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用定义法求二面角Microsoft Word 文档


1、 (本题 14 分) (2006 广东理) 如图 5 所示,AF 、

DE 分别世 O 、 O1 的直径, AD 与两圆所在的
平 面 均 垂 直 , AD ? 8 . BC 是 AB ? AC ? 6 , OE // AD .

D

O1

E

O 的直径,<

br />C

(I)求二面角 B ? AD ? F 的大小; 1、解:(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAF 是二面角 B—AD— F 的平面角, 依题意可知, AB F C 是正方形, 所以∠BAF=450. 即二面角 B—AD—F 的大小为 450;

A B

O

F

图5

2. (2012 广东理)如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为 矩形, PA ? 平面 ABCD ,点 E 在线段 PC 上, PC ? 平面 BDE 。 P (1) 证明: BD ? 平面 PAC ; (2) 若 PA ? 1, AD ? 2 ,求二面角 B ? PC ? A 的正切值; A
E

D

O C B 2.解: (1) PC ? 平面 BDE , BD ? 面 BDE ? BD ? PC PA ? 平面 ABCD , BD ? 面 ABCD ? BD ? PA 又 PA PC ? P ? BD ? 面 PAC ( 2 ) 法 一 : ( 定 义 法 ) 设 AC BD ? O 由 ( 1 ) 得 : BD ? AC ? AB ? AD , PA ? 1, AD ? 2 ? AB ? 2 ,

PC ? 平面 BDE ? BE ? PC, OE ? PC ? ?BEO 是二面角 B ? PC ? A 的平面角
在 ?PBC 中, PB ? 5, BC ? 2, PC ? 3 ? ?PBC ? 90 ? BE ?

BP ? BC 2 5 ? PC 3 2 BO 2 2 在 Rt ?BOE 中, BO ? 2, OE ? BE ? BO ? ? tan ?BEO ? ?3 3 OE 得:二面角 B ? PC ? A 的正切值为 3
?

3 (2011 广东高考题改编)(本小题满分 13 分) 如图 5,在椎体 P ? ABCD 中, ABCD 是边长 为 1 的菱形,且 ?DAB ? 60 , PA ? PD ?
0

13 21 , PB ? , 2 2

求二面角 P ? AD ? B 的大小. 3 法一:(定义法)取 AD 的中点 H ,连结 BH 、 PH ∵ PA ? PD , H 为 AD 的中点 ∴ PH ? AD
0 ∵ AD ? AB , ?DAB ? 60

∴ ?ABD 是等边三角形 ∵ H 为 AD 的中点 ∴ BH ? AD

N

∴ ? PHB 就是二面角 P ? AD ? B 的平面角. 由已知得 PH ? 3 , BH ?

3 2

2 2 2 2 2 过 P 作 PN ? BH 交其延长线于 N ,则 PN ? PH ? NH ? PB ? BN

即 ( 3) ? NH ? (
2 2

21 2 3 3 ) ?( ? NH ) 2 ,解得 NH ? 2 2 2

∴ ?PHN ? 60 从而 ? PHB ? 120 ,故二面角 P ? AD ? B 的大小.为 120 4. (2010 广东理数)18.(本小题满分 14 分)
[来源:高考资源网 KS5U.COM]

如图 5, ? ABC 是半径为 a 的半圆,AC 为直径,点 E 为? AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点.平面 AEC 外一点 F 满足 FB ? DF ? 5a ,FE= 6 a .

(1)证明:EB⊥FD; (2) 已知点 Q,R 分别为线段 FE,FB 上的点, 使得 FQ ? 与平面 RQD 所成二面角的正弦值. (1)证明: 连结 CF ,因为 ? AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为 ? AC 的中点, 所以 EB ? AC 。 在 RT ?BCE 中, EC ?

2 2 FE , FR ? FB ,求平面 BED 3 3

BC 2 ? BE 2 ? a2 ? a2 ? 2a 。

在 ?BDF 中, BF ? DF ? 5a , ?BDF 为等腰三角形,且点 C 是底边 BD 的中点, 故 CF ? BD 。 在 ?CEF 中, CE 2 ? CF 2 ? ( 2a)2 ? (2a)2 ? 6a2 ? EF 2 ,所以 ?CEF 为 Rt ? ,且

CF ? EC 。
因为 CF ? BD , CF ? EC ,且 CE I BD ? C ,所以 CF ? 平面 BED , 而 EB ? 平面 BED ,? CF ? EB 。 因为 EB ? AC , EB ? CF ,且 AC I CF ? C ,所以 EB ? 平面 BDF ,

而 FD ? 平面 BDF ,? EB ? FD 。 (2)设平面 BED 与平面 RQD 的交线为 DG . 由 FQ ?

