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【优秀寒假作业】优秀学生寒假必做作业--3、1、2 两角和与差的正弦余弦正切公式练习一


优秀学生寒假必做作业
3、1、2 两角和与差的正弦余弦正切公式 练习一 一、选择题: 1.sin A.-
25 π 12
2 2

cos

11 π 6

-cos

11 π 12

sin
2

5π 6


的值是(

) C.-sin
π 12

B.

D.sin

π 12

2

2.若 sin(α +β )cosβ -cos(α +β )sinβ =0,则 sin(α +2β )+sin(α -2β ) 等于( ) A.1 B.-1 C.0 D.±1 二、解答题 3.已知
π 4

<α <

3π 4

,0<β <

π 4

,cos(

π 4

+α )=- ,sin(
5

3

3π 4

+β )=

5 13

,求

sin(α +β )的值.

4.已知非零常数 a、b 满足

a sin a cos

π 5 π 5

? b cos ? b sin

π 5 π 5

=tan

8π 15

,求 .
a

b

5.已知0<α <

π 4

,sin(

π 4

-α )=

5 13

,求

cos 2? cos( π 4 ??)

的值.

6.已知 sin(α +β )= ,sin(α -β )= ,求
3 4

2

3

t an ? t an ?

的值.

7.已知 A、B、C 是△ABC 的三个内角且 lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2.试判断此三角

优秀学生寒假必做作业
形的形状特征.

8.化简

sin 7 ? ? cos 15 ? sin 8 ? cos 7 ? ? sin 15 ? sin 8 ?

.

9. 求值: (1)sin75°; (2)sin13°cos17°+cos13°sin17°.

10. 求 sin

7π 18

cos

2π 9

-sin

π 9

sin

2π 9

的值.

11. 在足球比赛中,甲方边锋从乙方半场带球过人沿直线前进(如下图) ,试问甲 方边锋在何处射门命中乙方球门的可能性最大?(设乙方球门两个端点分别为 A、B)
A B O

C

12. 已知 的值.

π 2

<α <β <

3π 4

,cos(α -β )=

12 13

,sin(α +β )=- ,求 sin2α
5

3

13. 证明 sin(α +β )sin(α -β )=sin2α -sin2β ,并利用该式计算 sin220°+ sin80°?sin40°的值.

优秀学生寒假必做作业

14. 化简: [2sin50°+sin10°(1+

3

tan10°)? ]

2 sin

2

80 ?

.

15. 已知函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2, (1)若 x∈R,求函数的最大值和最小值; (2)若 x∈[0,
π 2

] ,求函数的最大值和最小值.

答案: 1.B
π

2. C
3π 4

3.解:∵ <α <
4



∴ <
2

π

π 4

+α <π .

优秀学生寒假必做作业
又 cos( ∴sin(
π 4 π 4

+α )=- ,
5

3

+α )= .
5

4

∵0<β < ∴
3π 4

π 4

, +β <π . +β )=
5 13



3π 4 3π 4

又 sin( ∴cos(


12 13

3π 4

+β )=-


π 4

∴sin(α +β )=-sin[π +(α +β ) ]=-sin[ ( =-[sin(
4

+α )+(
3π 4

3π 4

+β ) ]

π 4

+α )cos(
12 13 3

3π 4

+β )+cos( ]=
63 65

π 4

+α )sin(

+β ) ]

=-[ ?(-
5

)- ?
5

5 13

.
b 8π 15

4.分析:这道题看起来复杂,但是只要能从式子中整理出 ,用
a

、 的三角函数
5

π

表示出来,再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可.
a sin π 5 π 5 8π 15 8π 15 ? b cos ? b sin π 5 ? π 5 π 5 π 5 ? cos ? sin sin cos π 5 π 5 8π 15 8π 15 ? ? b a b a π 5 ? π 5 cos sin π 5 π 5 8π 15 8π 15 ? ? sin π 5 π 5 π 5 π 5 ? ? b a b a cos sin π 5 ? t an 8 π π 15 5

解:由于
a cos

,则
cos

.

