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几何证明选讲内容高考题选


1.几何证明选讲 例 1.(全国卷新课标 I 文理科) 如图 1, 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E , 且

D M O A B
图1

CB ? CE .
(Ⅰ) 证明: ?D ? ?E . (Ⅱ)设 AD 不是 O 的直径, AD 的中点为 M ,且
<

br />C E

MB ? MC ,证明: ?ADE 为等边三角形.
B、 D 四点共圆, C、 【解析】 (Ⅰ)由题设知 A 、 所以 ?D ? ?CBE , 由已知得 ?CBE ? ?E ,
所以 ?D ? ?E (Ⅱ) 设 BC 中点为 N , 连接 MN ,则由 MB ? MC ,知 MN ? BC 所以 O 在 MN 上, 又 AD 不是 O 的直径, M 为 AD 中点,故 OM ? AD , 即 MN ? AD ,所以 AD / / BC ,故

?A ? ?CBE , 又 ?CBE ? ?E ,故 ?A ? ?E .由(Ⅰ)知 ?D ? ?E ,所以 ?ADE 为等边
三角形. 【分析】主要查考圆的基本性质、圆内接四边形的性质、垂径定理、等腰三角形的性质,考 查考生逻辑推理能力及转化与化归的思想.

例 2(全国卷新课标 II 文理科)如图 2, P 是 O 外一点, PA 是切 线, A 为切点,割线 PBC 与 O 相交于点 B 和点 C , PC ? 2 PA ,

D 为 PC 的中点, AD 的延长线交 O 于点 E .
证明: (Ⅰ) BE ? EC (Ⅱ) AD ? DE ? 2PB 【解析】 (Ⅰ)
2

A P B

O D E
图2

C

PC ? 2 PA , PD ? DC ,? PA ? PD ,

?PAD 为等腰三角形.
连接 AB ,则 ?PAB ? ?DEB ? ? , ?BCE ? ?BAE ? ?

?PAB ? ?BCE ? ?PAB ? ?BAD ? ?PAD ? ?PDA ? ?DEB ? ?DBE ,

? ? ? ? ? ? ? ?DBE , ? ? ?DBE ,即 ?BCE ? ?DBE ,所以 BE ? EC .
(Ⅱ)

AD ? DE ? BD ? DE , PA2 ? PB ? PC , PD ? DC ? PA ,

1

? BD ? DC ? ( PA ? PB) PA ? PB ? PC ? PB ? PA ? PB( ? PC ? PA)
? PB ? PA ? PB ? 2 PB ? PB 2
【点评】本题主要考查圆周角定理的推论、相交弦定理及切割线定理.在以圆为载体的三角 形和四边形的问题中, 涉及到相交弦的问题就考虑用相交弦定理, 设及到切线和割线的问题 就考虑用切割线定理.

例 3. (辽宁文理科)如图 3, EP 交圆于 E 、C 两点, PD 切圆于 D , G 为 CE 上一点且 PG ? PD ,连接 DG 并延 长交圆于点 A ,作弦 AB 垂直 EP ,垂足为 F . (Ⅰ)求证: AB 为圆的直径; (Ⅱ)若 AC ? BD ,求证: AB ? ED . 【解析】 (Ⅰ)延长 PD 到 D ? ,

B D

E

F A

G

C

P

PD ? PG ,

??ADP ? ?PGD ? ?FGA , PD 为切线, ??D?DB ? ?FAG . ?D?DB ? ?BDA ? ?ADP ? ? ,??FAG ? ?BDA ? ?FGA ? ? ,

图3

?BDA ?
(Ⅱ)

?
2

? ? ,??BDA ?

?
2

,所以 AB 为直径.

BD ? AC ,??BAD ? ?FAG ? ?AEC ,在 ?ACE 中, AF ? EG ,

??EAC ?

?
2

? ?EAD ?

?
2

,? ED 为直径,? AB ? ED .

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形全等、弦切角定理等知识,考查学生推理 论证能力.

D ABC 是圆的内接三角形, ?BAC 例 4. (天津文 7 理 6) 如图 4,
的平分线交圆于点 D ,交 BC 于点 E ,过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F .在上述条件下,给出下列四个结论: ① BD 平分 ?CBF ; ② FB = FD FA ; ③ AE ?CE ④ AF ?BD
2

A B D E C
图4

BE DE ;

AB BF .
) (C)①②③ (D)①②④

则所有正确结论的序号是( (A)①② (B)③④

F

2

【答案】D 【解析】由弦切角定理得 ? FBD

? EAC

BAE ,又 ? BFD

AFB ,所以

D BFD
又 ? FBD

D AFB ,所以

BF BD = ,即 AF ?BD AF AB

AB BF ,排除 A、C.

? EAC

DBC ,排除 B.

【点评】本题背景新颖,考查弦切角定理、三角形的角平分线性质、相交弦定理、切割线定 理,考查考生的推理论证能力.

例 5. (2014 陕西文理科)如图 5, ?ABC 中, BC ? 6 ,以 BC 为直 径的半圆分别交 AB , AC 于点 E , F ,若 AC ? 2 AE ,则 EF ? 【答案】3.

A E F

? ?AEF 与 【解析】由圆内接四边形对角互补可得 ?AEF ? ?ACB ,

?ACB 相似,?

