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湖北省黄石市有色第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题


2015-2016 学年度上学期期末考试数学试卷(高一) 注意事项: 1、本试卷分为试题卷和答题卡两部分。考试时间为 120 分钟,满分 150 分。 2、考生在答题前请阅读答题卡中的“注意事项”,然后按要求答题。 3、所有答案均须做在答题卡相应区域,做在其他区域无效。 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选

项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 P ? ?1, 0, 2 , Q ? ? y y ? sin ? ,? ? R? ,则 P ? Q 等于( ) A. ? B. ?0? C. ??1,0? ) 3 C.- 2 D. 3 4 ) D. ?1, 0, 2

?

?

?

?

2.sin210°cos120°的值为 ( A. 1 4 B.- 3 4
2

? ?x +1,x≤1, 3.已知函数 f(x)=? x ?2 +ax,x>1, ?

若 f(f(1))=4a,则实数 a 等于(

A.

1 2

4 B. 3
2

C.2
m

D.4 )

4.函数 f(x)=(m -m-1)x 是幂函数, 且在 x∈(0, +∞)上为增函数, 则实数 m 的值是( A.-1 B.2 C.3 D.-1 或 2 )

π? ? 5..函数 f(x)=tan?2x- ?的单调递增区间是( 3? ? A.?

?kπ -π ,kπ +5π ?(k∈Z) 12 ? ? 2 12 2 ?

B.?

?kπ -π ,kπ +5π ?(k∈Z) 12 ? ? 2 12 2 ?

π 2π ? ? C.?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 3 ? ?

π 5π ? ? D.?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 12 12 ? ? )

6.已知函数 f(x)=2sinω x(ω >0)在区间上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于( A. 3 2 B . 2 3 C.2 D.3

7.已知向量 a=(1,2), b=(1,0), c=(3,4), 若 λ 为实数, (b+λ a)⊥c, 则 λ 的值为( 3 A.- 11 11 B.- 3 1 C. 2 3 D. 5

)

? π? 8.将函数 y=cos?x- ?的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平移 3? ?

π 个单位,所得函数图象的一条对称轴是( 6 π A.x= 4 π B.x= 6

) C.x=π π D.x= 2 )

9.已知向量 a,b 满足(a+2b)?(5a-4b)=0,且|a|=|b|=1,则 a 与 b 的夹角 θ 为( A. 3π 4 π B. 4 π C. 3 2π D. 3

? ??? ? ???? 10.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,M 为 BC 的中点,点 E 在线段 AB 上运动,则 EC ? EM 的取

值范围是(

)

?1 ? A.? ,2? ?2 ?

?1 3? B.? , ? ?2 2?

? 3? C.?0, ? ? 2?

D.[0,1]

11.f(x) = cos(2x +φ )的图象关于点?

?4π ,0? 成中心对称,且-π < φ <π ,则函数 y= ? 2 2 ? 3 ?

f?x+ ?为( 3

? ?

π?

?

)

? π? A.奇函数且在?0, ?上单调递增 4? ? ? π? C.偶函数且在?0, ?上单调递减 2? ?
x x

? π? B.偶函数且在?0, ?上单调递增 2? ? ? π? D.奇函数且在?0, ?上单调递减 4? ?

12.已知函数 f(x)=9 -m?3 +m+1 在(0,+∞)上的图象恒在 x 轴上方,则 m 的取值范围是 ( ) B.m<2 D.m<2+2 2 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) sin θ +cos θ 13.若 =2 则 tan θ =_____________ sin θ -cos θ 14.已知|a|=6,|b|=3,a?b=-12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是______________15.已知函数 f ? x ? ? ln _______. 16.设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间上的两个函数,若函数 y=f(x)-g(x)在 x∈上有两个 不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在上是“关联函数”,区间称为“关联区间”.若 f(x)=x - 3x+4 与 g(x)=2x+m 在上是“关联函数”,则 m 的取值范围为:________________ 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
2

A.2-2 2<m<2+2 2 C .m≥2+ 2 2

1? x ? sin x ,则关于 a 的不等式 f ?a ? 2? ? f a 2 ? 4 ? 0 的解集是 1? x

?

?

cos ?nπ +x??sin ?nπ -x? 17.已知 f(x)= (n∈Z). 2 cos [?2n+1?π -x] (1)化简 f(x)的表达式; (2)求 f?

2

2

? π ?+f?1 007π ?. ? ? ? ?2 016? ?2 016 ?

18.已知 f(x)=

x (x≠a). x-a

(1)若 a=-2,试证明 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围. 19.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120°. (1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|; (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b).

