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高三数学 基础题型—数列、解三角形


高三 学生姓名:
专 目 题 标

年级 数学 授课教师:

科辅导讲义(第

讲) 11.26

授课时间:

基础题型:数列、解三角形 掌握等差等比数列的公式和基本性质;掌握正弦、余弦定理 求数列的项;中项;数列的性质;正弦、余弦定理的应用; 求数列的项;求数列的和;

求三角行的边和角度。 数列基础知识

重 难 点 常 考 点

等差、等比数列 知识要点: 等差数列: 一、定义: 在数列?an ?中,若an ?1 ? an ? d ?常数 ? n ? N ? , 则?an ?是等差数列,公差为d . 二、公式:

?

?

?1? an ? a1 ? ? n ? 1? d ? am ? ? n ? m ? d ; ? 2 ? Sn ?
三、性质:

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? ? na1 ? d 2 2

?1? 若a、b、c成等差数列,则a ? c ? 2b,称b是a、c的等差中项。
? 2 ? 若m ? n ? p ? q ? m、n、p、q ? N ? ?,则am ? an ? a p ? aq ,

?若m ? n ? 2 p,则a

m

? a n ? 2a p ?

? 3? Sn、S2n ? Sn、S3n ? S2n、 成等差数列 ? 4 ? 当公差d ? 0时,Sn ? An 2 ? Bn ? A ? 0?,即Sn是关于n的二次函数。
等比数列: 一、定义: 在数列?an ?中,若

an?1 ? q ?不为零常数? ? n ? N ? ? , 则?an ?是等比数列,公比为q. an

? na1 , q ? 1 ? n ?1 n ?m 二、公式: ?1? an ? a1 ? q ? am ? q ; ? 2 ? Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? ,q ?1 ? ? 1? q
三、性质:

?1? 若a、b、c成等比数列,则ac ? b2,称b是a、c的等比中项。
? 2? 若m ? n ? p ? q ? m、n、p、q ? N ? ?,则am ? an ? a p ? aq , ?若m ? n ? 2 p,则am ? an ? a 2 ?
p

?3? Sn ,S2n ? Sn ,S3n ? S2n ,

成等比数列.
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?4?当公比q ? 1时,Sn ? Aqn ? A? A ? 0? .
典型例题: 【例 1】如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12, 那么a1 ? a2 ?

? a7 ? ___.

【例 2】已知各项均为正数的等比数列 ?an ?,中,a1a2a3 ? 5, a7a8a9 ? 10, 则a4a5a6 ? ___.

【例 3】已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 , a3 , 2a2 成等差数列,则

1 2

a9 ? a10 ? __ . a7 ? a8

【例 4】设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n 2 ,则 a8 ? ___.

【例 5】设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2,3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q=____.

【例 6】设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S3 ? 3, S6 ? 24 ,则 a9 ? __.

【例 7】已知数列 ?an ? 为等比数列, Sn 是它的前 n 项和,若 a2a3 ? 2a1, 且a4与2a7 的等差中项为

5 ,则 4

S 5 =_____.
【例 8】设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0, 则

S5 ? ___ . S2

【例 9】设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72, 则a2 ? a4 ? a9 ? ___.

【例 10】设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a6 ? S3 ? 12, 则 ?an ? 的通项公式 an ? ___.

【例 11】已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99, 则a20 ? __.

【例 12】在等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6, 则a6 ? ____.

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强化训练:
2 1.已知等比数列 ?an ? 的公比为正数,且 a3a9 ? 2a5 , a2 ? 1, 则a1 ? ___.

2.公差不为零的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a4是a3与a7 的等比中项, S8 ? 32, 则S10 ? ____. 3.公差不为零的等差数列 ?an ? 中, a1 ? 2, 且a1, a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ___. 4. ?an ? 为等差数列,且 a7 ? 2a4 ? ?1, a3 ? 0, 则公差 d=_____. 5.等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16.
n (1)求 ?an ? 的通项公式; 2

? ?

