ?y ? 2 t ? 4 2 ? 2 ?

? ? ? 2 cos(? ? ) .
4
(Ⅰ)求圆心 C 的直角坐标; (Ⅱ)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 1 . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 5 x ; (Ⅱ)若函数 f ( x) ? ax ? 1 的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

2013~2014 学年高二期末考试理科数学答案
4

1、A 2、A 3、D 4、B 5、D 6、A 7、A 8 、D 9、B、10、A 13、10 14、0.8 15、1 16 11、B
5 2

12、D

17、 【解析】 : (I)方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根为2,3,由题意得 a2 ? 2 ,a4 ? 3 ,设数列 ?an ?
2

的公差为 d,,则 a4 ? a2 ? 2d ,故 d=

3 1 a1 ? ,从而 2, 2
…………6 分

所以 ?an ? 的通项公式为: an ? (Ⅱ)设求数列 ? 则: S n ?

1 n ?1 2

a n?2 ? an ? ? n ?1 , 的前 n 项和为Sn,由(Ⅰ)知 n n n ? 2 2 ?2 ?

3 4 5 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 3 4 5 n ?1 n ? 2 Sn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2

两式相减得

1 3 ?1 1 Sn ? ? ? 3 ? 4 ? 2 4 ?2 2
所以 S n ? 2 ? 1)系统抽样

?

1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 ? n?2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? n?2 n ?1 ? 2 ? 2 4 4? 2 ? 2
………12 分 …………………………………2 分 频率 组距 0.06 0.05 0.04

n?4 2n ?1

(2)设图中虚线所对应的车速为 x , 则中位 数的估计值为

0.01? 5 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? ( x ? 95) ? 0.5 ,
解得 x ? 97.5 即中位数的估计值为 97.5 ………4 分

(3) 从 图 中 可 知 , 车 速 在 [80,85) 的 车 辆 数 为

0 . 0? 1 ? 5

4? 0 (辆 2),
0.02 0.01

车速在 [85,90) 的车辆数为 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆) ∴ ? 可取:1,2,3

x
80 85 90 95 100 105 110 车速

………6 分

5

P(? ? 1) ?


2 1 1 2 0 3 C2 C4 1 C2 C4 3 C2 C4 1 , , ? P ( ? ? 2) ? ? P ( ? ? 3) ? ? , ……… 8 3 3 3 C6 5 C6 5 C6 5

? 的分布列为

?

1

2

3

P

1 5

3 5

1 5
………10 分

均值

1 3 1 E (? ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 . 5 5 5
19.解法一: 依题设知 AB ? 2 , CE ? 1 . (Ⅰ)连结 AC 交 BD 于点 F ,则 BD ? AC .

…………12 分

由三垂线定理知, BD ? AC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 1 .· 在平面 A1CA 内,连结 EF 交 AC 1 于点 G , 由于

AA1 AC ? ?2 2, FC CE

D1 A1 B1

C1

故 Rt△A ? ?CFE , 1 AC ∽ Rt△FCE , ?AAC 1

?CFE 与 ?FCA1 互余.
D 于是 AC ? EF . 1 A F

HE G B C

BED 内两条相交直线 BD,EF 都垂直, AC 1 与平面 ? 平面 BED . · 所以 AC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 1
(Ⅱ)作 GH ? DE ,垂足为 H ,连结 A1H .由三垂线定理知 A1H ? DE , 故 ?A · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 1HG 是二面角 A 1 ? DE ? B 的平面角. ·

EF ? CF 2 ? CE 2 ? 3 ,
CG ?
3 CE ? CF 2 2 2 , EG ? CE ? CG ? . ? 3 EF 3

EG 1 1 EF ? FD 2 ? , GH ? ? . ? EF 3 3 DE 15
6

又 A1C ?

AA12 ? AC 2 ? 2 6 , AG ? AC 1 1 ? CG ?

5 6 . 3

tan ?A1 HG ?

A1G ?5 5. HG
z D1 A1 B1 C1

所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arctan 5 5 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 解法二: 以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴, 建立如图所示直角坐标系 D ? xyz . 依题设, B(2, 2,, 0) C(0, 2,, 0) E(0, 2,, 1) A1 (2, 0, 4) . D

E A C y

DE ? (0, 21) ,, DB ? (2, 2, 0) ,

x

B

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 AC ? (?2, 2, ? 4), DA1 ? (2, 0, 4) . · 1 (Ⅰ)因为 AC DB ? 0 , AC DE ? 0 , 1 1 故 AC ? BD , AC ? DE . 1 1 又 DB

DE ? D ,

所以 AC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? 平面 DBE . · 1 (Ⅱ)设向量 n ? ( x,y,z ) 是平面 DA 1E 的法向量,则

n ? DE , n ? DA1 .
故 2 y ? z ? 0 , 2x ? 4z ? 0 .

1, ? 2) . · 令 y ? 1 ,则 z ? ?2 , x ? 4 , n ? (4, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

n, A1C 等于二面角 A1 ? DE ? B 的平面角,

cos n, A1C ?

n A1C n A1C

?

14 . 42

所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 20.

7

因为直线 AB 的斜率为 1,所以 ? ?? ?? ? ? x 2 ? x1 ?



4 ? 2 ? x2 ? x1 ? . 3



8 4(1 ? b2 ) 4(1 ? 2b2 ) 8b4 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2 ? ? ? 9 (1 ? b2 )2 1 ? b2 1 ? b2
b? 2 . 2
(Ⅰ )由题意得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)

解得

21、解析 又?

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?
导函数 f ?( x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?( x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

(Ⅱ )函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
2 整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1

22【解析】 (1)

8

? PC = 2 PA, PD = DC, ∴ PA = PD,Δ PAD为等腰三角形。 连接AB, 则∠PAB = ∠DEB = β ,∠BCE = ∠BAE =α . ?∠PAB+ ∠BCE = ∠PAB+ ∠BAD = ∠PAD = ∠PDA = ∠DEB + ∠DBE ∴β + α = β + ∠DBE,即α = ∠DBE,即∠BCE = ∠DBE,所以BE = EC.
(2)

? AD ? DE = BD ? DC, PA2 = PB ? PC, PD = DC = PA, ∴BD ? DC = (PA- PB)PA= PB ? PC - PB? PA = PB( ? PC - PA) PB ? PA = PB ? 2 PB = PB2

1 ? 1 ? ? x ? ?1 ?? 1 ? x ? ?x ? .解: (Ⅰ) f ?x ? ? 5 x ? ? 或? 2或? 2 ?? 3x ? 5 x ?2 ? x ? 5 x ? ? ?3x ? 5 x
1 ? 1 ?1 ? x ? ? ? x ? ? 1 ? ? 2 ?x ? 或? 或? ?? 2 ?x ? 0 ?x ? 1 ? ?x ? 0 ? 3 ?
? x ? ?1 或 ? 1 ? x ? 1 3

1 1? ? ? x ? ,即解集为 ? ? ?, ?. . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 3 3? ?

9

? ?? 3x, x ? ?1 ? 1 ? (Ⅱ) f ?x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ?2 ? x, ? 1 ? x ? 2 ? 1 ? 3 x, x? ? 2 ?
如图, k PA ? ?2, k PB ? 1 , 故依题知, ? 2 ? a ? 1. 即实数 a 的取值范围为 ?? 2, 1? .. . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

y B

1 P ?1 O

A

x

10


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