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2014世纪金榜第二章 第十节


第十节 导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性与导数正负的关系 增函数 f(x)在(a,b)内是_______

大于零 在区间 (a,b)内 f′(x) 等于零 小于零

常量函数 f(x)在(a,b)内是_________
减函数 f (x)在(a,b)内是_______

2

.函数的极值 x x0左侧 x0 f′(x)=0 x0右侧

极小值f(x0)

f(x0)为单
减 函数 调___ f(x)为单调

f(x0)为单调___ 增 函数

极大值f(x0)

f′(x)=0 _________ 减 函数 f(x)为单调___

增 函数 ___

3.判别f(x0)是极大(小)值的方法 异号 ,则x0是 若x0满足f′(x0)=0,且在x0的两侧f(x)的导数_____ f(x)的极值点.

f′(x)>0 ,右侧__________ f′(x)<0 ,即“___ 左 ①如果在x0附近的左侧__________ 正右负 _______”,那么f(x0)是极大值;
f′(x)<0 ,右侧__________ f′(x)>0 ,即“___ 左 ②如果在x0附近的左侧__________ 负右正 _______”,那么 f(x0)是极小值.

4.求函数在[a,b]上最值的步骤 极值 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的_____.

极值 与_________________________ 端点处的函数值f(a),f(b) 比 (2)将函数y=f(x)的各_____
较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,即得出 函数f(x)在[a,b]上的最值.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1) f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.( ) )

(2)函数在某区间上或定义域内的极值是惟一的.( (3)函数的极大值不一定比极小值大.( )

(4)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条 件.( )

(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是
极小值.( )

【解析】(1)错误.f′(x)>0能推出f(x)为增函数,反之不一
定.如函数f(x)=x3在(-≦,+≦)上单调递增,但f′(x)≥0.所

以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分条件,但不是必要条件.
(2)错误.一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以

不止一个.
(3)正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系,极 大值可能比极小值大,也可能比极小值小 .

(4)错误.对可导函数f(x),f′(x0)=0只是x0点为极值点的必 要条件,如y=x3在x=0时f′(0)=0,而函数在R上为增函数,所 以0不是极值点. (5)正确.当函数在区间端点处取得最值时,这时的最值不是极 值. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√

1.函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调增区间为__________. 【解析】由f′(x)= 1 -a ? 0,得 0 ? x ? 1 , ?f(x)的单调增区间 为 (0, ).
1 答案:(0, ) a 1 a x a

2.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)有极大值5,

其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则f(x)
的解析式为_______.

【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c,
2b ? 1 ? 2 ? ? , ? 3a ? 由题意得:?1? 2 ? c , ? 3a ? ?a ? b ? c ? 5, ? ?

?a ? 2, 解得 ?b ? ?9, ? ?c ? 12. ?

答案:f(x)=2x3-9x2+12x

3.设 f ? x ? ? x 3 ? 1 x 2 ? 2x ? 5,当x∈[-1,2]时,f(x)<m恒成立,
2

则实数m的取值范围是_______. 【解析】f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0得: x=1或 ? 2 .? f ? ?1? ? ?1 ? 1 ? 2 ? 5 ? 11 , f(1)= 1 ? 1 ? 2 ? 5 ? 7 .
2 3 2 2 2 ?f(x)min= 7 .? m> 7 . 2 2 7 答案: ( , ??) 2

4.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则a的最大值 是_______. 【解析】f′(x)=3x2-a≥0在[1,+≦)上恒成立,即 a≤3x2在[1,+≦)上恒成立,而(3x2)min=3×12=3.?a≤3, 故amax=3. 答案:3

1 5.已知 a ? 1-x +ln x,x ? [ ,] 2 恒成立,则a的最大值为______. x 2

【解析】设 f ? x ?=1-x +ln x, 则 f ? ? x ?=-x+x-1+ 1 = x-1,
x x2 x x2 1 1 当x∈ [ , 1) 时,f′(x)<0,故函数f(x)在 [ , 1) 上单调递减, 2 2

当x∈(1,2]时,f′(x)>0,故函数f(x)在(1,2]上单调递 增,?f(x)min=f(1)=0,?a≤0,即a的最大值为0.

