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江苏省南通市启东中学2015届高三上学期第一次月考数学(文)试卷


2014-2015 学年江苏省南通市启东中学高三(上)第一次月考数 学试卷(文科)
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.函数 y= 的定义域是 .

2.设函数 f(x)=log2x,则“a>b”是“f(a)>f(b) ”的

条件.

3.若函数 f(x) (x∈R)是周

期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 f(x) = ,则 f( )+f( )= .

4.为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y=

cos3x 的图象



5.已知集合 A={(0,1) , (1,1) , (﹣1,2)},B={(x,y)|x+y﹣1=0,x,y∈Z},则 A ∩B= . 6.函数 y=|2 ﹣1|在区间(k﹣1,k+1)内不单调,则 k 的取值范围是 7. 若函数 f (x) =log( +4 (a>0 且 a≠1) 的图象过定点 (m, n) , 则 logmn= a x﹣1)
x

. .

8.已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数,如[1.2]=1,[﹣1.5]=﹣2.若 x0 是函数 f(x) =lnx﹣ 的零点,则[x0]= .

9.已知 f(x)=3sin(2x﹣ 实数 x 恒成立,则α=
3

) ,若存在α∈(0,π) ,使 f(α+x)=f(α﹣x)对一切 . .

10. 已知函数 f (x) =ax +bsinx+4 (a, b∈R) , f (lg (log210) ) =5, 则f (lg (lg2) ) =

11.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.若 C= ,则 = .

12.设函数 f(x)=1﹣xsinx 在 x=x0 处取极值,则(1+x0 ) (1+cos2x0)=

2



13.已知函数 f(x)=ax +bx+ 与直线 y=x 相切于点 A(1,1) ,若对任意 x∈[1,9],不等 式 f(x﹣t)≤x 恒成立,则所有满足条件的实数 t 的值为 .

2

14.在△ABC 中,若

的最大值为



二、简答题: (本大题共 6 小题,共 90 分) 15.已知函数 f(x)=cos x,g(x)=1+ sin2x. (1)若点 A(α,y) (α∈[0, α的值; (2)求函数 h(x)=f(x)+g(x) ,x∈[0, ]的值域. ])为函数 f(x)与 g(x)的图象的公共点,试求实数
2

16.在△ABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= 2 cos B= sinAcosA﹣ sinBcosB. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sinA= ,求△ABC 的面积.

,cos A﹣

2

17.已知全集 U=R,非空集合 A={x|

<0},B={x|

<0}.

(Ⅰ)当 a= 时,求(? UB∩A) ; (Ⅱ)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 18.我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了 800 万元修复和加强民 俗文化基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按 30 天计 算)每天的旅游人数 f(x)与第 x 天近似地满足 (千人) ,且参观民俗文化村

的游客人均消费 g(x)近似地满足 g(x)=143﹣|x﹣22|(元) . (1)求该村的第 x 天的旅游收入 p(x) (单位千元,1≤x≤30,x∈N )的函数关系; (2) 若以最低日收入的 20%作为每一天的计量依据, 并以纯收入的 5%的税率收回投资成本, 试问该村在两年内能否收回全部投资成本?
*

19.已知函数 f(x)=π(x﹣cosx)﹣2sinx﹣2,g(x)=(x﹣π) 证明: (Ⅰ)存在唯一 x0∈(0, ) ,使 f(x0)=0;

+

﹣1.

(Ⅱ)存在唯一 x1∈(

,π) ,使 g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的 x0,有 x0+x1>π.

20.已知函数

,设曲线 y=f(x)在与 x 轴交点处的切线为 y=4x

﹣12,f′(x)为 f(x)的导函数,且满足 f′(2﹣x)=f′(x) . (1)求 f(x) ; (2)设 ,求函数 g(x)在[0,m]上的最大值;

(3)设 h(x)=lnf′(x) ,若对一切 x∈[0,1],不等式 h(x+1﹣t)<h(2x+2)恒成立, 求实数 t 的取值范围.