2 2 FE , FR ? FB ,知 QR // EB . 3 3

而 EB ? 平面 BDE ,∴ QR // 平面 BDE , 而平面 BDE I 平面 RQD = DG , ∴ QR // DG // EB .

BE ? 平面 BDF , 由 (1) 知, ∴ DG ? 平面 BDF ,
而 DR, DB ? 平面 BDF ,∴ DG ? DR , DG ? DQ , ∴ ? RDB 是平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的平面角. 在 Rt ?BCF 中, CF ?

BF 2 ? BC 2 ? ( 5a) 2 ? a 2 ? 2a ,

sin ?RBD ?

FC 2a 2 1 2 ? ? , cos ?RBD ? 1 ? sin ?RBD ? . BF 5a 5 5
2 1 5a FB 知, BR ? FB ? , 3 3 3

在 ?BDR 中,由 FR ? 由余弦定理得, RD ?

BD2 ? BR2 ? 2BD ? BR cos ?RBD
5a 2 5a 1 29 ) ? 2 ? 2a ? ? ? a 3 3 3 5

? (2a) 2 ? (

5 a BR RD 3 ? ? 由正弦定理得, ,即 sin ?RDB sin ?RBD sin ?RDB

29 a 3 , 2 5

sin ?RDB ?

2 29 。 29 2 29 。 29
P

故平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值为

5.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, PA ? 底面 ABCD , PA ? 1 . (1)求二面角 P ? CD ? A 的大小. (2)求二面角 A ? PD ? C 的大小. (3) 求面 PAB 与面 PCD 所成二面角的大小

A

D

B

C

5.解:(1) ∵ PA ? 底面 ABCD ∴ CD ? PA ∵ ABCD 是正方形, ∴ CD ? AD 又∵ PA AD ? A ∴ CD ? 平面 PAD ∴ CD ? PD ∴ ? ADP 就是二面角 P ? CD ? A 的平面角 在 Rt ?PAD 中, PA ? AD ? 1 ∴ ? ADP ? 45 所以二面角 P ? CD ? A 的大小.为 45 (2)法一:过 A 作 AE ? PD 于 E ,连结 CE 、 AC 由(1)知: CD ? 平面 PAD ∴ CD ? AE 又∵ PD CD ? D ∴ AE ? 平面 PCD ∴ CE ? PD ∴ ?AEC 就是二面角 A ? PD ? C 的平面角 ∵ AE ? 平面 PCD ∴ AE ? CE ∴ ?AEC ? 90
B

P E

A

D

C

所以二面角 A ? PD ? C 的大小为 90 法二:由(1)知: CD ? 平面 PAD 而 CD ? 平面 PCD ∴平面 PCD ? 平面 PAD ∴二面角 A ? PD ? C 的大小为 90 (3)设面 PAB 与面 PCD 的交线为 PG ,则 PG // AB // CD ∵ PA ? 底面 ABCD ∴ PA ? AB ∴ PA ? PG 由(1)知: CD ? 平面 PAD ∴ PD ? CD ∴ PD ? PG ∴ ? APD 就是面 PAB 与面 PCD 所成二面角的平面角 在 Rt ?PAD 中, PA ? AD ? 1 ∴ ? APD ? 45 所以面 PAB 与面 PCD 所成二面角的大小为 45 6. (2013 广州一模) (本小题满分 14 分) 如图 4,在三棱柱 ABC ? A B C 中,△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, 1 1 1
A1 B1 D C1
G P

A

D

B

C

AA1 ? 平面 ABC , D , E 分别是 CC1 , AB 的中点.
(1)求证: CE ∥平面 A BD ; 1

15 (2)若 H 为 A 时, B 上的动点,当 CH 与平面 A1 AB 所成最大角的正切值为 1 2
求平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值. 1 6(1)证明:延长 A D 交 AC 的延长线于点 F ,连接 BF . 1
A1 B1

A

E 图4

C B

C1

1 ∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ? AA1 , 2
A

D

H E C B F

∴ C 为 AF 的中点. ∵ E 为 AB 的中点, ∴ CE ∥ BF .

