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江苏省梁丰高级中学2014届高三4月份质量检测数学试卷


江苏省梁丰高中 2013-2014 学年第二学期 高三数学 4 月质量检测
2014.4.12

数学Ⅰ
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案直接填写在答卷纸 相应的 ... 位置)
x 1.已知集合 M ? x y ? ln ?1 ? x ? , 集合N ? y y =e ? x ? R ,

则M ? N ?

?

?

?

?

.

2.复数 z ? 1 ? i, 则

1 ?z? z

. 条件(从“充分不必要” 、 “必要不充分” 、

a b 3.“ 2 ? 2 ”是“ ln a ? ln b ”的

“充要” 、 “既不充分也不必要”中选一个) 4.从 1, 2,3, 4 中随机取出两个不同的数,则其和为奇数的概率为 .

5.为了了解高三学生的身体状况,抽取了部分男生的体重,将所得的数据整理后,画出了频 率分布直方图(如图) 。已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,第 2 小组的频 数为 12,则抽取的男生人数是 .

6.执行右面的框图,若输出 p 的值是 24,则输入的正整数 N 应为________.

7.若正三棱锥的底面边长为

2 ,侧棱长为 1,则此三棱锥的体积为

.

0 8. 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?C ? 90 , AB ? 2 , AC ? 1 , 若 A D ?

3 AB ,则 2

C D? C B ?
9.已知 cos(? ?



?
4

)??

10 ? ? , ? ? (0, ) ,则 sin(2? ? ) ? 10 3 2



10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 与 x 轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,且与直线 x-y-3

1

=0 相切,则圆 C 的半径为 11.双曲线



x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点 P 到左焦点的距离是到右准线距离的 6 a 2 b2
. 成等比数列, .

倍,则该双曲线离心率的范围为

12.已知数列 ?an ? 为等差数列, 首项 a1 ? 1 , 公差 d ? 0 , 若 ak1 ,ak2 ,ak3 , , ak , n 且 k1 ? 1 , k 2 ? 2 , k3 ? 5 ,则数列 ?k n ? 的通项公式 k n ?

2 ? ? x ? 2, x ? ? 0,1? , 13.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: f ? x ? ? ? 且f ? x ? 2 ? ? f ? x ? , 2 2 ? x , x ? ? 1, 0 , ? ? ? ? 2x ? 5 g ? x? ? ,则方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,1? 上的所有实根之和为 . x?2

14.若关于 x 的不等式(组) 0 ? x ?
2

7 2n 2 x? ? 对任意n ? N * 恒成立,则所有这 2 9 ? 2n ? 1? 9

样的解 x 构成的集合是____________. 二、解答题: (本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. ) 15.(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x ? (I)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (II)在 ?ABC 中,若 A ?

? ?

??

?? ? ? sin ? x ? ? , x ? R . 6? ? 3?

?

BC ?C ? ? 1 的值. , 锐角C满足f ? ? ? ? , 求 4 AB ?2 6? 2

16. (本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD∥BC,∠ADC= 90 ,BC= (1)求证:AD⊥平面 PBQ; (2)已知点 M 为线段 PC 的中点,证明:PA∥平面 BMQ。
0

1 AD,PA=PD,Q 为 AD 的中点。 2

2

17.(本小题满分 14 分) 某公园准备建一个摩天轮, 摩天轮的外围是一个周长为 k 米的圆. 在这个圆上安装座位, 且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连. 经预算, 摩天轮上的每个座位与支点相 连的钢管的费用为 8k 元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为 x 米时,相邻两座位之间的 钢管和其中一个座位的总费用为 ?

? (1024 x ? 20) x ? ? 2 ? k 元. 假设座位等距离分布, 且至少 100 ? ?

有两个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记摩天轮的总造价为 y 元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; (2)当 k ? 100 米时,试确定座位的个数,使得总造价最低.

18. (本小题满分 16 分) 已知, 数列 a n 有 a1 ? a, a2 ? p(常数 p ? 0 ) , 对任意的正整数 n, Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an 并有 S n 满足 S n ?

