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吉林省四平市第一高级中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试卷


四平市第一高级中学 2014-2015 学年度下学期期末考试
高二数学试卷(理科)
考生注意: 1、本试卷分选择题和非选择题两部分,共 150 分,共 4 页,考试时间 120 分 钟,考试结束后,只交答题卡。 2、客观题请用 2B 铅笔填涂在答题卡上,主观题用黑色碳素笔写在答题卡上。

第Ⅰ卷
一项是符合题目要求的。


(选择题,满分 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 1、复数 z 满足 ( z ? 3)(2 ? i) ? 5 ,则 z 的共轭复数为 A. 2 ? i
3

( C. 5 ? i D. 5 ? i ( D. 15



B. 2 ? i

2、曲线 y ? x ? 11在点 P (1,12) 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 A. ? 9 B. ? 3 C. 9



3、将包含甲,乙两队的八支队伍平均分成两个小组参加某项比赛,则甲,乙两队被分在不 同小组的分组方案有 A. 20 B. 35 C. 40 ( D. 60 ( ) )

2 4、已知随机变量 X 服从正态分布 N (1, ? ) ,且 P( X ? 0) ? 0.1 ,则 P( X ? 2) ?

A. 0 . 9

B. 0.1

C. 0 . 6

D. 0 .4

5、如果袋中有六个红球,四个白球,从中任取一球,确认颜色后放回,重复摸取四次,设 X 为取得红球的次数,那么 X 的均值为 A. 6、 ( C. )

3 4
x

B.

12 5

19 7

D.

1 3
( )

? (e
0

1

? 2 x)dx ?
B. e ? 1 C. e

A. 1

D. e ? 1 ( D. 6 和 5 . 6 )

7、已知随机变量 ? ? ? ? 8 ,若 ? ~ B(10,0.6) ,则 E? , D ? 分别是 A. 6 和 2 . 4 B. 2 和 2 . 4 C. 2 和 5 . 6

8、用红,黄两种颜色给如图所示的一列方格染色(可以只染一种颜色)要求相邻的两格不 都染成红色,则不同的染色方法数为 ( )

A. 7

B. 28

C. 34

D. 42

9、同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子,观察向上的点数,记“红骰子向上的点数是 3 的倍 数”为事件 A , “两颗骰子的点数之和大于 8 ”为事件 B ,则 P( B | A) ? A. ( )

5 12

B.

7 12

C.

1 2

D.

1 3

10、在二项式 ( x ?

1 2 x
4

) n 的展开式中,前三项的系数成等差数列。把展开式中所有的项
( )

重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为 A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

5 12
( )

11、在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱所在直线成异面直线的概率为 A.

4 11

B.

3 11

C.

3 22

D.

4 22 f ( x) ? 0 ,则函数 x
( )

12、已 知 y ? f ( x) 为 R 上 的 连 续 可 导 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ?( x) ?

g ( x) ? f ( x) ?
A. 1

1 的零点的个数为 x
B. 2 C. 0 D. 0 或 2

第Ⅱ卷

(非选择题,满分 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卡相应的位置上) 13、设复数 z 满足

1? z ? i ,则 | 1 ? z |? __________。 1? z

2 14、三维空间中圆的一维测度(周长)l ? 2?r ,二维测度(面积) S ? ?r ,观察发现 S ? ? l ; 2 三维空间中球的二维测度(表面积) S ? 4?r ,三维测度(体积) V ?

4 3 ?r ,观察发 3

现 V ? ? S , 则 由 四 维 空 间 中 “ 超 球 ” 的 三 维 测 度 V ? 8?r , 猜 想 其 四 维 测 度
3

W ? _________。
15、设 an (n ? 2,3,4,?) 是 (3 ?

x )n 的 展 开 式 中 x 的 一 次 项 的 系 数 , 则

32 33 318 ? ?? ? ? ________。 a2 a3 a18
2 16、已知函数 f ( x) ? a ln(x ? 1) ? x ,在区间 (0,1) 内任取两个实数 p, q ,且 p ? q ,不等



f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为__________。 p?q

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (本小题 10 分) 通过市场调查,得到某种产品的资金投入 x 万元与获得的利润 y 万元的数据,如表所示: 资金投入 x 利润 y 2 2 3 3 4 5 5 6 6 9

(1)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归方程; (2)现投入资金 10 万元,求获得利润的估计值为多少万元?
n

