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三角函数公式大全


同角三角函数的基本关系 倒数关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关 系: sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系: sin^2(α)+cos^ 2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常

用的两个公式 sin? α+cos? α=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 (sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)* sin(a-θ) 证明:(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)*sin(a-θ) 锐角三角函数公式 正弦: sin α=∠α 的对边/∠α 的斜边 余弦:cos α=∠α 的邻边/∠α 的斜边 正切:tan α=∠α 的对边/∠α 的邻边 余切:cot α=∠α 的邻边/∠α 的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA· cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) = 2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切 tan2A=(2tan A)/(1-tan^2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α) cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =s in2acosa+cos2asina =2sina(1-sin? a)+(1-2sin? a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =co s2acosa-sin2asina =(2cos? a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin?a) =4sina[(√3/2)?-sin? a] =4sina(sin? 60° -sin? a) =4sina(sin60° +sina)(sin60° -sin a) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60° -a)/2]*2sin[(60° -a)/2]cos[(60° -a)/2] =4sinasin(60° +a)sin(60° a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos? a-3/4) =4cosa[cos? a-(√3/2)^2] =4cosa(cos?a-cos? 30° ) =4cosa(cosa+cos30° )(cosa-cos30° ) =4cosa*2cos[(a+30° )/2]cos[(a-30° )/2]*{-2sin[(a+30° )/2] sin[(a-30° )/2]} =-4cosasin(a+30° )sin(a-30° ) =-4cosasin[90° -(60° -a)]sin[-90° +(60° +a)] =-4cos acos(60° -a)[-cos(60° +a)] =4cosacos(60° -a)cos(60° +a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(6 0° -a)tan(60° +a) n 倍角公式 sin(n a)=Rsina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)。 其 中 R=2^(n-1) 证明:当 sin(na)=0 时,sina=sin(π/n)或=sin(2π/n)或=sin(3π/n) 或=……或=sin【(n-1)π/n】 这说明 sin(na)=0 与{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)} *{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1)π/n】=0 是同解方程。 所以 sin(na)与{s ina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1)π/n】 成正比。 而(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ),所以 {sina-sin(π/n)} *{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1π/n】 与 sina sin(a+ π/n)……sin(a+(n-1)π/n)成正比(系数与 n 有关 ,但与 a 无关,记为 Rn)。 然后考虑 sin(2n a)的系数为 R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易证 R2=2,所以 Rn= 2^(n-1) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)= (1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cos φ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A +B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 两角和公式 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+co sαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ 积化和差 sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/

2 双曲函数 sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)= sinα co s(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα 公式二: 设 α 为任意角, π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα 公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα 公式四: 利用公式 二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -c osα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα c ot(2π-α)= -cotα 公式六: π/2±α 及 3π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α)= -sinα tan(π/2+α)= -cotα cot(π/2+α)= -tanα sin(π/2-α)= c osα cos(π/2-α)= sinα tan(π/2-α)= cotα cot(π/2-α)= tanα sin(3π/2+α)= -cosα c os(3π/2+α)= sinα tan(3π/2+α)= -cotα cot(3π/2+α)= -tanα sin(3π/2-α)= -cosα cos(3π/2-α)= -sinα tan(3π/2-α)= cotα cot(3π/2-α)= tanα (以上 k∈Z) A·sin(ωt+θ) + B·sin(ωt+φ) = √{(A? +B? +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 + B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sin A/cosA tan(π/2+α)=-cotα tan(π/2-α)=cotα tan(π-α)=-tanα tan(π+α)= tanα 诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限 万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))?] c osα=[1-(tan(α/2))?]/[1+(tan(α/2))?] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))? ] 其它公式 (1) (sinα)?+(cosα)? =1 (2)1+(tanα)?=(secα)? (3)1+(cotα)?=(cscα)? 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)?,第 二个除(cosα)?即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B =π-C tan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得 ta nA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当 x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot (A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)? +(cosB)? +(cosC)? =1-2cosAc osBcosC (8)(sinA)? +(sinB)? +(sinC)? =2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) 编辑本段内容规律 三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了 三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的 内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1、三角函数本质: [1] 根据右图,有 sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 深刻理解了这一点, 下面所有的三角公式都可以从这里出发 推导出来,比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 推导: 首先画单位圆交 X 轴 于 C,D,在单位圆上有任意 A,B 点。角 AOD 为 α,BOD 为 β,旋转 AOB 使 OB 与 OD 重 合,形成新 A'OD。 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1, 0) ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 和差化积及积化和差用还原法

结合上面公式可推出(换(a+b)/2 与(a-b)/2) 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半 径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角 它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义, 而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图象,把所有重要的三角函数都包 含了。根据勾股定理,单位圆的等式是: 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方 向的度量是正角,而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ,并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ。图象中的三角形确 保了这个公式;半径等于斜边且长度为 1,所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。单位圆可以 被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1 的一种查看无限个三角形的方式。 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = c osAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cot AcotB+1)/(cotB-cotA)


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