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高中物理竞赛辅导教材讲义(高一适用)[1]


第五讲:运动的基本概念、运动的合成与分解
5、如图所示,有一河面宽 L=1km,河水由北向南流动,流速 v=2m/s,一人相对于 河水以 u=1m/s 的速率将船从西岸划向东岸。 (1)若船头与正北方向成α =30°角,船到达对岸要用多少时间?到达对岸时,船 在下游何处? (2)若要使船到达对岸的时间最短,船头应与岸成多大的角度?最短时间等于多 少?到达对岸时,船在下游

何处? (3)若要使船相对于岸划行的路程最短,船头应与岸成多大的角度?到达对岸时, 船在下游何处?要用多少时间?
L (1)船头与正北方向成 15° 角,船到对岸花多少时间?何处? (2)要求时间最短,船头与河岸应多少度?最短时间多少?到岸时,处于何处? 北 东

已知水流速度

V=2m/s,船在静水中的速度是

V`=1.5m/s,河宽 S=1 千

米=1000 米 (1)当船头与正北方向成 15° 角时,把静水中的航速 V`正交分解在平行河岸与 垂直河岸方向, 垂直河岸方向的速度分量是 V`1=V`*sin15° =1.5*sin15° =1.5*根号[(1- cos30° ) / 2 ]=0.388m/s 平行河岸方向的速度分量是 V`2=V`*cos15° =1.5*cos15° =1.5*根号[(1+ cos30° ) / 2 ]=1.45m/s 船过河所用时间是 t1=S / V`1=1000 / 0.388=2575.8 秒=42.93 分钟 在沿河岸方向的总速度是 V 岸=V-V`2=2-1.45=0.55 m/s 在这段时间内,船向下游运动距离是 L1=V 岸* t1=0.55*2575.8=1416.7 米= 1.42 千米 即船到达对岸的位置是在出发点的下游 1.42 千米远的对岸处。 (2)要求时间最短,船头的指向必须与河对岸垂直,即船头与河岸应 90 度。 最短时间是 t 短=S / V`=1000 / 1.5=666.67 秒=11.11 分钟 在这段时间内,船向下游运动的距离是 L=V* t 短=2*666.67=1333.33 米= 1.33 千米 即船到达对岸的位置是在出发点的下游 1.33 千米远的对岸处。

1

【例题 1】如图所示,两个边长相同的正方形线框相互叠放,且沿对角线方向,A 有向左的速度 v,B 有向右的速度 2v,求交点 P 的速度。
v A P B 2v

【例题 2】一人以 7m/s 的速度向北奔跑时,感觉风从正西北方向吹来,当他转弯向 东以 1m/s 的速度行走时,感觉风从正西南方向吹来,求风速。
以自学伽利略变换系, 很简单的, 主要因为这些都是向量运算, 高中阶段可能不好理解, 我以坐标系的坐标式表示 第一次人的速度(0,7), 风相对人的速度为(b,-b) 推得风速为(b,7-b) 第二次 人的速度为 (1,0)
2

风相对人的速度为(a,a) 推得人的速度为(1+a,a) 解方程组就行了, 可得(4,3) 风速大小就是 5 了,方向为 arctan(3/4)

【例题 3 】 一人站在到离平直公路距离为 d=50m 的 B 处,公路上有一汽车以 v1=10m/s 的速度行驶, 如图所示。 当汽车在与人相距 L=200m 的 A 处时, 人立即以 v2=3m/s 的速率奔跑。为了使人跑到公路上时,能与车相遇。问: (1)人奔跑的方向与 AB 连线 的夹角θ 为多少?(2)经多长时间人赶上汽车?(3)若其它条件不变,人在原处开始 匀速奔跑时要与车相遇,最小速度为多少?
A v1 β

d 如图所示,一个人站在距离平直公路 h=50m 远的 B 处,公路上有一辆汽车以 v1=10m/s B 的速度行驶.当汽车与人相距 L=200m 的 A 处时,为了使人跑到公路上时能与车相遇,人 的速度至少为多大?此时人应该沿哪个方向运动?

用α 表示人看到汽车的视线与人跑动的方向之间的夹角,θ 表示视线与公路间的夹角. 设人从 B 处跑到公路上的 D 处与汽车相遇,所用的时间为 t, 对△ABD 有:AD=v1t,BD=v2t,AB=L,∠ABD=α ,sinθ = h L

3

据正弦定理列式可得: AD sinα = BD sinθ , 即
v1t

sinα =
v2t

sinθ , v2= sinθ sinα v1=
hv1

Lsinα

4

要使人的速度最小,sinα 应该最大,即α =90°, v2=
hv1

L = 50×10 200 =2.5m/s. 人应该沿垂直 AB 方向运动. 答:人的速度至少为 2.5m/s,人应该沿垂直 AB 方向运动.

【练习】1、一艘船在河中逆流而上,突然一只救生圈掉入水中顺流而下。经过 t0 时间后,船员发现救生圈掉了,立即掉转船头去寻找丢失的救生圈。问船掉头后要多长 时间才能追上救生圈?

某传在静水中的速度为 54KM\H,现在流速为 5M\S 的河水中逆流而上,在 A 处 船尾的救生圈掉入水中,半小时被船员发现并立即掉头追赶,问追上时的地方离 A 处有多远? 以河水为参照物,救生圈掉入水中半小时后被发现开始掉头追赶,由于船与河水 的相对速度一定, 所以掉头追赶的时间等于发现救生圈掉落掉头时的时间等于半 小时。

5

这样,从救生圈从 A 处掉落到船掉头追上累计用时:0.5+0.5=1 小时 1 小时的时间救生圈随河水漂流的距离=v 河水*t=5*3600=18000 米=18km 答:追上时的地方离 A 处 18km
2、平面上有两直线夹角为θ (θ <90°) ,若它们各以垂直于自身大小为 v1 和 v2 的 速度在该平面上作如图所示的匀速运动, 试求交点相对于纸面的速率和相对于每一直线 的速率。
θ v2 1 v1

第二题: 经过时间 t 以后,交点的竖直位移是 v2t,水平位移是 v2t/tanα+v1t/sinα。 2 合位移是 s=t√(v2)^2+(v2/tanα+v1/sinα)^2。 下面算根号里边的部分: (v2)^2+(v2/tanα)^2=(v2/sinα)^2, 所以根号里边的部分等于(v1/sinα)^2+(v2/sinα)^2+[2v1v2cosα/(sinα)^2], 所以交点速度 v=s/t=√(v1/sinα)^2+(v2/sinα)^2+[2v1v2cosα/(sinα)^2]。 先算相对于 L2 的速度: 因为 L2 是水平的,交点的水平位移是 v2t/tanα+v1t/sinα,

O

所以 v2’=v1/sinα+v2/tanα=(v1+v2cosα)/sinα,根据对称性,交换一下 v1 和 v2, 就是 v1‘=v1/tanα+v2/sinα=(v1cosα+v2)/sinα。

3、如图所示,一辆汽车以速度 v1 在雨中行驶,雨滴落下的速率 v2 与竖直方向偏前 θ 角,求车后一捆行李不会被雨淋湿的条件。
v1 H θ2 1. 如图,一辆汽车以速度 v1 在雨中行驶。已知雨滴落下的速度 v
行李

L

v2

与竖直方向偏前 θ 角。求车后的一行李不被淋湿的条件。 L
v1 - v2 sinθ L ≥ v2 cosθ H
H

4、如图所示,AA1 和 BB1 是两根光滑的细直杆,并排固定于天花板上,绳的一端拴 在 B 点,另一端拴在套于 AA1 杆中的珠子 D 上,另有一珠子 C 穿过绳及杆 BB1 以速度 v1 匀速下落,而珠子 D 以一定速度沿杆上升,当图中角度为α 时,珠子 D 上升的速度 v2 是多大?
6

A

B C α v1 B1

D A1

纸上

5、有 A、B 两艘船在大海中航行,A 船航向正东,船速 15km/h,B 船航向正北, 船速 20km/h。 A 船正午通过某一灯塔, B 船下午两点也通过同一灯塔。 问: 什么时候 A、 B 两船相距最近?最近距离是多少?
设灯塔点为 O,由斜边大于直角边可得,在 12:00 前,AB40 的。 设当 A 经过灯塔 h 小时候, AB 相隔最近, S = 15h*15h + (20*2-20*h)*(20*2-20*h)的平方根。 现在就是求 S 的最小值了。最后解的 h=1.28 小时,S=24。 也就是当 A 进过灯塔 1.28 小时候,即在 13 时 16 分 48 秒时,AB 相隔最近,相隔 24 千米。 没有画图软件,就不给出图形了,自己画一个就可以了

6、一个半径为 R 的半圆柱体沿体沿水平方向向右做匀加速运动,在半圆柱体上搁 置一竖直杆,此杆只能沿竖直方向运动(沿图所示) ,当半圆柱体的速度为 v 时,杆与 半圆柱体接触点 P 与柱心连线 (竖直方向) 的夹角为θ , 求此时竖直杆的速度和加速度。

P R θ v 设竖直杆运动的速度为 V1,方向竖直向上,由于弹力方向沿 OP 方向,所以 V0、V1 在 OP 方向的投影相等,解得 V1=V0.tgθ.

7、在宽度为 d 的街上,有一连串汽车以速度 u 鱼贯驶过,已知汽车的宽度为 b,相 邻两车间的间距为 a。如图所示,一行人想用尽可能小的速度沿一直线穿过此街,试求 此人过街所需的时间。
b a d

走一个斜线, 假设穿过车队时间为 t,平行街道与车 同向的速度为 v1,垂直车道方向 v2.
7

则(u-v1)t=a.同时 v2*t=b。则 v1=u-(a/b)*v2 合速度 v=根号下 v1 平方+v2 平方,将上式带进去得到 v 与 v2 的表达式 对 v2 求导,导数等于 0 时 v2=abu/(a^2+b^2),则 v1=b^2*u/(a^2+b^2)。 可得合速度 v=bu/根号(a^2+b^2)。方向是与街道夹角为 A,tanA=v2/v1=a/b.
8、一架飞机以相对于空气为 v 的速率从 A 向正北方向飞向 B,A 与 B 相距为 L。 假定空气相对于地速率为 u,且方向偏离南北方向有一角度θ ,求飞机在 A、B 间往返 一次所需时间为多少?并就所得结果,对 u 和θ 进行讨论。
A-B 同样 B-A 若 u>v 若 u=v 若 u<v 若 若 θ=90? θ 为任意角 且 且 且 θ=0 θ=0 对地速度:v+ucosθ ∴t?=L/(v+ucosθ ) t? =L/(v-ucosθ ) t<0 既不能返回 θ=0 t=∞ 既不能返回 ∴t=t? +t? =2Lv/(v? -u? cos? θ)

t>0 返回时间=2Lv/(v? -u?cos?θ ) t=2L/v-------(和无风一样) 需讨论 v<=>vcosθ 三种情况

第七讲:匀变速直线运动
【知识要点】 速度公式: vt ?v 0 ?at 位移公式: s ? v 0 t ? ① ② ③

1 2 at 2

2 推论公式: vt2 ? v0 ? 2as

平均速度: v ?

s v 0 ? vt ? t 2


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上述各式,要注意用正、负号表示矢量的方向。一般情况下规定初速度 v0 方向为正 方向,a、vt、s 等矢量与正方向相同则为正,与正方向相反则为负。 利用匀变速直线运动规律求解运动学问题,在熟悉题意的基础上,首先要分清物体 的运动过程及各过程的运动性质,要注意每一个过程加速度必须恒定。找出各过程的共 同点及两过程转折点的速度、再根据已知量和待求量选择合适的规律、公式求解,尽管 公式都是现成的,但选择最简单的公式却有很多技巧,解题中要注意一题多解,举一反 三,以达到熟练运用运动学规律的目的。 【例题 1】一小球自屋檐自由下落,在△t=0.2s 内通过窗口,窗高 h=2m,g=10m/s2, 不计空气阻力,求窗顶到屋檐的距离。

【例题 2】一气球从地面以 10m/s 的速度匀速竖直上升,4s 末一小石块从气球上吊 篮的底部自由落下,不计空气阻力,取 g=10m/s2,求石块离开气球后在空气中运行的平 均速度和平均速率。

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【例题 3】一物体由静止开始以加速度 a1 匀加速运动,经过一段时间后加速度突然 反向,且大小变为 a2,经过相同时间恰好回到出发点,速度大小为 5m/s,求物体加速度 改变时速度的大小和

a1 的值 a2

【例题 4】一架直升飞机,从地面匀加速飞行到高 H 的天空,若加速度 a 与每秒钟 耗油量的关系式为 Y=ka+β (k>0,β >0) ,求飞机上升到 H 高空的最小耗油量 Q 和所 对应的加速度。

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【练习】1、一物体做匀加速度直线运动,在某时刻的前 t1(s)内的位移大小为 s1(m) ,在此时刻的后 t2(s)内的位移大小为 s2(m) ,求物体加速度的大小。

2、一皮球自 h 高处自由落下,落地后立即又竖直跳起,若每次跳起的速度是落地 速度的一半,皮球从开始下落到最后停止运动,行驶的路程和运动的时间各是多少? (不计空气阻力,不计与地面碰撞的时间)

3、一固定的直线轨道上 A、B 两点相距 L,将 L 分成 n 等分,令质点从 A 点出发 由静止开始以恒定的加速度 a 向 B 点运动,当质点到达每一等分段时它的加速度增加

a ,试求质点到达 B 点时的速度 vB n

4、如图所示,在倾角为θ 的光滑斜面顶端有一质点 A 自静止开始自由下滑,与
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此同时在斜面底部有一质点 B 自静止开始以加速度 a 背向斜面在光滑的水平面上向左 运动。 设 A 下滑到斜面底部能沿光滑的小弯曲部分平稳地向 B 追去, 为使 A 不能追上 B,试求 a 的取值范围。
A

B

θ

5、地面上一点有物体甲,在甲的正上方距地面 H 高处有物体乙,在从静止开始 释放乙的同时,给甲一个初速度竖直上抛,问( 1)为使甲在上升阶段与乙相遇,初速 度 v0 为多大?(2)为使甲在下落阶段与乙相遇,初速度 v0 又为多大?

