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高中数学必修21.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征


从航空测绘到土木建筑以至家居装潢,——空间图形与我们的生活 息息相关.

从古老的金字塔,到法国卢浮宫……

? 几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关 系的数学学科,空间几何体是几何学的重要组成部分, 它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题 中都有广泛的应用。 ? 走进立体几何的世界,从另一个角度感受数学……

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1.1 空间几何体的结构
第一课时

学习目标
? 1:理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系。 ? 2: 能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描 述现实生活中简单物体的结构。

问题1:观察下面的图片, 这些图片中的物体具有 怎样的形状?我们如何描述它们的形状?

如果我们只考虑物体的形状和大小,而不考虑其它因素, 那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。

问题2:观察上述空间几何体,构成这些空间几何 体的面有什么特点? 多面体

旋转体

问题3:如何定义多面体与旋转体呢?
观察下列物体的形状和大小,试给出相 1.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 应的空间几何体,说说有它们的共同特征。

一般地,我们把由若干个平面 多边形围成的几何体叫做多面体。
D' A' B' C'

围成多面体的各个多边形叫做 多面体的面,如面ABCD, 面 BCC’B’; 相邻两个面的公共边叫做多面 体的棱,如棱AB,棱AA’;

D A B

C

棱与棱的公共点叫做多面体的顶 点,如顶点A,D’

2.由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定 观察下列物体的形状和大小,试给出相 直线旋转所成的封闭几何体叫做旋转体. 应的空间几何体,说说有它们的共同特征。

1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

观察下列多面体,有什么相同点

多面体1——棱柱
1.棱柱的概念:
一个多面体有两个面 互相平行,其余各面
都是 四边形,每相邻两个四边形的公共边都 互相平行 这样的多面体 叫做 棱柱

2.棱柱各部分名称

底面 侧面 侧棱

顶点

3.棱柱的表示

可以用两底面多边形的字母表示棱柱,
如:棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1
D1 A1 B1 C1

C1

A1

A1 B1 B1

E1 C1 E

D1

D A B

C
A

C B

A
B C

D

4.棱柱的分类1 根据底面分:底面是三角形、四边形、五边 形……的棱柱 分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… E’
A’ D’

B’

C’

E
A B C D

1. 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱. 2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱. 3. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 4. 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体.

棱柱的分类2:按侧棱是否垂直底面
侧棱垂直 于底面

侧棱不 垂直于 底面

棱柱 斜棱柱
底面 是正 多边 形

直棱柱
正棱柱 其它直棱柱

思考?

如何判断一个多面体是不是棱柱?
1.有两个面互相平行(底面)

棱柱

2.其余各面都是四边形(侧面) 3.每相邻两个侧面的公共边都互相平行

问题1:有两个面互相平行,其
余各面都是四边形的几何体是棱

柱吗?
答:不一定是 问题2:有两个面互相平行,其

余各面都是平行四边形的几何体
是棱柱吗?

答:不一定是

观察下面的几何体,哪些是棱柱?

(1) (2) (3) (4)

(5)

(6)

(7)

棱锥概念引入

多面体2——棱锥

观察下列多面体,有什么相同点

1.棱锥定义

多面体2——棱锥
定义:如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是

有一个公共顶点的三角形, 那么这个多面体叫做棱锥

2.棱锥各部分名称 3.棱锥的表示方法 如:S-ABCDE

S

棱锥的顶点

棱锥的侧棱

D E A O B

棱锥的侧面

棱锥的底面

C

4.棱锥的分类:底面多边形的边数

三棱锥

四棱锥

五棱锥

六棱锥

正棱锥

你能否由正棱柱的概念出发,猜 想怎样的棱锥称为正棱锥?

正棱锥:底面是正多边形且顶点 S 在底面的投影是底面中心的棱锥。

正三棱锥
特 殊 D

正四面体
四个面都是全等的 正三角形

E
A

O
B

C

三、棱台的结构特征
1、棱台的概念:用一个平行于棱锥底面 的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分 叫做棱台。
D1 B1

A1

D1

B1

C1

A1

C1

2.棱台的各部分名称:
D1 C1

A1

上底面 侧面 侧棱 下底面 顶点

B1

三.棱台的分类:
A1

D1 B1

C1

1、由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台, 分别叫做三棱台,四棱台,五棱台… 2、用正棱锥截得的棱台叫作正棱台。 3、棱台的表示法:棱台用表示上、下底面各顶 点的字母来表示,如右图,棱台ABCD-A1B1C1D1 。

思考:既然棱柱、棱锥、棱台都 是多面体,那么它们之间有怎样 的关系?当底面发生变化时,它 们能否相互转化?
棱台的上底面扩大 上下底面全等 棱台的上底面缩小 为一个点

棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较
结构特征
定义

棱柱

棱锥

棱台

底面
侧面 侧棱 平行于底面 的截面 过不相邻两 侧棱的截面

两底面是全等的 多边形 平行四边形 平行且相等 与两底面是全等的 多边形

多边形 三角形

两底面是相似的 多边形 梯形 延长线交于一点 与两底面是相似的 多边形 梯形

相交于顶点 与底面是相似的 多边形

平行四边形

三角形

归纳小结1
空间几何体的定义: 如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑 其它因素,那么这些由物体抽象出来的空间图 形就叫做空间几何体 空间几何体的分类:

1.多面体:由若干平面多边形围成的几何体
2.旋转体:由一个平面图形绕它所在的平面 内的一条定直线旋转所成的封闭几何体 3.棱柱、棱锥、棱台的定义、表示及分类

作业
? 订正本节课的学案中出现的错题 ? 完成分层检测卷相应的题目 ? 预习圆柱、圆锥、圆台的相关知识并动手 制作圆柱、圆锥、圆台的模型


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