2014-2015 学年江苏省南通市启东中学高三 (上) 第一次 月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.函数 y= 的定义域是 {x|x>2 且 x≠3} .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由分式的分母不等于 0,对数的真数大于 0 联立不等式组求解 x 的取值集合得答案. 解答: 解:由 ,解得:x>2 且 x≠3.

∴函数 y=

的定义域是{x|x>2 且 x≠3}.

故答案为:{x|x>2 且 x≠3}. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,是基础的计算题. 2.设函数 f(x)=log2x,则“a>b”是“f(a)>f(b) ”的 必要非充分 条件. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据函数 f(x)=log2x,在 x∈(0,+∞)上单调递增.可得“a>b”? “f(a) >f(b) ” ,反之不成立. 解答: 解:∵函数 f(x)=log2x,在 x∈(0,+∞)上单调递增. ∴“a>b”? “f(a)>f(b) ” ,而反之不成立. ∴“a>b”是“f(a)>f(b) ”的必要非充分条件. 故答案为:必要非充分. 点评: 本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法,属于基础题. 3.若函数 f(x) (x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 f(x) = ,则 f( )+f( )= .

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过函数的奇偶性以及函数的周期性,化简所求表达式,通过分段函数求解即可.

解答: 解:函数 f(x) (x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 f(x) = ,

则 f(

)+f(



=f(8﹣ )+f(8﹣ ) =f(﹣ )+f(﹣ ) =﹣f( )﹣f( ) = = = . .

故答案为:

点评: 本题考查函数的值的求法,分段函数的应用,考查计算能力.

4.为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= 单位 .

cos3x 的图象 向右平移



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式,然后利 用平移原则判断选项即可. 解答: 解:函数 y=sin3x+cos3x= 平移 个单位,得到 y= cos(3x﹣ ) ,故只需将函数 y= )的图象. cos3x 的图象向右

cos[3(x﹣

)]=cos(3x﹣

故答案为:向右平移

个单位.

点评: 本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用, 基本知识的考查. 5.已知集合 A={(0,1) , (1,1) , (﹣1,2)},B={(x,y)|x+y﹣1=0,x,y∈Z},则 A ∩B= {(0,1) , (﹣1,2)} . 考点: 交集及其运算. 专题: 综合题. 分析: A、B 都表示点集,A∩B 即是由 A 中在直线 x+y﹣1=0 上的所有点组成的集合,代入 验证即可.

解答: 解:把集合 A 中的点的坐标(0,1)代入集合 B 中的 x+y﹣1=0+1﹣1=0,所以(0, 1)在直线 x+y﹣1=0 上; 把(1,1)代入直线方程得:1+1﹣1=1≠0,所以(1,1)不在直线 x+y﹣1=0 上; 把(﹣1,2)代入直线方程得:﹣1+2﹣1=0,所以(﹣1,2)在直线 x+y﹣1=0 上. 则 A∩B={(0,1) , (﹣1,2)}. 故答案为:{(0,1) , (﹣1,2)} 点评: 此题属于以点集为平台,考查了交集的运算,是一道基础题.学生做题时应注意点 集的正确书写格式. 6.函数 y=|2 ﹣1|在区间(k﹣1,k+1)内不单调,则 k 的取值范围是 (﹣1,1) . 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 数形结合. 分析: 根据解析式为函数 y=|2 ﹣1|画出函数的图象,根据图象写出单调增区间. x 解答: 解:∵函数 y=|2 ﹣1|,其图象如图所示,由图象知, x 函数 y=|2 ﹣1|在区间(k﹣1,k+1)内不单调, 则:﹣2<k﹣1<0, 则 k 的取值范围是(﹣1,1) 故答案为: (﹣1,1) .
x x