?? (参考公式: b

?x y
i ?1 n

i 1 2

? nx y ? nx 2

?x
i ?1

?x ) ? ? y ?b ,a

i

18、 (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c , y ? f ( x) 在 x ? ?2 时取得极值,在 x ? 1 处的切线 方程为 y ? 3x ? 1 。 (1)求 a , b , c ; (2)求 y ? f ( x) 在 [ ?3,1] 上的最大值。

19、 (本小题 12 分) 淘宝卖家在某商品的所有买家中,随机选择男女买家各 50名进行调查,他们的评分等级 如下表: 评分等级 女(人数) 男(人数) [0,1] 2 3 (1,2] 7 9 (2,3] 9 18 (3,4] 20 12 (4,5] 12 8

(1)从评分等级为 (4,5] 的人中随机选取两人,求恰有一人是男性的概率; (2)规定:评分等级在 [0,3] 内为不满意该商品,在 (3,5] 内为满意该商品。完成下列 2? 2 列联表并帮助卖家判断:能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为满意该商品与性别有 关系? 满意该商品 女 男 总计 参考数据: 不满意该商品 总计

P( K 2 ? k )

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

(参考公式: K ?

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20、 (本小题 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ?

1 ,且 S ? n(2n ?1)an 。 3

(1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)归纳猜想出数列 {an } 的通项公式,并用数学归纳法证明。

21、 (本小题 12 分) 有编号为 1, 2 , 3 ,?, n 的 n 个学生,入座编号为 1, 2 , 3 ,?, n 的 n 个座位。 每个学生规定坐一个座位。设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ? ,已知

? ? 2 时,共有 6 种坐法。
(1)求 n 的值; (2)求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望。

22、 (本小题 12 分)
n * 设函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ,若对任意 x ? 1 ,都有 f ( x) ? ax (n ? N ) 恒成立。

(1)求 a 的取值范围; (2)求证:对任意 x ? 1 , ln(e ? x ? 1) ? (
x

ex ? x n ) (n ? N * ) 。 e ?1

“BEST 合作体”2014-2015 学年度下学期期末考试
高二数学(理科)试卷参考答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 B 6 C 7 B 8 C 9 A 10 D 11 A 12 C

二、填空题 13.

2

14. 2?R

4

15. 17

16. [15,??)

三、解答题 17、【解】 (1) x ?

2?3? 4?5? 6 ? 4 ,???????????????????? 2? 5 2?3?5? 6?9 ? 5 。???????????????????? 4? 5

y?

?? b

?x y
i ?1 n

n

i 1 2

? nx y ? ? nx 2

?x
i ?1

2 ? 2 ? 3? 3 ? 4 ? 5 ? 5 ? 6 ? 6 ? 9 ? 5? 4 ? 5 ? 1.7 ,? 6 ? 4 ? 9 ? 16 ? 25 ? 36 ? 5 ?16

i

?x ? 5 ?1.7 ? 4 ? ?1.8 , ? ? y ?b a
? ? 1.7 x ? 1.8 。??????????????? 8 ? 所以回归直线方程为: y
? ? 15.2 万元。????????????????? 10? (2)当 x ? 10 万元时, y
18、 【解】 (1)由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b 。???????? 2? 由已知 f (1) ? 4 , f ?(1) ? 3 , 故?

?3 ? 2a ? b ? 3 ?2a ? b ? 0 ,即 ? , 1 ? a ? b ? c ? 4 a ? b ? c ? 3 ? ?

又因为 y ? f ( x) 在 x ? ?2 处有极值, 故 f ?(?2) ? 0 ,所以 ? 4a ? b ? ?12 。??????????????? 4? 联立解得: a ? 2 , b ? ?4 , c ? 5 。???????????????? 6 ? (2)由(1)知 f ( x) ? x ? 2x ? 4x ? 5 , f ?( x) ? 3x ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)(x ? 2) ,
3 2 2

2 或 x ? ?2 。???????????????? 8 ? 3 2 95 所以 f ( x) 的极大值为 f (?2) ? 13, f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 。 3 27 又因为 f (?3) ? 8 , f (1) ? 4 ,?????????????????? 10?
令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 所以函数 f ( x) 在 [?3,1] 上的最大值为 13 。????????????? 12?

19、 【解】
2 (1)因为从等级 (4,5] 的 20 人中随机选取 2 人,共有 C20 ? 190 种结果,??? 2? 1 1 其中恰有 1人为男性的共有 C12 C8 ? 96种结果,???????????? 4?

故所求概率为 P ? (2) 女 男 总计

96 48 ? 。??????????????????? 6 ? 190 95
不满意该商品 18 30 48 总计 50 50 100 32 20 52

满意该商品

?????? 9 ?

