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高中文科数学 第八节圆锥曲线的综合问题(选用) - 副本


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第八节 圆锥曲线的综合问题
A 类:必记的内容 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)=0,消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量

y)的一元方程.
?Ax+By+C=0, ? 即? 消去 y,得 ax2+bx+c=0. ?F?x,y?=0, ?

(1)当 a≠0 时,设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为 Δ,则 Δ>0?直线与圆锥曲线 C 相交; Δ=0?直线与圆锥曲线 C 相切; Δ<0?直线与圆锥曲线 C 相离. (2)当 a=0,b≠0 时,即得到一个一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 C 相交,且只有一个交点,此时,若 C 为双 曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若 C 为抛物线,则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平 行或重合. 2.弦长公式 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = = 1 1+ 2· |y -y | k 1 2 1 1+ 2· ?y1+y2?2-4y1y2. k

B 类:必须明确的两个易错点 1.直线与双曲线交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一定相切,当直线与双曲线的渐近线平 行时,直线与双曲线相交于一点. 2.直线与抛物线交于一点时,除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点. [试一试] 1.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( A.1 条 C.3 条 B.2 条 D.4 条 ) )

b x2 y2 2.直线 y= x+3 与双曲线 2- 2=1 的交点个数是( a a b A.1 C.1 或 2 C 类:必会的两种方法 1.用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
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B.2 D.0

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2.函数与方程思想和数形结合思想在直线与圆锥曲线中的应用 直线与圆锥曲线位置关系的判断、 有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考 查,一直是高考考查的重点,特别是焦点弦和中点弦等问题,涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体 代入的技巧和方法,也是考查数学思想方法的热点题型. [练一练] 1 1? x2 , 1.椭圆 +y2=1 的弦被点? 2 2?平分,则这条弦所在的直线方程是________. ? 2

x2 y2 2.(2013· 成都模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与曲线 y= 2x-1相切,则该双曲线的离心率为 a b ________.

第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 D 命题角度分析 考点一 直线与圆锥曲线的位置关系 )

1.(2013· 深圳一模)过点 A 的直线 l 与抛物线 y2=2x 有且只有一个公共点,这样的 l 的条数是( A.0 或 1 C.0 或 1 或 2
2 2

B.1 或 2 D.1 或 2 或 3

x y 2.双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k,则直线 l 与双曲线 C 的左, a b 右两支都相交的充要条件是( b A.k>- a b b C.k> 或 k<- a a [类题通法] 研究直线与圆锥曲线位置关系的方法 研究直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数.对于选 择题、填空题,常充分利用几何条件,利用数形结合的方法求解.
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) b B.k< a b b D.- <k< a a

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考点二

弦长问题

[典例] 如图,设抛物线方程为 x2=2py(p>0),M 为直线 l:y=-2p 上任意一点,过 M 引抛物线的两条切线,切点分别为 A,B(B 点在 A 点右侧). 3 设抛物线上一点 P 到直线 l 的距离为 d,F 为焦点,当 d-|PF|= ,M 的坐标为(2,- 2 2)时,求抛物线方程和线段 AB 的长.

[类题通法] 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数 关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解. [针对训练] y2 设 F1, F2 分别是椭圆 E: x2+ 2=1(0<b<1)的左、 右焦点, 过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点, 且|AF2|, |AB|, b |BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.

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考点三

中点弦问题 弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点.归纳起来常见的命题角

度有: ?1?求中点弦所在的直线方程; ?2?抛物线中中点弦的应用; ?3?利用中点弦解决对称问题.

角度一 求中点弦所在的直线方程 1.已知(4,2)是直线 l 被椭圆 x2 y2 + =1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是________. 36 9

角度二 抛物线中中点弦问题 2.(2013· 郑州模拟)过点 M(2,-2p)作抛物线 x2=2py(p>0)的两条切线,切点分别为 A,B,若线段 AB 的中点 的纵坐标为 6,则 p 的值是________.

角度三 利用中点弦解决对称问题 y2 3.(2013· 郑州模拟)已知双曲线 x2- =1 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称,且 MN 的中点在抛物线 3 y2=18x 上,则实数 m 的值为________.

