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正比例函数和反比例函数复习一、二、三


复习目标: 1、掌握正反比例函数图像及性质 2、理解并会求函数的定义域 3、熟练掌握正(反)比例函数的解析式 4、会利用正反比例函数的性质解综合题 1.下列函数中,y 是 x 的反比例函数的为????????????( A y=-3x B
2



y=2x+1

C

y= 12

/>x

D

y=- 4
x

2. 函数y=(m-4)x

m ? 3m ? 3

的图象是过一、三象限的一条直线,则 m = 象限

3.已知正比例函数图像 y=kx 的图像经过(-2,-1) ,则其图像经过 4.函数y= k (k≠0)的图象经过点( 2 ,3),则k= x

,当x>0时,y随着x的增大而 )

5.下列函数,y随x 的增大而减小的是????????????( 1 1 A、y=x B、y= C、y=D、y=-x x x 二、正反比例函数图像及性质 函 数
正 比 例 函 数

解析式

定义 域

图像

性质

y ? kx ( k ? 0)

一切 实数

y
O

y

当 k>0 时 y 随 x 的增大而

x

O

x

增大, 当 k<0 时,y 随 x 的增大 而减小

k ?0

k?0

反 比 例 函 数

k y? x ( k ? 0)

x?0

的实 数
y
O

y

x

O

x

k ?0

k?0

1.当 K>0 时,图象的两个分 支分别在一、三象限内,在 每个象限内, y 随 x 的增大 而减小; 2.当 K<0 时,图象的两个分 支分别在二、四象限内,在 每个象限内,y 随 x 的增大 而增大。 3.双曲线无限渐进 x 轴 y 轴 但永不相交

练习 2: 1、求下列函数的定义域

1

(1)y=2x-1

(2)y=

1 x?2

(3)y= 2x ? 1

(4)y=

x ?1 x?3

2、已知等腰三角形的周长是 16cm,写出底边 y(cm)与腰长 x(cm)的函数解析式, 并写出定义域。

小结、常见函数的定义域 (1)函数解析式为整式时,定义域为一切实数 (2)函数解析式为分式时,定义域是使分母不等于 0 的实数; (3)函数解析式是无理式时,偶次根式的被开方数必须是非负数;奇次根式的 定义域为一切实数 (4)在实际生活中有意义。 三、例题讲解 1.已知 y-2 与 x 成正比例,且 x=2 时,y=4, ⑴求 y 与 x 之间的函数关系式 ⑵若点(m,2m+7), 在这个函数的图象上,求 m 的值

2.已知函数 y ? y1 ? y2 , y1 与 x 成反比例, y 2 与( x ? 2 )成正比例,当 x =1 时,
y = ? 1 ,当 x =3 时, y =5,求当 x =5 时 y 的值。

3、如图所示,在反比例函数图像上有一的点 A,AB⊥X 轴,三角形 AOB 的面积为 10,求反比例函数的解析式.
A B

y

O

x

k 4、 如图所示的双曲线是函数 y= (k ? 0) 在第一象限内的 x 图像,A(4,3)是图象上一点。 (1)求这个函数解析式 (2)点 P 是 x 轴上一动点,当 ?OAP 是直角三角形 时,求 P 点的坐标。

y A

.
O

x

课后练习
2

一、填空题: 1.函数 y ?
1 3x ? 1

的自变量 x 的取值范围是

。 。 ;函数的图象经过 。 。

2.如果函数 y ? kx ? x 是正比例函数,则 k 的 取值范围是 3.已知函数

y ? (m ? 1) x m 是正比例函数, m =
象限; y 随 x 的减少而

2

4.函数

y ? kxk

2

?2

的图象是双曲线,且图象在二、四象限,则 k =

5.反比例函数 y ? 范围是 6.已知 x ?

2k ? 1 在各自象限内,若 y 随 x 的减少而增加,那么 k 的取值 x


1? y ,把它改写成 y = f ( x) 的形式是 1? 2y
1 成正比例,则 y 与 z 成 z

。 比例。

7.已知 y 与﹣3 x 成反比例, x 与

8.如果正比例函数 y ? kx(k ? 0) 的自变量取值增加 1,函数值相应地减少 4,则
k=



9.汽车油箱中有油 40 千克,行驶时每小时耗油 4 千克,油箱中剩油 y(千克) 与行驶时间 t(小时)之间函数关系式为 , 函数定义域为 。 10.如图,P 为反比例函数 y= k 的图象上的点,过 P 分别 x

向 x 轴和 y 轴引垂线, 它们与两条坐标轴围成的矩形面积 为 2,这个反比例函数解析式为 。 二、选择题: 11.下列函数中, y 随 x 的增大而减少的函数是( (A) y =2 x (B) y =
1 x

) (D) y =
2 ( x >0) x

(C) y = ?