第八讲:抛物的运动
【知识要点】 抛物运动——物体在地面附近不大的范围内仅在重力作用下的运动。 平抛运动——物体水平抛出后的运动。 斜抛运动——物体斜向上或斜向下抛出后的运动。 平抛和斜抛运动的物体只受恒定的重力作用,故物体作匀变速曲线运动,其加速度 为重力加速度 g。 抛体运动的求解必须将运动进行分解, 一般情况下是分解为水平方向的匀速运动和 竖直方向的竖直上抛运动,则有:

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在水平方向 在竖直方向

vx ? v0 c o ? s,

X ? v0 c o ? s ?t
1 2 gt 2

? ?t ? v y ? v0 sin ? ? gt , Y ? v 0 s i n

上式中,当θ =0°时,物体的运动为平抛运动。 求解抛物运动,还可以采用其它的分解方法,比如将斜抛运动分解为初速度方向的 匀速运动和竖直方向上的自由落体运动。 抛物运动是一般匀变速曲线运动的一个特例, 其求解方法也是求解一般匀变速曲线 运动的基本方法。尽管物体速度方向是在不断变化的,但其速度变化的方向只能在合力 即重力的方向上,因此其速度变化的方向总是竖直向下的。 抛物运动的共同特点是加速度相同,因此,当研究多个抛体的运动规律时,以自由 落体为参照物,则各物体的运动均为匀速直线运动,这种选择参照物的方法,能大大简 化各物体运动学量之间的联系,使许多看似复杂的问题简单、直观。 【例题 1】如图所示,A、B 两球之间用长 L=6m 的柔软细绳相连,将两绳相隔 t0=0.8s 先后从同一地点抛出,初速均为 v0=4.5m/s,求 A 球抛出多长时间后,连线被拉直,在 这段时间内 A 球离抛出点的水平距离多大?(g=10m/s2)

B A

【例题 2】在与水平成θ 角的斜坡上的 A 点,以初速度 v0 水平抛出一物体,物体落在同 一坡上的 B 点,如图所示,不计空气阻力,求: (1)物体的飞行时间及 A、B 间距离; (2)抛出后经多长时间物体离开斜面的距离最大,最大距离多大?
v0

B θ

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【例题 3】如图所示,树上有一只小猴子,远处一个猎人持枪瞄准猴子,当猎枪击发时 猴子看到枪口的火光后立即落下,不考虑空气阻力,已知猴子开始离枪口的水平距离为 s,竖直高度为 h,试求当子弹初速度满足什么条件时,子弹总能击中猴子。

v0 θ s

h

【练习】

1、飞机以恒定的速度沿水平方向飞行,距地面高度为 H。在飞行过程中释

放一个炸弹,经过时间 t,飞行员听到炸弹着地后的爆炸声。设炸弹着地即刻爆炸,声 速为 v0,不计空气阻力,求飞机的飞行速度 v。

2、如图所示,在离竖直墙壁 30m 的地面,向墙壁抛出一个皮球,皮球在高 10m 处刚好 与墙壁垂直碰撞,反弹后落到离墙 20m 的地面,取 g=10m/s2,求皮球斜抛初速度和落 回地面时的速度。

20m 30m

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3、某同学在平抛运动实验中,得出如图所示轨迹,并量出轨迹上 a、b 两点到实验开始 前所画竖直线的距离 aa ? ? X 1 , 以及 ab 间竖直高度 h, 求平抛小球的初速度。 bb? ? X 2 ,
a/ h

X1

a

b/

X2

b

4、 地面上的水龙头按如图所示的方式向上喷水, 所有水珠喷出的初速度 v0 的大小相同, 但喷射角在 0°到 90°范围内不等。若喷出后水束的最高位置距地面 5m,试求水束落 地时的圆半径。

5、从高 H 的一点 O 先后平抛两个小球 1 和 2,球 1 直接恰好越过竖直挡板 A 落到水平 地面上的 B 点,球 2 与地面碰撞一次后,也恰好越过竖直挡板并落在 B 点,如图所示。 设球 2 与地面碰撞遵循的规律类似反射定律,且反弹速度大小与碰撞前相同,求竖直挡 v O 板的高度 h。 A H h B

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6、如图所示,排球场总长为 18m,设球网高 2m,运动员站在离网 3m 的线上(如图中 虚线所示)正对网前跳起将球水平击出,球飞行中阻力不计,取 g=10m/s2。 (1)设击球 点在 3m 线正上方且高度为 2.5m, 试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不 越界? (2) 若击球点在 3m 线正上方的高度小于某个值, 那么无论水平击球的速度多大, 球不是触网就是越界,试求这个高度。
3m

18m

7、在掷铅球时,铅球出手时离地面高度为 h,若出手时速度为 v0,求以何角度掷铅球 时,铅球水平射程最远,最远射程多少?

第九讲:牛顿运动定律(动力学)
【知识要点】 1、牛顿运动定律的内容: 牛顿第一定律:内容(略) ;它反映了物体不受力时的运动状态:静止或匀速直线运动 质量是惯性大小的唯一量度。 牛顿第二定律:内容(略) ;数学表达式:F 合=ma。 适用范围:惯性系。 三性:矢量性;瞬时性;独立性。 牛顿第三定律:内容(略) ;表达式: F ? ? F ? ;适用于惯性系,也适用于非惯性系。
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牛顿运动定律只适用于宏观、低速的机械运动。 2、物体初始条件对物体运动情况的影响 在受力相同的情况下, 物体的初始条件不同, 物体的运动情况也不同。 如抛体运动, 均只受重力作用,但初速度方向不同,运动情况就不同(平抛、斜抛、竖直上抛) ;受 力情况只决定物体的加速度。 物体的运动情况必须将物体的受力情况和初速度结合一起 加以考虑。 3、联接体 联接体是指在某一种力的作用下一起运动的两个或两个以上的物体。 解题中要根据 它们的运动情况来找出它们的加速度的关系,寻找的方法一般有两种,一种方法是从相 对运动的角度通过寻找各物体运动的制约条件, 从而找出各物体运动的相对加速度间的 关系;另一种方法是通过分析极短时间内的位移关系,利用做匀变速运动的物体在相同 时间内位移正比于加速度这个结论,找到物体运动的加速度之间的关系。 【解题思路与技巧】 牛顿运动定律建立了物体的受力和物体运动的加速度之间的关系。因此,应用时分 析物体的受力情况和运动情况尤为重要。同时,要注重矢量的合成和分解。相对运动等 知识的灵活运用,从而找出各物体的受力与它的加速度之间的关系。 【例题 1】如图所示,竖直光滑杆上有一个小球和两根弹簧,两弹簧的一端各 与小球相连,另一端分别用销钉 M、N 固定于杆,小球处于静止状态,设拔 去销钉 M 瞬间,小球加速度大小为 12m/s2。若不拔去销钉 M 而拔去销钉 N 瞬间,小球的加速度可能是(取 g=10m/s2) A、22m/s2,竖直向上 C、2m/s2,竖直向上 B、22m/s2,竖直向下 D、2m/s2,竖直向下
N M

【例题 2】如图所示,质量为 M=10kg 的木楔 ABC 静止于粗糙的水平地面上,动摩擦因 数μ =0.02。在木楔的倾角θ 为 30°的斜面上,有一质量 m=1.0kg 的物块由静止开始沿 斜面下滑。当滑行路程 s=1.4m 时,其速度 v=1.4m/s。在此过程中木楔没有动。求地面 对木楔的摩擦力的大小和方向。 (g=10m/s2)
m M B θ C A

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【例题 3】如图所示,质量均为 m 的两物块 A、B 叠放水平桌面上,B 与桌面之间的动 摩擦因数为μ 1,一根轻绳绕过一动滑轮和两个定滑轮水平拉动 A、B。动滑轮下面挂一 个质量为 2m,的物体 C,滑轮的质量和摩擦都可忽略。 (1) 如果 A、 B 之间的摩擦力足以保证它们不发生相对滑动, A B 那么它们之间的摩擦力为多在? (2) 如果 A、 B 之间的动摩擦因数为μ 2, 且μ 2 无法维持 A、 B 相对静止,那 A、B 的加速度各为多大?
2m C m m

【例题 4】如图所示,两斜面重合的木楔 ABC 和 ADC 的质量均为 M,AD、BC 两面成 水平,E 为质量等于 m 的小滑块,楔块的倾角为α ,各接触面之间的摩擦均不计,系统 放在水平台角上从静止开始释放,求两斜面未分离前小滑块 E 的加速度。
A E α α D

B

C

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【练习】 1、如图所示,一轻绳两端各系重物 m1 和 m2,挂在车厢内的定滑轮上,滑轮摩擦不计,

m2>m1,m2 静止在车厢地板上,当车厢以加速度 a 向右作匀加速运动时,m2 仍在原处 不动。 求此时 m2 对地板的压力为多大?这时 m2 与地板间的动摩擦因数至少为多大才能 维持这种状态?
m1 m2

2、如图所示,尖劈 A 的质量为 mA,一面靠在光滑的竖直墙上,另一面与质量为 mB 的

光滑棱柱 B 接触,B 可沿光滑水平面 C 滑动,求 A、B 的加速度 aA 和 aB 的大小及 A 对 B 的压力。
A α B

3、如图所示,A、B 的质量分别为 m1=1kg,m2=2kg,A 与小车壁的静摩擦因数μ =0.5,

B 与小车间的摩擦不计,要使 B 与小车相对静止,小车的加速度应为多大?
B A

4、如图所示,A、B 两个楔子的质量都是 8.0kg,C 物体的质量为 384kg,C 和 A、B 的
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接触面与水平的夹角均为 45°。水平推力 F=2920N,所有摩擦均忽略不计。求: (1)A 和 C 的加速度。 (2)B 对 C 的作用力的大小和方向。
A 45° C B 45°

5、如图所示,质量为 M 的光滑圆形滑块平放在桌面上,一细轻绳跨过此滑块后,两端

各挂一个物体,物体质量分别为 m1 和 m2,绳子跨过桌边竖直向下,所有摩擦均不计, 求滑块的加速度。

m1

m2

第十讲:力和直线运动
【知识要点】 1、直线运动的特点: 物体的 s、v、a、 F合 在同一直线上,当 F合 与 V 同向时,V 逐渐增大,物体做加速 运动;当 F合 与 V 反向时,V 逐渐减小,物体做减速运动。 2、恒力与直线运动: (1)单个物体牛顿第二定律的分量式:

Fx ? max

Fy ? may

(2)物体系牛顿第二定律的分量式:

Fx ? m1a1x ? m2 a2 x ? ?? ? mn anx

Fy ? m1a1y ? m2 a y ? ?? ? mn any
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3、变力与直线运动: (1)分段运动: 在实际问题中,有时由于制约物体运动的条件发生变化而导致物体在不同阶段的受 力情况不同,这时我们可以将物体的运动分为几个阶段,虽然在物体运动的整个过程中 受力的情况发生变化, 但每一阶段的运动中物体却是受到恒力的作用, 是做匀变速运动。 (2)变力作用下物体的运动情况分析: 将弹簧与物体相连时,在物体运动过程中,弹簧的弹力大小往往发生变化,这时我们要 结合物体的受力及其速度来分析物体的运动情况,尤其要抓住合外力、速度的最小和最 大的状态,及合外力、速度即将反向的状态进行分析。 (例题 2) (3)特殊变力作用下的直线运动: 中学阶段主要研究的特殊变力有:与时间成正比的变力;与位移成正比的变力。 4、临界状态分析法: 如果问题中涉及到临界状态,分析时要抓住物体运动状态变化的临界点,分析在临 界点的规律和满足的条件。一般来说,当物体处于临界状态时,往往具有双重特征。如 在某两个物体即将分离的临界状态,一方面相互作用的弹力为零(分离的特征) ,另一 方面又具有相同的加速度(没有分离的特征) 。 (练习 2) 【解题思路和技巧】 物体做直线运动时,其速度、加速度、位移及物体所受到的合外力都在同一直线 上。竞赛中经常出现物体运动过程中受力的变化,这时要抓住物体受力变化的特点,从 而分析出物体运动情况的变化。同时,注重数学归纳法、数列等数学知识在物理解题中 的应用。 【例题 1】水平传送带长度为 20m,以 2m/s 的速度作匀速运动,已知某物体与传送带间 动摩擦因数为 0.1,如图所示,求物体轻轻放到传送带一端开始到达另一端所需的时间 (取 g=10m/s2)
v

【例题 2】如图所示,质量可以不计的弹簧,平行于水平面,左端固定,右端自由;物 块停放在弹簧右端的位置 O(接触但不相挤压) 。现用水平力把物块从位置 O 推到位置 A,然后由静止释放,物块滑到位置 B 静止。下列说法中正确的有( ) A、物块由 A 到 B,速度先增大后减小,通过位置 O 的瞬时速度最大,加速度为零

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B、物块由 A 到 B,速度先增大后减小,通过 A、O 之间某个位置时速度最大,加速度为零 C、物块通过位置 O 以后作匀减速直线运动

A

O

B

D、物块通过 A、O 之间某个位置时,速度最大,随后作匀减速直线运动 【例题 3】如图所示,A、B 两木块质量分别为 mA 和 mB 紧挨着并排放在水平桌面上, A、B 间的接触面是光滑的,且与水平面成θ 角。A、B 和水平桌面之间的静摩擦因数和 动摩擦因数均为μ 。开始时 A、B 均静止,现施一水平推力 F 作用于 A,要使 A、B 向 右加速运动且 A、B 之间不发生相对滑动,则(1)μ 的数值应满足什么条件? (2)推力 F 的最大值不能超过多少?(不考虑转动)
F A B

θ

【例题 4】一固定的斜面,倾角θ =45°,斜面长 L=2.00m。斜面下端有一与斜面垂直的 挡板,一质量为 m 的质点,从斜面的最高点沿斜面下滑,初速度为零。质点沿斜面下滑 到斜面最低端与挡板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数为μ =0.20。试求 此质点从开始运动到与挡板发生第 11 次碰撞的过程中运动的总路程。

