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1.1.7柱、锥、台和球体的体积


1.1.7柱、锥、台和球 体的体积

学习目标
1.了解祖暅原理及等体积变换的意义.

2.掌握柱、锥、台、球的体积公式并会求它们
的体积.

复习回顾

1.正方体的体积公式 V正方体=a3(这里a为棱长) 2.长方体的体积公式 V长方体=abc(这里a,b,c分别为长方体

长、宽、高) 或V长方体=sh(s,h分别表示长方体的底面积和高)

等面积法: 等底等高的三角形面积相等

h

h

h

a
S? ? 1 2

a
a ?h

a

取一摞作业本放在桌面上(如图所示) , 并改变它们的放置方法,观察改变前后 的体积是否发生变化?

从以上事实中你得到什么启发?

一. 祖暅原理

祖暅原理:幂势既同,则积不容异.
也就是说,夹在两个平行平面间的两个 几何体,被平行于这两个平面的任意平面

所截,如果截得的两个截面的面积总相等,
那么这两个几何体的体积相等.

祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积 公式的基础和纽带,原理中含有三个条 件,

条件一是两个几何体夹在两个平行平 面之间; 条件二是用平行于两个平行平面的任 何一平面可截得两个平面; 条件三是两个截面的面积总相等,这 三个条件缺一不可,否则结论不成立.

祖冲之( 公元429年─公元 500年)是我国杰出的数学 家,科学家。南北朝时期人, 汉族人,字文远。生于宋文 帝元嘉六年,卒于齐昏侯永 元二年。其主要贡献在数学、 天文历法和机械三方面。

? 祖暅,祖冲之之子,圆满解决了球面积的计算问题, 得到正确的体积公式。祖暅总结了刘徽的有关工作, 提出“幂势既同则积不容异”,即等高的两立体, 若其任意高处的水平截面积相等,则这两立体体积 相等,这就是著名的“祖暅原理” (或刘祖原理)。 祖暅应用这个原理,解决了刘徽尚未解决的球体积 公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学 家卡瓦列利发现,比祖暅晚一千一百多年。祖暅的 儿子祖皓,续传家学,后来也成了数学家。

等底面积、等高的两个柱体是否体积相等?

等高、等截面面积(不受截面形状影响)

体积相等

二. 棱柱和圆柱的体积 柱体(棱柱和圆柱)的体积等于它的底
面积S和高h的积. 即V柱体=S· h.

h

h

底面半径是R,高为的圆柱体的体积的计 算公式是V圆柱=πR2h.

将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥,那么这三个三棱锥的体积有 什么关系?它们与三棱柱的体积有什么 关系?
3 3
1 1 2

三. 棱锥和圆锥的体积 1. 如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积

是S,高是h,那么它的体积是V锥体= Sh.
3

1

2. 如果圆锥的底面半径是R,高是h,则它
的体积是V圆锥= πR2h.
3 1

四. 棱台和圆台的体积
1. V台体=
1 3 (S ? S S ' ? S ') h ;其中S、S’分别

为台体上、下底面面积,h为台体的高.
2.V圆台=π(r2+Rr+R2)h,其 中r、R分别为圆台的上、 下底面的半径,高为h.
A' S' O' B' h P

D'

C

?

x x?h

?
h s?

s

'

s
s
'

S

'

x
h

?x ?

S
s
'

V台 ?

1 3

S( h ? x) ?

1 3

S x ?
'

1 3

Sh ?
1 3

1 3

Sx ?
'

1 3

S x
h s ? s
'

'

?

1 3

Sh ?

(S ? S )

s

'

?

1 3

Sh ?

1 3

(

s ?

s )h

'

s

'

?

1 3

h(s ?

ss ? s )
' '


S

S’

S

S


V柱体=sh
S=S/
V台 ? h 3 ( s ? ss ' ? s ' )

S/ =0

V锥 ?

1 3

sh

五. 球的体积 V球=
4 3

?R

3

,其中R为球的半径.

取出半球和新的几何体做它们的截面

R

结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等

探究
S1

R

4 3

?R ? V球 ?
3

1 3

RS 1 ?

1 3

RS

2

?

1 3

RS 3 ? ? ?

1 3

RS

球面

球的表面积: S 球面 ? 4 ? R

2

例1. 如图所示,在长方体ABCD-A’B’C’ D’中,用截面截下一个棱锥C-A’DD’, 求棱锥C-A’DD’的体积与剩余部分的体 积之比。

D A'

D/
A/

D/

C/

A/
D D C A B

B/
C

S

h

例1. 如图所示,在长方体ABCD-A’B’C’ D’中,用截面截下一个棱锥C-A’DD’, 求棱锥C-A’DD’的体积与剩余部分的体 积之比。

解:已知长方体可以看 作是直四棱柱ADD’A’- BCC’B’。 设底面ADD’A’的面积 是S,高为h,
A'

D

则它的体积为 V=Sh.
因为棱锥C-A’DD’的底面面积是 高是h, 所以棱锥C-A’DD’的体积是
1 2

S,

VC-A’DD’=

1 3

?

1 2

Sh ?

1 6

Sh

所以 棱锥C-A’DD’的体积与剩余部分 的体积之比是1:5.

例2.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg,已知螺帽 底面是正六边形,边长为12mm,内孔直径 为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约 有多少个( 取3.14,可用计算器)? 解:六角螺帽的体积是

六棱柱的体积与圆柱体
积之差,

10 2 V ? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14 ? ( ) ?10 4 2
2

3

? 2956(mm ) ? 2.956(cm )
3

3

因此约有 5.8×103÷(7.8×2.956) ≈252(个) 答:螺帽的个数约为252个.

练习题:
1.设六正棱锥的底面边长为1,侧棱长

5 ,那么它的体积为(
3 3

B )

(A)6

(B)

3

(C)2

(D)2

2.正棱锥的高和底面边长都缩小原来 的
1 2

,则它的体积是原来的( B )
1

(A) 5
(C)
1 16

(B)

1 8 1

(D) 2 3

3.直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V, 已知点P、Q分别为AA1、CC1上的点, 而且满足AP=C1Q,则四棱锥B-APQC 的体积是( B )

(A)
(C)

1 2 1 4

V V

(B)3 V
(D)
2 3 V

1

4.把一个大金属球表面涂漆,需油漆 2.4kg,若把这个金属球熔化,制成64个半

径相等的小金属球(设损耗为零),将这
些小金属球表面涂漆,需用油漆 9.6 kg.

5.已知圆锥的母线长为8,底面周长为
6π,则它的体积是
3 5 5?

.

6.一个正方体的所有顶点都在球面上,若

这个球的体积是V,则这个正方体的体积

2 3 3? V

.

7. 若球的大圆面积扩大为原来的3倍,则
它的体积扩大为原来的( D ) (A)3倍 (C)27倍 (B)9倍 (D)3
3



8. 圆台的上、下底面半径和高的比为1:
4:4,母线长10,则圆台的体积为 ( B ) (A)672π (B)224π

(C)100π

(D)

544 3

?

V长方体 ? S ? h

柱 、 锥 、 台 的 体 积

祖暅原理

V柱体 ? S ? h

V圆柱 ? ?r ? h
2

V锥体 ?
V台体 ? 1 3

1 3

S ?h

V圆锥 ?
S ? S ? ? S ?)

1 3

?r ? h
2

h(S ?

V圆台 ?

1 3

?h(r ? r ? r ? ? r ? )
2 2

小结 1.本节主要在学习了柱,锥,台及球体 的体积和球的表面积. 2.应用上述结论解决实际问题.
作业:P32习题A6,7,8,9,10


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