[类题通法] 处理中点弦问题常用的求解方法 1.点差法: y1-y2 即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有 x1+x2,y1+y2, 三个未知量, x1-x2 这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.
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2.根与系数的关系: 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解. 注意:中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜 率问题;点差法在确定范围方面略显不足. E 类:迁移应用 [课堂练通考点] x y 1. 直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系是( 9 4 A.相交 C.相离 B.相切 D.不确定
2 2

)

2.(2014· 郑州模拟) 已知 F 是抛物线 y2=4x 的焦点,过点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,且|AF|=3|BF|, 则线段 AB 的中点到该抛物线准线的距离为( 5 A. 3 10 C. 3 8 B. 3 D.10 )

x2 3.(2013· 嘉兴一模) 经过椭圆 +y2=1 的一个焦点作倾斜角为 45° 的直线 l,交椭圆于 A,B 两点.设 O 为坐 2

OB 等于( 标原点,则 OA ·
A.-3 1 C.- 或-3 3

) 1 B.- 3 1 D.± 3

x2 y2 4. (2014· 东北三省联考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),F( 2,0)为其右焦点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与 a b 椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C 的方程为________.

5.已知双曲线方程 2x2-y2=2.

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(1)求以 A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程; (2)过点 B(1,1)能否作直线 l,使 l 与所给双曲线交于 Q1,Q2 两点,且点 B 是弦 Q1Q2 的中点?如果 l 存在,求出 它的方程;如果不存在,说明理由.

[课下提升考能] 第Ⅰ卷:夯基保分卷 x2 y2 1.已知椭圆 + =1 上有一点 P,F1,F2 是椭圆的左、右焦点,若△F1PF2 为直角三角形,则这样的点 P 有 4 2 ( ) A.3 个 C.6 个 B.4 个 D.8 个

x2 y2 2. 椭圆 + =1 的离心率为 e,点(1,e)是圆 x2+y2-4x-4y+4=0 的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程 4 3 是( ) A.3x+2y-4=0 C.3x-2y-2=0 B.4x+6y-7=0 D.4x-6y-1=0

4 3.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,斜率为 的直线交抛物线于 A,B 两点,若 AF =λ FB (λ>1),则 λ 的 3 值为( A.5 4 C. 3 ) B.4 5 D. 2

x2 y2 4.已知椭圆 + 2=1(0<b<2),左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若|BF2|+|AF2| 4 b
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的最大值为 5,则 b 的值是( A.1 3 C. 2

) B. 2 D. 3

x2 y2 5.(2013· 兰州名校检测) 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e.直线 l:y a b =ex+a 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,设|AM|=e|AB|,则该椭圆的离心率 e =________.

6.(2014· 沈阳模拟)已知点 A(- 2,0),点 B( 2,0),且动点 P 满足|PA|-|PB|=2,则动点 P 的轨迹与直线 y =k(x-2)有两个交点的充要条件为 k∈________.

FB =1, 7. 如图,椭圆长轴的端点为 A,B,O 为椭圆的中心,F 为椭圆的右焦点,且 AF ·
| OF |=1. (1)求椭圆的标准方程; (2)记椭圆的上顶点为 M,直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,问:是否存在直线 l,使点 F 恰为△PQM 的垂心,若存 在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

8.(2013· 郑州模拟)已知圆 C:(x+ 3)2+y2=16,点 A( 3,0),Q 是圆上一动点,AQ 的垂直平分线交 CQ 于 点 M,设点 M 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程; 4 (2)过点 P(1,0)的直线 l 交轨迹 E 于两个不同的点 A, B, △AOB(O 是坐标原点)的面积 S= , 求直线 AB 的方程. 5

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第Ⅱ卷:提能增分卷 1. 已知中心在坐标原点的椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 y2=4 5x 的焦点,且椭圆 E 的离心率是 (1)求椭圆 E 的方程; 1 (2)过点 C(-1,0)的动直线与椭圆 E 相交于 A,B 两点.若线段 AB 的中点的横坐标是- ,求直线 AB 的方程. 2 6 . 3

y2 x2 3 2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆 C 的短轴的一个端点 P 到焦点的距离为 2. a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l:y=kx+ 3与椭圆 C 交于 A,B 两点,是否存在 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

3. (2013· 广州二模)已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2:x2=4y 有一个相同的焦点 F1,直线 l:y= 2x+m 与抛物线 C2 只有一个公共点. (1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P,当椭圆 C1 的离心率取得最大值时,求椭圆 C1 的方程及点 P 的坐标.
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第二课时 最值、范围、证明问题

考点一

最值问题

圆锥曲线中的最值问题一直是高考命题的热点,各种题型都有,命题角度很广,归 纳起来常见的命题角度有: ?1?转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值; ?2?利用三角函数有界性求最值; ?3?数形结合利用几何性质求最值.