答案:0

6.已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=1,f′(x)>1, 则f(x)>x的解集是_______. 【解析】令F(x)=f(x)-x,则F′(x)=f′(x)-1>0,所以 F(x)是增函数,故易得F(x)>F(1)的解集,即f(x)>x的解集是 (1,+≦). 答案:(1,+≦)

考向 1 利用导数研究函数的单调性 【典例1】(1)(2012·辽宁高考改编)函数 y ? 1 x 2 ? ln x 的单调
2

减区间为_______. (2)(2012·北京高考改编)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)= x3+bx. ①若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切

线,求a,b的值;
②当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.

【思路点拨】(1)保证函数有意义的前提下,利用y′<0解得
单调减区间.

(2)①利用交点既在f(x)上,又在g(x)上,且在公切点处导数相
等,构造方程组求解;②构造函数F(x)=f(x)+g(x),再利用导

数求单调区间.

【规范解答】(1)由 y? ? ( 1 x 2 ? ln x)? ? x ? 1 <0 ?-1<x<1,且
2 x

x≠0,又函数的定义域为(0,+≦),故单调减区间为(0,1).
答案:(0,1) (2)①f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b,
?f ?1? ? a ? 1 ? c, 由已知可得 ?g ?1? ? 1 ? b ? c, 解得a=b=3. ? ?2a ? 3 ? b, ?

2 a ②令F(x)=f(x)+g(x)= x ? ax ? x ? 1, 4 2 a a 令F′(x)=0,得 x1 ? ? , F? ? x ? ? 3x 2 ? 2ax ? , 2 4 a x2 ? ? , 6 3 2

≧a>0,?x1<x2,
a a 由F′(x)>0得, x ? ? 或x ? ? ; a a 由F′(x)<0得, ? ?x?? . 2 6 2 6 2 6

?单调增区间是 (??, ? a ),(? a , ??);
单调减区间为 (? a , ? a ).
2 6

【互动探究】在本例题(2)②中,若条件不变,讨论函数f(x) +g(x)当a>0时,在区间(-∞,-1)上的单调性. 【解析】由本例解析知,当a>0时,函数的单调增区间是
a a 单调减区间为 (? a , ? a ). (??, ? ),(? , ??); 2 6 2 6 当 ? a ? ?1,即0<a≤2时,f(x)+g(x)在(-≦,-1)上为增函 2

数; 当 ? a ? ?1 ? ? a , 即2<a≤6时,f(x)+g(x)在 (??, ? ) 上为增函 数,在 (? a , ?1) 上为减函数;
2 2 6 a 2

当 ? a ? ?1, 即a>6时,f(x)+g(x)在 (??, ? a ) 上为增函数,在
6 2 a a 上为减函数,在 a ( ? , ?1) 上为增函数. (? , ? ) 6 2 6

综上,当0<a≤2时,f(x)+g(x)在(-≦,-1)上为增函数; 当2<a≤6时,f(x)+g(x)在 (??, ? a ) 上为增函数,在 (? a , ?1)
2 2

上为减函数;

当a>6时,f(x)+g(x)在 (??, ? a ) 上为增函数,在 (? a , ? a ) 上
2 2 6

为减函数,在 ( ? a , ?1) 上为增函数.
6

【拓展提升】求函数的单调区间的“两个”方法

(1)方法一:①确定函数y=f(x)的定义域;
②求导数y′=f′(x);

③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调增区间;
④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调减区间 .

(2)方法二:①确定函数y=f(x)的定义域; ②求导数y′=f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区 间内的一切实根; ③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的 各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间; ④确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个 相应区间内的单调性.