1 x

k 12.如果点 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y 2 )在反比例函数 y = ( k ﹤0)的图象上, x

如果 x1 ﹥ x2 ﹥0,则 y1 与 y 2 的大小关系是 (A) y1 ﹥ y 2 三、解答题
3

(B) y1 ﹤ y 2

(C) y1 = y 2

(D)不能确定

13.已知正比例函数和反比例函数的图象相交于点 A(-3,4)和(3,a)两点, 求(1)这两个函数解析式; (2)a 的值

14.已知双曲线 y=

k 与直线 y ? ?2 x 交于 A、B 两点,B 点的纵坐标是 ? 4 x

求⑴双曲线的解析式 ⑵线段 AB 的长

15、已知正比例函数 y ? kx与反比例函数y ?

2-k 的图像有两个交点,其 中一个 x 交点的横坐标是1,求 这两个函数的解析式。

16.如图,在直角坐标系中,O 为原点.点 A 在第一象限,它的纵坐标是横坐标 12 的 3 倍,反比例函数 y ? 的图象经过点 A. x (1)求点 A 的坐标; (2)如果经过点 A 的一次函数图象与 y 轴的正半轴 交于点 B,且 OB=AB,求这个一次函数的解析式. y
A ·

O

x

正比例函数和反比例函数复习(二)
4

复习目标: 1、 掌握正反比例函数的应用 2、 进一步会利用正反比例函数的性质解综合题 一、精选例题 1.如图,在△AOB 中,AB=OB,点 B 在双曲线上,点 A 的坐标为(2,0) , S ?ABO =4,求 点 B 所在双曲线的函数解析式。

A 0

B

2.为了预防“流感” ,某学校对教室采用“药熏”消毒法进行消毒.已知药物燃烧时,室内 每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 x(分钟)成正比例,药物燃烧完后,y 与 x 成反比例(如图所示) .现测得药物 4 分钟燃毕,此时室内空气中每立方米含药量为 8 毫克.请根据题中所提供的信息,解答下列问题: (1)求药物燃烧时,y 关于 x 的函数解析式及定义域; (2)求药物燃烧完后,y 关于 x 的函数解析式及定义域; (3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于 2 毫克时,才能有效地杀灭空气中的病 菌,那么此次消毒有效时间有多长? 解:
8 y(毫克/立方米)

O

4

x(分钟)

5

3.已知在 y=

8 (x>0)反比例函数的图象上有不重合的两点 A、B,且 A 点的纵 x

坐标是 2,B 点的横坐标为 2,且 AB⊥OB,CD⊥OD,
求(1)双曲线的函数解析式; (2)△OAB 的面积; (3)△OAC 的面积。

y

A C

0

B

D

X

4、 上海磁悬浮列车在一次运行中速度 V(千米/小时)关于时间 t(分钟)的函数图像如图, 回答下列问题。 (1) 列车共运行了_______分钟 (2) 列车开动后,第 3 分钟的速度是__________千米/小时。 (3) 列车的速度从 0 千米/小时加速到 300 千米/小时,共用了_________分钟。 (4) 列车从___________分钟开始减速。

V(千米/小时) 300

0

12345678

t(分钟)

6

课后练习
1、 下列函数 (x是自变量) 是反比例函数的是?????????????? ( (A)y= )

2 x2

(B)y=

5 x?3

(C)y=

3 2x

(D)y=

1 +1 x

2、 下列说法正确的是????????????????????????― ( ) (A)等边三角形的面积与边长成反比例; (B)人的身高与体重成正比例; (C)车在行驶 中,速度与时间成反比例; (D)面积为 8 平方厘米的长方形的长与宽成反比例 3、下列函数中,y随x增大而增大的是??????????????( ) (A)y=-3x; (B)y=-

2 x

(x<0) ; (C)y=

2 x

(x>0) ; (D)y=-

5 x

4、已知反比例函数y=

k x

(k>0)的图像经过点A(x1,y1) 、 B(x2,y2)、C(x3,y3) , )

且 x1<x2<0<x3 ,则 y1、 、y2、y3 的大小关系是???????????( (A)y1、<y2<y3 ; (B)y2、<y1<y3 (C)y3、<y1<y2(D)y3、<y2<y1

5. 在同一平面内,如果函数 y ? k1 x 与 y ?

k2 的图象没有交点,那么 k 1 和 k 2 的关系 x

是??????????????????????????( (A) k 1 >0, k 2 <0 (B) k 1 <0, k 2 >0 (C) k 1 k 2 >0

)

