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浙江省杭州二中2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题


杭州二中 2012 学年第一学期高一年级期末考数学试卷

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分,考试时间 100 分钟. 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,把答案填在答卷相应空格中) 1.若 U ? {1, 2,3, 4}, M ? {1, 2}

, N ? {2,3} ,则 CU (M ? N ) ? ( A.{1,2,3} B.{2} C.{1,3,4} D.{4} , 设这种动物第 2 )

2.某种动物繁殖量 y (只)与时间 x (年)的关系为 y ? a log3 ( x ? 1)

年有 100 只,到第 8 年它们发展到( ) A.200 只 B.300 只 C.400 只 D.500 只 3.已知角 ? 的正弦线和余弦线长度相等,且 ? 的终边在第二象限,则 tan ? =( A. 0 B. 1 C. ? 1 D. 3



4.将函数 y ? cos? x ? 则 ? 的最小值为( A.

? ?

4? ? ? 3 ?

的图象向左平移 ? ?? ? 0? 个单位,所得图象关于 y 轴对称,

) B.

? 6

? 3

C.

2? 3


D.

4? 3

0 5.已知 f (cos x ) ? sin 2 x ,则 f (sin 30 ) 的值为(

A.

1 2

B. ?

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2


6.已知 a ? 2 , b ? 1 , a ?b ? 1 ,则向量 a 在 b 方向上的投影是( A. ?

?

?

? ?

?

?

1 2

B. ?1

C.

1 2

D.1

7. 在直角坐标系 xOy 中,i, j 分别是与 x 轴,y 轴平行的单位向量, 若直角三角形 ABC 中,
? ? ? ? ? ? AB ? ?2i ? j , AC ? ki ? 3 j ,则 k 的可能值有(

??



A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.如图,两块全等的直角边长为 1 的等腰直角三角形拼在一起, 若 AD ? ? AB ? k AC ,则 ? ? k ? (
? ? ?

) C. 2 D. 2 ? 2

1? 2 A.

2 B. ? 2

? ? m?n ? ? ? ? ? 9.已知向量 m,n 满足:对任意 ? ? R ,恒有 m ? ? (m ? n ) ? ,则( 2
A. m ? n ? m 10.已知函数 f ( x) ? ?



?

?

?

B. m ? n

?

?

C. m ? n ? m

?

?

?

D. m ? 2 n

?

?

) ?sin ?x(0 ? x ? 1 错误!未找到引用源。,若 a、b、c 错误!未找 ) ?log2012 x(x ? 1

到引用源。互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) 错误!未找到引用源。, 则 a ? b ? c 错误!未找到引用源。的取值范围是( )

, ) A. (1 2012

] B. (1,2013

) C. (2,2013

] D. (2,2013

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,把答案填在答卷中相应横线上) 11. cos13 cos133 ? sin 13 sin 47 ?
0 0 0 0





m 12.已知幂函数 f ( x) ? x 的图象过点 (2, 2 ) ,则 f ( ) ?

1 4





13.已知 ? ∈(

? 5 3 ? ? , ? ), sin(?? ? ? ) ? ,则 sin ? ? ? ? ? ? 2 5 2 ? ?





14. 已知函数 f ( x ) ? 2 sin(?x ? 交

?
4

)( ? ? 0) , y ? f (x ) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻

点的距离等于 ? ,则满足不等式 f ( x ?

?
8

) ? 0 的 x 取值范围是
? 1 ???





( 三、在 四 边 形 ABC D 中 , AB = DC = 2,2) ??? BA ? ??? BC ? ??? BD , 则 四 边 形 , ? ? ?
BA BC BD

??? ?

????

? 1 ???

? 3 ???

ABC D的面积是





16.对函数 y ? f ( x)( x1 ? x ? x2 ) ,设点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 是图象上的两端点. O 为坐标 原点,且点 N 满足 ON ? ? OA? (1 ? ? ) OB .点 M ( x, y) 在函数 y ? f (x) 的图象上,且 , x ? ?x1 ? (1 ? ? ) x2 ( ? 为 实 数 ) 则 称 MN 的 最 大 值 为 函 数 的 “ 高 度 ” , 则 函 数
? ? ?

? ? ? 9? ? f ( x) ? 2 c o s 2 x ? ) 在区间 ? , ? 上的“高度”为 ( 4 ?8 8 ?





三.解答题(本大题共 4 小题,共 46 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题 10 分)已知集合 A ? {x | x ? px ? 15 ? 0} , B ? {x | x ? ax ? b ? 0} ,
2 2

A ? B ? {2,3,5} , A ? B ? {3} ,求 p、 、 的值. a b
18.(本小题满分 10 分)已知角 ? 的终边经过点 P( 5,2 5) (Ⅰ)求 sin ? 和 cos ? 的值; (Ⅱ)若 sin(? ? ? ) ?

10 ? (0 ? ? ? ), 求 cos? 的值. 10 2

19. (本小题 12 分)设函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos(2 x ? (Ⅰ )求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ )画出函数 f (x ) 在区间 [0, ? ] 上的图象;

?
6

).