【练习】 1、有一个同学用如下方法测定动摩擦因数:用同种材料做成的 AB、BD 平面(如图所 示) ,AB 面为一斜面,高为 h、长为 L1。BD 是一足够长的水平面,两面在 B 点接触良 好且为弧形,现让质量为 m 的小物块从 A 点由静止下滑,到达 B 点后顺利进入水平面, 最后滑到 C 点停止, 并测量出 BC=L2, 小物块与两平面的 动摩擦因数相同,由以上数据可以求出物块与平面间的动 摩擦因数μ = 。
A h B C F P D

2、如图所示,一个弹簧台秤的秤盘和弹簧的质量都不计,盘内放一个质量 m=12kg 并处于静止的物体 P,弹簧的劲度系数为 k=300N/m,现给 P 施加一 个竖直向上的力 F,使 P 从静止开始始终向上作匀加速直线运动,在这过程 中,头 0.2s 内 F 是变力,在 0.2s 以后的 F 是恒力,取 g=10m/s2,则物体 P
22

做匀加速运动的加速度 a 的大小为 N。

m/s2,F 的最小值是

N,最大值是

3、光滑水平桌面上的厚木板质量为 M,它的上面有一个半径为 R 的球穴,如图所示, 槽穴的深度为 R/2;一个半径为 R,质量为 m 的小球放在球穴中, A、 B 点是通过球心的竖直剖面中板面与球的接触点。 试分析计算, 沿水平方向作用于木板的力 F 至少多大, 球才会从球穴中翻出来?
A B F

4、如图所示,质量 M=8kg 的小车放在水平光滑的平面上,在小车右端加一水平恒力 F=8N。当小车向右运动的速度达到 1.5m/s 时,在小车前端轻轻地放上一个大小不计, 质量为 m=2kg 的小物块,物块与小车间的动摩擦因数μ =0.2,小车足够长。求从小物块 放上小车开始,经过 t=1.5s 小物块相对地通过的位移大小为多少?(g=10m/s2)
m M F

5、如图所示,小滑块 A 叠放在长为 L=0.52m 的平板 B 左端,B 放在光滑水平桌面上。 A、B 两物体通过一个动滑轮和一个定滑轮和 C 物体相 连,滑轮的摩擦和质量均不计。A、B、C 三个物体的质 量都是 1kg,A、B 之间的动摩擦因数为 0.25。现用一个 水平向左的恒力 F 拉 B,经 0.2s 后 A 滑离 B,求力 F 的 大小。
C F A B

6、10 个相同的扁木块一个紧挨一个地放在水平地面上,如图所示。每个木块的质量为 m=0.4kg,长为 L=0.50m。木块原来都静止,它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数 都为μ 1=0.10。左边第一块木块的最左端放一块质量为 M=1.0kg 的小铅块,它与木块间 的静摩擦因数和动摩擦因数都为μ 2=0.20。现突然给铅块一个向右的速度 v0=4.3m/s,使 其在木块上滑行,试确定它最后是落在地面上还是停地哪一块木块上?(设铅块的大小 可以忽略)
v0 L

23

7、如图所示,物体 A 质量为 m,吊索拖着 A 沿光滑的竖直杆上升,吊索跨过定滑轮 B 绕过定滑轮 B 绕在匀速转动的鼓轮上,吊索运动速度为 v0,滑轮 B 到竖直杆的水平距 离为 L0,求当物体 A 到 B 所在水平面的距离为 x 时,绳子的张力大小是多少?
B L0 A v0 x

8、如图所示,一个厚度不计的圆环 A,紧套在长度为 L 的圆柱体 B 的上端,A、B 两 者的质量均为 m。 A 与 B 之间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相同, 其大小为 kmg (k>1) 。 B 从离地 H 高处由静止开始落下,触地后能竖直向上弹起,触地时间极短,且无动能损 失。B 与地碰撞 n 次后,A 与 B 分离。 (1)B 与地第一次碰撞后,当 A 与 B 刚相对静止时,B 下端离地面的高度为多少? (2)如果 H、n、k 为已知,那么 L 应满足什么条件?
A B L H

第十一讲:质点的圆周运动、刚体的定轴转动
【知识要点】 1、质点的圆周运动: 做圆周运动的质点, 速度不仅大小可以变化, 方向也在不断变化, 如图所示,质点在沿圆周由 A 到 B 的过程中,其速度的增量
△v2 △v

△v1

?v ? ?v1 ? ?v2 。其瞬时加速度:
?v ?v ? ? ? a ? lim 1 ? lim 2 ? a n ? a? ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t
24

B A

上式中, an 为法向加速度,它描述速度方向的变化快慢,大小为 a n ?

v2 ; a? 为 R

切向加速度,它描述速度大小的变化快慢。对匀速圆周运动而言, a? =0,而对一般曲 线运动, a n

?

v2

?

,式中 ? 为质点所在位置的曲线的曲率半径。

2、刚体的定轴转动 刚体定轴转动时,其上各点都绕转轴做圆周运动,且各点的角位移θ 、角速度ω 、 角加速度β 都相同。

? ? lim

?t ?0

?? ?? , ? ? lim ?t ?t ?0 ?t

当β 为常量时, 刚体做匀变速转动, 其运动规律可类比于匀变速直线运动, 因而有:

? ? ? 0 ? ?t
? ? ? 0 ? ? 0 t ? ?t 2
2 ? 2 ? ?0 ? 2? ?? ? ? 0 ?

1 2

做定轴转动的刚体,其上一点(到转轴的距离为 R)的线速度 v、切向加速度 a? 、 向心加速度 an 与刚体的角速度ω 和角加速度β 的关系是:

v ? ?R ,

a? ? ?R ,

an ?

v2 ? R? 2 ? v? R

匀速圆周运动是一种周期性运动, 其规律的描述不同于匀变速运动。 在圆周运动中, 位移、速度与时间的关系再不是研究的重点,其重点是研究周期、角速度、速率、半径 等物理量与加速度的联系。从而进一步研究运动和力的关系。在一般圆周运动中,要注 意加速度一方面描述了速度大小的变化快慢,另一方面又描述了速度方向的变化快慢。

【例题 1】如图所示,小球 P 与穿过光滑水平板中央小孔的轻绳相连,用手拉着绳子另 一端使 P 在水平板内绕 O 作半径为 a、角速度为ω 的匀速圆周运动,求: (1)若将绳子 从这个状态迅速放松,后又拉直,使 P 绕 O 作半径为 b 的圆周运动,从放松到拉直经过 多少时间?(2)P 作半径为 b 的圆周运动的角速度为多大?
O P

F

25

【例题 2】某飞轮转速为 600r/min,制动后转过 10 圈而静止。设制动过程中飞轮做匀变 速转动。试求制动过程中飞轮角加速度及经过的时间。

【例题 3】如图所示,有一个绕着线的线轴放在水平桌面上,线轴可在桌面上做无滑动 的滚动。线轴轮和轴的半径分别为 R 和 r,如果以不变的速度 v 水平向右拉动线头,求 线轴运动的速度。
R O v

【练习】 1、在平直轨道上匀速行驶的火车,机车主动轮的转速是车厢从动轮转速的 3/5,主动轮 轮缘上的各点的向心加速度与从动轮轮缘上各点的向心加速度分别为 a1,a2,求 a1/a2 的 值。

2、机械手表中分针与秒针可视为匀速转动,两针从重合到再次重合,中间经历的时间 为多少分钟?

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3、如图所示,定滑轮半径为 r=2cm,绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物,由静止开始 释放,测得重物的加速度 a=2m/s2,在重物下落 1m 瞬间,滑轮边缘上的点角速度为多 大?向心加速度为多大?

4、边长为 a 的正三角形板的水平面内朝一个方向不停地作无滑动的翻滚,每次翻滚都 是绕着一个顶点(如图中的 A 点)转动,转动角速度为ω 常量。当一条边(例如 AB 边) 触地时又会立即绕着另一个顶点(如 B 点)继续作上述转动。 (1)写出(不必写推导过程,以下各问相同)三角板每顶点的平均速率; (2)画出图中三角板的顶点 C 在 T=2π /ω 时间内的运动轨道。
B ω C A

5、如图所示,AC、BD 两杆以匀角速度ω 分别绕相距为 L 的 A、B 两固定轴沿图示方 向在同一竖直面上转动。小环 M 套在两杆上,t=0 时图中α =β =60°,试求在以后的任 意时刻(M 未落地前的时刻)M 运动的速度大小和加速度大小。
ω ω A B D C M

6、xy 平面上有一圆心在坐标原点、半径为 R 的圆,在 y 轴上放有一细杆。从 t=0 开始, 整根杆朝 x 轴正方向以 v0 的速度匀速运动, 试求在细杆尚未离开圆周前它与圆周在第Ⅰ
y
27

O

x

象限的交点沿圆周移动的向心加速度与时间的关系。

7、如图所示,细杆长为 L,它的端点 A 被约束在竖垂轴 y 上运动,端点 B 被约束在水 平轴 x 上运动。 (1)试求杆上与 A 端相距 aL(0<a<1)的 P 点的运动轨迹; (2)若 AB 杆处于圆中θ 角方位时,A 端竖直向下的速度为 vA,试确定 P 点的分运动 的速度 vPx 和 vPy.
vA y A θ P L O B x

8、在暗室里,一台双叶电扇(如图 A)绕 O 轴顺时针方向转动,转速为 50r/min,在闪 光照射下。 (1)出现了稳定的如图 B 所示的图 象,则闪光灯的频率(每秒闪光次数)的最大值 是 次/秒。 (2)若出现了如图 C 所示 次/秒。
(a) (b) (c)

的图象,即双叶片缓慢地逆时针转动,这时闪光 灯的频率略大于

第十二讲:力和曲线运动
【知识要点】 1、物体做曲线运动的条件:

合外力 F 的方向与物体速度 v 的方向不在同一直线上。 2、恒力作用下的曲线运动 物体在恒力的作用下做曲线运动时,往往将这种曲线运动分解为两个方向上的直线 运动。一种分解方法是沿初速度方向和合外力方向进行分解,可以分解为初速度方向的 匀速直线运动和合外力方向的匀加速直线运动; 另一种分解方法是沿着两个互相垂直的 方向进行分解。 3、力和圆周运动 力是使物体的速度发生改变的原因,速度有大小和方向的变化,在速度方向上的外
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力改变速度的大小,而与速度方向垂直的外力改变速度的方向。在圆周运动中,是将物 体所受的外力沿切向和法向进行分解,在切向上的外力改变速度的大小,而法向上的外 力改变速度的方向(即向心力) 。高中阶段对圆周运动的分析关键是找出向心力的来源。 向心力是做圆周运动的物体在指向圆心方向外力的合力,它是以力的作用效果来命名 的,可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或这些力的合力。匀速圆周运动的向 心力的计算公式是: F合 ? ma向 ? m

v2 4? 2 ? mR?2 ? m 2 R ? m ? 4? 2 n 2 R R T

对于变速圆周运动,上述计算向心力的公式也适用,只是使用公式时必须用物体的 瞬时速度代入计算。 4、天体运动 (1)天体的运动遵循开普勒三定律 第一定律:所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动,太阳在这些椭 圆的一个焦点上。 第二定律: 太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 即:vr sin ? ? 常数 式中 r 为太阳和行星连线的距离,θ 为行星的速度与太阳和行星连线之间的夹角。 第三定律:所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相

r3 GM 等。即: 2 ? T 4? 2

式中 M 为太阳质量,G 为引力常量。

实际上,在某一中心天体的引力作用下,绕中心天体运动的物体,都遵循以上三定 律,只需将太阳变为中心天体即可。 (2)天体运动的向心力是靠万有引力提供的 万有引力定律:①(内容略) ;②公式: F ? G

m1 m 2 r2

注意: 万有引力定律公式只适用于两个质点或者是两个质量均匀分布的球体之间的 万有引力的计算。但当两个物体之间的距离远大于它们自身的线度时,可以将这两个物 体当作两个质点。另外,质量均匀分布的球面对球面外质点的引力等同于把球面的质量 集中于球心处的质点与球外质点的引力, 而质量均匀分布的球面对球面内质点的引力等 于零。 【例题 1】 2000 年 1 月 26 日我国发射了一颗同步卫星,其定点位置与东经 98°的经 线在同一平面内, 若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经 98°和北纬α =40°, 已知地球半径为 R, 地球自转周期为 T, 地球表面重力加速度为 g (视为常量) 和光速 c。 试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间 (要求用题给的已知 量的符号表示) 。

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【例题 2】

如图所示,一条不可伸长的轻绳长为 L,一端用手握住,另一端系一质量

为 m 的小球,今使手握的一端在水平桌面上做半径为 R、角速度为ω 的匀速圆周运动, 且使绳始终与半径为 R 的圆相切,小球也将在同一水平面内做匀速圆周运动,小球和水 平面之间有摩擦,求: (1)小球做匀速度圆周运动的线速度大小。 (2)手对细绳做功的 功率。 (3)小球在运动过程中所受到的摩擦阻力的大小。
ω

R O L m

【例题 3】 某行星 A 自转周期为 T,绕恒星 B 公转周期为 3T,自转和公转方向如图 所示,若在行星 A 表面看恒星 B,看到 B 绕 A 转动的周期为多少?
A B

【练习】1、一内壁光滑的环形细圆管,位于竖直平面内,环的半径为 R(比细管的半 径大得多) 。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点) 。 A 球质量为 m1,B 球质量为 m2。它们沿环形圆管顺时针运动,经过最低点时的速度为 v0。设 A 球 运动到最低点时,B 球恰好运动到最高点,若要此时两球作用于圆管的合力为零,那么 m1,m2,R,v0 应满足什么关系?