点评: 此题是个基础题.考查根据函数图象分析观察函数的单调性,体现分类讨论与数形 结合的数学思想方法. 7.若函数 f(x)=loga(x﹣1)+4(a>0 且 a≠1)的图象过定点(m,n) ,则 logmn= 2 . 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 x﹣1=1,可得 x=2,且 y=4,故函数 f(x)=loga(x﹣1)+4(a>0 且 a≠1)的 图象过定点(2,4) ,结合条件求得 m、n 的值,可得 logmn 的值. 解答: 解:令 x﹣1=1,可得 x=2,且 y=4,故函数 f(x)=loga(x﹣1)+4(a>0 且 a≠1) 的图象过定点(2,4) , 再由函数 f(x)=loga(x﹣1)+4(a>0 且 a≠1)的图象过定点(m,n) ,可得 m=2、n=4, 故 logmn=2, 故答案为 2. 点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,属于中档题.

8.已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数,如[1.2]= 1,[﹣1.5]=﹣2.若 x0 是函数 f(x) =lnx﹣ 的零点,则[x0]= 2 .

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数零点的判定定理,求出根所在的区间,即可得到结论. 解答: 解:∵f(x)=lnx﹣ ,则函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(1)=ln1﹣2=﹣2<0,f(2)=ln2﹣1<0,f(3)=ln3﹣ ∴f(2)f(3)<0, ∴在区间(2,3)内函数 f(x)存在唯一的零点, ∵x0 是函数 f(x)=lnx﹣ 的零点, ∴2<x0<3, 则[x0]=2, 故答案为:2. 点评: 本题主要考查函数零点的判断,以及函数的新定义的应用,要求熟练掌握函数零点 的判断条件. ,

9.已知 f(x)=3sin(2x﹣ 实数 x 恒成立,则α= ,

) ,若存在α∈(0,π) ,使 f(α+x)=f(α﹣x)对一切 .

考点: 正弦函数的对称性;函数恒成立问题. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 依题意,f(x)=3sin(2x﹣ ) ,且 f(α+x)=f(α﹣x)? y=f(x)关于 x=α

对称,利用正弦函数的对称性及α∈(0,π)即可求得α的值. 解答: 解:∵f(x)=3sin(2x﹣ ∴y=f(x)关于直线 x=α对称, 由正弦函数的对称性得:2α﹣ ∴α= + (k∈Z) , =kπ+ (k∈Z) , ) ,且 f(α+x)=f(α﹣x) ,

又α∈(0,π) , ∴k=0 时,α= k=1 时,α= + ; = .

故答案为:





点评: 本题考查正弦函数的对称性,f(α+x)=f(α﹣x)? y=f(x)关于 x=α对称是关 键,考查函数恒成立问题,属于中档题. 10.已知函数 f(x)=ax +bsinx+4(a,b∈R) ,f(lg(log210) )=5,则 f(lg(lg2) )= 3 . 考点: 对数的运算性质;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 lg(log210)与 lg(lg2)互为相反数,令 f(x)=g(x)+4,则 g(x)=ax +bsinx 是一个奇函数,从而 g(lg(log210) )+g(lg(lg2) )=0,由此能求出 f(lg(lg2) )=3. 解答: 解:∵lg(log210)+lg(lg2)=lg1=0, ∴lg(log210)与 lg(lg2)互为相反数, 令 f(x)=g(x)+4, 即 g(x)=ax +bsinx,此函数是一个奇函数, 故 g(lg(log210) )+g(lg(lg2) )=0, ∴f(lg(log210) )+f(lg(lg2) ) =g(lg(log210) )+4+g(lg(lg2) )+4=8, 又 f(lg(log210) )=5, 所以 f(lg(lg2) )=8﹣5=3. 故选:3. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 11.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.若 C= ,则 = .
3 3 3

考点: 正弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 由条件利用二倍角公式可得 sinAsinB+sinBsinC=2 sin B,再由正弦定理可得 ab+bc=2b ,即 a+c=2b,由此可得 a,b,c 成等差数列.通过 C=
2 2 2 2 2 2