(D) k 1 k 2 <0

6、已知 y=2y1 -y2 ,y1 与x反比例,y2 与(x-1)成正比例,且当x=2 时,y=3; x=-1 时,y=-6,求y与x之间的函数解析式

7.已知直线 y = kx 过点(-2,1) ,A 是直线 y = kx 图象上的点,若过 A 向 x 轴作垂

线,垂足为 B,且 S ?ABO =9,求点 A 的坐标。

7

8、已知:如图,双曲线y=-

3 ,A点在第四象限内,A点到Y轴距离是 3 ,A 点到 X x

轴距离为 1, (1)试判断点 A 是否在这个双曲线上; (2)在第四象限的这个双曲线上,是 否存在点B(与A点不重合) ,使OA=OB,请说明理由

9、已知:如图,点 P 是一个反比例函数与正比例函数 y ? ?2 x 的图象的交点,PQ 垂直于 x 轴,垂足 Q 的坐标为(2,0). (1) 求这个反比例函数的解析式. (2) 如果点 M 在这个反比例函数的图象上,且△MPQ 的面积为 6,求点 M 的坐标

y

O

Q P

x

11、已知如图,点A在双曲线y=

k 上 x

(k<0) ,点B在X轴负半轴上,且AB=AO,

∠BAO=90度,三角形ABO的面积是 4,求这个反比例函数的解析式。
Y

A B 0 X

8

正比例函数和反比例函数复习(三) 1、如图,在正方形 ABCD 中, E 是边 BC 上的一点.
(1) 若线段 BE 的长度比正方形 ABCD 的边长少 2cm ,且 ?ABE 的面积为 4cm ,试
2

求这个正方形 ABCD 的面积. (2)若正方形 ABCD 的面积为 8cm , E 是边 BC 上的一个动点,设线段 BE 的长为
2

xcm , ?ABE 的面积为 ycm2 ,试求 y 与 x 之间的函数关系式和函
数的定义域; (3)当 x 取何值时,第(2)小题中所求函数的函数值为 2 .

A

D

B E

C

0 2、如图, Rt ABC 中, ?A ? 90 ,AB=AC=2,点 D 是 BC 边的中点,点 E 是 AB 边上的一

个动点(不与 A, B 重合) ,DF⊥DE 交 AC 于,设 BE=x, FC=y. (1) 求证:DE=DF (2) 写出 y 关于 x 的函数关系式,并写出函数的定义域 (3) 写出 x 为何值时,EF∥BC?

A E x B D F y C

9

3、如图,已知:在△ABC 中,∠C= 90? , ?B ? 30? , AC ? 6 ,点 D、E、F 分别在边 BC、AC、 AB 上(点 E、F 与△ABC 顶点不重合) ,AD 平分∠CAB,EF⊥AD,垂足为 H. (3 分)(1)求证:AE=AF; (3 分) (2)设 CE=x,BF=y,求 y 与 x 的函数解析式,并写出定义域; (4 分) (3)当△DEF,是直角三角形时,求出 BF 的长.
A F H

E

C
A

D

B

F

H E C D B

4、已知:如图,等边△ABC 的边长是 4,D 是边 BC 上的一个动点(与点 B、C 不重合) ,联 结 AD,作 AD 的垂直平分线分别与边 AB、AC 交于点 E、F. (1)求△BDE 和△DCF 的周长和; (2)设 CD 长为 x,△BDE 的周长为 y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域; (3)当△BDE 是直角三角形时,求 CD 的长. 解: (1)

A

F E

B

D

C

10

课后练习 1.解方程: x ? 6 x ? 18 ? 0
2

2.解方程: (3 ? x) 2 ? x 2 ? 9

3.解不等式: 2 x ? 10 > 5 x ? 2

?

?

4.已知正比例函数的图像经过点( ? 2 ,8) ,经过图像上一点 A 作 y 轴的垂线,垂足为电 B(0, ? 6 )求: (1)点 A 坐标(2) ?AOB 的面积。

5.如果关于 x 的一元二次方程(k – 1)x 2 – 2kx + k + 3 = 0 有两个不相等的实数根,求 k 的最 大整数值.。

6.如图:在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,∠B =2∠C,求证:AB + BD = DC.
A

B

D

C

.7.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=120°,AB 的垂直平分线

MN 分别交 BC、AB 于点 M、N. 求证:CM=2BM.

11

8.如图已知在△ABC 中,∠BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 PQ 相交于点 P,过点 P 分 别作 PN⊥AB 于 N,PM⊥AC 于点 M.求证:BN=CM.

9. 甲乙两人同时从 A 地前往相距 5 千米的 B 地。甲骑自行车,途中修车耽误了 20 分钟,甲 行驶的路程 s(千米)关于时间 t(分钟)的函数图像如图所示;乙慢跑所行的路程 s(千米)

1 t (0 ? t ? 60) (8’) 12 (1)在右图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数; (2)乙慢跑的速度是每分钟________千米; (3)甲修车后行驶的速度是每分钟________千米; (4)甲、乙两人在出发后,中途__________分钟相遇。
关于时间 t(分钟)的函数解析式为 s ?

10. 若 A、B 两点的坐标为 A(-1,0) ,B(5,4) ,在 y 轴上找一点 P,使△ABP 为以 P 为 直角的直角三角形

12


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