(2)若 a3 , a5 分别为等差数列 ?bn ? 的第 3 项和第 5 项,试求数列 ?bn ? 的通项公式及前 n 项和.

6.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列. (1)求 ?an ? 的公比 q; (2)若 a1 ? a3 ? 3, 求Sn .

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解三角形 知识要点 1.正弦定理:
a b c ? ? ? 2 R 或变形: a : b : c ? sin A : sin B : sin C . sin A sin B sin C

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2.余弦定理: ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 或 ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ?

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 . ? ?cos B ? 2ac ? 2 ? b ? a2 ? c2 ?cos C ? 2ab ?

3. (1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 5.解题中利用 ?ABC 中 A ? B ? C ? ? ,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算,如:

sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,
sin A? B C A? B C A? B C ? cos , cos ? sin , tan ? cot . 2 2 2 2 2 2

一.正、余弦定理的直接应用: 1、Δ ABC 中,a=1,b= 3 , ∠A=30°,则∠B 等于 A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° D.120° ( )

2、在Δ ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别是 a , b, c ,若 sin A ? 3、在Δ ABC 中,若 SΔ ABC=

1 3 , sin B ? ,求 a : b : c 2 2

1 2 2 2 (a +b -c ),那么角∠C=______. 4
) D.8 B.6 C.7

4.若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3,A=60°,则 BC 边的长是( A.5

π 1 5.在△ABC 中,C-A= ,sinB= . 2 3 (1)求 sinA 的值;(2)设 AC= 6,求△ABC 的面积.

二.判断三角形的形状
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1、若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC, 那么Δ ABC 是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形





2、已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边

3 , c ? 2, A ? 60?, 求 a 、 b 的值; 2 (2)若 a ? c cos B ,且 b ? c sin A ,试判断 ?ABC 的形状.
(1)若 ?ABC 面积 S ?ABC ?

三.测量问题 3.在 200 m 高的山顶上,测得山下塔顶和塔底的俯角分别为 30°,60°,则塔高为( A. 400 m 3 400 3 B. m 3 200 3 C. m 3 200 D. m 3

)

4. 测量一棵树的高度, 在地面上选取给与树底共线的 A、 B 两点, 从 A、 B 两点分别测得树尖的仰角为 30°, 45°,且 AB=60 米,则树的高度为多少米?

5.如图,四边形 ABCD 中,∠B=∠C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于( A. 3 B.5 3 C.6 3 D.7 3

)

四.正、余弦定理与三角函数,向量的综合应用
0 1.在 Rt △ABC 中, C ? 90 ,则 sin A sin B 的最大值是_______________。

2、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足 S ? (Ⅰ)求角 C 的大小;
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3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 。 4

(Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值。

练习: 1、在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的三边 a,b,c,且 (1)求 sinB (2 )若 b= 4 2 ,a=c,求 △ ABC 的面积

cos C 3a ? c ? cos B b

2、在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的三边 a,b,c,若 m ? (cos A,sin A), n ? (cos B,sin B),

m ? n ? 3 sin B ? cos C
(1)求角 A 的大小 (2)若 a=3,当 △ ABC 的面积最大时,求 c,b 的值。

3、在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (1)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ;

? . 3

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(2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

4、在 ?ABC 中, cos A ?

5 10 , cos B ? . 5 10

(Ⅰ)求角 C ;

(Ⅱ)设 AB ?

2 ,求 ?ABC 的面积.

5、在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且

c o sB b ?? . c o sC 2 a?c

(I)求角 B 的大小;

(II)若 b ,求△ABC 的面积. ?1 3 , a ? c ? 4

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6、 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、b 、c , 已知 a ? c ? 2b , 且s i n c A o s
2 2

C 3 c o s? s i n ,A

C

求b

7、在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c, B ?

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

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