……………2 分 ……………3 分

∵ BF ? 平面 A BD , CE ? 平面 A1BD , 1 ∴ CE ∥平面 A BD . 1 ……………4 分

(2)解:∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CE . ……………5 分

∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点, ∴ CE ? AB , CE ?

3 AB ? 2

3.
AA1 ? A ,

∵ AB ? 平面 A AB , AA1 ? 平面 A1 AB , AB 1 ∴ CE ? 平面 A AB . 1 ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A AB 所成的角. 1 ∵ CE ?

……………6 分 ……………7 分

3,

在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?

CE 3 , ? EH EH

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. ……………8 分 ∴当 EH ? A1B 时, ?EHC 最大. 此时, tan ?EHC ?

CE 3 15 . ? ? 2 EH EH

∴ EH ?

2 5 . 5

……………9 分

∵ CE ∥ BF , CE ? 平面 A AB , 1 ∴ BF ? 平面 A AB . 1 ……………10 分

∵ AB ? 平面 A AB , A1B ? 平面 A1 AB , 1 ∴ BF ? AB , BF ? A B. 1 ……………11 分

∴ ?ABA1 为平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角). ……………12 分 1

在 Rt△ EHB 中, BH ?

EB2 ? EH 2 ?

5 , 5

cos ?ABA1 ?

BH ? EB

5 .…13 分 5

∴平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为 1

5 . …………14 分 5

7. (2013 肇庆一模) (本小题满分 13 分) 如图 5,PA 垂直⊙O 所在平面 ABC,AB 为⊙O 的直径,
1 PA=AB, BF ? BP ,C 是弧 AB 的中点. 4 (1)证明:BC?平面 PAC; (2)证明:CF?BP; (3)求二面角 F—OC—B 的平面角的正弦值. 7. ) (1)证明:∵PA?平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴BC?PA. (1 分) ∵?ACB 是直径所对的圆周角, ∴ ?ACB ? 90o ,即 BC?AC. (2 分) 又∵ PA AC ? A ,∴ BC ? 平面 PAC . (3 分)

(2)证明:∵PA?平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴OC?PA. (4 分) ∵C 是弧 AB 的中点, ∴?ABC 是等腰三角形,AC=BC, 又 O 是 AB 的中点,∴OC?AB. (5 分) 又∵ PA AB ? A ,∴ OC ? 平面 PAB , 又 PB ? 平面 PAB ,∴ BP ? OC (6 分) 设 BP 的中点为 E,连结 AE,则 OF // AE , AE ? BP ∴ BP ? OF . (7 分) ∵ OC OF ? O ,∴ BP ? 平面 CFO . 又 CF ? 平面 CFO ,∴ CF ? BP . (8 分) (3)解:由(2)知 OC ? 平面 PAB ,∴ OF ? OC , OC ? OB , ∴ ?BOF 是二面角 F ? OC ? B 的平面角. 又∵ BP ? OF , ?FBO ? 450 ,∴ ?FOB ? 450 , ∴ sin ?FOB ?
2 2 ,即二面角 F ? OC ? B 的平面角的正弦值为 . 2 2

(9 分) (10 分) (12 分) (13 分)

8、 (14 分)正方体 ABCD—A1B1C1D1 中棱长为 1 (1)求证:A1C⊥BD (2)求三棱锥 A1—ACD 的表面积

(3)求二面角 A1—BD—C 的平面角的正切值 8、 (1)证明:由已知得 A1A⊥面 ABCD BD ? 面 ABCD ∴BD⊥A1A ……1 分 又∵ABCD 为正方形 ∴BD⊥AC ……2 分 又∵ AC
D1 A1 C1 B1

A1 A ? A

……3 分 ……4 分 ……5 分 ……6 分

D O B

∴BD⊥面 AA1C A1C ? 面 AA1C ∴BD⊥A1C (2)∵CD⊥面 ADD1A1 A1D ? 面 ADD1A1 ∴CD⊥A1D
1 2 ∴ S? A 1DC ? ? 2 ?1 ? 2 2

C

A

……………7 分

由已知得
1 1 S? A 1 AD ? S? ACD ? ?1?1 ? 2 2

S? AA1C ?

1 2

2 ?1 ?

2 2

? S A1 ? A1CD ?

2 2 1 1 ? ? ? ? 1? 2 2 2 2 2

即三棱锥 A1—ACD 的表面积为: 1 ? 2 (3)设 AC BD=0 由(1)知 BD⊥面 A1AC AC⊥BD

…………10 分

A1O1AC ? 面 A1AC∴A1O⊥BD

∴ ? A1OA 为二面角 A1—BD—C 的平面角的补角 又∵AO=
1 2 AC ? 2 2 A1 A ? 1 ∴ tan ? A1OA ?