整理,有

b a

sin ? cos

cos cos

sin sin

sin( cos(

)

=tan
)

π 3

=

3

.

5.分析:这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运 用以及变角技巧.解题过程中,需要注意到( (
π 4 π 4

+α )+(

π 4

-α )=

π 2

,并且(

π 4

+α )-

-α )=2α . 解:cos(
π 4

+α )=cos[
π 4

π 2

-(

π 4

-α ) ]=sin(

π 4

-α )=

5 13



又由于0<α < 则 0<
π 4

, ,
π 4

-α <
π 4

π 4



π 4

+α <
2

π 2

.
1? ( 5 13
2

所以 cos(

-α )=

1 ? sin (

π 4

??) ?

)

?

12 13



sin (

π 4

??) ?

1 ? cos (

2

π 4

??) ?

1? (

5 13

)

2

?

12 13

.

优秀学生寒假必做作业
因此
cos 2? cos( π 4 π 4 ? ? ) cos( π 4 cos( π 4 5 ? 12 13 ? 12 ? 5 ??) ? ? ) ? sin( ??) cos[( ? π 4 cos( π 4 π 4 ? ? ) sin( π 4 ??) ? a) ? ( π 4 ??) ? ? )]

=

cos(

= 13

13 13 ? 24 5 13

.

13

6.分析:当题中有异角、异名时,常需化角、化名,有时将单角转化为复角(和或 差).本题是将复角化成单角,正(余)切和正(余)弦常常互化. 欲求 值. 解:∵sin(α +β )= ,∴sinα cosβ +cosα sinβ = .
3 3 2 2

tan ? tan ?

的值,需化切为弦,即

tan ? tan ?

?

sin ? cos ? cos ? sin ?

,可再求 sinα cosβ 、cosα sinβ 的

① ∵sin(α -β )= ,∴sinα cosβ -cosα sinβ = .
4 4 3 3



由(①+②)÷(①-②)得

t an ? t an ?

=-17.

7.分析:从角与角的关系探究三角函数间的关系;反之,利用三角函数间的关系去 判断角的大小及关系,这是常用的基本方法.可以先化去对数符号,将对数式转化为有理 式,然后再考察 A、B、C 的关系及大小,据此判明形状特征. 解:由于 lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2, 可得 lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC, 即 lgsinA=lg2sinBcosC, sinA=2sinBcosC. 根据内角和定理,A+B+C=π , ∴A=π -(B+C). ∴sin(B+C)=2sinBcosC, 即 sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC. 移项化为 sinCcosB-sinBcosC=0, 即 sin(B-C)=0. ∴在△ABC 中,C=B. ∴△ABC 为等腰三角形. 8.分析:这道题要观察出 7°+8°=15°,解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、 余弦公式. 解: =
sin 7 ? ? cos 15 ? sin 8 ? cos 7 ? ? sin 15 ? sin 8 ?

sin( 15 ? ? 8 ? ) ? cos 15 ? sin 8 ? cos( 15 ? ? 8 ? ) ? sin 15 ? sin 8 ?

优秀学生寒假必做作业
= =
sin 15 ? cos 8 ? ? cos 15 ? sin 8 ? ? cos 15 ? sin 8 ? cos 15 ? cos 8 ? ? sin 15 ? sin 8 ? ? sin 15 ? sin 8 ?

sin 15 ? cos 15 ?

=2-

3

.

9 . 解 : 1 ) 原 式 =sin ( 30 ° +45 ° ) = sin30 ° cos45 ° +cos30 ° sin45 ° ( = ?
2 1

2 2 6

+

3 2

?