,利用 c=2b﹣a,由余

弦定理可得 (2b﹣a) =a +b ﹣2ab? cosC,化简可得 5ab=3b ,由此可得 的值. 解答: 解:在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, ∵已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1, ∴sinAsinB+sinBsinC=2sin B. 2 再由正弦定理可得 ab+bc=2b ,即 a+c=2b,故 a,b,c 成等差数列. C= ,由 a,b,c 成等差数列可得 c=2b﹣a,
2 2 2 2 2 2

由余弦定理可得 (2b﹣a) =a +b ﹣2ab? cosC=a +b +ab. 化简可得 5ab=3b ,∴ = .
2

故答案为: . 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,二倍角公式、余弦定理的应用,属于中档题. 12.设函数 f(x)=1﹣xsinx 在 x=x0 处取极值,则(1+x0 ) (1+cos2x0)= 2 . 考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 计算题. 分析: 先根据函数 f(x)=1﹣xsinx 在 x=x0 处取得极值可得出 x0 =tan x0,代入(x0 +1) (cos2x0+1)化简求值即可得到所求答案 解答: 解:f(x)=1﹣xsinx 则 f′(x)=﹣sinx﹣xcosx, 令﹣sinx﹣xcosx=0, 化得 tanx=﹣x, ∴x0 =tan x0, 2 ∴(1+x0 ) (1+cos2x0) 2 =(tan x0+1) (cos2x0+1) = =2 故答案为 2 点评: 本题主要考查了函数在某点取得极值的条件,解题的关键得出 x0 =tan x,从而把求 值的问题转化到三角函数中,得以顺利解题.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

13.已知函数 f(x)=ax +bx+ 与直线 y=x 相切于点 A(1,1) ,若对任意 x∈[1,9],不等 式 f(x﹣t)≤x 恒成立,则所有满足条件的实数 t 的值为 4 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;二次函数的性质. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 对 f(x)进行求导,根据它与直线 y=x 相切于点 A(1,1) ,可得 f′(1)=0,可 得把点 A 代入得到方程,求出 a,b,求出 f(x)的解析式,根据题意对任意 x∈[1,9], 不等式 f (x﹣t)≤x 恒成立,根据根与系数的关系进行求解; 解答: 解:∵已知函数 f (x)=ax +bx+ 与直线 y=x 相切于点 A(1,1) , f′(x)=2ax+b, ∴f′(1)=1,可得 2a+b=1①,又 f(x)过点 A(1,1)可得 a+b+ =1②, 联立方程①②可得 a= ,b= , f(x)= x + x+ , ∵对任意 x∈[1,9],不等式 f (x﹣t)≤x 恒成立,
2 2

可得 f(x﹣t)= (x﹣t+1) ≤x, 化简可得,x ﹣2x(t﹣1)+(t﹣1) ﹣4x≤0,在[1,9]上恒成立, 2 2 令 g(x)=x ﹣2x(t+1)+(t﹣1) ≤0,在[1,9]上恒成立,
2 2

2





解①可得 0≤t≤4, 解②可得 4≤t≤14, 解③可得 t≥4 综上可得:t=4, 故答案为 4 点评: 考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调 区间以及根据函数的增减性得到函数的最值.掌握不等式恒成立时所取的条件;

14.在△ABC 中,若

的最大值为



考点: 余弦定理;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 A 和 B 为三角形的内角,得到 sinA 和 sinB 都大于 0,进而确定出 C 为钝角,利 用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边,得到 sinB=﹣2sinAcosC,再由 sinB=sin(A+C) ,利用两角和与差的正弦函数公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系 化简, 得到 tanC=﹣3tanA, 将 tanB 利用诱导公式及三角形的内角和定理化简为﹣tan (A+C) , 利用两角和与差的正切函数公式化简,将 tanC=﹣3tanA 代入,变形后利用基本不等式求出 tanB 的范围,即可得到 tanB 的最大值. 解答: 解:∵sinA>0,sinB>0, ∴ =2cos(A+B)=﹣2cosC>0,即 cosC<0,

∴C 为钝角,sinB=﹣2sinAcosC, 又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∴sinAcosC+cosAsinC=﹣2sinAcosC,即 cosAsinC=﹣3sinAcosC, ∴tanC=﹣3tanA, ∴tanB=﹣tan(A+C)=﹣ =﹣ = ≤ = ,

当且仅当

=3tanA,即 tanA= .