2、长为 L=0.4m 的细绳,一端连接在 O 点的光滑轴上,另一端系一质量为 m=0.5kg 的 小球,小球在竖直面内做圆周运动,如图所示,求:
30

A

O B

(1)若球刚好能做圆周运动,在最高点 A 的速度为多大? (2)将图中细绳换成不计重力的细杆,小球能做圆周运动,在 A 点的速度应满足什么 条件? (3)在上问中,小球在 A 点时,若杆对小球的作用力是拉力或推力,则在 A 点的速度 分别满足什么条件? (4)若小球以 0.4m/s 的速度绕 O 点做匀速圆周运动,那么小球在最高点 A 和最低点 B 时杆对小球的作用力各是多大?(取 g=10m/s2)

3、在光滑的水平面内,一质量 m=1kg 的质点以速度 v0=10m/s 沿 x 轴正方向运动,经过 原点后受一沿 y 轴正方向的恒力 F=5N 作用, 直线 OA 与 x 轴成 37°角, 如图所示, 求: (1)如果质点的运动轨迹与直线 OA 相交于 P 点,则质点从 O 到 P 点所经历的时间以 y 及 P 点的坐标。 (2)质点经过 P 点时的速度。 P A F 37° O v0 x

4、如图所示,火箭内平台上放有测试仪器,火箭从地面起动后,以加速度 g/2 竖直向上 匀加速运动,升到某一高度时,测试仪器对平台的压力为起动前压力的 17/18,已知地 球半径为 R,求火箭此时离地面的高度。 (g 为地面附近的重力加速度)

5、一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角 为θ =30°,如图所示,一条长度为 L 的细绳(质量不计) ,一端的位置固定在圆锥体的 顶点 O 处,另一端拴着一个质量为 m 的小物体(物体可视为质点) 。物体以速率 v 绕圆 锥体的轴线做水平面上的匀速圆周运动。 (1)当 v ?

gL

6 时,求绳对物体的拉力。

31

(2)当 v ?

3gL

2 时,求绳对物体的拉力。
L θ

O

6、如图所示,在光滑水平面上放着一个质量为 M=3kg 的木块(可视为质点) ,在木块 正上方 1m 处有一固定的悬点 O, 在悬点和木块之间用一根长 2m, 不可伸长的轻绳连接。 现给木块一水平推力 F=24N,作用 0.5 秒后撤去,最后木块将绕 O 点在竖直平面内做圆 周运动。 (g=10m/s2)求: (1)木块以多大速度脱离水平面?(2)当木块运动到最高点 时,它对轻绳的拉力为多大?
O

7、 长为 2L 的轻质杆 AB, 在其中点固定一个质量为 m 的小球 C, 现使 A 端不脱离墙面, B 端在地面上以速度 v 向右匀速运动,如图所示,试求当杆与墙面成α 角时,杆对小球 的作用力。
A α C v B

第十三讲
【知识要点】 功的定义式:W=FScosθ

功和功率

公式只适用于求恒力的功,且式中的 F、S 均指矢量的大小,S 是力的作用点的位 移,一般情况下力的作用点的位移与物体位移相同。如果 F 为变力,一般用微元法把变 力的功转化为恒力的功处理,也可以根据 F—S 图像,利用图线与位移轴所围面积表示 相应的力的功。 一个力始终与物体速度方向垂直,则该力不做功,物体做曲线运动时,若力的大小 不变,且力的方向始终与速度共线,该力的功等于力乘以物体的路程,如机车牵引力的 功和摩擦力的功。
32

在给定的运动过程中,由于位移与参照系的选择有关,因此在不同的参照系中,功 可以有不同的数值,但一对作用力与反作用力做功之和却与参照系的选择无关。因为作 用力与反作用力大小相等,方向相反,在计算作用力与反作用力的总功时,所用的相对 位移是和参照系的选择无关的,故在计算一对作用力与反作用力做功之和时,可以选择 一个方便的参照系来计算,即使是非惯性系也行。

W (W ) t 功率、力、速度的关系: P ? Fv cos ?
功率(定义式) :P ? 功率的定义式一般用于求 t 时间内的平均功率,只有当 t→0 时,求得的才是瞬时功 率。 而公式 P ? Fv cos ? 反映的是力 F 的功率 P 与 F 和速度 v 之间的关系。 当 F 恒定时, 若 v 为瞬时速度,求得的是瞬时功率,若 v 为平均速度时,求得的是平均功率;当 F 为 变力时,该式只能用于求瞬时功率,实际中该式较多地用于确定机动车辆的发动机的功 率与车辆的牵引力、速度之间的关系,要注意,F 不是受到的合外力,它的变化不能反 映加速度的变化特征。 【例题 1】如图所示,一斜面体倾角θ =30°、长为 L,放在光滑的水平面上,一质 量为 m 的木块,自斜面顶部匀速滑到底部,斜面体同时向右移动了 x ? 在这一过程中,作用在木块上的各个力所做的功。
30°

L 3

的距离。求

【例题 2】在航天飞机上,如图所示,有一长度为 L 的圆筒,绕着与筒的长度方向垂 直的轴 OO′以恒定的转速ω =100rad/min 旋转。 筒的近轴端离轴线 OO′的距离为 d=10cm, 筒内装着非常粘稠、密度为ρ =1.2g/cm3 的液体。有一质量为 m′=1.0mg 、密度为ρ ′ =1.5g/cm3 的粒子从圆筒的正中部释放(释放时粒子相对于圆筒静止) ,试求该粒子在到达 筒端的过程中克服液体的粘滞阻力所做的功。 又问, 如果这个粒子的密度是ρ ″=1.0g/cm3, 其他条件均不变,则粒子在到达筒端的过程中克服粘滞阻力所做的功又是多少?
O O′ d ω L

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【例题 3】如图所示,绳一端固定于 O 点,另一端穿过物体 A 上的小动滑轮后,用 竖直向上的恒力 F 拉着, 在物体沿倾角为α 的斜面上运动 L 位移的过程中, 恒力 F 做了 多少功?
F O

α

【例题 4】一架质量 M=810kg 的直升飞机,靠螺旋浆的转动使 S=30m2 面积的空气 以速度 v0 向下运动,从而使飞机停在空中。已知空气的密度ρ =1.2kg/m3,求 v0 的大小 和发动机的功率 P.

【练习】1、如图所示,两个底边相同高度不同的斜面 AC 和 BC,一物块 P 与两斜 面摩擦因数相同,试比较在 P 分别由 A 滑到 C 和由 B 滑到 C 的过程中,两次克服摩擦 力做的功的大小。
A B C

2、用锤将钉打入木板,若板对钉的阻力与钉进入板的深度成正比,第一次打击时, 能将钉打入 1cm,以相同速率第二次打击时,打入板的深度为多少?

34

3、如图所示,物体质量为 10kg,动滑轮的质量不计,竖直向上拉动细绳,使物体 从静止开始以 5m/s2 的加速度上升,则拉力在第 4s 末的瞬时功率为多少?(g=10m/s2)
F

m

4、如图所示,甲乙两容器形状不同,容积相同,现有两块完全相同的金属块用细 线系着分别浸入同样深的水中, 这时两容器的水面相平齐, 如果将金属块匀速提出水面, 试比较拉力做功的大小。





5、如图所示,细绳的一端固定,另一端拴一小球,拉起小球,使悬线沿水平方向伸 直,将小球由静止释放,在小球运动到最低点过程中,小球所受的重力的功率怎样变化?
O A

B

6、如图所示,在一倾角为θ 的光滑斜面上,放一质量为 M,长为 L 的木板,一个 质量为 m 的人由静止出发,从板上端跑到下端,在此过程中,板恰好静止在斜面上,求 此过程中人做的功。

θ

7、一风力发电机把风能变为电能的效率为η ,其接收风的面积为 S,空气的密度 为ρ ,风吹到风轮机上末速度设为 0,当发电机发电的功率为 P 时,风速为多少?

35

8、汽车以某一初速驶上倾角为θ 的一斜坡,且在坡上保持功率恒定,设斜坡较长, 车运动时受到的空气和摩擦阻力恒为重力的 k 倍, 试分析汽车在坡上运动时速度和加速 度的变化情况。

9、汽车质量 3×103kg,以恒定速率 10m/s 通过凸桥和凹桥,两桥半径为 100m,车胎 与桥面动摩擦因素μ = 0.1,汽车通过凸桥顶部时发动机功率比通过凹桥底部时少多少瓦?

第十四讲
【知识要点】

动能定理
1 2 mv 。 2

动能:物体由于运动而具有的能量叫动能,且 E k ?

动能是标量, 且只能为正值; 动能是状态量, 求某一过程中的平均动能无多大意义; 动能具有相对性,一般都相对于地; E k ?

1 2 mv 只能求平动动能,不能求转动动能。 2 动能定理:外力对质点做的总功,等于质点动能的增量。即 W外 ? ?Ek 。

若研究对象为质点系,则动能定理的表达式为 W外 ? W内 ? ?Ek 。式中 W内 为系统内 力所做功的代数和,也等于耗散内力所做的功。 定理包含了一个过程两个状态,要注意合理地选择过程及与过程对应的始末状态。

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用动能定理解题的优越性在于对过程的中间细节不予考虑, 只须求出过程中外力的总功 及初状态和末状态的动能,求外力的总功是关键(对质点系还要考虑耗散内力的功) 。 一般情况下应分别求出各力的功,再求各功的代数和,当外力为恒力时,也可以先求合 外力再求总功。 【例题 1】卡车和其后的拖车质量相同,在恒力的牵引下由静止出发前进 S(m) 后速度为 v1(m/s) 。这时拖车突然脱钩,设牵引力不变,阻力为重力的 k 倍,求再前进 S(m)时卡车的速度。

【例题 2】一固定的斜面,倾角θ =45°,斜面长 L=2.00m。斜面下端有一与斜面 垂直的挡板,一质量为 m 的质点,从斜面的最高点沿斜面下滑,初速度为零。质点沿斜 面下滑到斜面最低端与挡板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数为μ =0.20。 试求此质点从开始运动到与挡板发生第 11 次碰撞的过程中运动的总路程。

【例题 3】如图所示,卡车载着木箱在水平路面上行驶,速率为 v,因故紧急刹车, 车轮立即停止转动。设卡车和木箱的质量分别为 M、m,卡车跟地面间的动摩擦因数为 μ ,木箱跟车厢底板间的动摩擦因数为μ /2(静摩擦因数与动摩擦因数近似相等) ,求刹 车后卡车在地面上滑行的距离和木箱在卡车上滑行的距离。
m

【例题 4】如图所示,一光滑细杆绕竖直轴以匀角速度ω 转动,细杆与竖直轴夹角
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θ 保持不变。一个相对细杆静止的小环自离地面 h 高处沿细杆下滑,求小球滑到细杆下 端时的速度。

【练习】1.一物块质量 m=50g,从图中的 A 点沿半径为 R 的 1/4 圆弧轨 A 道滑下,到达 B 点的速率 vB=2m/s,设 R=0.6m,取 g=10m/s2,求物块在 运动过程中阻力所做的功。

O B

2.一质量为 m 的小球,用长为 L 的细绳悬于 O 点,小球在水平 O 力 F 作用下,从平衡位置 P 点缓慢地移到 Q 点,此时绳与竖直方向的 夹角为 θ ,如图所示,则关于力 F 做的功,下列各项中正确的是 ( ) A.mgLcosθ B.FLsinθ C.mgL(1-cosθ )
θ P F Q F

D.mgLsinθ
A B

3.如图所示,一物体以 6m/s 的初速度从 A 点沿 AB 圆弧下滑到 B 点,速率仍为 6m/s,若物体以 5m/s 的初速度从 A 点沿同一路径滑到 B 点 则物体到达 B 点的速率。 ( A.大于 5m/s ) C.等于 5m/s B.小于 5m/s D.不能确定
O A

4.如图所示,长为 L 的轻杆一端可绕固定的水平轴 O 转动,另 一端和中间各拴一质量为 m 的小球,开始杆水平,由静止释放,不 计摩擦,求杆运动到刚好竖直这一过程中,杆对 B 球做的功。

B

38

5.质量为 M 的长木板在光滑的水平面上以初速度 v1 运动,一质量为 m 的小滑块 以与 v1 方向相同的速度 v2 滑上长木板, 已知 v2>v1, 最终它们以共同的速度 v 匀速运动, 试证明,用两物体间相互作用的摩擦力 f 乘以小滑块在长木板上滑动的距离 L 的值可以 量度系统发热损失的机械能。

6.如图所示,小球从高为 h 的斜面上的 A 点由静止滑下,经 B 点在水平面上滑到 C 点而停止,现在要使小球由 C 点沿原路回到 A 点时速度为 0,那么必须给它以多大的 初速度?(设小球经过 B 点时无能量损失)
h A B C

7.一块质量为 m 的滑块由倾角为θ 的斜面上的 A 点滑下,初速度为 v0,滑块与斜 面之间的动摩擦因数为μ ,如图所示,已知滑块从 A 点滑到弹簧形变最大的 C 点处的 距离为 L,求滑块能反弹到的最高点离 C 点的距离 x.
C A

8.起重机以恒定功率 5kw 从地面上提升质量 250kg 的物体,上升到 5m 高处物体 开始做匀速运动,那么起重机已经工作了多长时间?已知 g=10m/s2。

39

9.如图所示,把一物体系在轻绳的一端,轻绳另一端穿过光滑水平板的小孔且受 到竖直向下的拉力,当拉力为 F 时,物体在板上做圆周运动的半径为 R,在拉力由 F 增 大到 4F 的过程中,物体做圆周运动的半径减为 R/2,求该过程中拉力做的功。
m F

10.如图所示,质量为 m 的小物体,放在半径为 R 的光滑半球顶端,开始它们相 对静止。现使半球以加速度 a=g/4 匀加速向右运动,求物体离开球面时,离半球底面的 m 距离。
R

第十五讲:

机械能、功能关系

【知识要点】 势能:由相互作用的物体之间的相对位置或物体内部各部分间相对位置决定的能。 势能属于一个系统的,系统能够具有势能的条件是,系统内存在一种保守力,该力 做功只与系统内部物体始末相对位置有关,而与位置变化的途径无关,故势能总与一种 力相对应。 重力势能:物体由于被举高而具有的能量叫重力势能。其表达式为 EP=mgh。 EP 的大小是相对的,式中 h 是物体重心离零势能面的高度,EP 由物体和地球组成的 系统共同决定。 重力的功与重力势能变化的关系: 重力的功可量度重力势能的变化, 且 WG ? ??EP 弹性势能:物体因内部发生弹性形变具有的势能叫弹性势能。其表达式为 E P ?
40