角度一 转化为函数求最值 1.(2013· 浙江高考)已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0,1). (1)求抛物线 C 的方程; (2) 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点.若直线 AO,BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M,N 两点,求|MN| 的最小值.

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角度二 利用有界性求最值 2.(2013· 武汉模拟)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 是坐标原点,则|AF|· |BF|的最 小值是( A.2 C.4 角度三 利用几何性质求最值 x2 y2 PM =0,则当| PM | 3.(2013· 浙江模拟)已知 P 为双曲线 C: - =1 上的点,点 M 满足| OM |=1,且 OM · 9 16 取得最小值时的点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为( 9 A. 5 C.4 12 B. 5 D.5 ) ) B. 2 D.2 2

[类题通法] 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何方法,即通过利用 曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代 数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 考点二
2 2

范围问题

x y [典例] (2014· 广东名校质检)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)上的任意一点到它的两个焦点(-c,0),(c,0)的距 a b 离之和为 2 2,且它的焦距为 2. (1)求椭圆 C 的方程; 5 (2)已知直线 x-y+m=0 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点不在圆 x2+y2= 内,求 m 的取值 9 范围.

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[类题通法] 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数 的过程中要根据题目的其他已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的 过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围. [针对训练] x2 y2 (2014· 辽宁五校联考)设点 A1,A2 分别为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在异于点 A1、A2 a b 的点 P,使得 PO⊥PA2,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是________.

考点三

证明问题

x2 y2 [典例] (2013· 安徽高考)设椭圆 E: 2+ =1 的焦点在 x 轴上. a 1-a2 (1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (2)设 F1,F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点,P 为椭圆 E 上第一象限内的点,直线 F2P 交 y 轴于点 Q,并且 F1P ⊥F1Q.证明:当 a 变化时,点 P 在某定直线上.

[类题通法] 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,证明方法一般是采用直 接法或反证法.
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[针对训练] x2 (2013· 北京高考)直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W: +y2=1 相交于 A,C 两点,O 是坐标原点. 4 (1)当点 B 的坐标为(0,1),且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长; (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可能为菱形.

[课堂练通考点] x y a2 1. (2013· 惠州调研)设椭圆 M: 2+ =1(a> 2)的右焦点为 F1,直线 l:x= 2 与 x 轴交于点 A,若 OF1 = a 2 a -2 2 F1 A (其中 O 为坐标原点). (1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点,EF 为圆 N:x2+(y-2)2=1 的任意一条直径(E,F 为直径的两个端点),求
2 2

PE · PF 的最大值.

x2 y2 2 2.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆上任意一点到右焦点 F 的距离的最大值为 2+1. a b 2 (1)求椭圆的方程;
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(2)已知点 C(m,0)是线段 OF 上一个动点(O 为坐标原点),是否存在过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,使得|AC|=|BC|?并说明理由.

[课下提升考能] 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1 1. 已知抛物线 C:x2=2py(p>0),其焦点 F 到准线的距离为 . 2 (1)试求抛物线 C 的方程; (2)设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t(t>0),过 P 的直线交 C 于另一点 Q,交 x 轴于 M,过点 Q 作 PQ 的垂线 交 C 于另一点 N,若 MN 是 C 的切线,求 t 的最小值.

x2 y2 1 2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),且离心率为 . a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0,y0),求 y0 的取值范围.
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x2 y2 3 3.(2013· 南京二模) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C:2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , a b 2 以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1),Q(0,2),设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T.求证: 点 T 在椭圆 C 上.

第Ⅱ卷:提能增分卷 x2 y2 1.(2014· 石家庄模拟)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-1,0)、F2(1,0),过 F1 作与 x 轴不重合的 a b 直线 l 交椭圆于 A、B 两点.
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(1)若△ABF2 为正三角形,求椭圆的离心率; (2)若椭圆的离心率满足 0<e< 5-1 ,O 为坐标原点,求证:|OA|2+|OB|2<|AB|2. 2

2.(2013· 西安质检)如图,已知中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆的两个短轴端点和 左右焦点连线所组成的四边形是面积为 2 的正方形. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点 P(0,2)的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,当△OAB 面积最大时,求直线 l 的方程.

第三课时 定点、定值、探索性问题

考点一

定点问题

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[典例] (2013· 陕西高考)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴是∠PBQ 的角平分线, 证明直线 l 过定点.