…………12 分
1 ? 2 2 2

∴二面角 A1—BD—C 的平面角的正切值为 ? 2 …………14 分
9.(2009 北京卷理) (本小题共 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC, PA ? AB, ?ABC ? 60 , ?BCA ? 90 ,
? ?

点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由. 9(Ⅰ)证明:∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC. ∵ ?BCA ? 90 ,∴AC⊥BC. 又 PA
?

AC ? A

∴BC⊥平面 PAC.

(Ⅱ)解:∵D 为 PB 的中点,DE//BC,∴ DE ?

1 BC , 2

又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E . ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角, ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AB,又 PA=AB, ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD ?

1 AB , 2
1 AB . 2

? ∴在 Rt△ABC 中, ?ABC ? 60 ,∴ BC ?

∴在 Rt△ADE 中, sin ?DAE ?

DE BC 2 , ? ? AD 2 AD 4 2 . 4

∴ AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值为

(Ⅲ)解:存在点 E,当 AE⊥PC 时使得二面角 A ? DE ? P 是直二面角。 理由如下: ∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC, 又∵AE ? 平面 PAC,PE ? 平面 PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 A ? DE ? P 的平面角, ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AC,∴ ?PAC ? 90 . ∴在棱 PC 上存在一点 E,使得 AE⊥PC,这时 ?AEP ? 90 , 故存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 是直二面角。
? ?

10. (2008 北京)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?ACB ? 90
P B P ? A B ? AC ? BC ? 2 , ,A , PC ? AC . (Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的正弦值;
10(Ⅰ)证明:取 AB 中点 D ,连结 PD,CD . AP ? BP ,? PD ? AB . AC ? BC ,? CD ? AB . A C P A

P

B C

D

B

PD CD ? D ,? AB ? 平面 PCD . PC ? 平面 PCD ,? PC ? AB . (Ⅱ)解:取 AP 中点 E .连结 BE,CE AB ? BP ,? BE ? AP


AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 ,∴ AP ? BP ? AB ? 2 2
又 PC ? AC ,∴ PC ?

AP 2 ? AC 2 ? (2 2) 2 ? 22 ? 2
E A

P

∴ AC ? PC 又 E 为 AP 的中点 ∴ CE ? AP ??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角. 在 △BCE 中, ?BCE ? 90 , BC ? 2 , BE ?

B C

3 AB ? 6 , 2

? sin ?BEC ?

BC 6 6 .? 二面角 B ? AP ? C 的正弦值为 . ? BE 3 3
S

11. (2006 宁夏?理)如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与 侧面 SAC 均为等边三角形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点. (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值.

O
11 证明: (Ⅰ)连结 OA ,由题设知 AB= AC = SB= SC ? SA ,………2 分 又∵ ?BAC ? 90° ∴ △ ABC 为等腰直角三角形, 所以 OA ? OB ? OC ?

C
A

B

2 SA ,且 AO ? BC ,………3 分 2 2 SA ,………4 分 2

又 △ SBC 为等腰三角形,故 SO ? BC ,且 SO ?

2 2 2 从而 OA ? SO ? SA .所以 △ SOA 为直角三角形,∴ SO ? AO .………6 分

又 AO BO ? O .所以 SO ? 平面 ABC .………7 分 (Ⅱ) :取 SC 中点 M ,连结 AM,OM ,………8 分 由(Ⅰ)知 SO ? OC,SA ? AC ,得 OM ? SC,AM ? SC .………9 分

∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角.………11 分 由 AO ? BC,AO ? SO,SO BC ? O 得 AO ? 平面 SBC .
所以 AO ? OM ,又 AM ? 故 sin ?AMO ?

