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2007学年第一学期高一迎春杯数学竞赛试题


2007 学年第一学期高一迎春杯数学竞赛试题 以及质量分析
一、选择题(每小题 4 分,共 10 题) 1、函数 f ( x ) = sin x, g ( x ) = cos x ,集合 M = {x | f ( x ) ≠ 0}, N = {x | g ( x ) ≠ 0} 那么集合

{x | f ( x) g ( x) = 0} 等于
A、 (C R M ) ∩ (C R N )

( B、 (C R M ) ∩ N C、 (C R M ) ∪ N D、 (C R M ) ∪ (C R N ) ( B、 y = ln e x 与 y = e ln x D、 y = x 与y =
0



2、下列各组函数中,表示同一函数的是 A、 y = 3 x 5 与y = C、 y =



x2

( x ? 1)( x + 3) 与y = x + 3 x ?1

1 x0
( )

3、已知扇形的周长是 6cm,面积是 2cm2,则扇形的中心角的弧度数是 A、1 B、--1 C、1 或 4 D、2 或 4 4、设函数 f ( x ) = f ( ) lg x + 1 ,则 f (10) 的值是 A、1 B、--1 C、10 D、

1 x





1 10
( D、 f ( ?2) > f ( 2) ( ) )

5、设函数 f ( x ) = a ?| x| , ( a > 0且a ≠ 1) ,且 f ( 2) = 4 ,则 A、 f ( ?2) > f ( ?1) 6、函数 y = ?2 sin( 4 x + A、 (? B、 f ( ?1) > f ( ?2) C、 f (1) > f ( 2)

π
6

,0 )

B、 (

π
6

2π ) 的图象与 x 轴的交点中,离原点最近的点是 3
C、 (

,0 )

π

12

,0 )

D、 (?

π

12

,0 )

7、 已知函数 f ( x ) = 3 ? 2 | x |, g ( x ) = x 2 ? 2 x , 构造函数 F (x) 定义如下: f ( x ) ≥ g ( x ) , 当 时, F ( x ) = g ( x ), 当 f ( x ) < g ( x ) 时, F ( x ) = f ( x ), 那么 F(x) A、有最大值 3,最小值-1 C、有最大值 3,最小值 1 ( )

B、有最大值 7 ? 2 7 ,无最小值 D、无最大值,也无最小值 )

8、 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f ( x) = f ( x + 2), 当x ∈ [3,4]时,f ( x) = x ? 2 ,( 则 A、 f (sin ) < f (cos ) C、 f (sin 1) < f (cos 1)

1 2

1 2

B、 f (sin

) < f (cos ) 2 2 3 3 D、 f (sin ) < f (cos ) 2 2

π

π

1

9、 已知函数 f ( x ) = sin(πx ?

π
2

) ?1, 则下列命题正确的是
B、f(x)是周期为 2 的偶函数 D、f(x)是周期为 2 的非奇非偶函数 ( D、 (e,+∞)





A、f(x)是周期为 1 的奇函数 C、f(x)是周期为 1 的非奇非偶函数 10、函数 f ( x ) = ln x ? A、 (1,2)

2

π

的零点所在的大致区间是 C、 (1, ) 和(3,4)



B、 (2,3)

1 e

二、填空题(每小题 4 分,共 6 小题) 11 、 已 知 函 数 f (x ) 满 足 , 对 任 意 实 数 x1 < x 2 , 有f ( x1 ) < f ( x 2 ) , 且

f ( x1 + x 2 ) = f ( x1 ) f ( x 2 ) , 若写出一个满足这些条件的函数, 则这个函数可以写为———。
12、已知 0 < a < 1, 则方程a
| x|

=| log a x | 的实根的个数是————。

13、若 tan θ = 2, 则2 sin 2 θ ? 3 sin θ cos θ = —————。 14、函数 y = 2 sin( 2 x +

π
6

), ( x ∈ [?π ,0]) 的单调递减区间是—————。

15、已知二次函数 f(x)有两个不同零点 x1 , x 2 ,且 f ( 2 + x ) = f ( 2 ? x ) 对任意 x 都成立,则

x1 + x 2 = —————。
16、给出下列四个命题: (1)奇函数的图象一定经过原点; (2)函数 y = ln e x 是奇函数; (3)周期函数一定不是偶函数; (4)函数 y = lg(

2 ? 1) 是奇函数 1+ x

其中正确命题的序号为—————(将你认为正确的都填上) 三、解答题(共 3 题,每小题 12 分)

ex a 17、设 a > 0, f ( x) = + 是 R 上的偶函数 a ex
(1) 求 a 的值; (2) 证明 f ( x)在(0,+∞) 上是增函数。 18、已知 f ( x) = x 2 + 2 x tan θ ? 1, x ∈ [ ?1, 3 ] ,其中 θ ∈ ( ? (1) θ = ?

π π

π
6

, ) 2 2

时,求函数 f(x)的最大值与最小值;

(2)求 θ 的取值范围,使 y = f (x) 在区间 [?1, 3 ] 上是单调递增函数。 19、某港口水的深度 y(米)是时间 t (0 ≤ t ≤ 24, 单位:时)的函数,记作 y=f(t),下面是某 日水深日数据:

2

t时 y米

0 10.0

3 13.0

6 9.9

9 7.0

12 10.0

15 13.0

18 10.0

21 7.0

24 10.0

经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y = A sin ωt + b 的图象 (1) 根据以上数据求出函数 y=f(t),的近似表达式; (2) 一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时,认为是安全的 (船舶停靠时,船底只需不碰海底即可) ,某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米, 如果该船希望在一天内安全进出港。 请问, 它至多能在港口停留多长时间 (忽 略进出港所用的时间)?

质量分析
参加的学生:高一全体学生共 645 名 考试的内容:必修 1 与必修 4 的三角函数 考试的时间:90 分钟 试卷的题型:10 题选择题(每小题 4 分) 题填空题(每小题 4 分) 题解答题(每小题 、6 、3 12 分) 试卷的难度:这次是带竞赛性质的一次摸底考试,是一次选拔性考试。目的是选拔数学的优 秀学生。考前预计难度系数 0.55,实际结果只有 0.45。 主要原因是: (1)参考的学生是高一全体 (2)考试的内容广 (3)考试的时间短 (4)试题普遍是中等难度以上,每道题都有两个知识点以上,学生的基础知识 要非常扎实,运算能力要比较强。 基于以上原因,学生的成绩不理想,但是好的学生也发挥了正常水平,年级最 高分达 92 分,及格人数 82 个,达到了竞赛的选拔目的。 下阶段工作: (1)培养优秀学生, (2)注意加强学生的基础知识,特别是中等生的培养 (3)关注数学成绩差的学生,特别是女学生,要加强个别辅导。

3


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