【变式备选】(1)函数y=xlnx的单调减区间是_______.
【解析】y? ? lnx ? x ? 1 ? lnx ? 1,令y′<0,解得 x<1 , 又 x> 0,
x e

?y=xlnx的单调减区间是 (0, ).
1 答案: (0, ) e

1 e

(2)已知函数 f ? x ? ? 1 x 3 ? ax 2 ? bx, 且f′(-1)=0,
3

①试用含a的代数式表示b; ②求f(x)的单调区间. 【解析】①依题意,得f′(x)=x2+2ax+b, 由f′(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1. ②由①得 f ? x ? ? 1 x 3 ? ax 2 ? ? 2a ? 1? x,
3

故f′(x)=x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1),

令f′(x)=0,则x=-1或x=1-2a,

(i)当a>1时,1-2a<-1, 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:

由此得,函数f(x)的单调增区间为(-≦,1-2a)和(-1,+≦),

单调减区间为(1-2a,-1).
(ii)由a=1时,1-2a=-1,此时,f′(x)≥0恒成立,且仅在

x=-1处f′(x)=0,故函数f(x)的单调增区间为R.

(iii)当a<1时,1-2a>-1,同理可得函数f(x)的单调增区间 为(-≦,-1)和(1-2a,+≦),单调减区间为(-1,1-2a). 综上: 当a>1时,函数f(x)的单调增区间为(-≦,1-2a)和(-1,+≦), 单调减区间为(1-2a,-1); 当a=1时,函数f(x)的单调增区间为R; 当a<1时,函数f(x)的单调增区间为(-≦,-1)和(1-2a,+≦), 单调减区间为(-1,1-2a).

考向 2 已知函数的单调性求参数的范围

【典例2】(1)若函数y=a(x3-x)的单调减区间为 (? 3 , 3 ),则a
3 3

的取值范围是________.

(2)若函数f(x)=x3-ax2+1在[1,2]上单调递减,求实数a的取
值范围.

【思路点拨】(1)由y′<0的解集确定a的取值范围.
(2)解答本题可先求出导函数,再利用导数与单调性的关系或 转化为恒成立问题求解.

【规范解答】(1)≧y′= 3a(x 2 ? 1 ) ? 3a(x ? 3 )(x ? 3 ),
3 3 3 3 3 当 ? 3 <x< 3 时, (x ? )(x ? )<0, 3 3 3 3 因为函数y=a(x3-x)在 (? 3 , 3 ) 上单调递减, 3 3

所以y′≤0,即a≥0,经检验a=0不合题意,?a>0.
答案:a>0

(2)f′(x)=3x2-2ax=x(3x-2a). 方法一:当a=0时,f′(x)≥0,故y=f(x)在(-≦,+≦)上单调 递增,与y=f(x)在[1,2]上单调递减不符,舍去.

当a<0时,由f′(x)≤0得 2 a ? x ? 0, 即f(x)的单调递减区间为
2 [ a,], 0 与f(x)在[1,2]上单调递减不符,舍去. 3 2 当a>0时,由f′(x)≤0得 0 ? x ? 2 a, 即f(x)的减区间为 [0, a], 3 3 由f(x)在[1,2]上单调递减得 2 a ? 2, 得a≥3. 3 3

综上可知,a的取值范围是[3,+≦).

方法二: 由f(x)在[1,2]上单调递减知f′(x)≤0,即3x2-2ax≤0在 [1,2]上恒成立,即 a ? 3 x 在[1,2]上恒成立.故只需a≥
3 又 3 x 在[1,2]上最大值为3,故a≥3. ( x) max, 2 2 2

综上可知,a的取值范围是[3,+≦).

【互动探究】在本例题(2)中,若将“在[1,2]上单调递减”
变为“在[1,2]上存在单调递减区间”,其他条件不变,试

解答本题.
【解析】方法一:函数f(x)=x3-ax2+1在[1,2]上存在单调递 减区间,即区间[1,2]与单调递减区间存在交集,由本例解
2 析知,只有当a>0时,f(x)的单调递减区间 [0, 与区间 a] 3

[1,2]可以存在交集,此时应满足 2 a>1, 即 a> 3 . 故所求a的 取值范围是 ( 3 , ??).
2 3 2

方法二:由f(x)在[1,2]上存在单调递减区间,知f′(x)<0 即3x2-2ax<0在[1,2]内有解.即 a> x 在[1,2]上有解. 故只需 a>( 3 x) min,又 3 x 在[1,2]上最小值为 3 , 故 a> 3 .
2 2 2 2 3 2

综上可知,a的取值范围是 ( , ??).