EF AE 1 ? ? ? EF ? 3 CB AC 2

B
图5

C

(原稿无答案,麻烦王老师检查) 【点评】考查圆内接四边形的性质,相似三角形的判断及性质.

例 6. (湖南理科) 如图 6, 已知 AB ,BC 是 O 的两条弦,AO ? BC ,

B A C
图6

AB ? 3 , BC ? 2 2 ,则 O 的半径等于________.
【解析】如图 7,设线段 AO 交 BC 于点 D ,延长 AO 交圆与另外一点

O

B A E

E ,因为 AO ? BC 且 AO 为圆半径,所以

BD ? DC ? 2 .由 ?ABD 的勾股定理可得

D C

O

AD ? 1 ,由双割线定理可得

BD : DC ? AD : DE ? DE ? 2 ,则直径 AE ? 3 ? r ?
图7
故填

3 , 2

3 . 2

,【点评】考查圆的性质、垂径定理、相交弦定理、直角三角形的性质,考查转化与化归的 思想,数形结合的思想和方程的思想.

3

P为 例 7. (湖北理科) 如图 8,

O 外一点, 过 P 点作 O

A Q O B D

的两条切线,切点分别为 A , B ,过 PA 的中点 Q 作割线 交

O 于 C , D 两点,若 QC ? 1 , CD ? 3 ,则

C P
图8

PB ? _____.
【解析】由切割线定理得

QA2 ? QC ? QD ? 1? (1 ? 3) ? 4 ,所以 QA ? 2 , PB ? PA ? 4 .
【点评】主要考察切线的性质,切割线定理.

例 8. (重庆理科)过圆外一点 P 作圆的切线 PA ( A 为切点) ,再作割线 PB , PC 分别交 圆于 B , C ,若 PA ? 6 , AC ? 8 , BC ? 9 ,则 AB ? ________. 【解析】

ΔPAB 与 ?PCA 相似,

PA PB AB 6 PB AB ? ? ? ? ,? , PB ? 3 , PC PA CA PB ? 9 6 8

? AB ? 4 .
【点评】考查切割线定理、相似三角形的性质.

例 9. (广东理科)如图 9,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB ? 2 AE , AC 与 DE 交于点 F ,则 【解析】显然 ?CDF

D F A E
图9

C

S?CDF ? _______ S?AEF

?AEF ,

B

?

CD 2 EB ? AE 2 S?CDF ) ?( ) ?9. ?( AE AE S?AEF

【点评】考查平行四边形的性质,三角形相似的判定、及相似三角形的性质.

2.坐标系与参数方程

x2 y 2 ? ? 1, 例 1. (全国卷新课标 1 文理科)已知曲线 C : 4 9
直线 l : ?

?x ? 2 ? t ( t 为参数). ? y ? 2 - 2t
4

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任意一点 P 作与直线 l 夹角为 30° 的直线,交 l 于点 A , 求 PA 的最大值与最小值. 【解析】 (Ⅰ)曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 (Ⅱ)在曲线 C 上任意取一点 P(2cos ? ,3sin ? ) 到 l 的距离 d ?

? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ?

( ? 为参数) ,

5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5

则 | PA |?

4 d 2 5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ,其中 ? 为锐角.且 tan ? ? . 0 3 sin 30 5

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为

22 5 ; 5

当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, | PA | 取得最小值,最小值为

2 5 . 5

【点评】本题主要考查参数方程与普通方程的互化,点到直线的距离公式,直角三角形的边 角关系,三角函数的相关知识.考查考生转化与化归以及运算求解能力.

例 2. (全国卷新课标 2 文理科)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? , ? ? ?0, ? 2 (Ⅰ)求半圆 C 的参数方程 (Ⅱ)设点 C 在半圆 C 上,半圆 C 在 D 处的切线与直线 l : y= 3x+2 垂直,根据(Ⅰ) 中你得到的参数方程,确定 D 的坐标. 【解析】 (Ⅰ) C 的普通方程为 ( x ?1) ? y ? 1(0 ? y ? 1)
2 2

? ?? ? ?

可得 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos t , ( t 为参数, 0 ? t ? x ). ? y ? sin t ,

(Ⅱ)设 D 点坐标 (1 ? cos t ,sin t ) .由(Ⅰ)知 C 是以 G (1, 0) 为圆心,1 为半径的上半圆.

5

因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同, tan t ? 3 , t ? 故 D 的直角坐标为 (1 ? cos

? 3

?

? 3 3 ,sin ) ,即 ( , ) . 3 3 2 2

【点评】考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,圆的参数方程及其应用,直线与圆的位置 关系,考查考生的分析转化能力及运算求解能力.

例 3. (2014 安徽理科)以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐 标系, 两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是 ?

? x ? t ? 1, ( t 为参数), 圆C ?y ? t ? 3

的极坐标方程是 ? ? 4 cos? ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( ) (A) 14 (C) 2 【答案】D 【解析】 (原稿中无解析) 【点评】考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,参数方程化为普通方程,直线与圆的位置 关系,点到直线的距离公式等知识,考查考生的分析转化能力及运算求解能力. (B)2 14 (D)2 2

例 4. (2014 北京理科)曲线 ? A.在直线 y ? 2 x 上 C.在直线 y ? x ? 1 上 【答案】B 【解析】 (原稿中无解析)

? x ? ?1 ? cos ? ( ? 为参数)的对称中心( ) ? y ? 2 ? sin ?