时取等号,

则 tanB 的最大值为

点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系,两角和与差的正弦、正切函数公式,以及 基本不等式的运用,熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键.

二、简答题: (本大题共 6 小题,共 90 分) 15.已知函数 f(x)=cos x,g(x)=1+ sin2x. (1)若点 A(α,y) (α∈[0, α的值; (2)求函数 h(x)=f(x)+g(x) ,x∈[0, ]的值域. ])为函数 f(x)与 g(x)的图象的公共点,试求实数
2

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象;余弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由于点 A(α,y) (0≤α≤π)为函数 f(x)与 g(x)的图象的公共点,可 得 ,利用倍角公式展开即可得出;

(2)利用倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出. 解答: 解: (1)∵点 A(α,y) (0≤α≤π)为函数 f(x)与 g(x)的图象的公共点, ∴ ,

∴cos2α﹣sin2α=1 ∴cos2α﹣1=sin2α, ∴﹣2sin α=2sinαcosα, ∴sinα=0,或 tanα=﹣1. ∵ ∴α=0. (2)∵h(x)=f(x)+g(x) ∴ = = = ∵ ∴ ∴ ∴ , . , . =
2

即函数 h(x)的值域为



点评: 本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性,考查了计算能力, 属于难题. 16.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= 2 cos B= sinAcosA﹣ sinBcosB. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sinA= ,求△ABC 的面积. ,cos A﹣
2

考点: 正弦定理;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)△ABC 中,由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2 ? cos(A+B)sin(A﹣B) . 求得 tan(A+B)的值,可得 A+B 的值,从而求得 C 的值. (Ⅱ)由 sinA= 求得 cosA 的值.再由正弦定理求得 a,再求得 sinB=sin[(A+B)﹣A] 的值. ,cos A﹣cos B=
2 2

的值,从而求得△ABC 的面积为 解答: 解: (Ⅰ)∵△ABC 中,a≠b,c= ∴ ﹣ = sin2A﹣

sinAcosA﹣

sinBcosB,

sin2B, ? cos(A+B)

即 cos2A﹣cos2B= sin2A﹣ sin2B,即﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2 sin(A﹣B) . ∵a≠b,∴A≠B,sin(A﹣B)≠0, ∴tan(A+B)=﹣ (Ⅱ)∵sinA= < 由正弦定理可得, ,∴A+B= ,C= = ,∴C= . (舍去) ,∴cosA=

,∴A< ,即 =

,或 A> ,∴a= .

= .

∴sinB=sin[ (A+B) ﹣A]=sin(A+B)cosA﹣cos (A+B)sinA= ∴△ABC 的面积为 = × =

﹣ (﹣ )× = .



点评: 本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用,属于中档题.

17.已知全集 U=R,非空集合 A={x|

<0},B={x|

<0}.

(Ⅰ)当 a= 时,求(? UB∩A) ;

(Ⅱ)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)先求出集合 A、B,再求出 CU ,借助数轴求出, (CU )∩A. 2 (Ⅱ)由题意知,p? q,可知 A? B,B={x|a<x<a +2}.对于集合 A,其解集的端点是 3a+1 和 2,大小有三种情况,在每种情况下,求出集合 A,借助数轴列出 A? B 时区间端点间的大 小关系,解不等式组求出 a 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 CU =
B B B

时 , (CU )∩A=
B

, . (4 分)

, (2 分)