? ?

n(a n ? a1 ) 。 2

(1)求 a 的值; (2)试确定数列 a n 是不是等差数列,若是,求出其通项公式。若不是, 说 明 理 由 ;( 3 ) 令 p n ?

? ?

S n? 2 S n?1 ? ,是否存在正整数 M,使不等式 S n?1 S n? 2

p1 ? p2 ?

? pn ? 2n ? M 恒成立,若存在,求出 M 的最小值,若不存在,说明理由。

3

19. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标,直线 l : y ? 3x ? 3 经过椭圆 点,且点(0, b )到直线 l 的距离 为 2. (1)求椭圆 E 的方程; (2)A、B、C 是椭圆上的三个动点 A 与 B 关于原点对称,且|AC|=|CB|.问△ABC 的面积是否存在最小值?若存在,求此时点 C 的坐标;若不存在,说明理由. 的一个焦

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x .
2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (2) 设定义在 D 上的函数 y ? g ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程为 l : y ? h( x) .当 x ? x0 时, 若

g ( x ) ? h( x ) ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? g ( x) 的“转点”.当 a ? 8 时,试问函 x ? x0

数 y ? f ( x) 是否存在“转点”?若存在,求出“转点”的横坐标;若不存在,请说明理由.

4

江苏省梁丰高中 2013-2014 学年第二学期 高三数学 4 月质量检测
2014.4.12

数学Ⅱ (附加题)
1.求使等式 成立的矩阵 M。

? ?x=2cos α, 2.在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为? (α 为参数), M 是 C1 上的动点, ?y=2+2sin α ?

→ → P 点满足OP=2OM,点 P 的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 与 C1 的异于极点的交点为 3 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB. 3 集合 中任取三个元素构成子集

(1)求 a,b,c 中任意两数之差的绝对值均不小于 2 的概率; ( 2)记 a,b,c 三个数中相邻自然数的组数为 ? (如集合{3,4,5}中 3 和 4 相邻,? =2) , 求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E( ? ) 。

4、如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,H 是正方形 ⊥平面 AA1B1B,且 C1H= 5. (1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-A1C1-B1 的正弦值;

AA1B1 B 的中心,AA1=2 2,C1H

(3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内,且 MN⊥平面 A1B1C1,求线段 BM 的长.

5

高三数学 4 月质量检测(答案)
1. {x | 0 ? x ? 1}
1 7、 6

2.

3 1 ? i 2 2

3.必要不充分 4.

2 3

5.48

6. N ? 4

9 8、 2

4?3 3 9、 10

10、 2

11、(1,2] ? [3,6)

12.

3n?1 ? 1 2

13. 由 题 意 知 g ( x) ?

2 x ? 5 2( x ? 2) ? 1 1 ? ? 2? , 函 数 f ( x) 的 周 期 为 2 , 则 函 数 x?2 x?2 x?2
y

f ( x), g ( x) 在区间 ??5,1? 上的图象如下图所示:

由图形可知函数 f ( x), g ( x) 在区间 [ ? 5,1] 上的交 点为 A, B, C , 易知点 B 的横坐标为 ?3 , 若设 C 的 横坐标为 t (0 ? t ? 1) , 则点 A 的横坐标为 ? 4 ? t , 所以方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 [ ?5,1] 上的所有实 数根之和为 ?3 ? (?4 ? t ) ? t ? ?7 . -5 A B -3 0 C 1 x

? 2 7 ? 2 7 2n 2n x ? x ? ? 0 x ? x ? ? ? 9 (2n ? 1) 2 9 (2n ? 1) 2 2 ? ? 14.答案 {?1, } ,不等式等价于 ? ,即 ? n n 9 2 2 ? x2 ? 7 x ? 2 ? x2 ? 7 x ? 2 ? ? n 2 n 2 ? ? 9 (2 ? 1) 9 9 (2 ? 1) 9 ? ?


