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1.5.1-2曲边梯形的面积及汽车行驶的路程


1.5.1曲边梯形的面积

预备知识:
⑴求和:Sn=1+2+3+…+n 可以简写为什么形式? 1+2+3+…+n

i ? =_________
i=1

n

⑵求和:

1 n ? n + 1? 2 ① 1+2+3+…+n =_________ 1 n

? n + 1?? 2n + 1? 6 ② 12+22+32+…+n2 =_________ 2 ?1 ? ? 1 n2 n + 1 2 ? ? n n +1 ? ? ? ? ③ 13+23+33+…+n3 =_________ 2 ? ? 4

1.5.1 曲边梯形的面积 1. 曲边梯形 : 在直角坐标系中,由连
续曲线y=f(x),直线x=a、x=b及x轴所围成的 图形叫做曲边梯形。
y y=f (x)

什么是曲边梯形?
几条线: 三直线,一曲线 x=a y = f ? x? x=b y=0
x

x=a
O
a

x=b
b

y = f ( x)

的如 面何 积求 曲 边 梯 形

y

A1 O a b x

用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A, 得 A ? A1.

y = f ( x)

的如 面何 积求 曲 边 梯 形

y

A1 O a

A2 b x

用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A, 得 A ? A1+ A2

y = f ( x)

的如 面何 积求 曲 边 梯 形

y

A1 O a

A2

A3

A4 b x

用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A, 得
A ? A1+ A2+ A3+ A4

y = f ( x)

的如 面何 积求 曲 边 梯 形

y

A1 O a

Ai

An b x

将曲边梯形分成 n个小曲边梯形,并用小矩阵形的 面积代替小曲边梯形的面积, 于是曲边梯形的面积A近 似为 A ? A1+ A2 + ? ? ? + An
—— 以直代曲,无限逼近
几何画板演示

2.曲边梯形的面积
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和
x轴所围成的曲边梯形的面积。

y

y? x

2

第i个小区间 O ⑴分割 ⑵近似代替

⑶求和
⑷取极限

1 区间长度:△x= n ? i ?1? f 区间高:h= ? n ? ? ?

i -1 i n n

1

x

小矩形面积:△S=

? i ?1? 1 ? f? ? ? n ? n

例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。
解把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
因此, 我们有理由相 信, 这个曲边三角形 的面积为:
n ??
n i ?1 i ?1 1 Sn ? ? ?S ? ? f ( )?x ? ? ( )2 n n n i ?1 i ?1 i ?1 n ' i n

y

S ? lim Sn ?

1 ? 1 ?? 1 ? lim ?1 ? ?? 2 ? ? n ?? 6 ? n ?? n ? 1 ? . 3 y ? x2

O

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 n

2 n

k n

n n

x

1 ?1? 1 ?2? 1 ? n ?1 ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? n ?n? n ?n? n ? n ? n 1 ? 3 (12 ? 22 ? ? ? (n ? 1)2 ) n 1 (n ? 1)n(2n ? 1) ? 3? n 6 1 ? 1 ?? 1 ? ? ?1 ? ?? 2 ? ? . 6 ? n ?? n ?

2

2

2

求由连续曲线y?f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: ?a, x1 ?,? x1, x2 ?,?? xi?1, xi ?,?, ? xn?1, b?, 每个小区间宽度△x ?
b?a n

(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成

(2)取近似求和:任取xi?[xi?1, xi],第i个小曲边梯形的面积用 y 高为f(x )而宽为?x的小矩形面积
i

f(xi)?x近似之。

y =f ( x)
n

取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值: S?

? f (x )?x
i ?1 i

(3)取极限:,所求曲边梯形的 面积S为

b?a S ? lim ? f (xi )?x ? lim f (xi ) ? n?? n n??? i ?1
n

O

a

xi xi xi+1 ?x

?

b

x

课本P42 练习 求直线 x=0,x=2,y=0与曲线 y=x2 所围成的曲边 梯形的面积。 y
y? x
2

8 3

O

2 ? i - 1 ? 2i n n

2

x

1.5.2汽车行驶的路程

复习:求由连续曲线y?f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割 ( 4) ⑵近似代替 取极限
y y=f (x)

(3)求面积的和

n ??

x=a
O a

x=b
b x

v
2

v(t ) = - t 2 + 2

O

1

t

探究思考
问题一:结合求曲边梯形面积的过程,你认 为汽车行驶的路程 S 由直线 t=0,t=1,v=0 和曲线 v=-t2+2 所围成的曲边梯形的面积有 什么关系?
图中矩形面积和就是曲边 梯形的面积,从而汽车行 驶的路程S ? lim Sn 在数 值上就等于相应曲边梯形 面积.
n ??

作业: 课本P45 练习2


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