1 2 kx 2

机械能:系统内各物体的动能和势能的总和叫机械能。机械能是宏观物体由于机械 运动而具有的能量。它属于一个系统。 机械能守恒定律:在只有重力(或弹力)做功的条件下,系统的动能和势能可以互 相转换,但总的机械能保持不变。 定律的两种表述形式: (1) E=常量 或 E P1 ? E K1 ? EP 2 ? E K 2 (2)

?E ? 0或?E P ? ??EK

定律的适用条件是:既没有外力做功,又没有耗散内力做功,即只有重力或(弹簧 的)弹力做功。系统可以受到别的力,也可以有保守内力做功。 定律的研究对象是一个系统, 该系统一般包括地球, 在该系统内重力实质上是内力。 功能关系:除重力或弹力外别的力(包括外力和耗散内力)对系统做的功等于系统 机械能的变化量。 【例题 1】如图所示,露天娱乐场的空中列车 由多节质量均为 m 的相同车厢组成,列车先沿光 滑水平轨道行驶,然后滑上一固定的半径为 R 的 空中圆形光滑轨道,若列车全长 L=4π R,R 远大于每一节车厢的长度和高度,整个列 车刚好能通过光滑圆轨道,两节车厢间的相互作用力远小于一节车厢的重力,求第一节 车厢到达最高点时对轨道的压力。

【例题 2】空间固定点 O 处连接一根倔强系数为 k 的轻弹簧,弹簧另一端连接质量 为 m 的小球。开始弹簧水平且处于自由长度状态,小球由静止开始自由摆下。假设小球 运动轨道为一光滑曲线,且到图中最低点 P 时速度 v 恰好水平,而后 O m 小球将向上方拐弯, 试证明小球在 P 点时弹簧长度 L 必定超过 mg/2k。
v P

【例题 3】跳水运动员从高于水面 H=10m 的跳台落下,假如运动员质量为 m=60kg, 其体形可等效为长度为 L=1.0m,直径 d=0.3m 圆柱体,不计空气阻力,运动员入水后,
41

5mg/2

F

水的等效阻力 F 作用于圆柱体的下端面, F 的数值入水深度 y 变化的函数图像如图所示, 该曲线可近似地看作椭圆的一部分,该椭圆的长、短轴分别与两坐标轴重合,椭圆与 y 轴交于 y=h 处,与 F 轴交于 F=5mg/2 处。为确保运动员的安全,试计算池水至少应有 多深?(水的密度=1.0×103kg/m3)

【例题 4】在光滑水平地面上放一质量为 m1、高为 a 的光滑长方体木块,长 L>a 的 光滑轻杆斜靠在木块右上侧上,轻杆上端固定一个质量为 m2 的小重物,下端 O 点用光 滑小铰链连在地面上,铰链可自由转动。开始时系统静止,而后轻杆连同小重物一起绕 O 点开始转动并将木块推向左方运动,如图所示,试问木块是否会在未遇到小重物前便 离开轻杆?为什么? m2
L m1 a O

【练习】1、如图所示,半径为 R 的定滑轮(质量不计)上绕一质量均为 L(L 远 大于 R)的铁链,两边垂下相等的长度,滑轮与铁链间无相对滑动,由于某种轻微干扰, 使滑轮转动,不计轴摩擦,求滑轮转过去 90°时的角速度。

2、如图所示,A、B 两物体用细绳相连,A 质量为 2m,B 质量为 3m,A 放在半径 为 R 的光滑半球面左端,半球固定在水平桌面上,由静止释放 B。当 A 球到达球面顶 端时,A 球对半球面压力为多少?
A
42

B

3、如图所示,质量为 m 的小球用长为 L 的细线系住悬于 A 点,A、B 是过 A 点的 竖直线,AE=L/2,过 E 作水平线 EF,在 EF 上钉一钉子 P,将小球拉起使悬线伸直并 水平,由静止释放小球,若小球能绕钉子 P 在竖直面内做圆周运动,且绳子承受的最大 拉力为 9mg。求钉子安放的范围 EP。 A
F P

E

B

4、如图所示,在光滑水平面上,质量为 M 的小车正以速度 v0 向右运动,一质量为 m 的木块以速度-v0 冲上车面, 为使小车继续保持 v0 速度匀速运动, 须即时给车一水平 力,当 M 与 m 速度相等时,撤去此力,求该水平力对小车做的功。 (设车足够长)
v0 m M v0

5、如图所示,AB 和 CD 为两个斜面,其下端分别与一光滑圆弧面相切,EH 为整 个轨道的对称轴,圆弧所对圆心角为 120°,半径为 2m,某物体在离弧底 H 高 h=4m 处以 v0=6m/s 速度沿斜面运动,物体与斜面间的动摩擦因数μ =0.04。求物体在 AB 与 CD 两斜面上运动的总路程(g=10m/s2) E C A
v0 h D H O B

6、如图所示,两块质量分别为 m1 和 m2 的木块由一根轻质弹簧连在一起,至少需 要多大的压力 F 加在 m1 上,才可能使 F 撤去后,m2 刚好被弹簧提起?
43

F m1

m2

7、倔强系数为 k 的水平轻质弹簧,左端固定,右端系一质量为 m 的物体。物体可 在有摩擦的水平桌面上滑动(如图所示) 。弹簧为原长时物体位于 O 点,现把物体沿弹 簧长度方向向右拉到距离 O 点为 A0 的 P 点按住,放手后弹簧把物体拉动。设物体在第 二次经过 O 点前,在 O 点左方停住,计算中可以认为滑动摩擦系数与静摩擦系数相等。 (1)讨论物体与桌面间的摩擦系数为μ 的大小应在什么范围内。 (2)求出物体停住点离 O 点的距离的最大值,并回答:这是不是物体在运动过程中所 能达到的左方最远值,为什么? m
O P

第十六讲:
【知识要点】 一、动量和冲量

动量和冲量
? ?

1.动量:动量是矢量,方向与该时刻速度 v 的方向相同,即 P ? mv 。 ? 2.冲量:冲量是力对时间的积累效应。在无限小时间间隔内,冲量方向与力 F 的方向 相同,即 I ? F?t 。恒力 F 对物体作用时间 t,则力的冲量 I ? F ? t ,变力 F 对物体作 用时间 t,则应将时间 t 分成无数个极小的时间△t,分别求出每个冲量,再求出矢量和, 即为变力在时间 t 内的冲量。 在 F —t 图象中, 冲量 I 表示为图线与时间轴所围 “面积” 。 竞赛题中常用这种方法求变力的冲量,尤其是力随时间变化的关系在 F —t 图象中是规 则形状的几何图形,如三角形、梯形、矩形、圆等容易计算面积的情况下,更为普遍。
44

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

二、动量定理

1.质点动量定理:合外力对质点的冲量∑ I 等于质点动量的增量 ?P 。即: ? ? ? ? ∑ I ? ?P ? P2 ? P 1 2.质点组动量定理:质点组所受外力的总冲量 I 外 等于质点组总动量的增量。即:

?

?

?

? ? ? I 外 ? P2 ? P 1

质点组中内力仅改变各质点的动量,但不改变质点组的总动量。 动量定理是矢量式,可通过正交分解后在某一方向上运用。 I z ? P2 z ? P I x ? P2 x ? P I y ? P2 y ? P 1z 1x , 1y , 【例题 1】有一锥面摆,物体的质量为 m,物体在水平面内以匀速率 v 作圆周运动,圆 周半径为 R,摆线与竖直方向的夹角为θ ,求运行一周过程中 z (1)物体所受重力 mg 的冲量 I g ; (2)摆线对物体的拉力 T 的冲量 I T ;

?

?

? (3)物体所受合力的冲量 I 。

θ Tz

T Tr O mg

y x

【例题 2】 质量 m=2kg 的方木块, 静止在水平地面上, 木块与地面间的动摩擦因数μ =0.2。 现使木块受到一向右的水平拉力 F 作用,已知 F 随时间 t 的变化关系是 F=0.5t+3(N)。 求当外力 F 连续作用 6 秒钟后,木块的速度。 (最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加 2 速度 g=10m/s ) 。

45

【例题 3】质量为 M 的金属块和质量为 m 的木块用细线连在一起,从静止开始以加速 度 a 在水中加速度下沉,经时间 t1,细线断了,求: (1)再经时间 t2,木块刚好停止下沉,此时金属块下沉的速度 v 为多大? (2)细线断后再经时间 t3,金属块下沉速度为 v1,木块此时的速度 u 为多大?(设在 题目所求范围内,金属块与木块既没有沉入水底,也没有浮出水面,不计水的阻力)

【例题 4】一枚质量为 M 的火箭,依靠向正下方喷气在空中保持静止,如果喷出气体的 速度为 v,求火箭发动机的功率是多少?

【练习 1】汽锤质量 m=1000kg 自 h=5m 高处自由落下,打在锻件上,在△t=10-4s 内完 全停止,重力加速度 g=10m/s2,求 (1)汽锤所受的合力的冲量 I ;

?

(2)锻件所受到的汽锤给与的平均冲力 F 。

?

【练习 2】 质量 M=4kg 的物体静止于水平面上 A 点, 在 F=5N 的水平恒力作用下开始运 动,经过一段时间后撤去恒力 F,物体运动到 B 点刚好静止。如图所示,A、B 间距离
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S F A B

S=10m,物体与水平地面间的动摩擦因数μ =0.1,重力加速度 g=10m/s2。求恒力作用在 物体上的时间 t。

【练习 3】在采煤方法中,有一种方法是用高压水流将煤层击碎而将煤采下。今有一采 煤用水枪。由枪口射出的高压水流速度为 v,设水的密度为ρ ,水流垂直射向煤层表面, 求煤层表面可能受到的最大压强。

【练习 4】 质量 m=1kg 的物块静止在地面上, 从 t=0 时刻开始受到竖直向上的拉力作用, 已知拉力 F 随时间的变化关系是 F=40-10t(N) ,重力加速度 g=10m/s2。求: (1)t=5s 时刻物块的速度; (2)经多长时间后,物块上升到最高点。

【练习 5】物体以速度 v0=10m/s 竖直上抛,落回原处时速度 vt=9m/s,如果空气阻力和 物体速度成正比,重力加速度 g=10m/s2,求物体运动的时间。

【练习 6】质量为 m=1500kg 的吉普车,在静止的驳船上由静止开始做加速运动,5s 内 速度达到 5m/s,如图所示,求缆绳作用于驳船的平均作用力有多大?

47

【练习 7】质量分别为 m1、m2 和 m3 的三个质点 A、B、C 位于光滑的水平桌面上,用 已拉直的不可伸长的柔软细绳 AB 和 BC 连接,∠ABC 为π -α ,α 为一锐角,如图所 示。今有一冲量为 J 的冲击力沿 BC 方向作用于 C 质点,求质点 A 开始运动时的速度。
m3 m1 A m2 B α C

?

【练习 8】如图所示,质量为 m,长为 L 的均匀软铁绳用细绳悬在天花板上,下端刚好 接触地面。某时刻悬绳断了,铁绳自由落下,求: (1)从悬绳断开到铁绳全部落至地面过程中地面对铁绳的平均弹力。 A (2)铁绳上端 A 点落到地面瞬间,地面对铁绳的支持力。
L B

第十七讲:
【知识要点】 1、量守恒定律

动量守恒

当质点组受到的外力总冲量为零时,质点组的总动量保持不变。即 当 I 外 ? 0 时, P2 ? P 1 动量守恒定律是矢量守恒,正交分解后可得到它们的分量式: 当 I x ? 0 时, P2 x ? P 1x ; 当 I y ? 0 时, P2 y ? P 1y ;

?

?

?

?

?

48

当 I z ? 0 时, P2 z ? P 1z ; 2、动量守恒定律推广 如果质点组的质心原来是静止的,在无外力作用的条件下,质心始终静止不动;如 果质点组的质心原来是运动的,那么在无外力作用的条件下,质心将保持原来的速度做 匀速直线运动;质心在外力作用下做某种运动,内力不能改变质心的运动状态,但可以 改变某一质点的运动状态。这一规律也称为质心运动定理。 【思考】 :如图所示,光滑水平面上有质量均为 m 的 A、B 两小球,中间用一根细 线将两小球连在一起,且夹着一根轻质弹簧,弹簧处于压缩状态,则: (1)若系统原来静止,某时刻细线突然断了,则系统的质心将 如何运动?
A B

?

(2)若系统匀速向右运动,某时刻细线突然断了,则系统的质心将如何运动? (3)若系统在水平恒力 F 作用下向右加速运动,某时刻细线断了,则系统质心将 如何运动?(若水平面粗糙,情况又如何?)

竞赛中常用质心运动定理求动量守恒问题。尤其是在两个质点组成的质点 系中求质心运动的位移的问题,运用这一方法更为简单。
【例题 1】 甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。甲和他的冰车质量共为 M=30kg, 乙和他的冰车质量也是 M=30kg。 游戏时, 甲推着一个质量为 m=15kg 的箱子, 和他一起以大小为 v0=2.0m/s 的速度滑行,乙以同 样大小的速度迎面滑来, 如图所示。 为了避免相撞, 甲突然将箱子沿冰面推给乙,箱子滑到乙处时乙迅 速把它抓住。若不考虑冰面的摩擦力,求: (1)甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出,才能避免与乙相撞。 (2)甲在推出箱子时对箱子做了多少功。 (若甲后面为一光滑的足长的斜面呢?)
v0 v0

49

【例题 2】 如图所示,一质量为 M,倾角为θ 的光滑斜面,放置在光滑水平面上, 另有一质量为 m 的小物块沿斜面下滑,斜面底边长为 L。当 物块从斜面顶端由静止开始下滑到底端时,求: (1)斜面具有多大的速度; (2)斜面沿水平面移动的距离。
θ L m M

【例题 3】 如图所示,一排人站在沿 x 轴的水平轨道旁,原点 O 两侧的人的序号 都记为 n (n=1、 2、 3??) 。 每人只有一个沙袋, x>0 一侧的每个沙袋质量都为 m=14kg, x<0 一侧的每个沙袋质量为 m? ? 10kg 。一个质量为 M=48kg 的小车以某初速度从原点 出发向正 x 轴方向滑行,不计轨道阻力。当车每经过一个人身旁时,此人就把沙袋以水 平速度 u 朝与车速度相反的方向沿车面扔到车上,u 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速 度大小的 2n 倍(n 是此人的序号数) (1)空车出发后,车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行? (2)车上最终有大小沙袋共多少个?
x ??