(Ⅱ)由 q 是 p 的必要条件,即 p? q,可知 A? B. (6 分) 由 a +2>a,得 B={x|a<x<a +2}. (8 分) ①当 3a+1>2, 即 时, A={x|2<x<3a+1}, 再由 , 解得 .
2 2

②当 3a+1=2,即 a= 时,A=? ,不符合题意;

③当 3a+1<2,即

时,A={x|3a+1<x<2},再由

,解得



综上,



. (12 分)

点评: 本题考查 2 个集合间的交、并、补运算方法以及 A? B 时 2 个区间端点之间的大小关 系(借助数轴列出不等关系) , 体现了分类讨论的数学思想. 18.我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了 800 万元修复和加强民 俗文化基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按 30 天计 算)每天的旅游人数 f(x)与第 x 天近似地满足 (千人) ,且参观民俗文化村

的游客人均消费 g(x)近似地满足 g(x)=143﹣|x﹣22|(元) . (1)求该村的第 x 天的旅游收入 p(x) (单位千元,1≤x≤30,x∈N )的函数关系; (2) 若以最低日收入的 20%作为每一天的计量依据, 并以纯收入的 5%的税率收回投资成本, 试问该村在两年内能否收回全部投资成本? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)根据旅游收入 p(x)等于每天的旅游人数 f(x)与游客人均消费 g(x)的乘 积,然后去绝对值,从而得到所求; (2)分别研究每一段函数的最值,第一段利用基本不等式求最小值,第二段利用函数的单 调性研究最小值, 再比较从而得到日最低收入, 最后根据题意可判断该村在两年内能否收回 全部投资成本.
*

解答: 解: (1)依题意有 p(x)=f(x) ? g(x) =(8+ ) (143﹣|x﹣22|) (1≤x≤30,x∈N )
*

=
*



(2)①当 1≤x≤22,x∈N 时, p(x)=8x+ +976≥2 +976=1152(当且仅当 x=11 时,等号成立)

∴p(x)min=p(11)=1152(千元) , * ②当 22<x≤30,x∈N 时, p(x)=﹣8x+ 考察函数 y=﹣8x+ +1312, ,可知函数 y=﹣8x+ 在(22,30]上单调递减,

∴p(x)min=p(30)=1116(千元) , 又 1152>1116, ∴日最低收入为 1116 千元. 该村两年可收回的投资资金为 1116×20%×5%×30×12×2=8035.2 (千元) =803.52 (万元) . ∵803.52(万元)>800(万元) , ∴该村在两年内能收回全部投资成本. 点评: 本小题主要考查函数模型的选择与应用,属于基础题.解决实际问题通常有四个步 骤: (1)阅读理解,认真审题; (2)引进数学符号,建立数学模型; (3)利用数学的方法, 得到数学结果; (4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型.属于中档题.

19.已知函数 f(x)=π(x﹣cosx)﹣2sinx﹣2,g(x)=(x﹣π) 证明: (Ⅰ)存在唯一 x0∈(0, (Ⅱ)存在唯一 x1∈( ) ,使 f(x0)=0;

+

﹣1.

,π) ,使 g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的 x0,有 x0+x1>π.

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ)导数法可判 f(x)在(0, (Ⅱ)化简可得 g(x)=(π﹣x) ﹣t)=﹣ ﹣ t+1,t∈[0, + )上为增函数,又可判函数有零点,故必唯一; ﹣1,换元法,令 t=π﹣x,记 u(t)=g(π

],由导数法可得函数的零点,可得不等式.