2 2

=

2 ? 4

.
1

(2)原式= sin(13°+17°)=sin30°= .
2

10.解:观察分析这些角的联系,会发现 sin
7π 18

π 9

=

π 2



7π 18

.

cos

2π 9

-sin

π 9

sin
π 2

2π 9

=sin =sin

7π 18 7π 18

cos cos
7π 18

2π 9 2π 9

-sin( -cos )
7π 18

- sin

7π 18 2π 9

)sin

2π 9

=sin( =sin = .
2 1



2π 9

π 6

11.解:设边锋为 C,C 到足球门 AB 所在的直线的距离为 CO=x,OB=b,OA=a(a>b >0,a、b 为定值) ,∠ACO=α ,∠BCO=β ,∠ACB=α -β =γ (0<γ < 则 tanα = ,tanβ = (x>0,
x x a b

π 2

) ,

ab x

>0).
a ? b x ? a ? b ? ab ab x x x
2

所以 tanγ =tan(α -β )=

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

? x 1?



a?b 2 ab

.

当且仅当 x= 当 x=
ab

ab x

,即 x=

ab

时,上述等式成立.又 0<γ <

π 2

,tanγ 为增函数,所以 .

时,tanγ 达到最大,从而∠ACB 达到最大值 arctan
ab

a?b 2 ab

所以边锋 C 距球门 AB 所在的直线距离为

时,射门可以命中球门的可能性最大.

12.解:此题考查“变角”的技巧.由分析可知 2α =(α -β )+(α +β ).

优秀学生寒假必做作业
由于 <α <β <
2 π
3π 4 4 5 13

,可得到π <α +β < .

π 2

,0<α -β <

π 4

.

∴cos(α +β )=- ,sin(α -β )=
5

∴sin2α =sin[ (α +β )+(α -β ) ] =sin(α +β )cos(α -β )+cos(α +β )sin(α -β ) =(- ) ?
5 3 12 13

+(- ) ?
5

4

5 13

=-

56 65

.

13.证明:sin(α +β )sin(α -β )=(sinα cosβ +cosα sinβ ) (sinα cosβ -cosα sinβ ) 2 2 2 2 =sin α cos β -cos α sin β =sin2α (1-sin2β )-(1-sin2α )sin2β =sin2α -sin2α sin2β -sin2β +sin2α sin2β =sin2α -sin2β , 所以左边=右边,原题得证. 计算 sin220°+sin80°?sin40°,需要先观察角之间的关系.经观察可知 80°=60° + 20°,40°=60°-20°, 所以 sin220°+sin80°?sin40°=sin220°+sin(60°+20°) ?sin(60°-20°) 2 2 2 =sin 20°+sin 60°-sin 20° =sin260° = .
4 3

分析:此题目要灵活运用“化切为弦”的方法,再利用两角和与差的三角函数关系 式整理化简. 14.解:原式=[2sin50°+sin10°(1+ =[2sin50°+sin10°(1+ =[2sin50°+sin10°(
3
sin 10 ? cos 10 ?

3

tan10°)? ]
2 cos 10 ?
2

2 sin

2

80 ?

)? ]

cos 10 ? ?

3 sin 10 ?

cos 10 ?

)? ]

2 cos 10 ?

2

=(2sin50°+2sin10°? =2 =2
2

cos 50 ? cos 10 ?

) ?

2

cos10°

(sin50°cos10°+sin10°?cos50°) sin60°=
6

2

.
2

15.解: (1)设 t=sinx+cosx= 则 t2=1+2sinxcosx. ∴2sinxcosx=t2-1.

sin(x+

π 4

)∈[-

2



2

] ,

∴y=t2+t+1=(t+ )2+ ∈[ ,3+
2 4 3 4 4

1

3

3

2



∴ymax=3+

2

,ymin= .

优秀学生寒假必做作业
(2)若 x∈[0, ∴y∈[3,3+ 即 ymax=3+
2 2
π 2

] ,则 t∈[1,

2

].

] ,

ymin=3.


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