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高考一轮复习第七章 第六节 空间向量及其运算(理)


第六

第 七 章
立 体 几 何



抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练

空间

向量
及其 运算 (理)

提 能 力

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[备考方向要明了] 考 什 么 1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

2.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意
义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用数量积判 断向量的共线与垂直.

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怎 么 考

1.从高考内容上来看,空间向量的概念及其运算在命题中
单独命题较少. 2.高考中多置于解答题中作为一种方法进行考查,难度中 等.

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一、空间向量的有关概念及定理

语言描述
共线向量 如果空间一些向量的基线互相平行或重合 ,则这 (平行向量) 些向量叫做共线向量或平行向量. 共线向 量定理 对空间两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是 存在唯一的实数x,使 a=xb .

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语言描述

共面向量
定理

如果两个向量a、b不共线,则向量c与向量a, b共面的充要条件是,存在唯一的一对实数x, y,使 c=xa+yb .

空间向量 分解定理

如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任
一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z, 使p=xa+yb+zc.

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二、数量积及坐标运算 1.两个向量的数量积. (1)a· |a||b|cos〈a,b〉 ; b=

b=0 ; (2)a⊥b? a· (a,b 为非零向量) ;
(3)|a|2= a2,|a|= x2+y2+z2.

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2.向量的坐标运算 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 向量和 向量差 a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3) a-b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3)

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a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 数量积 数乘向量 a· b= a1b1+a2b2+a3b3 λa= (λa1,λa2,λa3)

共线

a ∥b(b≠0)? a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1 a2 a3 a∥b? b1=b2=b3(b与三个坐标平面都不平行)

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a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 垂直 夹角 公式 cos〈a,b〉= a⊥b? a1b1+a2b2+a3b3=0
a1b1+a2b2+a3b3 a2+a2+a2 b2+b2+b2 1 2 3 1 2 3

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??? ? ??? ? 1.(教材习题改编)已知空间四边形OABC中, OA =a, OB ??? ? =b, OC =c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中 ???? ? 点,则 MN = ( )

1 2 1 A.2a-3b+2c

2 1 1 B.-3a+2b+2c

1 1 1 2 2 1 C.2a+2b-2c D.3a+3b-2c ? ? ? ???? ???? ???? 1 ??? ??? ? 2 ??? 解析:显然 MN = ON - OM =2( OB + OC )-3 OA .

答案:B 返回

2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以 是 1 A.2,2 C.-3,2 解析:由a∥b?a=mb即
?λ+1=6m, ? ?0=m?2μ-1?, ?2=2mλ, ?

( 1 1 B.-3,2 D.2,2

)

1 ∴m、μ可以是2,2.

答案: A

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??? ? ??? ? ??? ? 3.设三棱锥O-ABC中, OA =a, OB =b, OC =c,G是△ABC的 ??? ? 重心,则 OG = ( )

A.a+b-c 1 C.2(a+b+c)

B.a+b+c 1 D.3(a+b+c)

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? ??? ??? ??? ? ? 解析:如图, OG = OA + AG

? ??? 1 ??? ??? ? ? = OA + ( AB + AC ) 3
? ??? 1 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? = OA + ( OB - OA + OC - OA ) 3

1 = (a+b+c) 3

答案: D

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4.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(a+ b)· (a-b)的值为________. 解析: a+b=(10,-5,-2) a-b=(-2,1,-6)

∴(a+b)· (a-b)=-13.
答案: -13

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5.已知a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则a,b夹角的余弦 值为________.
a· b 2 5 解析:cos〈a,b〉=|a|· =- 15 |b|

2 5 答案:- 15

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1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用 向量共线定理;求两点间距离或某一线段的长度,一

般用向量的模来解决;解决垂直问题一般可转化为向
量的数量积为零;求异面直线所成的角,一般可以转 化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最 后应进行转化. 2.空间向量的加法、减法经常逆用,来进行向量的分解.

