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黑龙江省哈尔滨六中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析


黑龙江省哈尔滨六中 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的 1.等比数列{an}中,a2= A.8 B.﹣8 =2,则 a6=() C.﹣8 或 8 D.4

2.在△ ABC 中,若 sin2A=sin2B,则△ ABC 一

定是() A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 3.下列各组向量中,共线的是() A. C. B. D.

4.数列 2,3,5,9,17,33,…的通项公式 an 可以是() n n n A.2 B.2 +1 C.2 ﹣1 5.若 x<y 与 A.x>0,y>0 同时成立,则() B.x>0,y<0 C.x<0,y>0

D.2

n﹣1

+1

D.x<0,y<0

6.已知 ab>0,bc>0,则直线 ax+by=c 通过() A.第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 7.已知直线 3x+2y﹣3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,则它们之间的距离是() A.4 B. C. D.

8.若实数 x,y 满足

,则函数 z=2x+y 的最大值为()

A.12

B.
2 2

C. 3

D.15

9.设 M 是圆(x﹣5) +(y﹣3) =4 上的一点,则 M 到直线 4x+3y﹣4=0 的最小距离是() A.7 B. 5 C. 3 D.2

10.过圆 x +y ﹣2x+4y﹣4=0 内一点 M(3,0)作直线 l,使它被该圆截得的线段最短,则 直线 l 的方程是() A.x+y﹣3=0 B.x﹣y﹣3=0 C.x+4y﹣3=0 D.x﹣4y﹣3=0 11.双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率 为() A. B. C. D.

2

2

12.椭圆

+

=1 上一点 P 到左焦点 F1 的距离为 2,M 是线段 PF1 的中点,则 M 到原点

O 的距离等于() A.2

B. 6

C. 4

D.8

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案写在答题卡上相应的位置 13.函数 f(x)= + 的值域是.

14.若向量

满足

,则| + |的取值范围是.

15.已知一圆的圆心为(2,3) ,一条直径的端点分别在 x,y 轴上,则此圆的方程是. 16.点 A(﹣2,4) ,F 是抛物线 x =2y 的焦点,点 P 在抛物线上移动,则使|PA|+|PF|取得最 小值的点 P 的坐标是.
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 17.已知递增等差数列{an}满足 a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列 (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn≤50n﹣200,求正整数 n 的取值范围. 18.在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (1)求角 C; (2)若 c=2,△ ABC 的面积为 ,求 a,b 的值. 19.过抛物线 y =2x 焦点的直线与抛物线交于 A,B 两点,且|AB|=5 (1)求线段 AB 中点的横坐标; (2)求直线 AB 的方程.
2

=2csinA.

20.已知椭圆 C 的一个顶点为 A(0,﹣1) ,焦点在 x 轴上,右焦点到直线 x﹣y+2 距离为 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 与直线 y=x+1 相交于不同的两点 M,N,求 ? 的值.

=0 的

21.已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|(a>0) (1)当 a=3 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)>2a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

22.已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点(0,1) ,离心率为

,点 Q 为椭圆 C 的左顶点

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知过点(﹣1,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求△ QAB 面积的最大值.

黑龙江省哈尔滨六中 2014-2015 学年高一下学期期末数 学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的 1.等比数列{an}中,a2= A.8 考点: 专题: 分析: 解答: B.﹣8 =2,则 a6=() C.﹣8 或 8 D.4

等比数列的性质;等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 根据等比数列的性质进行求解即可. 2 解:在等比数列中,a2a6=(a4) ,

即 a6=4, ∴a6=8, 故选:A. 点评: 本题主要考查等比数列项的求解,根据等比中项的性质是解决本题的关键. 2.在△ ABC 中,若 sin2A=sin2B,则△ ABC 一定是() A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 考点: 三角形的形状判断.

专题: 计算题. 分析: 解法 1:利用题设等式,根据和差化积公式整理求得 cos(A+B)=0 或 sin(A﹣B) =0,推断出 A+B=90°或 A=B,即可判断出三角形的形状. 解法 2:由两角的正弦值相等及 A 和 B 为三角形的内角,得到两角 2A 和 2B 相等或互补, 即 A 与 B 相等或互余,进而确定出三角形的形状. 解答: 解:法 1:∵sin2A=sin2B, ∴sin2A﹣sin2B=cos(A+B)sin(A﹣B)=0, ∴cos(A+B)=0 或 sin(A﹣B)=0, ∴A+B=90°或 A=B, 则△ ABC 一定是直角三角形或等腰三角形. 法 2:∵sin2A=sin2B,且 A 和 B 为三角形的内角, ∴2A=2B 或 2A+2B=180°,即 A=B 或 A+B=90°, 则△ ABC 一定是等腰或直角三角形. 故选 D 点评: 此题考查了三角形形状的判断,涉及的知识有:正弦、余弦函数的图象与性质,积 化和差公式,以及等腰三角形的判定,解题的关键是挖掘题设信息,借助三角函数的基本公 式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系. 3.下列各组向量中,共线的是() A. C. B. D.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理即可判定出. 解答: 解:若 与 共线,则存在实数 λ 使得 =λ , 经过验证:只有 B 满足条件, .