20.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 已知向量 a=(-1,2), 又点 A(8,0), B(n, t), C(ksin
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? π? ? θ ,t)?0≤θ ≤ ?.(1)若 AB ⊥a,且| AB |= 5| OA |,求向量 OB ;(2)若向量 AC 与向量 2? ? ??? ? ???? a 共线,当 k>4,且 tsin θ 取最大值 4 时,求 OA ? OC

21.为迎接夏季旅游旺季的到来,某寺庙单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工 作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减 少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客 栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在 2 月份最少,在 8 月份最多,相差约 400 人; ③2 月份入住客栈的游客约为 100 人,随后逐月递增直到 8 月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;(2)请问哪 几个月份至少要准备 400 份的食物?

22. 已知函数 f ( x) ? log4 (4x ? 1) ? kx ( k ? R )是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? (3) 若函数 h( x) ? 4
f ( x )? 1 x 2

1 x ? a 没有交点,求 a 的取值范围; 2

? m ? 2 x ? 1,x ??0,log2 3? , 是否存在实数 m 使得 h( x) 最小值为 0 ,

若存在,求出 m 的值; 若不存在,请说明理由

2015-2016 学年度上学期期末考试数学(高一)参考答案

一、选择题: 二、填空题 三、解答题: :

CACBB 3

AADCB -4

DD

( 3, 2)

?-9,-2? ? 4 ? ? ?

17,解:(1)当 n 为偶数,即 n=2k(k∈Z)时,

f(x)
2


2

cos ?2kπ +x??sin ?2kπ -x? 2 cos [?2?2k+1?π -x]

2

2



cos x?sin ?-x? 2 cos x?π -x?

2

2



cos x??-sin x? 2 ?-cos x? =

sin x(n

2



2k)



-------------------------------------------------------------------------------------3 分 当 n 为奇数,即 n=2k+1(k∈Z)时,

f(x)
2


2

cos [?2k+1?π +x]?sin [?2k+1?π -x] 2 cos x{[2??2k+1?+1]π -x}

2

2



cos [2kπ +?π +x?]?sin [2kπ +?π -x?] 2 cos [2??2k+1?π +?π -x?] = 综
2

cos ?π +x??sin ?π -x? ?-cos x? sin x 2 = =sin x(n=2k+1), 2 2 cos ?π -x? ?-cos x? 上 得

2

2

2

2

f

(x)



sin x.----------------------------------------------------------------------------------6 分

? π ?+f?1 007π ? (2)由(1)得 f? ? ? ? ?2 016? ?2 016 ?
=sin =sin
2 2

π ? π 2?π +sin ? - 2 2 016? 2 016 ? ?

π 2 π +cos =1.------------------------------------2 016 2 016

----------------------------------------------10 分 18. (1)证明:任设 x1<x2<-2,

则 f(x1)-f(x2)=

x1 x2 2?x1-x2? - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2),



f(x)



(









2)









增.---------------------------------------------------------6 分 (2)任设 1<x1<x2,则

x1 x2 a?x2-x1? f(x1)-f(x2)= - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?
∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0, 只需(x1-a)(x2-a)>0 在(1,+∞)上恒成立,∴a≤1. 综 上 所 述 知

a













(0,1]



---------------------------------------------------12 分

? 1? 19.解:由已知得,a?b=4?8??- ?=-16. ? 2?
(1)①∵|a+b| =a +2a?b+b =16+2?(-16)+64=48,∴|a+b|=4 3. ②∵|4a-2b| =16a -16a?b+4b =16?16-16?(-16)+4?64=768, ∴ 16 分 (2)∵(a+2b)⊥(ka-b),∴(a+2b)?(ka-b)=0, ∴ka +(2k-1)a?b-2b =0, 即 16k-16(2k-1)-2?64=0.∴k=-7. 即 k=-7 时, a+2b 与 ka-b 垂直. --------------------------------------------12 分
??? ? 20.解:(1)由题设知 AB =(n-8,t), ??? ? ∵ AB ⊥a,∴8-n+2t=0. ??? ? ??? ? 又∵ 5| OA |=| AB |,
2 2 2 2 2 2 2 2

|4a



2b|



3 .-------------------------------------------------------------------------6

∴5?64=(n-8) +t =5t ,得 t=±8. 当 t=8 时,n=24;t=-8 时,n=-8, ??? ? ??? ? OB OB ∴ = (24,8) 或

2

2

2



(



8





8).----------------------------------------------------6 分 ???? (2)由题设知 AC =(ksin θ -8,t), ???? ∵ AC 与 a 共线,∴t=-2ksin θ +16,

tsin θ =(-2ksin θ +16)sin θ
4?2 32 ? =-2k?sin θ - ? + .