3 2

【拓展提升】已知函数y=f(x)在(a,b)上的单调性,求参数范

围的方法
(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区

间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则

f′(x)≥0;若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解.

【提醒】f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有
f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意

此时公式中的等号不能省略,否则漏解.

【变式备选】已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex,x∈R,e 为自然对数的底数. (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间. (2)函数f(x)是否为R上的减函数,若是,求出a的取值范围; 若不是,请说明理由.

【解析】(1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex, ?f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex =(-x2+2)ex. 令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0, ≧ex>0,?-x2+2>0, 解得 - 2<x< 2. ?函数f(x)的单调递增区间是 - 2, 2 .

?

?

(2)f(x)不是R上的减函数. 若函数f(x)在R上单调递减, 则f′(x)≤0对x∈R都成立, 即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0对x∈R都成立. ≧ex>0,?x2-(a-2)x-a≥0对x∈R都成立. ?Δ=(a-2)2+4a≤0,即a2+4≤0,这是不可能的. 故函数f(x)不是R上的减函数.

考向 3 利用导数研究函数的极值(最值)

【典例3】(1)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有
最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为_______.

(2)(2013·南通模拟)已知函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-2,
2)内既有极大值也有极小值,则实数a的取值范围是_____.

(3)(2012·江苏高考改编)已知a,b是实数,1和-1是函数
f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.

①求a和b的值;
②设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.

【思路点拨】(1)先由最大值求出m的值,再据此求出最小

值.(2)求出f′(x),转化为f′(x)=0在(-2,2)上有两根求
解.(3)①求出f(x)的导数,根据1和-1是函数f(x)的两个极值 点,利用根与系数的关系即可求解; ②由①得,f(x)=x3-3x,求出g′(x),令g′(x)=0,求解讨论 即可.

【规范解答】(1)由f′(x)=6x2-12x>0得, x<0或x>2,由f′(x)<0得0<x<2. ?f(x)在[-2,0]上为增函数,在[0,2]上为减函数, ?f(x)max=f(0)=m=3. 又f(-2)=-37,f(2)=-5,?f(x)min=-37. 答案:-37

(2)f′(x)=3x2-2ax+3a. 则3x2-2ax+3a=0在(-2,2)内有两个不等实根,
?? ? 4a 2 ? 36a>0, ? a ? ? 2 < <2, ? 则 解得 ? 12 <a<0. 3 ? 7 ?12 ? 4a ? 3a>0, ? ? ?12 ? 4a ? 3a>0,
12 答案: ( ? ,0) 7

(3)①由f(x)=x3+ax2+bx得f′(x)=3x2+2ax+b, 又因1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.所以

3x2+2ax+b=0的两个根分别为1和-1.
由根与系数的关系得1+(-1)= ? 2a ?a=0,
3

1×(-1)= b ?b=-3,
3

所以a=0,b=-3,此时f(x)=x3-3x.

②由①得,f(x)=x3-3x,

g′(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2),
令g′(x)=0, 解得x1=x2=1,x3=-2. ≧当x<-2时,g′(x)<0;

当-2<x<1时,g′(x)>0, ?x=-2是g(x)的极值点. ≧当-2<x<1或x>1时,g′(x)>0, ?x=1不是g(x)的极值点. ?g(x)的极值点是-2.

【拓展提升】“最值”与“极值”的区别 (1)“最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出 的,具有绝对性;而“极值”是个局部概念,是比较极值点附 近函数值得出的,具有相对性. (2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是惟一的,而 极值不惟一. (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而 函数的极值可能不止一个,也可能一个没有.

(4)极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处

取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可
能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.

