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高考数学二轮复习:专题训练(六) 三角函数的图象与性质


专题训练(六)

三角函数的图象与性质

A 级——基础巩固组
一、选择题 1.(2014· 全国大纲卷)已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cosα=( 4 A. 5 3 C.- 5 解析 cosα= 答案 D 2.(2014· 四川卷)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象,只需把函数 y=sin2x 的图象上所 有

的点( ) 3 B. 5 4 D.- 5 -4
2

)

- +3

2=-5.

4

1 A.向左平行移动 个单位长度 2 1 B.向右平行移动 个单位长度 2 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度 1? 1 解析 ∵y=sin(2x+1)=sin2? ?x+2?,∴只需把 y=sin2x 图象上所有的点向左平移2个单 位长度即得到 y=sin(2x+1)的图象. 答案 A π 3.(2014· 北京东城一模)将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一 8 个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为( 3π A. 4 π C. 4 π B. 2 π D.- 4 )

π π 解析 y=sin(2x+φ), (k∈Z)? φ=kπ+ (k∈Z),当 k=0 时,φ= ,故选 C. 4 4 答案 C π? π π? 4. 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? 若 x1, x2∈? ?A>0,ω>0,|φ|<2?的部分图象如图所示, ?-6,3?, 且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=( )
1

A.1 C. 2 2

1 B. 2 D. 3 2

解析 观察图象可知,A=1,T=π, ∴ω=2,f(x)=sin(2x+φ). π π - ,0?代入上式得 sin?- +φ?=0, 将? ? 6 ? ? 3 ? π π 由|φ|< ,得 φ= , 2 3 π 2x+ ?. 则 f(x)=sin? 3? ? π π - + 6 3 π 函数图象的对称轴为 x= = . 2 12 π π? 又 x1,x2∈? ?-6,3?, x1+x2 π 且 f(x1)=f(x2),∴ = , 2 12 π ∴x1+x2= , 6 π π 3 2× + ?= .故选 D. ∴f(x1+x2)=sin? 6 3 ? ? 2 答案 D π π 5.函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的最小正周期是 π,若其图象向右平移 个单位后 2 6 得到的函数为奇函数,则函数 f(x)的图象( π ? A.关于点? ?12,0?对称 π ? C.关于点? ?6,0?对称 )

π B.关于直线 x= 对称 12 π D.关于直线 x= 对称 6

2

2π 解析 ∵T= =π,∴ω=2. ω π ∴f(x)=sin(2x+φ)向右平移 个单位, 6 π ? 得 y=sin? ?2x-3+φ?为奇函数, π ∴- +φ=kπ(k∈Z), 3 π ∴φ= +kπ(k∈Z), 3 π? π ∴φ= ,∴f(x)=sin? ?2x+3?. 3 π π? ∵sin? ?2×12+3?=1, π ∴直线 x= 为函数图象的对称轴.故选 B. 12 答案 B π? 6.已知函数 f(x)=cos? ?2x+3?-cos2x,其中 x∈R,给出下列四个结论:①函数 f(x)是 2π 最小正周期为 π 的奇函数; ②函数 f(x)图象的一条对称轴是直线 x= ; ③函数 f(x)图象的一 3 5π ? π 2π 个对称中心为? ?12,0?;④函数 f(x)的递增区间为 kπ+6,kπ+ 3 ,k∈Z.则正确结论的个数是 ( ) A.1 C.3 解析 B.2 D.4 π? π π 由 已 知 得 , f(x) = cos ? ?2x+3? - cos2x = cos2xcos 3 - sin2xsin 3 - cos2x = -

π? 2π ?2π? ?4π π? sin? ?2x+6?,不是奇函数,故①错;当 x= 3 时,f? 3 ?=-sin? 3 +6?=1,故②正确;当 x 5π? 5π π π 3 π = 时,f? ?12?=-sinπ=0,故③正确;令 2kπ+2≤2x+6≤2kπ+2π,k∈Z,得 kπ+6≤x≤kπ 12 2 + π,k∈Z,故④正确.综上,正确的结论个数为 3. 3 答案 C 二、填空题 π ? 1 π +α = ,则 sin? +2α?=________. 7.若 sin? 3 6 ? ? 3 ? ? 解析 π π π 2π π 7 +2α?=-cos? + +2α?=-cos? +2α?=2sin2? +α?-1=- . sin? ?6 ? ?2 6 ? ?3 ? ?3 ? 9

7 答案 - 9
3

8.(2014· 江苏卷)已知函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标 π 为 的交点,则 φ 的值是________. 3 解析 利用函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的图象交点横坐标,列方程求解. π π ? 由题意,得 sin? ?2×3+φ?=cos3, π 因为 0≤φ<π,所以 φ= . 6 答案 π 6

9.(2014· 北京卷)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若 f(x)在区 π π? ?π? ?2π? ?π? 间? ?6,2?上具有单调性,且 f?2?=f? 3 ?=-f?6?,则 f(x)的最小正周期为________. π π? ?π? ?π? ?π ? 解析 由 f(x)在区间? ?6,2?上具有单调性,且 f?2?=-f?6?知,f(x)有对称中心?3,0?, π? ?2 ? 1?π 2 ? 7 1 π π 2 由 f? ?2?=f?3π?知 f(x)有对称轴 x=2?2+3π?=12π,记 T 为最小正周期,则2T≥2-6? T≥3π, 7 π T 从而 π- = ,故 T=π. 12 3 4 答案 π