?

k?

k

4 ∵k>4,∴0< <1,

k

4 32 ∴当 sin θ = 时,tsin θ 取得最大值 .

k

k



32

k

=4,得 k=8,

π ???? 此时 θ = , OC =(4,8). 6 ??? ? ???? ∴ ? OA OC



(8,0)?(4,8)



32.------

----------------------------------------------12 分 21.解:(1)设该函数为 f(x)=Asin(ω x+φ )+B(A>0,ω >0,0<|φ |<π ),根据条件①, 可知这个函数的周期是 12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且 f(8)-f(2)=400,故该函 数的振幅为 200;由③可知,f(x)在上单调递增,且 f(2)=100, 所以 f(8)=500. 2π 根据上述分析可得, =12, ω
?-A+B=100, ? π 故 ω = ,且? 6 ?A+B=500, ?

解得?

?A=200, ? ?B=300. ?

------------------4 分

根据分析可知,当 x=2 时 f(x)最小, 当 x=8 时 f(x)最大,

? π ? ? π ? 故 sin?2? +φ ?=-1,且 sin?8? +φ ?=1. 6 6 ? ? ? ?
5π 又因为 0<|φ |<π ,故 φ =- . 6 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为

f(x)



200sin

?π x-5π ? ?6 ? 6 ? ?



300.----------------------------------------------------------8 分 5π ? ?π (2)由条件可知,200sin? x- ?+300≥400,化简,得 6 ? ?6 5π ? 1 ?π sin? x- ?≥ 6 ? 2 ?6 π π 5π 5π ? 2kπ + ≤ x- ≤2kπ + ,k∈Z, 6 6 6 6 解得 12k+6≤x≤12k+10,k∈Z. 因为 x∈N ,且 1≤x≤12,故 x=6,7,8,9,10. 即只有 6,7,8,9,10 五个月份要准备 400 份以上的食物.-------------------12 分
*

22. 解: (1)? f (? x) ? f (? x) , 即 log4 (4? x ? 1) ? kx ? log4 (4x ? 1) ? kx 对于 任意x ? R 恒成立.
-x ? 2kx ? log 4 (4? x ? 1) ? log 4 (4 x ? 1) ? log 4 4 x ? 1 4 +1 ? 2kx ? ? x

? k ??1
???3 分

2

???????????????????????????

(2)由题意知方程 log 4 (4 x ? 1) ? 1 x ? 1 x ? a 即方程 a=log4 (4x ? 1) ? x 无解. 2 2 令 g ( x) ? log 4 (4 x ? 1) ? x , 则函数 y ? g ( x) 的图象与直线 y ? a 无交点. ??????4 分
x 4x ? 1 ? log (1 ? 1 ) ? g ( x) ? log( 4 4 ? 1) ? x ? log 4 4 x x

4

4

? 1 . 任取 x1 、 x2 ? R,且 x1 ? x2 ,则 0 ? 4 x1 ? 4 x2 ,? 1 4 x1 4 x2
1 ? ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? log 4 ?1 ? x1 4 ? 1 ? ? ? ? ? log 4 ?1 ? x2 ? ? 0 , 4 ? ? ?

? g ( x) 在 ? ??, ? ? ? 上是单调减函数.

1? ?1 ? 1x ? 1 ,? g ( x) ? log4 ? ?1 ? x ? ? 0 . 4 ? 4 ?

?

a













? ??, 0?.

??????????????????????????7 分 (3)由题意 h( x) ? 4 ? m ? 2 , x ??0,log2 3?
x x

令 t ? 2 ??1,3?
x

?(t ) ? t 2 ? mt
???8 分

t ??1.3? ???????????????????

? 开口向上,对称轴 t ? ?
当?

m 2

m ? 1, 即m ? ?2 , ? (t )min ? ? (1) ? 1 ? m ? 0 , m ? ?1 2

当1 ? ? 去)

m m2 m ? 3, 即 ?6 ? m ? ?2 , ? (t ) min ? ? (? ) ? ? ? 0 , m ? 0 (舍 2 2 4

当?

m ? 3 , 即m ? ?6 , 2

? (t )min ? ? (3) ? 9 ? 3m ? 0, m ? ?3 (舍去)
?
存 在

m ? ?1



h( x )









0

???????????????????????? 12 分


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