2n 2n 1 n ? ? ? (均值不等式不成立) 令 t ? 2 ? 2(n ? N ) n 2 2n n (2 ? 1) 2 ? 2 ? 2 ? 1 2n ? 1 ? 2 2n



1 1 9 2n 2n 1 ? 2? t ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ,所以 n ? ? ? ? 0, ? , 2 2n n t 2 2 (2 ? 1) 2 ? 2 ? 2 ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 9 ? 2n

2 ? 2 7 x ? x? ? 2n 7 2n ? 9 9 2 x ? x ? , (因为 最小值大于 ,在 0 ? (2n ? 1) 2 9 (2 n ? 1) ? x2 ? 7 x ? 2 ? 9 9 ?
2 号) ,故 x ?

2

2 ? 中,可以取等 9

7 2 2 2 x ? ,解得 x ? ?1 或 x ? , 所以答案为 {?1, } . 9 9 9 9

6

15.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) ? 2sin( x ? ) sin[

π 6

π 3

π 6

π π ? ( x ? )] 2 6

π π π ? 2sin( x ? ) cos( x ? ) ? sin(2 x ? ) , 6 6 3
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 (Ⅱ)由(Ⅰ)得, f ( 由已知, sin C ?

2π ? π. 2

???????????????6 分

C π C π π ? ) ? sin[2( ? ) ? ] ? sin C , 2 6 2 6 3

1 π ,又角 C 为锐角,所以 C ? , 2 6

π 2 BC sin A 4 ? 2 ? 2. 由正弦定理,得 ? ? π 1 AB sin C sin 6 2 sin
16.证明:⑴△PA D 中,PA=PD,Q 为 AD 中点,∴PQ?AD, 1 底面 ABCD 中,AD//BC,BC= AD,∴DQ//BC,DQ=BC 2

???????????12 分

[来源:学科网 ZXXK]

∴BCDQ 为平行四边形, 0 0 由?ADC=90 ,∴?AQB=90 ,∴AD?BQ 由 AD?PQ,AD?BQ,BQ∩PQ=Q,PQ、BQ?面 P BQ ∴AD?平面 PBQ ????????7 分 ⑵连接 CQ,AC∩BQ=N,由 AQ//BC,AQ=BC,∴ABCQ 为平行四边形, ∴N 为 AC 中点, 由?PAC 中,M、N 为 PC、AC 中点, ∴MN//PA 由 MN?面 BMQ,PA?面 BMQ ∴面 BMQ ‖PA ????????14 分 17.17. (1)设摩天轮上总共有 n 个座位,则 x ?

k k ,即 n ? , n x

??2 分

y ? 8k

? ? 10 1024 x ? 20 ? k k ? (1024 x ? 20) x ? ? ? 2? k ? k 2 ? ? ? ? ?, x x? 100 100 ? ? x ?

????4 分

定义域 ? x 0 ? x ?

? ?

k k ? , ?Z?. 2 x ?

????????6 分

(2)当 k ? 100 时,令 y ? 100 ?

? 1000 ? ? 1024 x ? 20 ? ,?????????8 分 ? x ?

f ( x) ?

1000 ? 1024 x , x

7

?1000 ? 512 x 2 1000 1 ? ? 0 ,??????10 分 则 f ?( x) ? ? 2 ? 512 x2 x x

3

125 ? 125 ? 3 25 ? x?? ∴x ? , ??????????????12 分 ? ? 64 16 ? 64 ?
25 25 ) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 x ? (0, ) 上单调减, 16 16 25 25 当 x ? ( ,50) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 x ? ( ,50) 上单调增, 16 16 25 100 时取到,此时座位个数为 ymin 在 x ? ? 64 个.??????????14 分 25 16 16
当 x ? (0,

3 2

2

18.解: (1)由已知,得 s1 ? (2)由 a1 ? 0 得 S n ?