B.在直线 y ? ?2 x 上 D.在直线 y ? x ? 1 上

【点评】考查圆的参数方程,圆的对称性.

例 5. (2014 天津理科)在以 O 为极点的极坐标系中,圆 r = 4sin q 和直线 r sin q = a 相交 于 A, B 两点.若 D AOB 是等边三角形,则 a 的值为___________.
6

【答案】3
2 【解析】圆的方程为 x + ( y - 2) = 4 ,直线为 y = a .因为 D AOB 是等边三角形,所以其 2

中一个交点坐标为 (

a , a) ,代入圆的方程可得 a = 3 . 3

【点评】考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线与圆的位置关系,在解决有关极坐标 的问题时要注意:一、准确使用公式,二、注意方程中的限制条件.另外,要掌握圆、直线、 圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化,其中要注意参数的范围.

例 6. (福建理科)已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? a ? 2t , ( t 为参数) ,圆 C 的参数方程为 ? y ? ?4t

? x ? 4 cos? , ( ? 为常数). ? y ? 4 sin ? ?
(Ⅰ)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 【解析】 (原稿中无答案和解析) 【点评】考查直线与圆的参数方程与普通方程的互化,直线与圆的位置关系. 解决问题的关键是:掌握公式会转化,注意参数的范围,等价转化记心中,懂得技巧巧应用.

例 7. (辽宁文理科)将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,
2 2

得曲线 C . (Ⅰ)写出 C 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P1 , P 2 ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,求过线段 PP 1 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 【解析】 (Ⅰ)曲线 C 的参数方程: ?

? x ? cos θ , θ ? [0, ? ] . y ? 2sin θ ?

(Ⅱ)设曲线 C 上的点 P(cos ? , 2sin ? ) 在直线上,则 2 cos ? ? 2sin ? ? 2 ? 0 , 解得 2 sin(θ ?

π 1 π ) ? 1 即 θ ? 0 或 .所以, A(1, 0) , B(0, 2) , AB 中点 ( ,1) . 2 2 4

7

所以,垂直 AB 的中垂线方程是 y ? 1 ?

1 1 ( x ? ) 即 4 y ? 3 ? 2x . 2 2

所以,所求直线的极坐标方程式 2? cos? ? 4? sin ? ? 3 ? 0 . 【点评】题目立意新颖,从图像变换的角度来考查曲线方程,考查椭圆的参数方程,两直线 的位置关系,直线方程的求法,直线的直角坐标方程与参数方程的转化等知识.

例 8. (陕西文理科)在极坐标系中,点 (2, 【答案】1 【解析】 (原稿中无解析)

?

) 到直线 ? sin(? ? ) ? 1 的距离是 6 6

?

【点评】考查极坐标系的概念,点的极坐标与直角坐标的转化,直线的直角坐标方程与极坐 标方程的转化,点到直线的距离公式.

例 9. (湖南理科)11.在平面直角坐标系中,倾斜角为

? x ? 2 ? cos ? ? 的直线 l 与曲线 C: , ? 4 ? y ? 1 ? sin ?

( ? 为参数)交于 A 、 B 两点,且 AB ? 2 ,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系,则直线 l 的极坐标方程是________. 【答案】 ? (cos ? ? sin ? ) ? 1
2 2 【解析】利用 sin ? ? cos ? ? 1 可得曲线 C 的普通方程为 ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 1 ,
2 2

即曲线 C 为直径 2r ? 2 的圆,因为弦长 | AB |? 2 ? 2r ,所以圆心在直线 l 上, 又因为直线的斜率为 1,所以直线的直角坐标方程为 y ? x ? 1 , 则根据直角坐标与极坐标之间的转化可得

y ? x ?1 ? ? sin ? ? ? cos? ?1 ? ? (cos? ? sin ? ) ? 1 .故填 ? (cos? ? sin ? ) ? 1
【点评】本题考查圆的参数方程,直线与圆的位置关系,直线的方程求法,直线的极坐标方 程,考查数形结合的思想、转化与化归的思想.

? ?x ? 2 ? ? 例 10. (湖南文科)12、在平面直角坐标系中,曲线 C : ? ? y ? 1? ? ?
8

2 t 2 ( t 为参数)的 2 t 2

普通方程为___________. 【答案】 x ? y ? 1 ? 0

? ?x ? 2 ? ? 【解析】联立 ? ? y ? 1? ? ?

2 t 2 ,消 可得 x ? y ? 1 ? x ? y ? 1 ? 0 ,故填 x ? y ? 1 ? 0 . t 2 t 2

【点评】直接考查直线的参数方程与普通方程的转化,加减消元,较为简单.

例 11. (江西理科)若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 则线段 y ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1? 的极坐标为( ) A. ? ?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 2

B. ? ?

C. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ? 【答案】A

?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 4

2

D. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ?

?

4

【解析】 Q y ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1? ? ? sin ? ? 1 ? ? cos ? ? 0 ? ? cos? ? 1?

?? ?

1 ?? ? ?0 ?? ? ? sin ? ? cos ? ? 2?