3 SA ,………12 分 2

AO 2 6 .………13 分 ? ? AM 3 3
3 .………14 分 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

12.(本小题满分 14 分)

? 侧面 A1 ABB1 ., AB ? BC ? 2 , 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 A 1BC
(Ⅰ)求证: AB ? BC ; (Ⅱ)若直线 AC 与平面 A 1BC 所成的角 为 30 ,求二面角 A 1 ? BC ? A 的大小。

12(Ⅰ)证明:如右图,过点 A 在平面 A1ABB1 内 作 AD⊥ A 1B 于 D,

? 侧 面 A1 ABB1 .,且平面 A1BC 则由平面 A 1BC

侧 面A 1 ABB 1 ? A 1 B ,得

AD⊥平面 A 1BC ,又 BC ? 平面 A 1BC ,所以 AD ? BC .………………2 分 因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱 ∴ AA1 ? 底面 ABC , ∴ AA1 ? BC 。………………4 分 又 AA1

AD ? A ,∴BC⊥侧面 A1 ABB1 ,……5 分

AB ? BC ……6 分 又 AB ? 侧面 A 1 ABB 1 ,∴
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 AB ? BC ,∴ AC ?

AB2 ? BC 2 ? 2 2 ……7 分

连结 CD,则由(Ⅰ)知 AD⊥平面 A 1BC ∴ ?ACD 是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角,…………………8 分 ∴ ?ACD ? 30 ,∴ AD ?

1 AC ? 2 2
∴ AB ? BC , A1B ? BC ………………10 分

由(Ⅰ)知 BC⊥侧面 A 1 ABB 1

∴ ?ABA 1 是二面角 A1—BC—A 的平面角。…………………12 分 在 Rt ?ADB 中, sin ?ABA 1 ?

AD 2 ? …………………13 分 AB 2

∴ ?ABA 1 ? 45 ,故二面角 A 1 ? BC ? A 的大小为 45 。…………………14 分

13、 (本小题满分 14 分)如右图所示的四面体 ABCD 中, AB , BD , CD 两两 垂直,且 BD ? CD ? 1 (1)求证:面 ACD ? 面 ABD ; (2)求二面角 C ? AB ? D 的大小; (3)若直线 BC 与面 ACD 所成的 角为 30 ? ,求线段 AB 的长度。
C B D A

13、⑴证明:由题意 CD ? AB , CD ? BD
又 AB 、 BD ? 面 ABD ,且 AB

BD ? B

∴ CD ? 面 ABD ,又 CD ? 面 ACD ∴面 ACD ? 面 ABD ⑵解:由题意 AB ? BD , AB ? CD …………4 分

AD , CD ? 面 BCD , BD CD ? D
∴ AB ? 面 BCD 即 BC ? AB , BD ? AB ∴ ?CBD 为二面有 C ? AB ? D 的平面角 又 ?BCD 中, ?BDC ? 90? , BD ? CD 即二面角 C ? AB ? D 的大小为 45 ? ⑶过 B 作 BE ? AD ,垂足为 E, 由⑴知面 ABD ? 面 ACD ∴ BE ? 面 ACD ∴ ?BCE 为 BC 与面 ACD 所成的角………11 分 …………7 分 ∴ ?CBD ? 45? …………9 分

若 ?BCE ? 30? ,设 AB ? x , 则在 Rt ?ABD 中, BE ?

AB BD AB ? BD
2 2

?

x x ?1
2

又 BC ? 2 ………12 分

x
则在 Rt ?BCE 中, sin ?BCE ?
2 BE 1 ? 1? x ? BC 2 2

∴ x ? 1 ………13 分

即当 BC 与面 ACD 所成的角为 30 ? 时, AB ? 1 ………14 分 14.在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点,M、N 分别为 AB、CF 的中点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合,重合后的点记为 B ,构成一个 三棱锥.

(1)请判断 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (2)证明 AB ? 平面 BEF ; (3) 求二面角 M ? EF ? B 的 余弦值.
M

A

D

B N F E

M

F N
A

B

E

C

14 解: (1) MN

平行平面 AEF

…………………………1 分

证明:由题意可知点 M 、N 在折叠前后都分别是 AB、CF 的中点(折叠后 B、C 两点 重合) 所以 MN // AF ……………2 分 因为 MN ? 面AEF , AF ? 面AEF , MN // AF , 所以 MN // 平面 AEF ………………4 分 (2)证明:由题意可知 AB ? BE 的关系在折叠前后都没有改变 因为在折叠前 AD ? DF ,由于折叠后 AD与AB重合 ,点 D与F重合 , 所以 AB ? BF ……5 分

B ? B F 因为 AB ? BE , ,A

, BE ? 面BEF , BF ? 面BEF , BE

BF =B ,

所以 AB ? 平面 BEF ……………………8 分 (3)解: 记EF的中点为G, 连接MF、BG、MG,

因为BE ? BF , ME ? MF , 所以BG ? EF 且MG ? EF ,
所以 ?MGB 是二面角 M ? EF ? B 的平面角. ……………10 分 因为 AB ⊥面 BEF ,所以 ?MGB ? 90 .
0

在 ?BEF 中, BG ? 2 ,由于 MB ? 2 ,所以 MG ? MB2 ? BG2 ? 6 , 于是 cos ?MGB ?