1 ? (a ? a) ? a1 ? a , ∴ a ? 0 2

nan (n ? 1)a n ?1 , 则 S n ?1 ? , 2 2

∴ 2(S n?1 ? S n ) ? (n ? 1)an?1 ? nan ,即 2an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan , 于是有 (n ? 1)an?1 ? nan ,并且有 nan? 2 ? (n ? 1)an?1 , ∴ nan?2 ? (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan , 即 n(an?2 ? an?1 ) ? n(an?1 ? an ) , 而 n 是正整数,则对任意 n ? N 都有 a n?2 ?an?1 ? an?1 ? an , ∴数列 ?an ? 是等差数列,其通项公式是 an ? (n ? 1) p 。

n(n ? 1) p (3)∵ Sn ? ? pn ? 2

(n ? 2)(n ? 1) p (n ? 1)np 2 2 2 2 ? ? 2? ? (n ? 1)np (n ? 2)(n ? 1) p n n?2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ? 2n ∴ p1 ? p2 ? p3 ? ? ? pn ? 2n ? (2 ? ? ) ? (2 ? ? ) ? ? (2 ? ? 1 3 2 4 n n?2 2 2 ; ? 2 ?1? ? n ?1 n ? 2

由 n 是正整数可得 p1 ? p2 ? ? ? pn ? 2n ? 3 ,故存在最小的正整数 M=3,使不等式

p1 ? p2 ?

? pn ? 2n ? M 恒成立。

8

19. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标,直线 l : y ? 3x ? 3 经过椭圆 点,且点(0, b )到直线 l 的距离 为 2. (1)求椭圆 E 的方程; (2)A、B、C 是椭圆上的三个动点 A 与 B 关于原点对称,且|AC|=|CB|.问△ABC 的面积是否存在最小值?若存在,求此时点 C 的坐标;若不存在,说明理由. 19. 的一个焦

9

10

11

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (2) 设定义在 D 上的函数 y ? g ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程为 l : y ? h( x) .当 x ? x0 时, 若

g ( x ) ? h( x ) ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? g ( x) 的“转点”.当 a ? 8 时,试问函 x ? x0

数 y ? f ( x) 是否存在“转点”?若存在,求出“转点”的横坐标;若不存在,请说明理由.

1 ( x ? 1)(2 x ? 1) ? . x x 1 1 0 ? x ? 或x ? 1 ,当 f ?( x) ? 0时, ? x ? 1 , 当 f ?( x) ? 0时, 2 2 1 1 所以函数 f ( x ) 在 (0, )和 (1, ??)单调递增,在 ( ,1) 单调递减, 2 2 5 1 1 所以当 x ? 时,函数 f ( x ) 取到极大值为 ? ? ln , 4 2 2
20.解: (I)当 a ? 1 时, f ?( x) ? 2 x ? 3 ? 当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 取到极小值为-2. ????(6 分) (II)当 a ? 8 时,由函数 y ? f ( x) 在其图像上一点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程, 得 h( x) ? (2 x0 ?

8 ? 10)( x ? x0 ) ? x0 2 ? 10 x0 ? 8ln x0 . x0

设 F ( x) ? f ( x) ? h( x), 则F ( x0 ) ? 0,

12

且 F ?( x) ? f ?( x) ? h?( x) ? (2 x ?

8 8 ? 10) ? (2 x0 ? ? 10) x x0

?

2 4 ( x ? x0 )( x ? ). ????(10 分) x x0 4 ) 上单调递减, x0

当 0 ? x0 ? 2 时, F ( x ) 在 ( x0 ,

所以当 x ? ( x0 ,

4 F ( x) ) 时, F ( x) ? F ( x0 ) ? 0, 此时 ?0; x0 x ? x0 4 , x0 ) 上单调递减, x0

当 x0 ? 2 时, F ( x ) 在 (

所以当 x ? (

4 F ( x) , x0 ) 时, F ( x) ? F ( x0 ) ? 0, 此时 ? 0; x0 x ? x0

所以 y ? f ( x) 在 (0, 2),(2, ??) 不存在 “转点”. ????(13 分) 当 x0 ? 2 时, F ?( x ) ?

2 ( x ? 2) 2 ,即 F ( x) 在 (0, ??) 上是增函数. x

当 x ? x0 时, F ( x) ? F ( x0 ) ? 0, 当 x ? x0 时, F ( x) ? F ( x0 ) ? 0, 即点 P( x0 , f ( x0 )) 为“转 点”. 故函数 y ? f ( x) 存在“转点” ,且 2 是“转点”的横坐标. ????(16 分)

附加题答案

13

14

15


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