【点评】考查极坐标系的概念,直角坐标方程与极坐标方程的转化,注意变量的取值范围, 等价变形是关键.

?x ? t ? 例 12. (湖北理科)已知曲线 C1 的参数方程是 ? 3t ( t 为参数),以坐标原点为极点, x ?y ? 3 ?
轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 , 则 C1 与 C2 交点的直角坐 标为______. 【答案】

?

3, 1

?

?x ? t ? 2 2 2 2 【解析】 试题分析, 由? 由? ?2得x ? y ?4, 3t 消去 t 得 x ? 3 y ? x ? 0, y ? 0? , ?y ? 3 ?

9

解方程组 ?

? x2 ? y2 ? 4 ? 得 C1 与 C2 的交点坐标为 2 2 ? ?x ? 3y

?

3, 1 .

?

【点评】考查参数方程化为普通方程,极坐标方程化为直角坐标方程,两曲线的交点坐标的 求法.

例 13. (重庆理科)15.已知直线 l 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, ?y ? 3? t

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为
则直线 l 与曲线 C 的公共点的极经 ? ? ________. ? sin 2 ? ? 4 cos? ? 0( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) , 【答案】 5 【解析】

x ? 2 ? t, y ? 3 ? t, y ? x ? 1

? sin 2 ? ? 4cos? ? 0 ? ? 2 sin 2 ? ? 4? cos? ? y2 ? 4x.

联立 y2 ? 4 x 与 y ? x ? 1 得 y2 ? 4 y ? 4 ? 0 ? y ? 2 ? 交点 (1, 2) , ? ? 1 ? 4 ? 5. 所以, ρ ? 5 . 【点评】考查极坐标系的概念,极坐标方程化为直角坐标方程,两曲线的交点坐标的求法.

例 14. (广东理科)14.在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? sin

2

? ? cos? 和

以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, ? sin ? ? 1 , 则曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标为 【答案】 (1,1) 【解析】 C1 即 ( ? sin ? ) ? ? cos? ,? 其直角坐标方程为: y ? x , C2 的直角坐标方程
2 2

.

为: y ? 1 ,? C1 与 C2 的交点的直角坐标为 (1,1) . 【点评】考查极坐标系的概念,极坐标方程化为直角坐标方程,两曲线的交点坐标的求法.

例 15. (2014 上海理科)7、已知曲线 C 的极坐标方程为 ? (3 cos? ? 4 sin ? ) ? 1 ,则 C 与 极轴的交点到极点的距离是 .
10

【答案】 【解析】 距离是

1 . 3

? (3cos? ? 4sin ? ) ? 1 ?3x-4 y ? 1 交于点 ( , 0) .? C 与极轴的交点到极点的

1 3

1 . 3

【点评】考查极坐标系的概念,极坐标方程化为直角坐标方程,交点坐标的求法.

3.不等式选讲 例 1. (全国卷新课标 I 文理科)24、若 a ? 0, b ? 0 ,且 (Ⅰ)求 a ? b 的最小值;
3 3

1 1 + = ab a b

(Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ,并说明理由. 【解析】 (Ⅰ) 由 ab ?

1 1 2 ? ? ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, a b ab

故 a3 ? b3 ? 3 a3 ? b3 ? 4 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, ∴ a ? b 的最小值为 4 2 .
3 3

(Ⅱ)由 6 ? 2a ? 3b ? 2 6 ab ,得 ab ?

3 ,又由(Ⅰ)知 ab ? 2 ,二者矛盾,所以不存在 2

a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 成立.
【点评】考查不等式的基础知识及利用均值不等式求最值,考查考生推理论证能力、转化与 化归能力.

例 2. (2014 全国卷新课标 II 文理科)24、设函数 ( f x) ? x? (Ⅰ)证明: f ( x) ? 2 (Ⅱ)若 f (3) ? 5 ,求的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)由 a ? 0 ,有 f ( x) ? x ? 所以 f ? x ? ? 2 .

1 ? x - a ,(a ? 0) a

1 1 1 ? x ? a ? x ? ? ( x ? a) ? ? a ? 2 . a a a

11

(Ⅱ) f (3) ?| 3 ?

1 | ? |3? a | a
1 5 ? 21 ,由 f ? 3? ? 5 得 3 ? a ? . a 2
1 1? 5 ,由 f ? 3? ? 5 得 ? a ? 3. a 2

当 a ? 3 时, f (3) ? a ?

当 0 ? a ? 3 时, f ? 3? ? 6 ? a ?

综上, a 的取值范围是 (

1 ? 5 5 ? 21 , ). 2 2

【点评】考查绝对值三角不等式与均值不等式的应用,考查含绝对值的不等式的解法,考查 考生运算求解能力及分类讨论的思想.

例 3. (2014 全国卷大纲 2 文科)3.不等式组 ? A. {x | ?2 ? x ? ?1} B. {x | ?1 ? x ? 0}

? x( x ? 2) ? 0 的解集为( ? | x |? 1
C. {x | 0 ? x ? 1}



D. {x | x ? 1}

【解析】由 ?

? x( x ? 2) ? 0 ? x ? 0或x ? -2 得? ,所以 0 ? x ? 1 ? | x |? 1 ? -1 ? x ? 1

【点评】考查含绝对值的不等式的解法,属于容易题.