??
50

3

2

1

0

1

2

3

【例题 4】如图所示装置,质量 M=0.4kg 的靶盒位于光滑水平的导轨上,连接靶盒 的弹簧的一端与墙壁固定,弹簧的劲度系数 k=200N/m,当弹簧处于自然长度时,靶盒 位于 O 点。P 处有一固定的发射器,它可根据需要瞄准靶盒,每次发射出一颗水平速度 v0=50m/s,质量 m=0.10kg 的球形子弹。当子弹打入靶盒后,便留在盒内(假定子弹与 靶盒发生完全非弹性碰撞) 。开始时靶盒静止。今约定,每当靶盒停在或到达 O 点时, 都有一颗子弹进入靶盒内。 (1)若相继有 6 颗子弹进入了靶盒,问每一颗子弹进入靶盒后,靶盒离开 O 点的最大 距离各为多少?它从离开 O 点到回到 O 点经历的时间各为多少? (2)若 P 点到 O 点的距离 s=0.25m,问至少应发射几颗子弹后停止射击,才能使靶盒 来回运动而又不会碰到发射器。
m
51

M v0 O

P

《动量守恒》练习题
1.N 个人站在铁路上的静止的平板车上,每个人的质量均为 m,平板车的质量为 M。现在这 N 个人均将以相对于平板车的水平速度 u 跳离平板车的同一端,平板车则可 沿相反的直线方向无摩擦地运动。 (1)若所有的人同时跳车,平板车的最终速度为多大? (2)若他们一个接一个地跳车,平板车最终的速度为多大? (3)比较上述两种结果的大小。

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2.如图所示,枚手榴弹投出方向与水平成 45°角,投出时速率 v0=25m/s。在刚要 接触与发射点在同一水平面的目标时爆炸, 分裂成质量相等的三块, 一块以速度 v3 竖直 向下,一块顺着爆炸处切线方向以 v2=15m/s 飞出,一块沿法线方向以 v1 飞出。求 v1 和 v3 的大小。不计空气阻力。
y v0 45° O v3 x v2 v1

3.如图所示,在光滑水平面上有两个并排放置的木块 A 和 B,已知 mA=500g, mB=300g,有一质量为 80g 的小铜块 C 以 25m/s 的水平初速度开始在 A 表面滑动。由于 C 与 A、B 间有摩擦,铜块最后停在 B 上,B 和 C 一起以 2.5m/s 的速度共同前进,求:
v0 C AA A B A A

? (1)木块 A 的最后速度 v? (2)C 在离开 A 时的速度 vC A;

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4.如图所示,质量为 M 的半圆型槽静止在光滑水平面,圆槽半径为 R。将一质量 为 m 的光滑小球从圆槽边缘由静止释放, 不计一切摩擦, 求圆槽在水平面上运动的最大 m 位移。 A B R
M

5.质量为 m1=200kg 的气球,载着质量为 m2=50kg 的人(可视为质点) ,从地面开 始以 v=2.0m/s 的速度匀速上升,气球下悬一根质量不计的长绳。当气球升至离地 20m 高时,此人想在 10s 内从气球上沿悬绳滑到地面,且到达地面时速度很小,问这根悬绳 至少应有多长?(提示:可用质心运动定理求解)

6.如图所示,长为 3m,质量为 4kg 的小车两端的护栏上各装有铁钉,车面光滑且 车停在光滑的水平面上。小车内距右端 1m 处放着两个质量分别为 mA=3kg,mB=2kg, 宽度不计的物块 A 和 B,A、B 之间有质量不计、长度不计的压缩弹簧。弹簧释放后, B 物块获得 4m/s 的速度向右运动,两物块碰到钉子后均被钉住,试求小车在整个过程 中通过的位移。

54

7.如图所示,质量为 m 的小球 B 放在光滑的水平槽内,现用一长为 L 的细绳连接 另一质量 m 的小球 A,开始细绳处于松驰状态,A 与 B 相距为 L/2,小球 A 以初速度 v0 在光滑的水平地面向右运动。当 A 运动到图示位置时,细绳被拉紧,求 B 球开始运 动时速度的大小 vB。
B L/2 v0 A

8.如图所示,两个同心圆代表一个环管,它的质量为 m,内外半径几乎同为 R。 环管内 A 处与其对径点 B 处分别放有两个质量也同为 m 的小球, 小球与管内壁无摩擦。 现将系统置于光滑水平面上,设初始时刻环管处于静止状态,两小球朝图中右侧正方向 同时有初速度 v0,试求两小球第一次相距 R 时,环管中心速度大小。
v A R O B
55

v

9.一根质量为 M 的均匀干麦管放在无摩擦的水平桌面上。麦管与桌边垂直,且有 一半伸在桌面外。开始时有一只质量为 m 的苍蝇(可视为质点)停在麦管在桌面内的末 端上,然后从该端出发,顺着麦管爬到另一端,而后另一只苍蝇也停落在这一端上,但 麦管并未倾覆,求第二只苍蝇的质量 m ? 的取值范围。

第十八讲:碰撞
【知识要点】 1、碰撞的特点 (1)碰撞所经历时间极短,而碰撞前后物体运动状态的改变很显著。 (2)碰撞物体间的相互作用力很大,所以碰撞过程中常忽略其它外力的作用。 2、碰撞的规律 由于碰撞过程中忽略外力作用,只考虑相互作用的内力,所以碰撞过程中,碰撞系 统的动量守恒。 3、两质点的正碰: ? ? ? ? ? 动量守恒: m1v1 ? m2 v2 ? m1v1? ? m2 v2
56

?x ? m2 v2 ?x 分量式: m1v1x ? m2 v2 x ? m1v1

(x 方向) (y 方向) (z 方向)

?y ? m2 v2 ?y m1v1y ? m2 v2t ? m1v1 ?z ? m2 v2 ?z m1v1z ? m2 v2 z ? m1v1
4、碰撞类型: (各种碰撞动量均守恒) (1)完全弹性碰撞:能量守恒:

1 1 1 1 2 ? 2 ? m2 v 2 ? 2 ? m1v12 ? m2 v 2 m1v1 2 2 2 2 ? ? (2)完全非弹性碰撞:碰后两质点速度相同,即 v 2 ? v1
(3) 一般碰撞: 引入恢复系数 e, 定义为分离速度和接近速度的比值, 即: e?

? ? v1 ? v2 v1 ? v2

说明: e=1 即为完全弹性碰撞, e=0 为完全非弹性碰撞, 0<e<1 为非完全弹性碰撞。 竞赛中,解决碰撞问题的关键在于搞清楚碰撞的类型和碰撞中遵守的规律。 【例题 1】如图所示,光滑水平面上有 A、B 两球,均以恒定速率向右运动,A 球动量 PA=10kg·m/s,B 球动量 PB=6kg·m/s,两球相撞后,A 球动量增量为△PA= —4kg·m/s, 则它们的质量之比 MA:MB 应满足什么条件。
A PA B PB

【例题 2】 如图所示, 在光滑水平面上沿同一直线以一定间隔按从左向右顺序 1、 2、 3??N 排列着 N 个大小相同的球,球 1 的质量为 3m,其余球的质量均为 m。沿球心连 线向右给球 1 一个冲量使其得到速度 v,则球 1 与球 2 先发生对心碰撞,接着便从左向 右依次发生相邻球间的相互对心碰撞。若碰撞均为弹性正碰,求各球不能再碰时,球 1、 1 2 3 4 N 球 2、??球 N 的速度各为多大? v ??

57

【例题 3】如图所示,弹性小球沿台阶逐级跳下。已知台阶宽和高均为 L,小球每 次相对本级台阶跳起的高度都为未知量 H,下落点在各台阶同一位置。设小球与台阶间 的碰撞恢复系数为 e,试求小球的水平速度 u 和 H。
H L L

58

【例题 4】A、B、C、为三个完全相同的表面光滑的小球,B、C 两球各被一长为 L=2.00m 的不可伸长的轻线悬挂在天花板上,两球刚好接触, 以接触点 O 为原点作一直 角坐标系 Oxyz,z 轴竖直向上,Ox 轴与两球心的连线重合,如图所示。今让 A 球射向 B、C 两球,并与两球同时发生碰撞。碰撞前,A 球速度方向沿 y 轴正方向,速度大小 为 vAO=4.00m/s,相碰后,A 球沿 y 轴负方向反弹,速度为 vA=0.40m/s。忽略空气阻力, 取 g=10m/s2。 (1)求 B、C 两球被碰后偏离 O 点的最大位移量。 (2)讨论长时间内 B、C 两球的运动情况。
B
59

z L L C O y

x

《碰撞》专题练习题
1.光滑的水平面上有两个质量分别为 m1 和 m2 的小球 A 和 B,它们在一条与右侧 竖直墙面垂直的直线上前后放置,如图所示。设开始时 B 球静止,A 球以速率 v 对准 B 球运动。不计各种摩擦,所有碰撞都是完全弹性的。如果两球能且仅能发生两次碰撞, 试确定质量比 m1:m2 的取值范围。
A v B

60

2.如图所示,质量为 m 的长方形箱子,放在光滑的水平地面上。箱内有一质量也 为 m 的小滑块,滑块与箱底间无摩擦。开始时箱子静止不动,滑块以恒定的速度 v0 从 箱子的 A 壁向 B 壁滑动。假定滑块与箱子每碰撞一次,二者相对速度的大小变为该次 碰撞前相对速度的 e 倍, e ? 4

1 2

A

v0

B

(1)要使滑块与箱子这一系统损耗的总动能不超过其初始动能的 40%,滑块与箱 子壁最多可碰撞几次? (2)从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间,箱子的平均速度是多少?

3.两块光滑竖直板 OA 与 OB 形成夹角α =2°的 V 字形,如图所示,固定在光滑 的水平面上。一个小球(可视为质点)在 OB 板上的 C 点处以速度 v=2m/s 并与 OB 板 成θ =60°角的方向开始运动, 与 OA 板发生碰撞后又折回与 OB 板碰撞。 已知 OC=4m, 所有碰撞都是完全弹性的。试求: A (1)小球经过几次碰撞后又回到 C 点? (2)此过程所经历的时间; (3)此过程中小球离 O 点最近的距离。 α O v 60° C B

61

4.一个质量为 m 的弹性小球由静止开始下落 h 米后与光滑水平面上的斜面楔发生 完全弹性碰撞,斜面倾角θ =45°,质量为 nm,如图所示。求碰后小球的速度 v 的大小 和斜面楔的速度 u u θ

v

5.一门大炮停在铁轨上,炮弹质量为 m,炮身质量为 M,炮车可以自由地在铁轨 上反冲,如炮身与地面成α 角度,炮弹相对炮身速度为 v ? 射出。求炮弹离开炮身时对地 面的速度 v 和炮车反冲的速度 u。

62

6.质量为 M 的物体具有平动动能 Ek,但不转动。物体内的火药将它炸裂成质量分 别为 aM 和(1-a)M 的两块,都在原运动方向的两侧的等角度θ 共面方向上平动,如 图所示。试证明火药转化的机械能的能量至少为 Ek·tg2θ 。
aM Ek M

θ θ
(1—a)M

7.一个质量为 M 的大圆环静止在光滑的水平桌面上,另一个质量为 m 的质点以初 速度 v0 自由穿过环上的小孔 P, 与圆环内壁发生 n 次弹性碰撞后, 又从小孔 P 自由穿出, 如图所示。此过程中,环中心 O 与质点连线刚好相对于环转过 360°。试求质点穿出小 孔后圆环中心 O 相对于桌面的速度。
v0 O P

63

第十九讲:动量和能量
【知识要点】 动量和能量都是描述质点运动的物理量,都与质点的一个运动状态相对应,但它们 是从不同角度描述运动的。动量反映质点可以克服一定阻力运动多久;动能则反映质点 可以克服一定阻力运动多远。 动量和能量的守恒规律是两条重要的普适规律,要注意运用规律的条件。 运用动量观点和能量观点解题是解决力学问题的两个重要途径, 也是竞赛题中常用 的解题方法之一。对一些复杂的运动或几个质点间作用过程较复杂及碰撞问题,通常运
64

用这种方法解题。 【例题一】如图所示,质量 M 半径 R 的光滑半球,放在光滑水平面上。质量 m 的 小球沿半球表面下滑。小球初位置与铅垂线成α 角,求该角度变为θ 角时 ?? ? ? ? 小球绕球心的角速度 ?
M

? ?