2 3 ………………13 分 ? 3 6
的余弦值为

所以,二面角 M ? EF ? B

3 ………14 分 3

15.(本题满分 14 分).如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面积 ABCD 是边长为 1 的菱形, ∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面积 ABCD,PA= 3 . (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ) 过 PC 中点 F 作 FH//平面 PBD, FH 交平面 ABCD 于 H 点,判定 H 点位于平面 ABCD 的那个具体位置?(无须 证明) (Ⅲ)求二面角 A-BE-P 的大小.

15.解:(Ⅰ)如图所示,连结 BD,由 ABCD 是菱形且∠BCD=60°知,Δ BCD 是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点,所以 BE⊥CD, 2分 又 AB∥CD,所以 BE⊥AB.又因为 PA⊥平面 ABCD, BE 平面 ABCD,所以 PA⊥BE.而 PA∩AB=A, 因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE 平面 PBE,所以平面 PBE⊥平面 PAB. 5 分

(Ⅱ) 答 1:H 点在 AC 线段的 4 等分点上,且距离 C 点

3 ;9 分 4

答 2:H 点与 E 点重合 9分 答 3:取 BC 中点 G,容易证明平面 EFG//平面 PBD,那么平面 EFG 内任意一直线都与 平面 PBD 平行,就是 H 点在 EG 直线上都满足题意。 (Ⅲ)由(Ⅰ)知,BE⊥平面 PAB,PB 平面 PAB,所以 PB⊥BE. 又 AB⊥BE, 所以∠PBA 是二面角 A-BE-P 的平面角. 在 RtΔ PAB 中,tan∠PBA= 12 分 13 分 14 分

PA ? 3 ,∠PBA=60°. AB

故二面角 A-BE-P 的大小是 60°. 3. (文科改编)已知 ?AOB 中, ?AOB ?

?
2

, ?BAO ?

?
6

,

AB ? 4, D 为线段 AB 的中点。若 ?AOC 是 ?AOB 绕直线
AO 旋转而成的,平面 COD ? 平面 AOB 。 (1)求证: OC ? OB ; (2)求二面角 A ? OC ? D 的大小。

(1)证明:过 B 作 BH ? OD 于 H ,并延长交 AO 于 E , ∵平面 COD ? 平面 AOB ,且交线为 OD , BH ? 平面 AOB ∴ BH ? 平面 COD ,而 OC ? 平面 COD ∴ BH ? OC 由已知得 AO ? OC 又 BH AO ? E ∴ OC ? 平面 AOB ,而 OB ? 平面 AOB ∴ OC ? OB (2)解法一:由(1)知, OC ? 平面 AOB ,而 OD ? 平面 AOB , OA ? 平面 AOB ∴ AO ? OC, DO ? OC ∴ ?AOD 就是二面角 A ? OC ? D 的平面角 ∵ ?AOB ?

?
2

, ?BAO ?

?
6

, D 为线段 AB 的中点, ∴ AD ? OD

∴ ?AOD ? ?BAO ?

?
6

, ∴二面角 A ? OC ? D 的大小是

? . 6

解法二:以 O 点为原点,以 OC 、 OB 、 OA 的正方向分别为 x 轴、 y 轴、 Z 轴的正方向 建立空间直角坐标系,则 O(0,0,0) 、 C (0,0, 2) 、 B(0, 2, 0) 、 A(0,0, 2 3) 、 D(0,1, 3) ∴ OC ? (2,0,0) , OD ? (0,1, 3) , OB ? (0, 2,0) 设平面 COD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则

? ? n OC ? 0 ? ? ? n OD ? 0

即?

? ?2 x ? 0 ,取 z ? 1 得,平面 COD 的一个法向量为 n ? (0, ? 3,1) y ? 3 z ? 0 ? ?

又由已知得 OB ? 平面 AOC ,∴ OB ? (0, 2,0) 是平面 AOC 的一个法向量, ∴ cos ? n, OB ??

n OB n OB

?

?2 3 3 ?? 2? 2 2
∴二面角 A ? OC ? D 的大小是

又∵二面角 A ? OC ? D 的平面角为锐角

? . 6


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