[类题通法] 1.求解直线和曲线过定点问题的基本思路是:把直线或曲线方程中的变量 x,y 当作常数看待,把方程一端化 为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关 于 x,y 的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 2.由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了 直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m). [针对训练] (2014· 荆州模拟)如图,已知抛物线 C:y2=4x,过点 A(1,2)作抛物线 C 的弦 AP,AQ.若 AP ⊥AQ,证明:直线 PQ 过定点,并求出定点的坐标.

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考点二

定值问题

x2 y2 3 [典例] (2013· 江西高考)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,a+b=3. a b 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点,直线 DP 交 x 轴于点 N,直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m.证明:2m-k 为定值.

[类题通法] 1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些 代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值. 2.求定值问题常见的方法有两种: ①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; ②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. [针对训练] 已知抛物线 y2=4x,过点 M(0,2)的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,且直线 l 与 x 轴交于点 C. (1)求证:|MA|,|MC|,|MB|成等比数列; (2)设 MA =α AC , MB =β BC ,试问 α+β 是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
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考点三
2 2

探究存在性问题

x y 1 [典例] (2013· 成都模拟)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)以抛物线 y2=8x 的焦点为顶点,且离心率为 . a b 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,与直线 x=-4 相交于 Q 点,P 是椭圆 E 上一点且满足 OP = OA + OB (其中 O 为坐标原点),试问在 x 轴上是否存在一点 T,使得 OP · TQ 为定值?若存在,求出点 T 的坐 标及 OP · TQ 的值;若不存在,请说明理由.

本例(2)中条件变为“过椭圆 E 的右焦点 F2 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于 P,Q 两点,线段 OF2 上是

MP = PQ · 否存在点 M(m,0)使得 QP · MQ ?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

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[类题通法] 解决存在性问题的注意事项 存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论; (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件; (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.

[课堂练通考点] 1. 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出 直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

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x2 y2 3 2.如图,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以椭圆 C 的左顶点 a b 2 T 为圆心作圆 T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N. (1)求椭圆 C 的方程;

TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; (2)求 TM ·
(3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S,O 为坐标原点,求证: |OR|· |OS|为定值.

[课下提升考能] 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.已知椭圆 C 过点 M?1,

?

6? ,点 F(- 2,0)是椭圆的左焦点,点 P,Q 是椭圆 C 上的两个动点,且|PF|, 2?

|MF|,|QF|成等差数列. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A.

x2 y2 2 2.(2013· 济南模拟)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且过点(2, 2). a b 2 (1)求椭圆的标准方程;
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b2 (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC,BD 过原点 O,若 kAC· kBD=- 2. a 求证:四边形 ABCD 的面积为定值.

3. (2013· 北京东城区期末)在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点(- 3,0),( 3,0)的距离之和等于 4,设 点 P 的轨迹为曲线 C,直线 l 过点 E(-1,0)且与曲线 C 交于 A,B 两点. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)△AOB 的面积是否存在最大值,若存在,求出△AOB 的面积的最大值;若不存在,说明理由.

第Ⅱ卷:提能增分卷 x2 y2 1.已知椭圆 C: + =1,点 F1,F2 分别为其左、右焦点,点 A 为左顶点,直线 l 的 4 3 方程为 x=4,过点 F2 的直线 l′与椭圆交于异于点 A 的 P,Q 两点. (1)求 AP · AQ 的取值范围; (2)若 AP∩l=M,AQ∩l=N,求证:M,N 两点的纵坐标之积为定值,并求出该定值.

Cease to struggle and you cease to live. -- Thomas Carlyle

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x2 y2 x2 y2 2. (2013· 合肥模拟)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 2- =1(0<m2<3)有公共的焦点,过椭圆 E a b m 3-m2 的右顶点 R 任意作直线 l,设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 M,N 两点,且 OM⊥ON. (1)求双曲线的焦点坐标和椭圆 E 的方程; (2)设 P 是椭圆 E 上第一象限内的点,点 P 关于原点 O 的对称点为 A、关于 x 轴的对称点为 Q,线段 PQ 与 x 轴相交于点 C,点 D 为 CQ 的中点,若直线 AD 与椭圆 E 的另一个交点为 B,试判断直线 PA,PB 是否相互垂直? 并证明你的结论.

Cease to struggle and you cease to live. -- Thomas Carlyle

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