故选:B. 点评: 本题考查了向量共线定理,属于基础题. 4.数列 2,3,5,9,17,33,…的通项公式 an 可以是() n n n A.2 B.2 +1 C.2 ﹣1

D.2

n﹣1

+1

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 方法 1:根据数列的项寻找规律,利用累加法进行求解,即可得到结论. 方法 2:利用特殊值法进行排除即可. 解答: 解:法 1:由题意得 a1=2,a2=3,a3=5,a4=9,a5=17,a6=33,… 则 a2﹣a1=1, a3﹣a2=2,

a4﹣a3=4, a5﹣a4=8, a6﹣a5=16, … an﹣an﹣1=2
n﹣2


n﹣2

等式两边相加得 an﹣a1=1+2+4+…+2
n﹣1 n﹣1 n﹣1

=

=2

n﹣1

﹣1,

则 an=a1+2 ﹣1=2 ﹣1+2=2 +1, n 法 2:A.当 n=2 时,2 =4.不满足条件.排除. B.当 n=1 时,2+1=3.不满足条件.排除. C.当 n=1 时,2﹣1=1.不满足条件.排除. 故选:D. 点评: 本题主要考查数列通项公式的求解, 根据条件利用作差法以及累加法是解决本题的 关键.利用排除法比较简单.

5.若 x<y 与 A.x>0,y>0

同时成立,则() B.x>0,y<0 C.x<0,y>0 D.x<0,y<0

考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由 解答: 解:∵ ,可得 ,∴ <0,又 x<y,可得 y﹣x>0,因此 xy<0,即可得出. <0,

又 x<y,∴y﹣x>0, ∴xy<0, ∴x<0<y. 故选:C. 点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 6.已知 ab>0,bc>0,则直线 ax+by=c 通过() A.第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 利用直线斜率与截距的意义即可得出. 解答: 解:直线 ax+by=c 化为 ∵ab>0,bc>0, ∴ <0, >0, .

∴直线通过第一、二、四象限. 故选:B. 点评: 本题考查了直线斜率与截距的意义,属于基础题. 7.已知直线 3x+2y﹣3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,则它们之间的距离是() A.4 B. C. D.

考点: 两条平行直线间的距离. 专题: 直线与圆. 分析: 根据两条直线平行,一次项的系数对应成比例,求得 m 的值,再根据两条平行线 间的距离公式求得它们之间的距离. 解答: 解:直线 3x﹣2y﹣3=0 即 6x﹣4y﹣6=0,根据它和 6x+my+1=0 互相平行,可得 ,故 m=﹣4. 可得它们间的距离为 d= = ,

故选:D. 点评: 本题主要考查两条直线平行的性质, 两条平行线间的距离公式的应用, 属于中档题.

8.若实数 x,y 满足

,则函数 z=2x+y 的最大值为()

A.12

B.

C. 3

D.15

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求最大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(5,2) ,

代入目标函数 z=2x+y 得 z=2×5+2=12. 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 12. 故选:A

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用目标函数的几何意义, 结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 9.设 M 是圆(x﹣5) +(y﹣3) =4 上的一点,则 M 到直线 4x+3y﹣4=0 的最小距离是() A.7 B. 5 C. 3 D.2 考点: 点到直线的距离公式;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 利用点到直线的距离公式求出圆心 M 到直线 4x+3y﹣4=0 的距离 d, 减去半径即可 得到最小距离. 解答: 解:由圆(x﹣5) +(y﹣3) =4,得到圆心 M(5,3) ,半径 r=2, ∵圆心 M 到直线 4x+3y﹣4=0 的距离 d= =5,
2 2 2 2