例 4. (2014 山东理科) (2)设集合 A ? {x || x ? 1|? 2} , B ? { y | y ? 2 , x ?[0, 2]} ,则
x

A B??

?
(B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1, 4)

(A) [0, 2] 【答案】C 【解析】

A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? { y |1 ? y ? 4} ,? A B ? [1,3) .

【点评】考查含绝对值的不等式的解法.

例 5. (安徽文理科) (9)若函数 f ? x ? ? x ? 1 ? 2x ? a 的最小值为 3,则实数 a 的值为() (A)5 或 8 (C)-1 或 -4 (B)-1 或 5 (D)-4 或 8

12

【答案】D 【解析】 (原稿中无解析) 【点评】考查含绝对值的不等式的解法.

* 例 6. (安徽理科) (21)设实数 c ? 0 ,整数 p ? 1 , n ? N .

(Ⅰ)证明:当 x ? ?1 且 x ? 0 时, (1 ? x) p ? 1 ? px ; (Ⅱ)数列 ?an ? 满足 a1 ? c p , a n ?1 ? 【解析】 (Ⅰ)证:用数学归纳法证明 ①当 p ? 2 时, (1 ? x) 2 ? 1 ? 2 x ? x 2 ? 1 ? 2 x ,原不等式成立. ②假设 p ? k (k ? 2, k ? N * ) 时,不等式 (1 ? x) k ? 1 ? kx 成立, 当 p ? k ? 1 时,
1

p ?1 c ?p ,证明: an ? an?1 ? c p . an ? a1 n p p

1

(1 ? x) k ?1 ? (1 ? x)(1 ? x) k ? (1 ? x)(1 ? kx) ? 1 ? (k ? 1) x ? kx 2 ? 1 ? (k ? 1) x .
所以 p ? k ? 1 时,原不等式也成立.
p 综合①②可得,当 x ? ?1, x ? 0 时,对一切整数 p ? 1 ,不等式 (1 ? x) ? 1 ? px 均成立.

(Ⅱ)证法 1:先用数学归纳法证明 an ? c . ①当 n ? 1 时,由题设 a1 ? c 知 an ? c 成立.
1
* ②假设 n ? k ( k ? 1, k ? N )时,不等式 ak ? c p 成立.

1 p

1 p

1 p

由 a n ?1 ?

p ?1 c ?p an ? a1 易知, an ? 0, n ? N * . n p p

当 n ? k ? 1 时,
1 p

ak ?1 p ? 1 c ? p 1 c ? ? ak ? 1 ? ( p ? 1) . ak p p p ak
1 1 c ? ( ? 1) ? 0 . p p a kp

由 ak ? c

? 0 得 ?1 ? ?

由(Ⅰ)中的结论得,

13

(

ak ?1 p 1 c 1 c c ) ? [1 ? ( p ? 1)] p ? 1 ? p ? ( p ? 1) ? p . ak p ak p ak ak
p k ?1

因此 a

? c ,即 ak ?1 ? c .
1 p

1 p

所以 n ? k ? 1 时,不等式 an ? c 也成立. 综合①、②可得,对一切正整数 n ,不等式 an ? c 均成立. 再由
1 p

a n?1 a 1 c ? 1 ? ( p ? 1) 可得 n?1 ? 1 ,即 an?1 ? an . an an p an
1

综上所述, an ? an?1 ? c p , n ? N * .

p ?1 c 证法 2:设 f ( x) ? x ? x1? p , x ? c p ,则 x p ? c ,并且 p p p ?1 c p ?1 c f ( x) ? ? (1 ? p) x ? p ? (1 ? p ) ? 0, x ? c p . p p p x
' 1

1

由此可得, f ( x) 在[ c ,?? )上单调递增,
1

1 p

1

1

因而,当 x ? c p 时, f ( x) ? f (c p ) ? c p . ①当 n ? 1 时,由 a1 ? c
1 p

? 0 ,即 a1p ? c 可知
1

p ?1 c 1? p 1 c a2 ? a1 ? a1 ? a1[1 ? ( p ? 1)] ? a1 ,并且 a2 ? f (a1 ) ? c p , p p p a1
从而 a1 ? a2 ? c .
1
1 p

故当 n ? 1 时,不等式 an ? an?1 ? c p 成立. ②假设 n ? k ( k ? 1, k ? N )时,不等式 ak ? ak ?1 ? c 成立,则
*

1 p

当 n ? k ? 1 时, f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (c ) ,即有 ak ?1 ? ak ? 2 ? c . 所以, n ? k ? 1 时,原不等式也成立. 综合①②可得,对一切正整数 n ,不等式 an ? an?1 ? c 均成立. 【点评】 本题为数列与不等式的综合问题, 主要考查数列递推公式、 数列迭代、 数学归纳法、 不等式的性质等知识,考查用放缩法、数学归纳法、导数的性质来证明不等式.考查考生推 理运算求解、综合分析问题的能力;熟练运用数学归纳法,推理证明是解题的关键;本题背
14
1 p

1 p

1 p

景常规,入手较宽,深入较难,两小题关联巧妙,也可以运用导数工具,构造函数来进行求 解.第一问实质上是证明贝努力不等式,是人教社 B 版 4—5 教材中的例题,因此在学习复习 的过程中要注意教材的使用.

