tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关文档
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案67 二项分布及其应用


Go the distance

学案 67

二项分布及其应用

导学目标: 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解 n 次独立重复试验的模 型及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题.

自主梳理 1.条件概率及其性质 P?AB? (1)设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,

称 P(B|A)= 为在事件 A 发生的条件下,事件 P?A? B 发生的条件概率. (2)条件概率具有的性质: ①__________________; ②如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)=________________. 2.相互独立事件 (1)设 A,B 为两个事件,若 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A 与事件 B____________. (2)若 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)=______, P(AB)=________________=________________. (3)若 A 与 B 相互独立,则________________,________________,________________ 也都相互独立. (4)若 P(AB)=P(A)P(B),则________________. 3.二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在 这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的 概率都是一样的. (2)在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的 k n-k 概率为 p,则 P(X=k)=Ck ,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量 X 服从二项分布.记 np (1-p) 作____________. 自我检测 1 1 1.两人独立地破译一个密码,他们能译出的概率分别为 , ,则密码被译出的概率为 5 4 ( ) A.0.45 B.0.05 C.0.4 D.0.6 1 2.(2011· 三明月考)一学生通过一种英语听力测试的概率是 ,他连续测试两次,那么其 2 中恰有一次通过的概率是( ) 1 1 1 3 A. B. C. D. 4 3 2 4 1? 3.已知随机变量 X 服从二项分布 X~B? ) ?6,3?,则 P(X=2)等于( 13 4 13 80 A. B. C. D. 16 243 243 243 3 3 4.已知 P(AB)= ,P(A)= ,则 P(B|A)等于( ) 10 5 9 1 9 1 A. B. C. D. 50 2 10 4 1 5.(2011· 临沂调研)一次测量中出现正误差和负误差的概率都是 ,在 5 次测量中至少 3 2
第 1 页 共 10 页

Go the distance

次出现正误差的概率是( 5 5 A. B. 16 8

) 2 C. 3 1 D. 2

探究点一 条件概率 例 1 在 100 件产品中有 95 件合格品,5 件不合格品.现从中不放回地取两次,每次 任取一件.试求: (1)第一次取到不合格品的概率; (2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.

变式迁移 1 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球,2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球,现随 机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱,然后从 2 号箱随机取出一球,问: (1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下,从 2 号箱取出红球的概率是多少? (2)从 2 号箱取出红球的概率是多少?

探究点二 相互独立事件 例 2 (2011· 宁波模拟)甲、乙两名射击运动员,分别对一目标射击一次,甲射中的概 率为 0.8,乙射中的概率为 0.9,求 (1)两人都射中的概率; (2)两人中恰有一人射中的概率; (3)两人中至少一人射中的概率; (4)两人中至多一人射中的概率.

1 变式迁移 2 甲、乙、丙三人分别独立做一道题,甲做对的概率是 ,三人都做对的概 2

第 2 页 共 10 页

Go the distance

1 1 率是 ,三人全做错的概率是 . 24 4 (1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率; (2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率.

探究点三 独立重复试验与二项分布 例 3 (2010· 天津汉沽一中月考)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的 入口处,小球将自由下落,小球

在下落过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中,已知小球每次遇到 1 黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是 . 2 (1)求小球落入 A 袋中的概率 P(A); (2)在容器入口处依次放入 4 个小球, 记 ξ 为落入 A 袋中小球的个数, 试求 ξ=3 的概率.

第 3 页 共 10 页

Go the distance

变式迁移 3 粒子 A 位于数轴 x=0 处,粒子 B 位于数轴 x=2 处,这两颗粒子每隔 1 秒 2 1 钟向左或向右移动一个单位,设向右移动的概率为 ,向左移动的概率为 . 3 3 (1)求 4 秒后,粒子 A 在点 x=2 处的概率; (2)求 2 秒后,粒子 A、B 同时在 x=2 处的概率.

1.一般地,每一个随机试验都在一定的条件下进行,而这里所说的条件概率,则是当 试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的基础上,再加上一定的条件),求另一事 件在此条件下发生的概率.求条件概率,必须理解条件概率的定义及公式,公式中的 P(AB)是指事件 A、B 同时发生的概率. 2.一般地,事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,即 P(B|A)=P(B),这时, 我们称两个事件 A、B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.事件的独立是一 种对等的性质.如果事件 A 对事件 B 独立,那么就可以说事件 A 与 B 相互独立.显然, 必然事件与任何事件是相互独立的. 3.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验 的结果,则称这 n 次试验是独立的. k n-k 4.独立重复试验概率公式的特点:关于 Pn(k)=Ck ,它是 n 次独立重复试验 np (1-p) 中某事件 A 恰好发生 k 次的概率.其中,n 是重复试验次数,p 是一次试验中某事件 A 发生的概率,k 是在 n 次独立试验中事件 A 恰好发生的次数,需要弄清公式中 n、p、k 的意义,才能正确运用公式.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2010· 湖北)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是( ) 5 1 A. B. 12 2 7 3 C. D. 12 4 2.(2011· 温州月考)位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单 1 位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是 .质点 P 移动五次后位于点 2 (2,3)的概率是( ) 1?5 ?1?5 A.? B.C2 5 2 ?2? ? ?
第 4 页 共 10 页

Go the distance

?1?3 C.C2 5 2 ? ?