∴M 到直线 4x+3y﹣4=0 的最小距离为 5﹣2=3, 故选:C. 点评: 本题考查了直线与圆的位置关系,以及点到直线的距离公式,根据题意得出 d﹣r 为最小距离是解本题的关键. 10.过圆 x +y ﹣2x+4y﹣4=0 内一点 M(3,0)作直线 l,使它被该圆截得的线段最短,则 直线 l 的方程是() A.x+y﹣3=0 B.x﹣y﹣3=0 C.x+4y﹣3=0 D.x﹣4y﹣3=0 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题. 分析: 将圆的方程化为标准方程,找出圆心 A 的坐标,由垂径定理得到与直径 AM 垂直 的弦最短,根据 A 和 M 的坐标求出直线 AM 的斜率,利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1, 求出直线 l 的斜率,由求出的斜率及 M 的坐标,即可得到直线 l 的方程. 2 2 解答: 解:将圆的方程化为标准方程得: (x﹣1) +(y+2) =9, ∴圆心 A 坐标为(1,﹣2) ,又 M(3,0) , ∵直线 AM 的斜率为 =1,
2 2

∴直线 l 的斜率为﹣1, 则直线 l 的方程为 y=﹣(x﹣3) ,即 x+y﹣3=0. 故选 A 点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:圆的标准方程,两直线垂直时斜 率满足的关系,以及直线的点斜式方程,根据垂径定理得到与直径 AM 垂直的弦最短是解 本题的关键. 11.双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率 为() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据双曲线对称性可知∠OMF2=60°,在直角三角形 MOF2 中可得 tan∠OMF2= = ,进而可得 b 和 c 的关系式,进而根据 a= 求得 a 和 b 的关系

式.最后代入离心率公式即可求得答案. 解答: 解:根据双曲线对称性可知∠OMF2=60°, ∴tan∠OMF2= ∴a= ∴e= = . = = = b, ,即 c= b,

故选 B. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.本题利用了双曲线的对称性.

12.椭圆

+

=1 上一点 P 到左焦点 F1 的距离为 2,M 是线段 PF1 的中点,则 M 到原点

O 的距离等于() A.2

B. 6

C. 4

D.8

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,可得|PF2|=2a﹣|PF1|=8,在△ PF1F2 中利用中位 线定理,即可得到的|OM|值. 解答: 解:∵椭圆 + =1 中,a=5,

∴|PF1|+|PF2|=2a=10, 结合|PF1|=2,得|PF2|=2a﹣|PF1|=10﹣2=8, ∵OM 是△ PF1F2 的中位线,

∴|OM|= |PF2|= ×8=4. 故选:C.

点评: 本题给出椭圆的焦点三角形的一边长, 求另一边中点到原点的距离, 着重考查了椭 圆的定义和标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案写在答题卡上相应的位置 13.函数 f(x)= + 的值域是{2,﹣2,0}.

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的值域. 函数的性质及应用. 由三角函数的符号分类讨论取掉绝对值可得. 解:由题意可得 sinx≠0 且 cosx≠0,∴角 x 的终边不在坐标轴, + + =1+1=2; =1﹣

当 x 的终边在第一象限时,sinx 和 cosx 为正数,可得 f(x)= 当 x 的终边在第二象限时,sinx 为正数,cosx 为负数,可得 f(x)= 1=0; 当 x 的终边在第三象限时,sinx 和 cosx 为负数,可得 f(x)= 2; 当 x 的终边在第四象限时, sinx 为负数, cosx 为正数, 可得 ( f x) = 综合可得函数的值域为:{2,﹣2,0} 故答案为:{2,﹣2,0}. 点评: 本题考查函数的值域,涉及三角函数的符号,属基础题.

+

=﹣1﹣1=﹣

+

=﹣1+1=0

14.若向量

满足

,则| + |的取值范围是[2,10].

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得﹣24≤ 的取值范围. 解答: 解:由 ,可得﹣24≤ ≤24, ≤24,再根据| + |= = ,求得| + |

∴| + |= 再根据 4≤52+2

= ≤100,可得

= ∈[2,10],



故答案为:[2,10]. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量的模的方法,属于基础题. 15.已知一圆的圆心为(2,3) ,一条直径的端点分别在 x,y 轴上,则此圆的方程是(x﹣2) 2 2 +(y﹣3) =13. 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 直径的两个端点分别 A(a,0)B(0,b) ,圆心(2,3)为 AB 的中点,利用中点 坐标公式求出 a,b 后,再利用两点距离公式求出半径. 解答: 解:设直径的两个端点分别 A(a,0)B(0,b) . 圆心为点(2,3) ,由中点坐标公式得,a=4,b=6,∴r=
2 2