2? ] 时,求函数 f ( x) 的最大值及取得最大值时的 x 的值. 3 ? x ? x , 20. ( 本 小 题 14 分 ) 已 知 a ? (1 ? cos x,2 sin ), b ? (1 ? c o xs2 c o s) , 令 2 2 1 ? ?2 f ( x) ? 2 ? sin x ? | a ? b | . 4
(Ⅲ )当 x ? [0, (Ⅰ f (x) 的表达式; )求 (Ⅱ )若函数 g (x) 和函数 f (x) 的图象关于原点对称, (ⅰ )求函数 g (x) 的解析式; (ⅱ )若 h( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ? 1 在区间 [? , ] 上是增函数,求实数?的取值范围.

? ? 2 2

杭州二中 2012 学年第一学期高一年级期末数学答题卷
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 题号 答案 二.填空题(本大题共 6 小题,每题 4 分,共 24 分) 11. 12. 13 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

14. 15. 16 . 三.解答题(本大题共 4 小题,共 46 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题 10 分)

18. (本小题 10 分)

19. (本小题 12 分)

y 1 x O -1 1

?

20. (本小题 14 分)

杭州二中 2012 学年第一学期高一年级期终考试数学参考答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 D 6 D 7 B 8 A 9 B 10 C

二.填空题(本大题共 6 小题,每题 4 分,共 24 分) 三. ?

1 2

12.

1 2

13 . ?

2 5 5

14. k? ? x ? k? ?

?
2

,k ? Z

15. 4 3

16 . 4

三.解答题(本大题共 4 小题,共 46 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.解: ? A ? {x | x 2 ? px ? 15 ? 0} , B ? {x | x ? ax ? b ? 0} , A ? B ? {3}
2

? 3 ? A,

3? B ?p ?8

? 32 ? p ? 3 ? 15 ? 0

? A ? {x | x 2 ? 8x ? 15 ? 0} ? {3,5} ……………5 分
又? A ? B ? {2,3,5} , A ? B ? {3}

? B ? {2,3}

? 2,3 是方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两根,
? a ? 5, b ? ?6 ……………10 分
2 5 5 . ……………4 分 , cos? ? 5 5

18.解:(Ⅰ sin ? ? ) (Ⅱ )∵0 ? ? ?

?
2

,0 ? ? ?
2

?
2

, ∴?

?
2

? ? ?? ?

?
2

, ……………6 分

则 cos(? ? ? ) ? 1 ? sin (? ? ? ) ?

3 10 , 10 2 .……………10 分 2

? cos? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?

19.解:(Ⅰ )因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos(2 x ?

?
6

)

? sin 2 x ? (cos 2 x cos

?

? sin 2 x sin ) 6 6

?

1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
? sin(2 x ? ) , ……………3 分 3
所以 f ( x) ? sin(2 x ?

?

?

3

).
……………4 分

函数 f ( x) 的最小正周期为 ? (Ⅱ )列表,描点,作图

y x O ……………8 分 (Ⅲ )因为 x ? [0, 所以,当 2 x ?

2? ? ? ? ? ] ,所以 2 x ? ? ? ? , ? ? . 3 3 ? 3 ?
5π π ,即 x ? 时 ……………10 12 2

?
3

?

函数 f ( x) 的最大值为 1 ……………12 分 20. 解:(Ⅰ f ( x) ? 2 ? sin x ? [4 cos 2 x ? 4(sin )

1 4

x x ? cos ) 2 ] 2 2
……………4 分

? 2 ? sin x ? cos2 x ? 1 ? sin x ? sin 2 x ? 2 sin x

(Ⅱ )设函数 y ? f (x ) 的图象上任一点 M ( x0 , y0 ) 关于原点的对称点为 N ( x, y ) 则 x0 ? ? x, y0 ? ? y ,∵ M 在函数 y ? f (x ) 的图象上 点

?? y ? sin 2 (? x) ? 2 sin(? x) ,即? y ? ? sin 2 x ? 2 sin x
∴ 函数 g (x) 的解析式为 g (x) = ?sin2x+2sinx ……………7 分

(Ⅲ h( x) ? ?(1 ? ?) sin 2 x ? 2(1 ? ?) sin x ? 1, 设 sin x ? t, ( ?1 ? t ? 1) ………………9 分 ) 则有 h(t ) ? ?(1 ? ?)t 2 ? 2(1 ? ?)t ? 1

(?1 ? t ? 1)
1? ? . 1? ?

当 ? ? ?1时,h(t)=4t+1 在[?1,1]上是增函数,∴ ?1 ………………11 分 λ= 当 ? ? ?1 时,对称轴方程为直线 t ? ⅰ ? ? ?1 时, )

1? ? ? ?1 ,解得 ? ? ?1 1? ? 1? ? ⅱ ? ? ?1时, )当 ? 1 ,解得 ? 1 ? ? ? 0 1? ? 综上, ? ? 0 .

……………14 分


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