例 7. (浙江理科)10、设函数 f1 ( x) ? x 2 , f 2 ( x) ? 2( x ? x 2 ), f 3 ( x) ?

1 | sin 2?x | , 3

ai ?

i , i ? 0,1,2,? ,99 , 99

记 I k ?| f k (a1 ) ? f k (a0 ) | ? | f k (a2 ) ? f k (a1 ) | ??? | f k (a99 ) ? f k (a98 ) | ,

k ? 1,2,3. 则(
A. I1 ? I 2 ? I 3 【答案】B

) B. I 2 ? I1 ? I 3 C. I1 ? I 3 ? I 2 D. I 3 ? I 2 ? I1

【解析】 (原稿中无解析) 【点评】考查绝对值函数求和, 比较大小问题.

例 8. (福建理科)21.(3)已知定义在 R 上的函数 f ?x? ? x ? 1 ? x ? 2 的最小值为 a . (Ⅰ)求 a 的值;

q, r 为正实数,且 p ? q ? r ? a ,求证: p 2 ? q 2 ? r 2 ? 3 . (Ⅱ)若 p ,
【解析】 (原稿中无解析) 【点评】绝对值不等式,柯西不等式的基础知识,考查考生的运算求解能力,化归与转化的 数学思想方法.

例 9. (2014 辽宁理科)12.已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x) 满足: ① f (0) ? f (1) ? 0 ; ②对所有 x, y ? [0,1] ,且 x ? y ,有 | f ( x) ? f ( y ) |?

1 | x ? y |. 2


若对所有 x, y ? [0,1] , | f ( x) ? f ( y) |? k ,则 k 的最小值为( A.

1 2

B.

1 4

C.

1 2?

D.

1 8

15

【解析】 数形结合法.据题可知, y ? f ( x) 的图像只能在由 4 个顶点 (0, 0) ,( , ) ,(1, 0) ,

1 1 2 4

1 1 (? , ? ) 组成的平行四边形区域内(不含边界).具体说,可以只在 x 轴上方,或只在 x 轴 2 4 1 下方,或在 x 轴上下方都有 3 中情况.前两种情况容易判断 | f ( x) ? f ( y ) |? . 4
对第 3 种情况,若有点 P 1 ( x1 , y1 ) 在平行四边形内,则不会存在 P 2 ( x2 , ? y1 ) 也在平行四边形 内.?| f ( x) ? f ( y ) |?

1 1 ,即 k ? .选 B. 4 4

【点评】考查绝对值不等式,考查分类讨论的思想.

例 10. (2014 辽宁文理科)24.设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 , g ( x) ? 16 x2 ? 8x ? 1 ,记

f ( x) ? 1 的解集为 M , g ( x) ? 4 的解集为 N .
(Ⅰ)求 M ; (Ⅱ)当 x ? M

N 时,证明: x 2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ?

1 . 4 4 ; 当 x ? 1 时, 解得 0 ? x ? 1 3

【解析】 (Ⅰ) f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1. 当 x ? 1 时, 解得 1 ? x ?

4 4 ? f ( x) ? 1 的解集为 [0, ] .所以, M ? {x | 0 ? x ? } . 3 3 1 3 2 (Ⅱ) g ( x) ? 16 x ? 8x ? 1 ? 4 ,解得 ? ? x ? 4 4 4 1 3 3 M ? [0, ] , N ? [ ? , ] , M ? N ? [0, ] 3 4 4 4

x2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ? x2[2(1 ? x) ? ( x ?1)] ? x(1 ? x)2
1 1 1 x2 (1 ? x) ? x(1 ? x)2 ? x2 ? x3 ? x(1 ? 2x ? x2 ) ? x ? x2 =x(1 ? x) ? (1 ? ) ? 2 2 4 1 4 ? x 2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ? , x ? [0, ] . 4 3
【点评】考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法,二次函数配方法等基本知识.不等式 证明的基本方法.考查分类讨论的思想和转化与化归的思想,考查分析问题,解决问题的能 力.

例 11. (陕西文理科)15.设 a, b, m, n ? R ,且 a ? b ? 5 , ma ? nb ? 5 ,则 m2 ? n2 的
2 2

最小值为

.

16

【答案】 5 . 【解析】由柯西不等式可得: (a2 ? b2 )(m2 ? n2 ) ? (ma ? nb)2

m2 ? n2 ? 5 .
【点评】考查柯西不等式及不等式的基本性质.

例 12. (湖南理科)13、若关于 x 的不等式 ax ? 2 ? 3 的解集为 ? x ? 则 a ? ________. 【答案】-3. 【解析】因为等式 | ax ? 2 |? 3 的解集为 {x | ?

? ?

5 1? ? x ? ?, 3 3?

5 1 5 1 ? x ? } ,所以 ? , 为方程 | ax ? 2 |? 3 3 3 3 3

? 5 | ? a ? 2 |? 3 ? ? 3 ? a ? ?3 ,故填-3. 的根,即 ? 1 ?| a ? 2 |? 3 ? ? 3
【考点定位】绝对值不等式,绝对值方程. 【点评】考查绝对值不等式的解法及转化与化归的思想.