三、解答题 π π π 10.(2014· 重庆卷)已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0,- ≤φ< )的图象关于直线 x= 对 2 2 3 称,且图象上相邻两个最高点的距离为 π. (1)求 ω 和 φ 的值; α? 2π? 3?π ? 3π? (2)若 f? ?2?= 4 ?6<α< 3 ?,求 cos?α+ 2 ?的值. 解 (1)因 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π,

2π 所以 f(x)的最小正周期 T=π,从而 ω= =2. T π 又因 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 3 π π 所以 2·+φ=kπ+ ,k=0,± 1,± 2,…. 3 2 π π π 2π π 因- ≤φ< 得 k=0,所以 φ= - =- . 2 2 2 3 6 α? ? α-π?= 3, (2)由(1)得 f? 2 6? 4 ?2?= 3sin?2· π? 1 所以 sin? ?α-6?=4.

4

π 2π π π 由 <α< 得 0<α- < , 6 3 6 2 π? 所以 cos? ?α-6?= π? 1-sin2? ?α-6?= 1?2 15 1-? ?4? = 4 .

π π 3π α+ ?=sinα=sin??α-6?+ ? 因此 cos? 2? ? ? 6 ?

?

?

π π π π α- ?cos +cos?α- ?sin =sin? ? 6? 6 ? 6? 6 3+ 15 1 3 15 1 = × + ×= . 4 2 4 2 8 11. (2014· 山东菏泽一模)已知函数 f(x)=2sinωxcosωx+2 3sin2ωx- 3(ω>0)的最小正周 期为 π. (1)求函数 f(x)的单调增区间; π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位, 得到函数 y=g(x)的图象, 6 若 y=g(x)在[0,b]( b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值. 解 (1) 由 题 意 得 f(x) = 2sinωxcosωx + 2 3 sin2ωx - 3 = sin2ωx - 3 cos2ωx =

π 2ωx- ?, 2sin? 3? ? 由最小正周期为 π,得 ω=1, π 2x- ?, 所以 f(x)=2sin? 3? ? π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 整理得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 12 12 所以函数 f(x)的单调增区间是

?kπ- π ,kπ+5π?,k∈Z. 12 12? ?
π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到 y=2sin2x+1 的图 6 象, 所以 g(x)=2sin2x+1. 7π 11π 令 g(x)=0,得 x=kπ+ 或 x=kπ+ (k∈Z), 12 12 所以在[0,π]上恰好有两个零点,若 y=g(x)在[0,b]上有 10 个零点,则 b 不小于第 10 11π 59π 个零点的横坐标即可,即 b 的最小值为 4π+ = . 12 12

B 级——能力提高组
5

π? 1. 设函数 f(x)= 3cos(2x+φ)+sin(2x+φ)? 且其图象关于直线 x=0 对称, 则( ?|φ|<2?, π? A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在? ?0,2?上为增函数 π? B.y=f(x)的最小正周期为 π,且在? ?0,2?上为减函数 π? π C.y=f(x)的最小正周期为 ,且在? ?0,4?上为增函数 2 π? π D.y=f(x)的最小正周期为 ,且在? ?0,4?上为减函数 2 解析 f(x)= 3cos(2x+φ)+sin(2x+φ)

)

π 2x+ +φ?, =2sin? 3 ? ? ∵其图象关于 x=0 对称,∴f(x)是偶函数. π π ∴ +φ= +kπ,k∈Z. 3 2 π π 又∵|φ|< ,∴φ= . 2 6 π π 2x+ + ?=2cos2x. ∴f(x)=2sin? 3 6? ? π 0, ?上为减函数. 易知 f(x)的最小正周期为 π,在? ? 2? 答案 B π π? 2.(2014· 全国大纲卷)若函数 f(x)=cos2x+asinx 在区间? ?6,2?是减函数,则实数 a 的取 值范围是________. 解析 1 ? ?1 ? f(x)=1-2sin2x+asinx=-2sin2x+asinx+1,sinx∈? ?2,1?,令 t=sinx∈?2,1?,

1 ? a 1 则 y=-2t2+at+1 在? ?2,1?是减函数,∴对称轴 t=4≤2,∴a≤2. 答案 (-∞,2]

3.(2014· 湖北卷)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数 关系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温? 解 (1)因为 f(t)=10-2? π π? 3 π 1 π ? =10-2sin? ?12t+3?, ? 2 cos12t+2sin12t?

π π π 7π 又 0≤t<24,所以 ≤ t+ < , 3 12 3 3
6

π π? -1≤sin? ?12t+3?≤1. π π? 当 t=2 时,sin? ?12t+3?=1; π π? 当 t=14 时,sin? ?12t+3?=-1. 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温. π π? 由(1)得 f(t)=10-2sin? ?12t+3?, π π? 故有 10-2sin? ?12t+3?>11, π π? 1 即 sin? ?12t+3?<-2. 7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < ,即 10<t<18. 6 12 3 6 在 10 时至 18 时实验室需要降温.

7


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