=



则此圆的方程是(x﹣2) +(y﹣3) =13, 2 2 故答案为: (x﹣2) +(y﹣3) =13. 点评: 本题考查圆的方程求解,确定圆心、半径即能求出圆的标准方程. 16.点 A(﹣2,4) ,F 是抛物线 x =2y 的焦点,点 P 在抛物线上移动,则使|PA|+|PF|取得最 小值的点 P 的坐标是(﹣2,2) . 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线的标准方程,求出焦点坐标和准线方程,设 P 到准线的距离为 d,利用 抛物线的定义可得求|PA|+|PF|的最小值就是求|PA|+d 的最小值. 解答: 解:抛物线标准方程 x =2y,p= ,焦点 F(0, ) ,准线方程为 y=﹣ . 设 P 到准线的距离为 d,则|PF|=d, 所以求|PA|+|PF|的最小值就是求|PA|+d 的最小值 显然,直接过 A 做 y=﹣ 的垂线 AQ,当 P 是 AQ 与抛物线的交点时,|PA|+d 有最小值 此时 P(﹣2,2) . 故答案为: (﹣2,2) . 点评: 本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,得到|PA|+|PF|的最小值 就是求|PA|+d 的最小值是解题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 17.已知递增等差数列{an}满足 a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列 (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn≤50n﹣200,求正整数 n 的取值范围.
2 2

考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: (1)利用(2+d) =2?(2+4d)可知公差 d=4,进而计算可得结论; 2 (2)通过(1)可知问题即为解不等式 2n ≤50n﹣200,计算即得结论. 解答: 解: (1)设递增等差数列{an}的公差为 d(>0) , ∵a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列, ∴ =a1?a5,即(2+d) =2?(2+4d) ,
2 2

整理得:d =4d, 解得:d=4 或 d=0(舍) , ∴数列{an}的通项公式 an=2+4(n﹣1)=4n﹣2; (2)由(1)可知 Sn=
2 2

=2n ,

∴Sn≤50n﹣200,即 2n ≤50n﹣200, 解得:5≤n≤20. 点评: 本题考查数列的通项及前 n 项和,注意解题方法的积累,属于中档题. 18.在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (1)求角 C; (2)若 c=2,△ ABC 的面积为 ,求 a,b 的值. 考点: 解三角形. 专题: 解三角形. 分析: (1)在锐角△ ABC 中,由已知 sinC= ,可得 C 的值.
2 2

=2csinA.

=2csinA 可得

,解得

(2)若 c=2,由余弦定理可得 4=a +b ﹣ab ①,再由 由①②联立方程组解得 a,b 的值. 解答: 解: (1)∵在锐角△ ABC 中,已知 ∴ ,解得 sinC=
2 2

=

,解得 ab=4 ②,

=2csinA, . =a +b ﹣ab ①.
2 2

,∴C=

(2)若 c=2,由余弦定理可得 4=a +b ﹣2ab?cos 又∵△ABC 的面积为 ∴ = ,

,解得 ab=4 ②.

由①②联立方程组解得 a=2,b=2. 点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题. 19.过抛物线 y =2x 焦点的直线与抛物线交于 A,B 两点,且|AB|=5 (1)求线段 AB 中点的横坐标; (2)求直线 AB 的方程.
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的 距离等于到准线的距离,列出方程求出 A,B 的中点横坐标; (2)设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣ ) ,代入抛物线 y =2x,利用 x1+x2=4,求出 k,即可求 直线 AB 的方程. 解答: 解: (1)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ∵F 是抛物线 y =2x 的焦点 F( ,0) ,准线方程 x=﹣ , ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =5 解得 x1+x2=4, ∴线段 AB 的中点横坐标为 2; (2)设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣ ) , 代入抛物线 y =2x,可得 k x ﹣(k +2)x+ ∴x1+x2= =4,
2 2 2 2 2 2

=0

∴k=±

,∴直线 AB 的方程为 y=±

(x﹣ ) .

点评: 本题考查直线与抛物线的位置关系, 考查学生的计算能力, 利用抛物线的定义将到 焦点的距离转化为到准线的距离. 20.已知椭圆 C 的一个顶点为 A(0,﹣1) ,焦点在 x 轴上,右焦点到直线 x﹣y+2 距离为 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 与直线 y=x+1 相交于不同的两点 M,N,求 ? 的值. =0 的

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据题意,设椭圆的方程为 +y =1,表示出其右焦点的坐标,依题意,可
2

得 d=

=3,解可得 a 的值,代入可得椭圆的方程;
2

2

(2)根据题意,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,联立直线与椭圆的方程并消去 y 可得 x +3 2 (x+1) ﹣3=0,分析可得 x1、x2 是该方程的 2 个根,解方程可得 x1、x2 的值,即可得 M、 N 的坐标,进而可得 、 的坐标,由数量积公式计算可得答案.