??
? 2?

m α θ O

【例题二】如图所示,质量 M=2kg 的长木板 B 静止于光滑水平面上。B 的右边放 有竖直挡板。现有一小物体 A(可视为质点)质量为 m=1kg,以初速度 v0=6m/s 从 B 的 左端水平滑上 B。已知 A 与 B 间的动摩擦因数μ =0.2,B 与竖直挡板的碰撞时间极短, 且碰撞时无机械能损失。 (1)若 B 的右端距离档板 S=4m,要使 A 最终不脱离 B,则木板 B 的长度至少要 多长? (2)若 B 的右端距离档板 S=0.5m,要使 A 最终不脱离 B,则木板 B 的长度至少 应多长?
A v0 B S

65

【例题三】 (2000 年高考)在原子核物理中,研究核子与核子关联的最有效途径是 “双电荷交换反应” 。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似。两个小球 A 和 B 用轻质弹簧相连,在光滑水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固 定档板 P,右边有一小球 C 沿轨道以速度 v0 射向 B 球,如图所示。C 与 B 发生碰撞并 立即结成一个整体 D。在它们继续向左运动的过程中,当弹簧长度变到最短时,长度突 然被锁定,不再改变。然后,A 球与挡板 P 发生碰撞,碰后 A、D 都静止不动。A 与 P 接触而不粘连。过一段时间,突然解除锁定(锁定及解除锁定均无机械能损失) 。已知 A、B、C 三球质量均为 m。 (1)求弹簧长度刚被锁定后 A 的速度;
66

(2)求在 A 球离开挡板 P 之后的运动过程中,弹簧的最大弹性势能。
P A B v C 0

《动量与能量》专题练习题
1.质量 M、表面与底面均光滑的匀质半球体静止在光滑水平面上,半球顶端有一 质量为 m 的小球从静止开始下滑,如图所示,在θ 角位置时,小球飞离半球。已知 cos θ =0.70,试求 M:m 的值。
M m

θ

67

2.如图所示,质量为 2m,长为 L 的木块静置于光滑水平桌面上。质量为 m 的子 弹以初速度 v0 水平从左方射入木块,子弹穿出木块时速度变为 v0/2。设木块对子弹的阻 力恒定。 (1)求子弹穿越木块过程中,木块滑行的距离 S; (2) 若将此木块固定在一传送带上, 木块始终以恒定速度 u 水平向右运动 (u<v0) , 求子弹以水平速度 v0 射入木块后,子弹的最终速度,以及子弹在木块中行进的过程中, 木块移动的距离 L。
v0 m L 2m v0/2

3.如图所示,在水平光滑桌面上放有一质量为 M 的直角斜劈 ABC,AB 的倾角为 θ ,B 点离桌面的高度为 h。在斜面 AB 的底部 A 处有一质量为 m 的小滑块。某时刻劈 静止,滑块有一个沿 AB 向上的速度 v0,如果不计一切摩擦,那么 v0 至少要多大才能使 滑块从 B 点滑出?
m v0 A M B h C

θ

68

4.如图所示,长为 L 的光滑平台固定在地面上,平台中间放有小物体 A 和 B,彼 此接触。A 的上表面是半径为 R 的半圆形轨道,且 R< < L,轨道顶端距台面高度为 h 处有一个小物体 C,A、B、C 的质量都为 m。系统静止时释放 C,已知在运动过程中, A、C 始终保持接触,试求: (1)物体 A 和 B 刚分离时,B 的速度; (2)物体 A 和 B 分离后,C 所能达到的最大高度; (3)试判断 A 从平台的哪边落地,并估算 A 从与 B 分离到落地所经历的时间。
R A L C Bh

5.如图所示,质量为 M 的长滑块静置在光滑水平面上,左侧固定一劲度系数为 k, 且足够长的水平轻质弹簧,右侧用一根不可伸长的细绳悬在墙上,细绳所能承受的最大 拉力为 T。 让一质量为 m、 初速度为 v0 的小滑块在长滑块上无摩擦地对准弹簧向左运动。 (1)细绳被拉断的条件是什么? (2)细绳拉断后,长滑块所能获得的最大加速度是多大? (3)小滑块最后离开长滑块时,相对地面速度恰为零的条件是什么?
v0 m M

69

6.质量为 M、开始时静止于光滑水平面上的滑块内有二段长度为 L,且互相连通 的光滑直轨道 AB 和 BC, 连接处是光滑圆弧, AB 与水平面成α =60°, BC 为水平方向, 如图所示,将一质量为 m 的光滑小球放入 A 端,让它由静止开始下滑。试求小球经过 多长时间后从 C 点滑出?(设小球在 B 处拐弯时间可忽略)
A

α

B

C

7.长为 2b 的轻绳,两端各系一个质量为 m 的小球,中央系一个质量为 M 的小球。 三球均静止在光滑水平桌面上,绳处于拉直状态,三球在一条直线上,如图所示,今给 小球 M 以一个冲击,使它获得水平速度 v,v 的方向与绳垂直。求: (1)M 刚受到冲击时,绳的张力; (2)在两端的小球发生碰撞前的瞬间绳的张力。
v m M m

70

8.在一水平光滑的长直轨道上,等间距地放着足够多的完全相同的质量为 m 的正 方体木块,编号依次为 1、2、3??如图所示。在木块 1 前有一质量为 M=4m 的大木块, 大木块与木块 1 之间的距离和相邻各木块间的距离都为 L。 现在, 在所有木块都静止时, 对 M 施加一沿轨道方向的恒力 F,且一直作用在大木块上,使其与木块依次发生碰撞, 假如所有碰撞都是完全非弹性的,问大木块与第几块小木块相碰之前,它的速度能达到 极大值,此速度值 vm 等于多少?
F M 1 2 3 4 ?? n

71

第二十讲:机械振动
【知识要点】 振动类型: 机械振动, 交流电中电流和电压的振动, 电磁学中电场和磁场的振动等。 这些振的物理本质不同,但遵守的基本规律相同。机械振动形象直观,最简单的机 械振动是简谐运动。 1.简谐运动物体的受力特征: 质点离开平衡位置后所受合力是线性回复力 F ? ? kx 衡位置的位移,k 为力常数。
72

式中 x 为质点相对于平
P ωt φ O Q P0 x

2.简谐运动的矢量图示分析法: 如图所示,矢量 OP 绕 x 轴上的坐标原点 O 沿逆时针方向匀速转动,则 P 做匀速圆 周运动,P 在 x 轴上的投影点 Q 的运动就是简谐运动,O 为平衡位置,OP 的长为振幅 值。简谐运动的周期等于圆周运动的周期。这种用旋转矢量表示简谐运动的方法称为矢 量图示法。P 通过的圆为参考圆。 3.简谐运动的位移、速度和加速度方程 如图,令 OP 长为 A,其旋转角速度为ω ,在 t=0 时矢量 OP 与 x 夹角为φ 0,则经过时间 t,P 在 x 轴上投影点 Q 的位 移为 x ? OQ ? A cos??t ? ?0 ? ,此方程即为简谐运动的位移方 程。 参考圆上参考点 P 的线速度 vP 在 x 轴上的投影就等于 Q 点作简谐运动的速度 v ? v P cos??t ? ? 0 ?
vP v P ωt φ O Q P0 x

? ?

??

? ,式中 v P ? ?A 为速度的幅值。 2?
a aP P P0 x

参考圆上参考点 P 的向心加速度 aP 在 x 轴上的投影就等于 Q 点 做 简 谐 运 动 的 加 速 度 a ? ?aP cos??t ? ?0 ? 。 其 中

a P ? ? 2 A 为加速度的幅值。
4.简谐运动的图象 图象是从另一角度来描述物体的运动特征的,它与方程相

ωt φ O Q

比较具有形象直观的特点。如下图中的甲、乙、丙三图分别表示简谐运动物体的位移— —时间,速度——时间,加速度——时间图象。 x v
a

t

t

t

甲 乙 丙 由图可知位移、速度和加速度变化的周期相同但相位不同,速度相位比位移相位超



? 3? (或者说落后 ) ,加速度相位比位移相位超前 ? (或者说落后 ? ) 。 2 2
5.简谐运动的固有周期和频率

k x ??????① m m 由 位 移 方 程 x ? Ac o s ?( t ? ? 0 ) 和 加 速 度 方 程 a ? ?? 2 A c o s ?( t ? ?0 ) 可 得
由牛顿第二定律和简谐运动的受力特征有

a?

F回

??

a ? ?? 2 x ?????②
2 联立①②两式可得 ? ?

k 2? m ,又 ? ? 代入可得 T ? 2? 其固有周期由系统本 m T k
73

身的特性决定,与其他外部因素无关。

单摆的周期 T ? 2?

l ,要注意在实际问题中 l 和 g 的含义。在具体问题中要能准 g

确地求出其等效摆长和等效重力加速度。 (1)等效摆长的确定:摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。 (2)等效重力加速度的确定:通常情况下先确定摆球在系统中相对于悬点静止时 的位置,再找出此状态下摆线的拉力 F′,则等效重力加速度 g ? ?

F? ,特殊情况下, m

如所受其他外力始终沿绳所在直线方向,如带电粒子所受洛仑兹力,则该力不会改变其 振动周期。 6.简谐运动的能量

1 1 1 mv 2 ? m? 2 A 2 sin 2 (?t ? ? 0 ) ? kA 2 sin 2 (?t ? ? 0 ) 2 2 2 1 1 势能: E P ? kx 2 ? kA 2 cos 2 (?t ? ? 0 ) 2 2 1 总能量: E ? E P ? E k ? kA 2 2
动能: E k ? 7.阻尼振动 振动系统在阻尼介质中振动时,由于阻力的作用,振幅逐渐减小,这种振动称为阻 尼振动,对于一定的振动物体,有阻尼比无阻尼时的周期要长些。且阻尼越大,其周期 越长。 8.受迫振动与共振 振动系统在周期性外力 (该外力可称为策动力或驱动力) 作用下的振动叫受迫振动。 受迫振动的频率等于驱动力频率,与物体的固有频率无关,但其振幅由固有频率和驱动 力频率的关系来确定。驱动力频率与物体固有频率相差越大,振幅越小;两者越接近振 幅越大;当外界驱动力频率与系统自身的固有频率相等时,受迫振动的振幅达最大值, 这种现象称为共振。 【例题 1】三根长均为 L=2m,质量均匀的直杆,构成一个正三角形框架 ABC,C 点悬挂在一光滑水平转轴上,整个框架可绕转轴转动。杆 AB 是一导轨,一电动玩具松 鼠可在导轨上运动,如图所示。现观察到松鼠正在导轨上运动,而框架却静止不动,试 C 论证松鼠的运动是一种什么样的运动。

A

B

74

【例题 2】半径为 R 的细圆环,其质量与固定在其上的两个相同的小重物相比可以 忽略不计。在环上与两个小重物等距外钻一个小孔 O,如下图所示,将孔穿过墙壁上的 钉子而把环悬挂起来,使环可以在竖直平面内无能量损失地做微小的简谐运动,两小重 物的位置关系可以用它们之间的角距离 2α 表示。求此装置的振动周期,摆长 L 为多少 的单摆自由振动的周期和图示的摆相同。 O r
R α α R

【例题 3】如图所示是一种记录地震装置的一种摆,质量为 m 的摆球固定在边长为 L,质量可以忽略不计的等边三角形的顶点 A 上,其对边 BC 跟竖直线成α 角,摆球可 绕固定轴 BC 摆转,求摆球作微小振动的周期。 B
O α C A

【例题 4】 如图所示, 在劲度系数为 K 的弹簧下面悬挂一质量为 M 的盘。 盘不动时, 一个质量为 m 的质点自高 h 处落入盘中, 与盘发生完全非弹性碰撞, 以碰后瞬时为计时 起点,求盘子的振动方程。

h

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【例题 5】如图所示,A、B 两物叠放在光滑的水平面上,弹簧一端固定,另一端 与物体 B 连接,O 是平衡位置,用力把物体拉离平衡位置后无初速度释放,物体将在水 平面内作简谐运动。已知物体 A 的质量 m=50g,物体 B 的质量 M=100g,A 与 B 间最 大静摩擦力 fm=0.32N,弹簧劲度系数 K0=9.6N/m,不计弹簧质量和空气阻力,求: (1)要使 A、B 间在振动中不发生相对滑动,振幅最大为多少? (2)若使两物体以最大的振幅运动,取水平向右为位移 x 的正方向,从物体位移 大小为振幅一半并指向平衡位置沿 x 轴正方向运动时开始计时。求初相、振动圆频率、 振动方程。
A B

《机械振动》专题练习
1.如图所示,将质量为 m 的木块向右拉开一定距离后释放,木块在有摩擦的水平 地面做减幅振动。弹簧第一次恢复原长时木块速率为 v0,则木块在整个振动过程中出现 速率为 v0 的位置有( A、1 个 B、2 个 ) C、3 个 D、4 个
m

2. 如图所示, 在质量为 M 的无下底的木箱顶部, 用一轻弹簧悬挂一质量均为 m (M > > m)的 A、B 两物体,箱子放于水平地面上,平衡后剪断 A、 B 间细线,此后 A 作简谐运动,当 A 运动到最高点时,木箱对地 面的压力为( )
76

A B

A、Mg C、 (M+m)g

B、 (M-m)g D、 (M+2m)g

3.摆钟摆锤的运动可以近似看成简谐运动。如果摆长为 L1 的摆钟在一段时间内快 了△t,另一摆长为 L2 的摆钟在相同时间内慢了△t,则准确钟的摆长 L 应为多少?

4. 如图所示, 在两个向相反方向转动的小轴上水平地放一均匀木板, 木板质量为 m, 两个轴心间距离为 2L,木板与两轴间的摩擦因素均为μ 。木板最初位置是其重心偏离 中线 OO′的右边 x 的位置处。试证明木板在轴产生的摩擦力的作用下的运动是简谐运 动。

5.一质量为 100g 的单摆作简谐运动,其振幅为 10cm,周期为 4s,当 t=0 时,位 移为正 10cm,求: (1)在 t=1s 时物体所在的位置; (2)在 t=1s 时物体所受力的大小; (3)由起始位置运动到第一次位于 x = 5cm 处所需时间

77

6.如图所示,在光滑水平面的两端对立着两堵竖直的墙 M 和 N,把一劲度系数为 k 的弹簧的左端固定于墙 M 上,在弹簧右端系一质量为 m 的物体 A。用外力压弹簧使 物体 A 从平衡位置向左移动距离 s0,紧靠 A 放一个质量也是 m 的物体 B,使弹簧、A 和 B 均处于静止状态。然后撤去外力,由于弹簧的弹力作用,物体开始向右滑动。 (1)在什么位置物体 A 和 B 分离?分离时物体 B 的速率多大? (2)物体 B 离开 A 后继续向右滑动,与墙 N 发生完全弹性碰撞,N 和 O 之间距 离 x 应满足什么条件,才能使 B 在返回时恰好在 O 点与 A 相遇?
M AB S0 O x N

7.一单摆由一根长为 L 的刚性轻杆和杆端重物组成,做振幅较小的振动。若在杆 上某一点再固定一个和杆端重物相同的重物,使单摆变成一复摆,求摆的振动周期最多 能改变百分之几?