3?1?5 D.C2 5C5 2 ? ?

3.设每门高射炮击中飞机的概率为 0.6,今有一架飞机来犯,问需要几门高射炮射击, 才能至少以 99%的概率击中它( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4.(2011· 合肥模拟)

1 一个电路如图所示,A、B、C、D、E、F 为 6 个开关,其闭合的概率都是 ,且是相互 2 独立的,则灯亮的概率是( ) 1 55 A. B. 64 64 1 1 C. D. 8 16 5.同时抛掷三颗骰子:设 A=“三个点数都不相同”,B=“至少有一个 6 点”,则 P(B|A)为( ) 1 60 A. B. 2 91 5 91 C. D. 18 216 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6. (2010· 湖北)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9, 则服用这种新药的 4 个病 人中至少 3 人被治愈的概率为________(用数字作答). 1 7. (2010· 重庆)加工某一零件需经过三道工序, 设第一、 二、 三道工序的次品率分别为 、 70 1 1 、 ,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________. 69 68 8.(2010· 福建)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正 确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率 等于______. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)一名学生骑车从家到学校的途中有 6 个路口,假设他在每个路口遇到红灯的 1 事件是相互独立的,且概率都为 .求: 3 (1)这名学生在途中遇到红灯次数 ξ 的分布列; (2)这名学生首次遇到红灯或到达目的地而停车时所经过了的路口数 η 的分布列; (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

第 5 页 共 10 页

Go the distance

10.(12 分)(2011· 六安模拟)设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 ξ 表示方程 x2+bx+c=0 实根的个数(重根按一个计). (1)求方程 x2+bx+c=0 有实根的概率; (2)求 ξ 的分布列; (3)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程 x2+bx+c=0 有实根的概率.

11.(14 分)甲、乙两个乒乓球选手进行比赛,他们的水平相当,规定“七局四胜”,即 先赢四局者胜,若已知甲先赢了前两局,求:(1)乙取胜的概率; (2)比赛打满七局的概率; (3)设比赛局数为 ξ,求 ξ 的分布列.

学案 67
自主梳理 1 . (2) ① 0≤P(B|A)≤1 P(A)P(B) (3)A 与 B 自我检测 1.C 2.C 3.D 课堂活动区 例 1 解题导引 A 与B 4.B 5.D A与B

二项分布及其应用
2.(1) 相 互 独 立 (2)P(B) P(B|A)P(A) (4)A 与 B 相互独立 3.(2)X~B(n,p)

② P(B|A) + P(C|A)

P?AB? .这就需 P?A? 要求 P(AB)和 P(A).如果事件具有等可能特点,还可以看作是基本事件空间改变后的古典概 n?AB? 型,利用 P(B|A)= 来计算. n?A? 解 设 A={第一次取到不合格品},B={第二次取到不合格品}. 5 1 (1)P(A)= = . 100 20 5 4 (2)方法一 根据条件概率的定义计算,需要先求出事件 AB 的概率:P(AB)= × , 100 99 求条件概率的通常方法是利用条件概率公式 P(B|A)=