3 2 3 【变式训练】设 2 <a<, 函数 f(x)= x ? ax ? b 在区间 1 3 2

[-1,1]上的最大值为1,最小值为 ? 6 , 求函数的解析式.
2

【解析】f′(x)=3x2-3ax,令f′(x)=0, 得x=0或x=a.
3 3 a 又f(-1)= ?1 ? a ? b, f(0)=b,f(a)= ? ? b, 2 2 f(1)= 1 ? 3 a ? b. 2

显然f(-1)<f(1),f(a)<f(0), 因为f(0)-f(1)= 3 a ? 1>0,
2

所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(0)=b, 所以b=1. 又f(-1)-f(a)= 1 ? a ? 1?2 ? a ? 2 ?<0, 所以f(x)的最小值为f(-1)= ?1 ? 3 a ? b ? ? 3 a, 所以 ? 3 a ? ? 6 ,所以 a ? 6 .
2 2 3
2 2 2

故所求函数的解析式是f(x)= x 3 ? 6 x 2 ? 1.
2

【满分指导】解答导数与函数的综合题 【典例】(14分)(2012·江西高考)已知函数f(x)=(ax2+bx+c) ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0. (1)求a的取值范围.

(2)设g(x)=f(x)- f′(x),求g(x)在[0,1]上的最大值和最
小值.

【思路点拨】(1)利用f(0)=1,f(1)=0将f(x)用含a的代数式表 示出来,然后利用f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上单调递减,

得f′(x)≤0在x∈[0,1]上恒成立且f′(x)=0不恒成立,然
后通过分类讨论求得a的取值范围. (2)化简g(x)= f(x)- f′(x),通过对g(x)求导,然后分类讨 论求最值.

【规范解答】(1)由f(0)=1,f(1)=0,得

c=1,a+b=-1①,
则f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,

f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex,????????????2分
依题意对于任意x∈[0,1],有f′(x)≤0.

当a>0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,而②
f′(0)=-a<0,所以需f′(1)=(a-1)e<0,即0<a<1; ?????????????????????????3分

当a=1时,对于任意x∈[0,1],有f′(x)=(x2-1)ex≤0,且只在 x=1时f′(x)=0,f(x)符合条件; 当a=0时,对于任意x∈[0,1],f′(x)=-xex≤0,且只在x=0时, f′(x)=0,f(x)符合条件; 当a<0时,因f′(0)=-a>0,f(x)不符合条件. 故a的取值范围为0≤a≤1.??????????????6分

(2)因g(x)=(-2ax+1+a)ex,
g′(x)=(-2ax+1-a)ex,

(ⅰ)当a=0时,g′(x)=ex>0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1,在
x=1处取得最大值g(1)=e.??????????????7分

(ⅱ)当a=1时,对于任意x∈[0,1]有g′(x)=-2xex≤0,g(x)在
x=0处取得最大值g(0)=2.在x=1取得最小值g(1)=0.???8分

(ⅲ)当0<a<1时,由g′(x)=0得 x ? 1 ? a ? 0. 若 1 ? a ? 1, 即 0 ? a ? 1 时③,
2a 3 2a

g(x)在[0,1]上单调递增,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a, 在x=1处取得最大值g(1)=(1-a)e. ?????????????????????????10分 若 1 ? a ? 1, 即 ? a ? 1 时③,
1 3 2a 1?a 1? a 1? a g(x)在 x ? 处取得最大值 g( ) ? 2ae 2a , 在x=0或x=1处取得 2a 2a

最小值,而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,??????????12分

由g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e =(1+e)a+1-e=0, 得 a ? e ?1. 则当 1 ? a ? e ? 1 时④,
3 e ?1 e ?1

g(0)-g(1)≤0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)= 1+a; 当
e ?1 ? a ? 1 时 ④, e ?1

g(0)-g(1)>0,g(x)在x=1处取得最小值g(1)=(1-a)e.??14分

【失分警示】(下文①②③④见规范解答过程)

1.(2013·盐城模拟)函数f(x)在定义域内可导,若f(x)=f(2x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,设a=f(0),b ? f ( 1 ),
2

c=f(3),则a,b,c的大小关系为_____.

【解析】≧f(x)=f(2-x),?函数f(x)关于x=1对称,

≧x<1时,(x-1)f′(x)<0,
?f′(x)>0,?f(x)在(-≦,1)上是增函数,

在(1,+≦)上是减函数,f(3)<f(0)< f ( 1 ).
2

?c<a<b.