78

8、如图所示,弹簧和细绳质量可忽略,不计摩擦,m1、m2、M 及 k 均为已知。设 细绳较长,能使滑轮上下振动,求滑轮振动周期。

M m1 m2

9.一大容器中装有互不相溶的两种液体,它们的密度分别为ρ 1 和ρ 2(ρ 1<ρ 2) , 现让一长为 L,密度为 ( ?1 ? ? 2 ) 的均匀木棍,竖直地放在上面的液体内,其下端离两 液体分界面的距离为

1 2

3 L ,由静止开始下落,试计算木棍到达最低处所需的时间。假定 4

由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计,且两液体都足够深,保证木棍始终都在 液体内部运动,既未露出液面,也未与容器底相碰。

79

第二十一讲:机械波
【知识要点】 振动的传播形成波,机械振动在弹性介质中传播形成机械波。如声波、水波等。交 变的电场和磁场在空间的传播形成电磁波。如无线电波、光波等。这两类波虽然本质不 同,但很多规律是相同的,本节主要研究机械波的一些基本特性和规律。 1、波的形成条件: (1)有振源; (2)有能传播振动的弹性介质。 2、波动的特点 (1)每一质点均在自已的平衡位置来回运动而不随波前进; (2)每一质点的起振方向都和波源起振方向相同,且远离波源的点振动总要滞后 于靠近波源的点。
80

(3)波传播的是运动形式和能量。 3、波的分类 (1)按波的性质分:机械波、电磁波、物质波。 (2)按介质中质点的振动方向与波的传播方向关系分:横波和纵波。若质点振动 方向和波的传播方向垂直称为横波,若质点振动方向和波传播方向平行称为纵波。 横波和纵波的形成及传播情况与介质的弹性变化有关。弹性变化有三类:切变(只 有形状变化) 、长变(长度变化) 、容变(体积变化) 。若介质有切变弹性能传播横波, 若介质有容变弹性能传播纵波。 4、描述波的物理量 (1)波长λ :两相邻波峰(或波谷)中央间的距离。 (2)周期 T:波传播一个波长所需的时间。 (3)波速 v:波在单位时间内传播的距离。 这三者的关系为 v ?

?
T

5、波动方程 设一列波沿 x 轴方向传播。设位于原点 O 处的振源振动方程为 y=Acosω t,则与原 点的距离为 x 处的原点振动方程为 y ? A cos?? (t ? )? ,在某一时刻 t,该方程就能描 v 述波上各点相对平衡位置的位移,即波动方程。

? ?

x ? ?

2? ? x? ? 和 v ? 代入上式,波动方程可以表示为: y ? A cos??t ? 2? ? 或 T T ?? ? ? t x? y ? A cos2? ? ? ? ?T ? ?
若将 ? ? 6、波动图象:波动图象能直观地描述一群质点在某一时刻相对于各自平衡位置的 位移,其形状为正余弦曲线,由图象可以直观地看出各质点的振幅 A、位移 x、波长λ 、 质点的速度方向和加速度方向、波的传播方向等。 7、波动图象:波动图象能直观地描述一群质点在某一时刻相对于各自平衡位置的 位移,其形状为正余弦曲线,由图象可以直观地看出各质点的振幅 A、位移 x、波长λ 、 质点的速度方向和加速度方向、波的传播方向等。 8、波动图象与振动图象的比较(略) 9、波的干涉: (1)波的叠加:几列波在同一介质中传播时,在它们相遇的区域内,每列波都保 持各自原有的特征独立传播而不互相干扰,波的这种特性叫独立性。在几列波叠加的区 域内,每一质点都同时参与几列波引起的振动,每一质点的位移都是几列波各自分振动 引起的位移矢量和。 (2)波的干涉:具有相同频率、相差恒定的两波源为相干波源。相干波在相遇区

81

内出现稳定的、互相间隔的加强和减弱区,这种现象称之为干涉。 如图所示, 两相干波相遇区域中任一点 P 到两相干波源 O1 和 O2 的距离分别为 r1 和 r2,波源 O1 和 O2 的振动初相为φ 1 和φ 2,则两相干波在 P 点引起的两分振动的相位差 为: ?? ? ?1 ? ? 2 ?

2?

?

(r2 ? r1 )
2 A12 ? A2 ? 2 A1 A2 cos ??

在 P 点引起的合振动的振幅为: A ?

当 ?? ? 2n? 时, A=A1+A2, 在该处发生相长干涉; 当 ?? ? (2n ? 1)? 时, A=|A1-A2|, 在该处发生相消干涉 10、波的衍射: 波在传播中遇到障碍物时改变传播方向,绕到障碍物后面去的现象叫波的衍射。发 生明显衍射的条件是:障碍物或孔的尺寸比波长小或跟波和相差不多。 11、声波: (1)空气中的声波是纵波 (2)能引起人耳感觉的频率范围是 20~20000Hz。 (3)回声和原声在人耳中相隔至少 0.1s 以上,人耳才能分辨。 (4)声波能发生反射、干涉、衍射现象。 (5)乐音与噪声:由作周期性振动的声源发出的声音叫乐音。让人感觉好听、悦 耳。由非周期性振动的声源发出的声音叫噪声,让人感觉嘈杂刺耳。 (6)乐音的三要素:音调、响度、音品。 音调:基音频率的高低。基音高则音调高。 响度:声音的强弱。与人、声强和声频有关。 音品:又称音色。不同声源发出的声音具有不同的特色。它由声音所包含的语音强 弱和频率决定。由泛音的多少、泛音的频率和振幅的大小决定。

【例题 1】一列横波沿如图所示的 x 轴正方向传播,波速 20m/s,振幅 0.2m,周期 0.4s。 取 x 坐标为 0 的质点正好经过平衡位置沿 y 轴反方向运动时为计时起点。 (1)写出波动方程; (2)在上图中画出 t=2.5s 时的波形图象; (3)画出在 x=10m 处的质点的振动图象。
0.2 -5 0 5 10 15

x/m

-0.2

82

【例题 2】将一长为 100 多厘米的均匀弦线,沿水平的 x 轴放置,拉紧并使两端固定, 现对离固定点右端 25 厘米处(取该处为原点 O,如图甲所示)的弦上一点施加一个沿 垂直于弦线方向(即 y 轴方向)的扰动,其位移随时间的变化规律如图乙所示,该扰动 将沿弦线传播而形成波(弧上的脉冲波) ,已知该波在弦线中的传播速度为 2.5cm/s,且 波在传播和反射过程中都无能量损失。 y/cm
0.10 0.05 O -0.05 -0.10 5 10 甲 15 20
弦 右 端

0.10 0

y/cm t/s 3.0

25 x/cm

1.0 乙

2.0

(1)试在图中准确地画同自 O 点沿弦传播的波在 t=2.5s 时的波形。 (2)该波向右传播到固定点时将发生反射,反射波向左传播,反射点总是固定不动的, 这可看成是向右传播的波和向左传播的波的叠加,使反射点的位移始终为零,由此观点 出发,在图中准确地画出 t=12.5s 时的波形图。 (3)在图中准确地画出 t=10.5s 时的波形图。

【练习 1】如图所示,振源 S 的振动频率 100Hz,产生的波向右传播,波速为 80m/s,P、 Q 是波传播途中的两点,知 SP=4.2m,SQ=5.4m,当 s 通过平衡位置向上振动时,有 A、P 在波谷,Q 在波峰 B、P 在波峰,Q 在波谷 C、P、Q 都在波峰 D、P、Q 都在波谷 【练习 2】在一列简谐横波上有 a、b 两点,相距 7m。当 a 在波峰上时,b 恰好在平衡 位置。过了 2s 再观察,a 在波谷,b 仍在平衡位置,下面说法中正确的是( A、波长最大是 28m C、波的频率最小是 0.5Hz B、波长可以是 4m D、波速是 3.5m/s )
P Q





S

83

【练习 3】如图所示,甲、乙两图分别表示一列横波上相距 3m 的两个质点 A 和 B 的振 动图象。已知波长为 3m<λ <12m,求: (1)波通过 A、B 两点经历的时间 (2)设

P 点距 B 点 m ,且在 AB 的中间,从 t=0 开始,经过 1s P 点通过的路程是多少? 3 y/cm y/cm 2 2
0.6 t/s -2 甲 O -2 0.6 乙 t/s

1

【练习 4】图中的实线和虚线分别表示沿 x 轴方向传播的正弦波在 t=0 和 t=1 秒时刻的 波形。 (1)求该波的频率和波速; (2)写出 x=0 和 x=1m 处的质点的振动方程。
y/m 0.01 O -0.01 1 2 x/m

第二十二讲:驻波和多普勒效应
【知识要点】 1、驻波 频率相同、振幅相等、振动方向一致、传播方向相反的两列简谐波互相叠加,便形 成驻波。设坐标原点的振动方程为 y ? A cos?t ,则满足上述条件的两列简谐波的波动 方程分别为: y1 ? A cos( ?t ?

2?

?

x)

y 2 ? A c o s? (t ?
2?

2?

?

x)

叠加所得的合成波的方程为: y ? y1 ? y 2 ? 2 A cos(

?

x) ? cos ?t

84

式中 2 A cos(

2?

?

x) 是此合成波的振幅,它与 x 有关。振幅最大处称为波腹,振幅最
λ
2A

小处称为波节。波腹的位置为:

x?k

?
2

(k ? z )

波节的位置为: x ? ( k ? )

1 ? 2 2

相邻两波腹(或波节)之间的间距为

? 。 2

波节

波腹

不同时刻驻波的波形图如图所示,其中实线表示 t=0,T,2T,?时的波形,点线 表示 t ?

1 3 1 9 T , T ,?时的波形;点画线表示 t ? T , T ,?时的波形。 2 8 8 2

2、多普勒效应 由于波源和观察者之间有相对运动, 使观察者接受到的频率 fR 与波源的振动频率 fs 不同,这种现象称为多普勒效应。相互远离时,频率变低;相互接近时,频率变高。 利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速、潜艇的速度,还可以用来报警和监测 车速。在医学上,利用超声波的多普勒效应对心脏跳动情况进行诊断,如做超声心动, 多普勒血流仪等。 (1)三种情况: (波源频率为 f s ,波的频率为 f ,观察者接受到的波频率为 f R ) ① 相对于媒质,波源不动,观察者以速度 vR,向着或远离波 源运动。如右图所示。 f R ? 为波速) ; 因为此时波源的频率就是波的频率,所以 f R ?

u ? vR

?

?

u ? vR u ? vR ? f (式中 u u/ f u
u ? vR fs u

λ S vR

因此观察者向着波源运动时,接受到的频率大于波源的频率;当观察者远离静止波 源运动时,接受到的频率小于波源的频率。 ② 相对于媒质,观察者不动,波源以速度 vs 向着观察者运动。波源运动时,波的频 率不再等于波源的频率。这是由于当波源运动时,它所发出的相邻的两个同相振动状态 是在不同地点发出的,这两个地点相隔的距离为 vsTs,Ts 为波源的周期。如果波源是向着 观察者运动的,这后一地点到前方的最近的同相点之间的距离是现在媒质中的波长。 若波源静止时,媒质中的波长为λ 0(λ 0=uTs) ,则现在媒质中 的波长为: ? ? ?0 ? v s Ts ? (u ? v s )Ts ?

u ? vs fs

S vs

现在波的频率(即观察者接收的频率)为:

fR ?

u

?

?

u fs u ? vs
85

因此波源向着观察者运动时,观察者接受到的频率大于波源的频率;当波源远离观 察者运动时,观察者接受到的频率小于波源小于波源的频率。 ③ 相对于媒质,观察者和波源同时运动,综合上述两种情况,可得当波源和观察 者相向运动时,观察者接受到的频率为: f R ?

u ? vs fs u ? vs

当波源和观察者彼此离开时,观察者接受到的频率为: f R ?

u ? vs fs u ? vs

【例题 1】如图所示, A、 B 两点相距 20m, 为同一介质中两波源, 它们作同频率 (f=100Hz) 同方向的振动,相位差为π ,它们激起的平面简谐波,振幅为 5cm,波速为 200m/s,试 求 A、B 连线内因干涉而静止的各点的位置。
5 O -5 A v y/cm 20 v B x/m

【例题 2】如图所示,绳中的简谐波向正 x 方向传播,振幅 A=2cm,频率 f=10Hz,相 距△ x=2cm 的两点 A 和 B 之间的相位差为△ φ = π /6 。已知 A 点的振动方程为

y ? A cos(20?t ) 。试以 B 为坐标原点,写出波动表示式。

A

B

x

【练习 1】一列横波自 B 向 A 传播,A、B 间距离为 8m,已知λ >8m。质点 A、B 振 动图线如图所示,求这列波的波长和波速。
y/m yA

O

0.2 yB

0.4

t/s

86

【练习 2】正在报警的警钟,每隔 0.5 秒钟响一声,一声接一声地响着,一个人坐在以 60km/h 的速度向警钟行驶的车中,已知声音在空气中的速度为 330m/s,那么这个人在 每分钟内能听到几次响?

【练习 3】一木匠在屋顶上敲打,每秒打 4 下,一观察者恰巧在看到木匠把锤子举到最 高点时听到钉木板的声音,设声速为 344m/s,则观察者与木匠间的最小距离为多少?

【练习 4】在介质中波传播速度为 v=2m/s,波长 λ =1m 的一列简谐波,现得到某一 时刻的部分波形如图所示,已知图上 A 点坐标为 x=20cm, y=4cm, A 点速度的大小 为 12π cm/s 若以此时刻开始计时,写出 x=95cm 处 B 点的振动方程。
y A O x v

87

【练习 5】相距 L=100m 的两个波源沿着它们的连线方向,向两边发出平面简谐波,两 波源频率同为 f=50Hz,振幅同为 A=0.1m。波长同为λ =2m,振动相位相反。求两波源 之间发生干涉相长和相消的各点的位置,以及两波源外侧各点的振幅。

S1

S2

88


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