第 6 页 共 10 页

Go the distance

5 4 × P?AB? 100 99 4 所以有 P(B|A)= = = . 5 99 P?A? 100 方法二 事件 A 发生的条件下,事件空间包含的基本事件个数为 nA=100-1=99 个. 事件 A 发生的条件下,事件 B 包含 4 个基本事件. n?AB? 4 ∴P(B|A)= = . n?A? 99 变式迁移 1 解 记事件 A:最后从 2 号箱中取出的是红球; 事件 B:从 1 号箱中取出的是红球. 4 2 1 则 P(B)= = ,P( B )=1-P(B)= , 3 2+4 3 3+1 4 (1)P(A|B)= = . 8+1 9 3 1 (2)∵P(A| B )= = , 8+1 3 ∴P(A)=P(AB)+P(A B ) 4 2 1 1 11 =P(A|B)P(B)+P(A| B )P( B )= × + × = . 9 3 3 3 27 例 2 解题导引 (1)审题应注意关键的词句,例如“至少有一个发生”、“至多有一 个发生”、“恰好有一个发生”等. (2)复杂事件的概率拆分为几个互斥事件的和事件,然后利用互斥事件的概率加法公式 进行求解. (3)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有: ①利用相互独立事件的概率乘法公式; ②正面计数较繁或难以入手时,可以从对立事件入手计算. 解 (1)记事件 A:甲射中目标; 事件 B:乙射中目标. 两人都射中的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72. (2)两人中恰有一人射中包括“甲中乙不中”、“甲不中乙中”两种情况,其对应事件 为互斥事件,则 P(A B )+P( A B)=P(A)P( B )+P( A )P(B) =0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9 =0.08+0.18=0.26. (3) 方法一 两人至少有一人射中包括 “ 两人都射中 ” 和 “ 两人有一人射中 ” 两种情 况,其概率为 P(AB)+P( A B)+P(A B )=P(A)P(B)+P( A )P(B)+P(A)P( B ) =0.72+0.26=0.98. 方法二 因为“两人至少有一人射中”与“两人都未射中”互为对立事件. 所以“两人至少有一人射中”的概率为: 1-P( A P( A B )=1-P( A )P( B )=1-0.2×0.1=0.98. (4)方法一 至多有一人射中包括“有一人射中”和“两人都未射中”,故所求概率为 B )+P(A B )+P( A B) =P( A )P( B )+P(A)P( B )+P( A )P(B) =0.02+0.08+0.18=0.28. 方法二 “至多有一人射中”的对立事件为“两人都射中”, 故所求概率为 1-P(AB)=1-P(A)P(B)
第 7 页 共 10 页

Go the distance

=1-0.72=0.28. 变式迁移 2 解 (1)设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件 A、B、C,则 P(A) 1 = , 2 P?B?P?C?= ?2· 24 由题意得? 1? 1 ?? ?1-2?[1-P?B?][1-P?C?]=4 1 1



1 1 1 1 解得 P(B)= ,P(C)= 或 P(B)= ,P(C)= , 3 4 4 3 1 1 1 1 所以乙、丙两人各自做对这道题的概率为 和 或 和 . 3 4 4 3 (2)设“甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题”为事件 D,则 P(D)=P(A)P( B )P( C )+P( A )P(B)P( C )+ 1 1 1 11 P( A )P( B )P(C)= + + = , 4 8 12 24 11 所以甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率是 . 24 例 3 解题导引 因为小球每次遇到黑色障碍物相互独立, 且每次向左(或向右)的概率 1 1 都是 ,因此该试验属 n 次独立重复试验.注意 n=3,P= . 2 2 独立重复试验,是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这 种试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验 中发生的概率都是一样的. 解 (1)方法一 记小球落入 B 袋中的概率 P(B), 则 P(A)+P(B)=1,由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落,小球 将落入 B 袋, 1?3 ?1?3 1 所以 P(B)=? ?2? +?2? =4, 1 3 ∴P(A)=1- = . 4 4 方法二 由于小球每次遇到黑色障碍物时, 有一次向左和两次向右或两次向左和一次向 右下落时小球将落入 A 袋. ?1?3 2?1?3 3 ∴P(A)=C1 3 2 +C3 2 = . ? ? ? ? 4 3? (2)由题意,ξ~B? ?4,4?. ?3?3?1?1=27. ∴P(ξ=3)=C3 4 4 ? ? ?4? 64 变式迁移 3 解 (1)要求 4 秒后,粒子 A 在 x=2 处的概率,即求粒子 A 四次移动中恰 有三次向右移动发生的概率: 32 3 2 3 1 C4 ( ) ( )= . 3 3 81 (2)要使粒子 A、B 在 2 秒后同时在点 x=2 处,粒子 A 一定要往右移动 2 次,而粒子 B 2?2 1?2??1? 16 往右和左各一次,所求概率为:? C2?3??3?= . ?3? · 81 课后练习区 1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 3 6.0.947 7 7. 8.0.128 70
第 8 页 共 10 页