例 13. (湖南文科)21.已知函数 (Ⅰ)求

f ( x) ? x cos x ? sin x ? 1( x ? 0) .

f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)记 xi 为 有

f ( x) 的从小到大的第 i(i ? N *) 个零点,证明:对一切 n ? N * ,

1 1 ? 2? 2 x1 x2

?

1 2 ? . xn 2 3

' 【解析】 (Ⅰ)函数 f ( x ) 求导可得 f ( x) ? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x( x ? 0) ,

令 f ( x) ? 0 可得 x ? k? (k ? N ) ,当 x ? (2k? ,(2k ? 1)? )(k ? N ) 时, sin x ? 0 .
' * *

此时 f ( x) ? 0 ;当 x ? ((2k ? 1)? ,(2k ? 2)? )(k ? N ) 时, sin x ? 0 ,此时 f ( x) ? 0 ,
' * ' * 故函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (2k? ,(2k ? 1)? )(k ? N ) ,

17

单调递增区间为 ((2k ? 1)? ,(2k ? 2)? )(k ? N * ) . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数 f ( x ) 在区间 (0, ? ) 上单调递减,又 f ( ) ? 0 ,所以 x1 ?

?

?
2

2



当 n ? N 时,因为 f (n? ) f ((n ? 1)? ) ? [(?1)n n? ? 1][(?1)n?1 (n ? 1)] ? 0 ,且函数 f ( x ) 的
*

图像是连续不断的,所以 f ( x ) 在区间 (n? ,(n ? 1)? ) 内至少存在一个零点,又 f ( x ) 在区间

(n? ,(n ? 1)? ) 上是单调的,故 n? ? xn?1 ? (n ? 1)? ,因此,对当 n ? 1 时,

1 4 2 ? 2? ; 2 x1 ? 3

当 n ? 2 时,

1 1 1 2 + 2 ? 2 (4 ? 1) ? ; 2 x1 x2 ? 3

当 n ? 3 时,

1 1 1 ? 2? 2+ 2 x1 x2 x3 ? ?

?

1 1 1 ? 2 [4 ? 1 ? 2 ? 2 xn ? 2 ?

?

1 ] (n ? 1)2

? ?

1 1 1 ? 2? 2+ 2 x1 x2 x3 1 1 1 ? 2? 2+ 2 x1 x2 x3

1 1 1 ? 2 [5 ? ? 2 xn ? 1? 2 1 1 1 ? 2 [5 ? (1 ? ) ? 2 xn ? 2
1 1 ? 2? 2 x1 x2

1 ] (n ? 2)(n ? 1) ?( 1 1 1 1 6 2 ? )] ? 2 (6 ? )? 2 ? n ?1 n ? 2 ? n ?1 ? 3

综上所述,对一切的 n ? N * ,都有

?

1 2 ? . xn 2 3

【考点定位】导数 单调性 放缩法 裂项求和 【点评】在知识的交汇处出题,注重学科间的综合,考查学生分析问题、解决问题的能力. 本题以三角函数为载体,考查函数的单调区间,导数、函数的零点以及不等式的证明,利用 数形结合的思想、函数与方程的思想以及转化与化归的思想求解函数的综合问题.

例 14. (2014 江西理科)11(1).对任意 x, y ? R , x ?1 ? x ? y ?1 ? y ? 1 的最小值为( ) A. 1 【答案】C. 【解析】 | x ?1| ? | x | ? | y ?1| ? | y ? 1 ?| x ?1 ? x | ? | y ?1 ? ? y ? 1? |? 1 ? 2 ? 3 【点评】考查绝对值不等式,考查考生转化与化归的能力. B. 2 C. 3 D. 4

18

例 15. (2014 江西文科)15. x, y ? R ,若 x ? y ? x ?1 ? y ?1 ? 2 ,则 x ? y 的取值范围 为__________. 【答案】 0 ? x ? y ? 2 【解析】? x ? x ? 1 ? 1 且 y ? y ? 1 ? 1 要使 x ? x ? 1 ? y ? y ? 1 ? 2 只能 x ? x ? 1 ? y ? y ? 1 ? 2

x ? x ?1 ? 1

y ? y ?1 ? 1

?0 ? x ? 1

0 ? y ?1

? 0? x? y ?2

【点评】文理科姊妹题,同样的考查内容,体现对文理科学生不同的要求立意.

例 16. (2014 重庆理科) 16、 若不等式 | 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? a ?
2

1 a ? 2 对任意实数 x 恒成立, 2

则实数 a 的取值范围是____________. 【答案】 [ ?1, ]

1 2

1 1 1 5 | ? | x ? | ? | x ? 2 | 有最小值 f ( ) ? 2 2 2 2 1 5 1 ? f ( x) ? a 2 ? a ? 2 恒成立,即 ? a 2 ? a ? 2 ,即 0 ? 2a 2 ? a ? 1, 2 2 2 1 解得 a ? [ ?1, ] 2
【解析】 由数轴可知, f ( x) ?| x ? 【点评】考查绝对值不等式的性质及绝对值不等式的解法,和恒成立问题,考查转化与化归 的思想.

例 17. (2014 广东理科)9.不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 的解集为 【答案】

.

? ??, ?3? ?2, ???