3.几何体中向量问题的解决,选好基底是关键.
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[精析考题] [例1] 如图所示,在平行六面体ABCD- ???? ??? ? ??? ? A1B1C1D1中,设 AA1 =a, AB =b, AD =c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的 中点,试用a,b,c表示以下各向量: ???? ? ? ??? ? ???? ???? (1) AP ;(2) A1 N ;(3) MP + NC1 .

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[自主解答] (1)∵P是C1D1的中点, ? ??? ???? ????? ???? ? ∴ AP = AA1 + A1 D1 + D1 P

??? 1 ????? ? =a+ AD +2 D1C1 ? 1 ??? 1 =a+c+2 AB =a+c+2b.

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(2)∵N是BC的中点,
? ???? ???? ??? ??? ? ? ? 1 ??? ∴ A1 N = A1 A + AB + BN =-a+b+2 BC

? 1 ??? 1 =-a+b+2 AD =-a+b+2c.

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(3)∵M是AA1的中点,

???? ???? ??? 1 ???? ??? ? ? ∴ MP = MA+ AP =2 A1 A + AP
? 1 ? 1 1 1 ?a+c+ b?= a+ b+c, =-2a+ 2 ? 2 2 ? ? ???? ???? ???? 1 ??? ???? 1 ??? ???? 1 ? ? 又 NC1 = NC + CC1 =2 BC + AA1 =2 AD + AA1 =2c+a, ? ???? ???? ?1 1 ? ? 1 ? ∴ MP + NC1 =?2a+2b+c?+?a+2c? ? ? ? ?

3 1 3 =2a+2b+2c.

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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
1.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB、 AC,M、N分别是对边OA、BC的中点,点G在 线段MN上,且分MN所成的比为2,现用基向量 ? ??? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA 、 OB 、 OC 表示向量 OG ,设 OG =x OA + ??? ? ??? ? y OB +z OC ,则x,y,z的值分别是 ( )

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1 1 1 A.x=3,y=3,z=3 1 1 1 B.x=3,y=3,z=6 1 1 1 C.x=3,y=6,z=3 1 1 1 D.x=6,y=3,z=3

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??? ? ??? ? ??? ? 解析:设 OA =a, OB =b, OC =c,∵G分MN的所成比为2, ???? 2 ???? ??? ???? ???? ???? 2 ???? ???? ? ? ∴ MG =3 MN ,∴ OG = OM + MG = OM +3( ON - OM )

1 21 1 1 1 1 1 1 =2a+3(2b+2c-2a)=2a+3b+3c-3a 1 1 1 =6a+3b+3c.

答案:D

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[冲关锦囊]
用已知向量来表示未知向量.一定要结合图形,以 图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法 与数乘运算的几何意义.灵活运用三角形法则及四边形 法则.

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[精析考题] [例2] 已知A、B、C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,
???? 1 ??? ??? ??? ? ? ? 若点M满足 OM =3( OA + OB + OC ). ???? ???? ???? (1)判断 MA、 MB 、 MC 三个向量是否共面;

(2)判断点M是否在平面ABC内.

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? ???? ??? ??? ??? ? ? [自主解答] (1)由 OA + OB + OC =3 OM ???? ??? ? ???? ??? ??? ???? ? ? ∴ OA - OM =( OM - OB )+( OM - OC ) ???? ???? ???? ???? ???? 即 MA= BM + CM =- MB - MC ???? ???? ???? ∴ MA, MB , MC 共面. ???? ???? ???? (2)由(1)知 MA, MB , MC 共面.

且共线过同一点M, ∴四点M,A、B、C共面. 从而点M在平面ABC内.

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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)

2.有4个命题: ①若p=xa+yb,则p与a、b共面; ②若p与a、b共面,则p=xa+yb; ???? ???? ???? ③若 MP =x MA+y MB ,则P、M、A、B共面; ???? ???? ???? ④若P、M、A、B共面,则 MP =x MA+y MB .