Go the distance

1? 9.解 (1)由已知 ξ~B? ?6,3?,

?1?k?2?6-k, 分布列为 P(ξ=k)=Ck 6 3 ? ? ?3?
k=0,1,2,3,…,6.(2 分) 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 6 64 192 240 160 60 12 1 P 729 729 729 729 729 729 729 (4 分) (2)η=k 表示这名学生首次停车时经过的路口数,即在前 k 个路口没有遇上红灯,但在 第 k+1 个路口遇上红灯,则 η 的取值可能为 0,1,2,3,4,5,6,其中 η=6 表示路上没有遇上红 灯. 1 ?2?k 当 0≤k≤5 时,P(η=k)= · ; 3 ?3? 2?6 当 k=6 时,P(η=6)=? ?3? .(9 分) 所以 η 的分布列为 η 0 1 2 3 4 5 6 1 12 1 22 1 23 1 24 1 25 26 P · · ( ) · ( ) · ( ) · ( ) ( ) 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (10 分) (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件概率为 2 665 P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-( )6= .(12 分) 3 729 10.解 (1)基本事件总数为 6×6=36,若使方程有实根,则 Δ=b2-4c≥0,即 b≥2 c. 当 c=1 时,b=2,3,4,5,6; 当 c=2 时,b=3,4,5,6; 当 c=3 时,b=4,5,6; 当 c=4 时,b=4,5,6; 当 c=5 时,b=5,6; 当 c=6 时,b=5,6, 所求事件个数为 5+4+3+3+2+2=19, 19 因此方程 x2+bx+c=0 有实根的概率为 .(4 分) 36 17 (2)由题意知,ξ=0,1,2,则 P(ξ=0)= , 36 2 1 17 P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= , 36 18 36 故 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 17 1 17 P 36 18 36 (8 分) (3)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 M, “方程 x2+bx+c=0 有实根”为事件 N, 11 7 则 P(M)= ,P(M∩N)= , 36 36 P?M∩N? 7 P(N|M)= = .(12 分) 11 P?M? 11.解 (1)当甲先赢了前两局时,乙取胜的情况有两种:第一种是乙连胜四局;第二
第 9 页 共 10 页

Go the distance

种是在第三局到第六局,乙赢了三局,第七局乙赢. 1?4 1 在第一种情况下,乙取胜的概率为? ?2? =16, ?1?41=1, 在第二种情况下,乙取胜的概率为 C3 4 2 ? ?2 8 所以当甲先赢了前两局时,乙取胜的概率为 1 1 3 + = .(5 分) 16 8 16 (2)比赛打满七局有两种结果:甲胜或乙胜,记“比赛打满七局甲胜”为事件 A,记“比 赛打满七局乙胜”为事件 B. 1 1?1?4?1? 则 P(A)=C4 ?2? ?2?=8, ?1?4?1?=1, P(B)=C3 4 2 ? ? ?2? 8 又 A,B 互斥,所以比赛打满七局的概率为 1 P(A)+P(B)= .(9 分) 4 1?2 1 (3)P(ξ=4)=? ?2? =4, ?1?2?1?=1, P(ξ=5)=C1 2 2 ? ? ?2? 4 1?4 1 1?1?3?1? P(ξ=6)=C3?2? ?2?+? ?2? =4, ?1?4?1?+C3 ?1?4 ?1?=1,(13 分) P(ξ=7)=C1 4 2 ? ? ?2? 4?2? · ?2? 4 所以 ξ 的分布列为 ξ 4 5 6 7 1 1 1 1 P 4 4 4 4 (14 分)

第 10 页 共 10 页


推荐相关:

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案67 二项分布及其应用

2016步步高高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案67 二项分布及其应用_数学_高中教育_教育专区。学案 67 二项分布及其应用 导学目标: 1.了解条件...


【步步高】届高三数学大一轮复习 二项分布及其应用学案 理 新人教A版

【步步高】届高三数学大一轮复习 二项分布及其应用学案 理 新人教A版 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 学案67 二项分布及其应用 导学目标:1.了解条件概率和...


2016届高考理科数学(雄起)专题复习资料(7)二项分布及其应用

2016届高考理科数学(雄起)专题复习资料(7)二项分布及其应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016届高考理科数学(雄起)专题复习资料(7)二项分布及其应用 ...


专题12.5 二项分布及其应用(教学案)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)

专题12.5 二项分布及其应用(学案)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析)_数学_高中教育_教育专区。【2014 考纲解读】 1.了解条件概率和两个事件相互...


2016届全国高考理科试卷数学答案专题7二项分布及其应用

2016全国高考理科试卷数学答案专题7二项分布及其应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016全国高考理科试卷数学答案专题7二项分布及其应用 ...


【步步高】高考数学一轮总复习(北师大版)【打印版】

【步步高】高考数学一轮总复习(北师大版)【打印版...· - 47 §5 二项分布及其应用 ··· - 133 ...有理数集 实数集 符号 N N+(或 N*) Z Q R...


二项分布及其应用

二项分布及其应用_数学_高中教育_教育专区。二项分布及其应用 学案67 二项分布及其应用 导学目标: 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解 n 次独立...


2014届高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.5二项分布及其应用教学案 理 新人教A版

2014届高考数学一轮复习...1/2 相关文档推荐 ...​教​学​案​ ​理​ ​ ​新...11.5 二项分布及其应用 考纲要求 1.了解条件概率和...


2.2二项分布及其应用

高中数学总复习学案12F:... 8页 2财富值 选修2—3 2.5 离散型随机... ...2012.04.10 二项分布及其应用 第 8 页共 10 页 ∴甲打完 5 局才能取胜的...


2010届一轮复习高三数学第十二编概率与统计二项分布及其应用

2010一轮复习高三数学第十二编概率与统计二项分布及其应用 212121212121隐藏>> 金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 新课标资源 步步高一轮复习高...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com