答案:c<a<b

2.(2013·淮安模拟)已知曲线y=(a-3)x2+ln x存在垂直于y轴 的切线,函数f(x)=x3-ax2-3x+1在[1,2]上单调递增,则a的 取值范围是_______.
2 ? a ? 3? x 2 ? 1 1 【解析】 y? ? 2 ? a ? 3? x ? ? , x x

由题意a-3<0,?a<3. 又f′(x)=3x2-2ax-3,当x∈[1,2]时,f′(x)≥0. ? 2a ? 3x ? 3 , ? 3x ? 3 ? 0, ?a≤0.
x x

答案:(-≦,0]

3.(2013·徐州模拟)函数f(x)=x3-ax2-3x+1在[1,2]上单调

递增,则a的取值范围为_______.
【解析】f′(x)=3x2-2ax-3,

≧f(x)=x3-ax2-3x+1在[1,2]上单调递增,
?f′(x)=3x2-2ax-3≥0在[1,2]上恒成立,

? a ? 3x ? 3 .? 3 x ? 3 在[1,2]上的最小值为0,
2 2x 2 2x

?a≤0,综上a≤0.

答案:(-≦,0]

4.(2012·泰州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=2, f′(x)<1,则不等式f(x2)<x2+1的解集为_______. 【解析】令F(x)=f(x)-x,又f′(x)<1, 则F′(x)=f′(x)-1<0, ?F(x)在R上单调递减. ≧f(1)=2,?f(x2)<x2+1可转化成 f(x2)-x2<f(1)-1,

即F(x2)<F(1),
根据F(x)在R上单调递减,则x2>1,

解得x∈(-≦,-1)∪(1,+≦).
答案:(-≦,-1)∪(1,+≦)

5.(2012·安徽高考)设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax+
1 ? b(a>0). ax

(1)求f(x)的最小值. (2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y ? 3 x, 求 a,b
2

的值.

【解析】(1)f(x)= ax ? 1 ? b ? 2 ax ? 1 ? b ? b ? 2.
1 1 (x ? ) 时,f(x)取最小值为b+2. ax a (2)由题意得:f(1)= 3 ? a ? 1 ? b ? 3 ①, 2 a 2 1 1 3 f ? ? x ? ? a ? 2 ? f ? ?1? ? a ? ? ②, ax a 2

ax

ax

当且仅当 ax ?

由①②得:a=2,b=-1.

1.已知函数f(x)(x∈R)的图象上任一点(x0,y0)处的切线方程 为y-y0=(x0-2)(x02-1)(x-x0),那么函数f(x)的单调递减 区间是______. 【解析】根据函数f(x)(x∈R)的图象上任一点(x0,y0)处的切 线方程为y-y0=(x0-2)(x02-1)(x-x0),可知其导数f′(x) =(x-2)(x2-1)=(x+1)(x-1)(x-2),令f′(x)<0得x<-1 或1<x<2.因此f(x)的单调递减区间是(-≦,-1),(1,2). 答案:(-≦,-1),(1,2)

2.函数 f ? x ?=1 ax 3+ 1 ax 2-2ax+2a+1 的图象经过四个象限,则
3 2

实数a的取值范围是______. 【解析】f′(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1),要使函数 f(x)的图象经过四个象限,则f(-2)f(1)<0, 即 (16 a+1)( 5 a+1) ? 0, 解得 ? 6 <a<? 3 .
6 3 答案: ? <a< ? 5 3 6 5 16 16

3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=2处分别取得极大值与
f? n 极小值,又数列 { ? ? } 为等差数列,则 p 的值为________. pn ? q

q

【解析】f′(x)=3x2+2ax+b,由题意:

9 ? a ? ? , 2-9n+6=3(n-2)(n-1),要使数列 f ? ? n ? ? ? ?f′(n)=3n { } 2 ? pn ? q ? b ? 6 , ? 为等差数列,则必有pn+q=k(n-2)或pn+q=m(n-1),? p ? ? 1 q 2

? ?f ? ?1? ? 0, ? ? ?f ? ? 2 ? ? 0,

或-1.

答案:? 1 或-1
2


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