【解析】数轴上到 1 与-2 距离之和为 5 的数为-3 和 2,故该不等式的解集为:

? ??, ?3? ?2, ???
【点评】考查绝对值不等式的解法.

2 2 例 18.(2014 江苏)21 已知 x ? 0 , y ? 0 ,证明: (1 ? x ? y )(1 ? x ? y) ? 9xy

【解析】证明:因为 x ? 0 , y ? 0 ,
19

2 2 2 2 所以 1 ? x ? y ? 3 3 xy ? 0 , 1 ? x ? y ? 3 3 x y ? 0 , 2 2 2 2 故 (1 ? x ? y )(1 ? x ? y ) ? 3 3 xy ? 3 3 x y =9 xy .

【点评】主要考查均值不等式及不等式的基本性质.

4.矩阵与变换 例 1. (福建理科)21.已知矩阵 A 的逆矩阵 A?1 ? ? ?1 ? (Ⅰ)求矩阵 A ; (Ⅱ)求矩阵 A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 【解析】 (原稿中无解析)
?1

? 2 1? ?. 2? ?

例 2. 已知矩阵 A ? ? 求 x ? y 的值.

? ?1 ?1

2? ?1 , B?? ? x? ?2

1? ?2 ? , 向量 a ? ? ? ,x ,y 为实数. 若 Aa ? Ba , ? -1? ? y?

【解析】[选修 4-2:矩阵与变换] 本小题主要考察矩阵的乘法等基础知识,考查运算求解能力.满分 10 分. 解:由已知,得 A? ? ?

??1 2? ?2 ? ??2 ? 2 y ? ?1 1 ? ? 2 ? ? 2 ? y ? , ? B ? ? ?? ? ? ? ?2 ?1? ? y ? ? ?4 ? y ? . ? 1 x ? ? y ? ?2 ? xy ? ? ?? ? ? ?

1 ? ? ?2 ? 2 y ? ? 2 ? y ? ??2 ? 2 y =2 ? y ?x ? ? 因为 A? ? B? ,所以 ? 2, ??? ? ,故 ?2 ? xy =4 ? y ,解得 ? ? 2 ? xy ? ? 4 ? y ? ? ? ?y ? 4
所以 x ? y ?

7 . 2

【点评】主要考查矩阵及其逆矩阵的关系,矩阵的特征值及特征向量.

5.其他内容点缀其中... 例:陕西卷 欧拉公式,上海卷 数列与极限 例 1. (2014 天津文 20 理 19) (本小题满分 14 分) 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数.设集合 M = {0,1,2,

, q - 1},集合

20

A = {x x = x1 + x2q +

+ xn q n- 1 , xi ? M , i

1,2,

, n}.

(Ⅰ)当 q = 2 , n = 3 时,用列举法表示集合 A ; (Ⅱ)设 s, t ? A , s = a1 + a2q + 其中 ai , bi ? M , i = 1,2,

+ anqn- 1 , t = b1 + b2q +

+ bnqn- 1 ,

, n . 证明:若 an < bn ,则 s < t .

【解析】本小题主要考查集合的含义和表示,等比数列的前 n 项和公式,不等式的证明等基 础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分 14 分.

n = 3 时, (Ⅰ) 解: 当q = 2, M = {0,1},A = {x x = x1 + 2x2 + 4x3 , xi ? M , i
可得, A = {0,1,2,3,4,5,6,7}. (Ⅱ)证明:由 s, t ? A , s = a1 + a2q +

1,2,3}.

+ anqn- 1 , t = b1 + b2q +

+ bnqn- 1 ,

ai , bi ? M , i = 1,2,

, n 及 an < bn ,可得

s - t = (a1 - b1 ) + (a2 - b2 )q + ? (q 1) + (q - 1)q +
=

+ (an- 1 - bn- 1 )qn- 2 + (an - bn )qn- 1

+ (q - 1)qn- 2 - qn- 1
所以, s < t .

(q - 1)(1 - q n- 1 )
1- q

- q n- 1 = - 1 < 0 .

【点评】考查集合及其表示方法,数列求和以及不等式的证明方法,考查基本运算能力、推 理论证及分析问题、解决问题的能力.

例 2. (2014 陕西理科)14. 观察分析下表中的数据: 多面体 三棱锥 五棱锥 立方体 面数( F ) 5 6 6 顶点数( V ) 6 6 8 棱数( E ) 9 10 12

猜想一般凸多面体中, F , V , E 所满足的等式是_________. 【解析】 (原稿中无解析) 【点评】考查归纳推理,其结论就是选修中的欧拉公式.

21

例 3. (2014 上海理科)8、设无穷等比数列 {an } 的公比为 q ,若 a1 ? lim ( a3 ? a4 ? ?) ,则
n ??

q?
【答案】

.

5 ?1 2
q ? 1 , a1 ? lim(a3 ? a4 ? a5 ?
n ??

【解析】

a3 a1q 2 1 ? q n -2 ? an ) ? lim(a3 )? ? n?? 1? q 1? q 1? q

?q2 ? q ?1 ? 0 ,解得 q ?
5 ?1 . 2

?1 ? 5 ?1 ? 5 (舍去) ? 1 ,或 q ? 2 2

所以,答案为

【点评】考查数列求和与数列的极限.

22


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