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其中真命题的个数是

(

)

A.1
C.3

B.2
D.4

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解析:①正确,②中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就 不成立,③正确,④中若M,A,B共线,点P不在此直线上,则 ???? ???? ???? MP =x MA+y MB 不正确.

答案:B

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[冲关锦囊]
应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共 面的方法比较:
三点(P,A,B)共线 ??? ??? ? PA=λ PB ??? ??? ? ? 对空间任一点 O, OP = OA + ??? ? t AB ??? ? ??? ? 对空间任一点 O, OP =x OA + ??? ? (1-x) OB 空间四点(M,P,A,B)共面 ???? ???? ???? MP =x MA+y MB ??? ???? ? ???? OP 对空间任一点 O, = OM +x MA ???? +y MB ??? ? ???? 对空间任一点 O, OP =x OM + ??? ? ??? ? y OA +(1-x-y) OB

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[精析考题] [例3] (2012· 沧州月考)已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2), ??? ? ??? ? C(-3,0,4),设a= AB ,b= AC , ??? ? (1)若|c|=3,且c∥ BC ,求向量c; (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值; (3)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值;

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[自主解答]

(1)c=(-2,-1,2)或(2,1,-2).

(2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2). ∴a· b=(1,1,0)· (-1,0,2)=-1. 又|a|= 12+12+02= 2, |b|= ?-1?2+02+22= 5 a· b 10 ∴cos〈a· b〉=|a||b|=- 10 .

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(3)由(2)知|a|= 2,|b|= 5,a· b=-1, ∴(ka+b)· (ka-2b) =k2a2-ka· b-2b2 5 =2k2+k-10=0.∴k=2或-2.

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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!) 3.(2012· 寿光模拟)如图,在45°的二面角α-l-β的棱上有

两点A、B,点C、D分别在α、β内,且AC⊥AB,BD⊥AB,
AC=BD=AB=1,则CD的长度为________.

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? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ??? 2 ? ??? ??? 解析:由 CD = CA + AB + BD ,及〈 CA , BD 〉=135° ,得|CD | ? ? ? ? ? ? ??? 2 ??? 2 ??? 2 ??? ??? ??? ??? ??? ??? = CA + AB + BD +2( CA · + AB · + CA · )= AB BD BD ??? ? 3+2(0+0+1×1×cos135° )=3- 2,∴|CD |= 3 ? 2 .
答案: 3 ? 2

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[冲关锦囊] 1.应用数量积解决问题时一般有两种方法:一是取相互

之间夹角已知,模已知的基向量为基底表示题中的向
量再计算,二是建立空间直角坐标系利用坐标运算来 解决,后者更为简捷. 2.在求立体几何中线段的长度时,转化为求a· a=|a|2, 或利用空间两点间的距离公式.

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[考题范例]
? ? ??? ??? ??? ??? ? ? CD (2012· 济宁模拟)在空间四边形ABCD中, AB · + AC · + DB ??? ??? ? ? BC ) AD · =(

A.-1 B.0 C.1 D.不确定

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[快速得分] 法一:如图,在空间四边形ABCD中,连接对角线AC, BD,得三棱锥A-BCD,不妨令其各棱长都相等,即 为正四面体,∵正四面体的对棱互相垂直, ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? CD BC ∴ AB · =0, AC · =0, AD · =0. DB ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? CD BC ∴ AB · + AC · + AD · =0. DB

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? ??? ??? ??? ? ? 法二:在法一的图中,选取不共面的向量 AB , AC , AD 为基底, ? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? 则原式= AB ·AD - AC )+ AC ·AB - AD )+ AD ·AC - AB ) ( ( ( ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? AC AC = AB · - AB · + AC · - AC · + AD · - AD · =0. AD AB AD AB

答案:B

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[高手点拨] 上述解法一构造了特殊的几何体——正四面体,并应 用了正四面体的对棱相互垂直的结论,属于特例法在选择 题中的应用.解法二选取基向量.运用线性运算化归后求

得结果.解答本题易出现由于参与运算的向量较多,找不
到突破口,无从下手,盲目选择而导致出错的现象.

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