解答: 解: (1)根据题意,椭圆 C 的一个顶点为 A(0,﹣1) ,焦点在 x 轴上,设椭圆的 方程为 +y =1,
2

其右焦点的坐标为(

,0) ,

右焦点到直线 x﹣y+2 解可得,a =3, 则椭圆的方程为
2

=0 的距离 d=

=3,

+y =1;

2

(2)根据题意,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 联立直线与椭圆的方程可得
2 2



消去 y 可得 x +3(x+1) ﹣3=0,x1、x2 是该方程的 2 个根, 2 化简可得 4x +6x=0, 解可得 x1=0,x2=﹣ , 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , M、N 在直线 y=x+1 上,则 y1=1,y2=﹣ , 则 M(0,1)N(﹣ ,﹣ ) 则 则 即 =(0,2) , ? ? =(﹣ , ) ,

=0×(﹣ )+2× =1; 的值为 1.

点评: 本题考查直线与椭圆的方程的应用, 对于此类问题, 一般要联立直线与椭圆的方程, 通过消元转化为一元二次方程分析求解. 21.已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|(a>0) (1)当 a=3 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)>2a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)当 a=3 时,不等式即|x﹣ |+|x+ |≤3,再根据绝对值的意义,求得不等式的解 集.

(2)利用绝对值三角不等式求得|2x﹣1|+|2x+a|的最小值为 a+1,可得 a+1>2a,由此求得 a 的范围. 解答: 解: (1)当 a=3 时,不等式 f(x)≤6,即|2x﹣1|+|2x+3|≤6,即|x﹣ |+|x+ |≤3. |x﹣ |+|x+ |表示数轴上的 x 对应点到﹣ 、 对应点的距离之和,而﹣2 和 1 对应点到﹣ 、 对应点的距离之和正好等于 3, 故不等式的解集为[﹣2,1]. (2)因为不等式|2x﹣1|+|2x+a|>2a 恒成立,a>0,而|2x﹣1|+|2x+a|≥|(2x﹣1)﹣(2x+a) |=|a+1|=a+1, 故 a+1>2a,求得 0<a<1. 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,函数的恒 成立问题,体现了转化的数学思想,属于中档题.

22.已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点(0,1) ,离心率为

,点 Q 为椭圆 C 的左顶点

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知过点(﹣1,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求△ QAB 面积的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)通过将点(0,1)代入椭圆 C 方程可知 b=1,利用离心率可知 a=2,进而可 得结论; (2)对直线 l 的斜率存在性进行讨论,当直线 l 斜率存在时设过 D(﹣1,0)的直线 l 的方 程为 y=k(x+1) ,并与椭圆方程联立,利用韦达定理代入 S△ QAB= ?|QD|?|y1|+ ?|QD|?|y2| 计算即得结论;当直线 l 斜率不存在时可知过 D(﹣1,0)的直线 l 的方程为 x=﹣1,计算 即得结论. 解答: 解: (1)依题意,设椭圆 C: ∵椭圆 C 过点(0,1) , ∴椭圆 C 的上顶点为(0,1) ,即 b=1, 又∵e= = ∴a=2, ∴椭圆 C 的标准方程为: +y =1;
2

+

=1(a>b>0) ,

=



(2)由(1)可知 Q(﹣2,0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ①当直线 l 斜率存在时,可设过 D(﹣1,0)的直线 l 的方程为:y=k(x+1) ,

联立

,消去 y、整理得: (4k +1)x +8k x+4k ﹣4=0,

2

2

2

2

∴x1+x2=﹣

,x1x2=



S△ QAB= ?|QD|?|y1|+ ?|QD|?|y2| = ?|QD|?|y1﹣y2| = ?1?k|x1﹣x2| = ?

= ?

= ?4

=2?

=2?



记 t=

,则 0<t< ,
2

∵g(t)=t﹣t =﹣ ∴g(t)max<g( )= ∴S△ QAB<2? = ; ,

+ 在区间(0, )上单调递增,

②当直线 l 斜率不存在时,过 D(﹣1,0)的直线 l 的方程为:x=﹣1,

联立

,解得:y1=﹣

,y2=



∴S△ QAB= ?|QD|?|y1|+ ?|QD|?|y2|

= ?|QD|?|y1﹣y2| = = ; .

综上所述,△ QAB 面积的最大值为

点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,考查分类讨论的思想, 注意解题方法的积累,属于中档题.


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