经计算 K 的观测值 k ?
2

100(32? 30 ? 18? 20) 2 ? 5.769 ? 3.841 ???????11? 52? 48? 50? 50

所以能够在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为满意该产品与性别有关系。?? 12? 20、 【解】 (1) a1 ? a2 ? 2(2 ? 2 ?1)a2 ,因为 a1 ?

1 1 1 ? ,????? 1? ,所以 a2 ? 3 3 ? 5 15 1 1 ? ,????????? 2? 5 ? 7 35

a1 ? a2 ? a3 ? 3(2 ? 3 ?1)a3 ,解得 a3 ?
同理 a4 ?

1 1 ? 。?????????????????????? 3? 7 ? 9 63

(2)根据计算结果,可以归纳出 an ? 当 n ? 1 时, x1 ?

1 。?????????? 4? (2n ? 1)(2n ? 1)

1 1 ? ,与已知相符,归纳出的公式成 (2 ?1 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) 3

立。???????????????????????????????? 5 ?
* 假设当 n ? k (k ? N ) 时,公式成立,即 ak ?

1 。???? 7 ? (2k ? 1)(2k ? 1)

由 Sn ? n(2n ? 1)an 可得:

ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? (k ? 1)(2k ? 1)ak ?1 ? k (2k ?1)ak 。????????? 8 ?
即 ak ?1 ?

2k ? 1 2k ? 1 1 1 ak ? ? ? 。 2k ? 3 2k ? 3 (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 3) 1 ,即当 n ? k ? 1 时公式也成立。?? 11? [2(k ? 1) ? 1][2(k ? 1) ? 1]

所以 ak ?1 ?

综上, an ? 21、 【解】

1 * 对任何 n ? N 都成立。????????? 12? (2n ? 1)(2n ? 1)
n(n ? 1) ? 6 ,?????? 2 ? 2

2 2 (1)当 ? ? 2 时,有 Cn 种坐法,所以 Cn ? 6 ,即
2

所以 n ? n ? 12 ? 0 ,得 n ? 4 或 n ? ?3 (舍去) , 所以 n ? 4 。?????????????????????????? 4 ? (2)因为 ? 的的可能取值是 0 , 2 , 3 , 4 。 又因为 P(? ? 0) ?

1 1 , ? 4 A4 24
3 C4 ?2 8 1 ? ? , 4 A4 24 3

P(? ? 2) ?
P(? ? 4) ?

2 C4 ?1 6 1 ? ? , 4 A4 24 4

P(? ? 3) ?

9 3 ? 。 24 8
4

所以 ? 的概率分布列为:

?
P
则 E? ? 0 ? 22、 【解】

0

2

3

1 24

1 4

1 3

3 8

?????10?

1 1 1 3 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 3 。?????????????12? 24 4 3 8 f ( x) ln( x ? 1) ln( x ? 1) ? 恒成立,令 g ( x ) ? , n n x x xn

(1)由已知 x ? 1 时, a ?

xn ? nxn?1 ln(x ? 1) x n?1 x 则 g ?( x) ? x ? 1 ? [ ? n ln(x ? 1)]???? 3? x 2n x 2n x ? 1 x 1 ? n( x ? 1) ? n ln( x ? 1) ,则 u?( x) ? 令 u ( x) ? , x ?1 ( x ? 1) 2
所以 x ? 1 时, u?( x) ? 0 ,所以 u ( x) 在 [1,??) 上单调递减。 所以 x ? 1 时, u ( x) ? u (1) ? 因为

1 1 ? n ln 2 ? ? ln 2 , 2 2

1 ? ln e ? ln 2 ,所以 u ( x) ? 0 。 2 所以 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [1,??) 上单调递减。
所以 x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? ln 2 。所以 a ? ln 2 。????????? 6 ? (2)由(1) y ? g ( x) 在 [1,??) 上单调递减, 令 F ( x) ? e ? x ,则 F ?( x) ? e ?1 。
x x

x ? 1 时, F ?( x) ? e ? 1 ? 0 ,所以 F ( x) 在 [1,??) 上单调递增,
x 所以 F ( x) ? e ? 1 ,即 e ? x ? e ? 1 ? 1 ,所以 g (e ? x) ? g (e ?1) ,
x

所以

ln(e x ? x ? 1) ln(e ? 1 ? 1) (e x ? x ) n x ,所以 。? 1 2? ? ln( e ? x ? 1 ) ? (e x ? x ) n (e ? 1) n (e ? 1) n


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