解答: 解: (Ⅰ)当 x∈(0,

)时,f′(x)=π+πsinx﹣2cosx>0,

∴f(x)在(0,

)上为增函数, )= ﹣4>0,

又 f(0)=﹣π﹣2<0,f( ∴存在唯一 x0∈(0, (Ⅱ)当 x∈[

) ,使 f(x0)=0;

,π]时, + ﹣1

化简可得 g(x)=(x﹣π) =(π﹣x) + ﹣1,

令 t=π﹣x,记 u(t)=g(π﹣t)=﹣ 求导数可得 u′(t)= ,



t+1,t∈[0,

],

由(Ⅰ)得,当 t∈(0,x0)时,u′(t)<0,当 t∈(x0, ∴函数 u(t)在(x0, 由 u( )上为增函数, )时,u(t)<0,

)时,u′(t)>0,

)=0 知,当 t∈[x0,

∴函数 u(t)在[x0,

)上无零点;

函数 u(t)在(0,x0)上为减函数, 由 u(0)=1 及 u(x0)<0 知存在唯一 t0∈(0,x0) ,使 u(t0)=0, 于是存在唯一 t0∈(0, 设 x1=π﹣t0∈( ∴存在唯一 x1∈( ) ,使 u(t0)=0,

,π) ,则 g(x1)=g(π﹣t0)=u(t0)=0, ,π) ,使 g(x1)=0,

∵x1=π﹣t0,t0<x0, ∴x0+x1>π 点评: 本题考查零点的判定定理,涉及导数法证明函数的单调性,属中档题.

20.已知函数

,设曲线 y=f(x)在与 x 轴交点处的切线为 y=4x

﹣12,f′(x)为 f(x)的导函数,且满足 f′(2﹣x)=f′(x) . (1)求 f(x) ; (2)设 ,求函数 g(x)在[0,m]上的最大值;

(3)设 h(x)=lnf′(x) ,若对一切 x∈[0,1],不等式 h(x+1﹣t)<h(2x+2)恒成立, 求实数 t 的取值范围.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导数,利用 f′(2﹣x)=f′(x) ,可求 b 的值;利用曲线 y=f(x)在与 x 轴交点处的切线为 y=4x﹣12,可求 a,c,d 的值,从而可得函数解析式; (2)确定函数解析式,分类讨论,可求函数 g(x)在[0,m]上的最大值; (3)求出函数 h(x) ,再将不等式转化为具体不等式,利用最值法,即可求得实数 t 的取 值范围. 解答: 解: (1)求导数可得 f′(x)=x +2bx+c ∵f′(2﹣x)=f′(x) ,∴f′(x)关于 x=1 对称,∴b=﹣1 与 x 轴交点处的切线为 y=4x﹣12,设交点为(a,0) ,则 f(a)=0,f′(a)=4 ∴在(a,0)处的切线为:y=4(x﹣a)+0=4x﹣4a=4x﹣12,∴4a=12,∴a=3 由 f'(3)=9﹣6+c=3+c=4 得:c=1 由 f(3)= ×27﹣3 +3+d=0 得:d=﹣3 所以有: (2)
2 2 2

+x﹣3 =x|x﹣1|
2 2

当 x≥1 时,g(x)=x(x﹣1)=x ﹣x=(x﹣ ) ﹣ ,函数为增函数 x<1 时,g(x)=﹣x +x=﹣(x﹣ ) + ,最大为 g( )= 比较 g(m)=m(m﹣1)与 得:m≥ 因此,0<m m> 时,m(m﹣1)≥
2 2 2

时,g(x)的最大值为 m﹣m ;
2

时,g(x)的最大值为 ;

时,g(x)最大值为 m ﹣m
2

(3)h(x)=ln(1﹣x) . ∵h(x+1﹣t)<h(2x+2) ∴ln(t﹣x) <ln(2x+1) 2 2 ∴(t﹣x) <(2x+1) ∴|t﹣x|<2x+1 ∴﹣2x﹣1<t﹣x<2x+1 ∴﹣x﹣1<t<3x+1 ∵x∈[0,1]且上式恒成立 ∴t>﹣x﹣1 的最大值且 t<3x+1 的最小值 ∴﹣1<t<1 又由 x∈[0,1], 则有﹣1<t<0 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的解析式,考查函数的最值,考查恒成立问题, 确定函数的解析式是关键.
2 2


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