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用二分法求方程的近似解题型及解析


用二分法求方程的近似解题型及解析
1.下列函数中能用二分法求零点的是( )

分析: 判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是: 只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函 数值异号时,才可以用二分法,函数在零点的左右两侧的函数值符号相反,即穿过 x 轴,分析选项可得答案 解: 能用二分法求函数零点的函数, 在零点的左右两侧的函数值符号相反,

由图象可得, 只有 C 能满足此条件. 故 选C 0.5 x 2.下列函数的零点能用二分法求解的是( ) ①y=log2x;②y=x ;③y=|log2x|;④y=2 ﹣1. A.①② B.①③ C.①④ D.②③ 分析:根据二分法的定义,函数必须是连续函数,且函数在零点两侧的函数值异号,从而可得结论. 0.5 解:①y=log2x 的零点是 1,图象穿过 x 轴,能用二分法求解;②y=x 零点是 0,图象不穿过 x 轴,不能用二分 x 法求解;③y=|log2x|零点是 1,图象不穿过 x 轴,不能用二分法求解;④y=2 ﹣1 的零点是 0,图象穿过 x 轴, 能用二分法求解,故选 C 3.如图所示的函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )

A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 分析:用二分法求函数零点的条件是:函数在零点左右两侧的函数值符号相反,穿过 x 轴,分析选项可得答案 解: 能用二分法求函数零点的函数, 在零点的左右两侧的函数值符号相反, 由图象可得, 只有②④能满足此条件, ①③不满足题意,故选 B 4.下图是函数 f(x)的图象,它与 x 轴有 4 个不同的公共点.给出下列四个区间,不能用二分法求出函数 f(x) 在区间( ) 上的零点 A.[﹣2.1,1] B.[1.9,2.3] C.[4.1,5] D.[5,6.1]

分析:利用二分法求函数零点的条件是:函数在零点的左右两侧的函数值符号相反,根据函数图象可得答案. 解:能用二分法求函数零点的函数,在零点的左右两侧的函数值符号相反,由图象可得,不能用二分法求出函数 f(x)在区间为[1.9,2.3].故选 B 3 5.以下区间中,一定存在函数 f(x)=﹣x +3x+5 的零点的是( ) A.[﹣1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[2,3] 3 分析:要判断函数 f(x)=﹣x +3x+5 的零点的位置,我们可以根据零点存在定理,则该区间两端点对应的函数 值,应异号,将四个答案中各区间的端点依次代入函数的解析式,易判断零点的位置. 解:∵f(﹣1)=1﹣3+5=3,f(0)=5,f(1)=﹣1+3+5=7,f(2)=-8+6+5=3,f(3)=-27+9+5=-13,根据零点 存在定理,∵f(2)?f(3)<0,故[2,3]存在零点,故选 D 3 2 6.函数 f(x)=x +4x ﹣5x 在区间[﹣1,1]上有 个零点 分析:根据三次函数的图象,结合函数零点的定义,即可得到结论. 解:∵f(0)=0,f(1)=1+4﹣5=0,∴0 和 1 是函数的两个零点,∵f(﹣1)=﹣1+4+5=8>0,当 x→﹣∞时,f 3 2 (x)<0,∴在(﹣∞,﹣1)内函数 f(x)也存在一个零点,∵f(x)最多有三个零点,∴f(x)=x +4x ﹣5x 在区间[﹣1,1]上有 2 个零点 3 2 7.函数 f(x)=x ﹣x ﹣x+1 在[0,2]上有 个零点 分析:利用因式分解直接解方程即可得到结论. 3 2 2 2 2 解:由 f(x)=x ﹣x ﹣x+1=0,得 x (x﹣1)﹣(x﹣1)=(x﹣1) (x ﹣1)=(x﹣1) (x+1)=0,解得 x=1 或 x=﹣1,故在[0,2]上有两个相同的零点 1,故答案为 2 8.用二分法求函数 f(x)=lgx+x﹣3 的一个零点,根据参考数据,可得函数 f(x)的一个零点的近似解(精确 到 0.1)为( ) (参考数据:lg2.5≈0.398,lg2.75≈0.439,lg2.5625≈0.409) A.2.4 B.2.5 C.2.6 D.2.56

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分析本题考查的是二分法求方程的近似解的问题. 在解答时可以先根据函数的特点和所给的数据计算相关的函数 值,再结合零点存在性定理即可获得解答. 解:由题意可知:f(2.5)=lg2.5+2.5﹣3=0.398﹣0.5<0,f(2.5625)=lg2.5625+2.5625﹣3=0.409﹣0.4375 <0,f(2.75)=lg2.75+2.75﹣3=0.439﹣0.25>0,又因为函数在(0,+∞)上连续,所以函数在区间(2.5625, 2.75)上有零点.故选 C x x 9.已知函数 f(x)=2 +2x﹣6,用二分法求方程 2 +2x﹣6=0 在 x∈(1,3)内近似解的过程中,取区间中点 x0=2, 那么下一个有根区间为 分析:根据 f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0,及函数零点的判定方法即可求出下一个有根的区间 1 3 2 解:∵f(1)=2 +2×1﹣6=﹣2<0,f(3)=2 +2×3﹣6=8>0,f(2)=2 +2×2﹣6=2>0,∴f(1)f(2)<0, ∴f(x)=0 的下一个有根的区间为(1,2) 10.函数 f(x)在区间(2.5755,2.5769)上有一个零点,现研究这个零点的近似值; (1)如果耍精确到 0.01, 那么这个近似解为 ; (2)如果 f(2.5755)>0,f(2.5769)<0,f(2.5762)>0,并给定精确度 0.001, 那么这个近似解为 分析:由 f(2.5755)>0,f(2.5769)<0,f(2.5762)>0,结合精确度,即可得出结论 解: (1)函数 f(x)在区间(2.5755,2.5769)上有一个零点,精确到 0.01,那么这个近似解为 2.58, (2)如 果 f(2.5755)>0,f(2.5769)<0,f(2.5762)>0,所以 f(x)在区间( (2.5762,2.5769)上有一个零点, 并给定精确度 0.001,那么这个近似解为 2.576, 故答案为: (1)2.58, (2)2.276 x 3 11.方程 2 ﹣x =0 的一个近似解为 1.5 . (精确到 0.1) 分析:利用二分法求方程的近似解的方法把区间一次次缩小,一直缩小到答案找出为止即可. x 3 x 3 解:由已知令 f(x)=2 ﹣x ,∵f(2)<0,f(1)>0,方程 2 ﹣x =0 的 x∈(1,2) ,由二分法知计算 f(1.5) x 3 x 3 >0,方程 2 ﹣x =0 的 x∈(1.5,2) ,由二分法知计算 f(1.75)<0,方程 2 ﹣x =0 的 x∈(1.5,1.75) ,由二 x 3 x 分法知计算 f(1.625)<0,方程 2 ﹣x =0 的 x∈(1.5,1.625) ,由二分法知计算 f(1.5625)<0,方程 2 ﹣ 3 x 3 x =0 的 x∈(1.5,1.5625) ,由二分法知计算 f(1.53125)<0,方程 2 ﹣x =0 的 x∈(1.5,1.53125) , 故符合要求的选项只有 1.5 3 2 12.求函数 f(x)=x +x ﹣2x﹣2 的一个正的零点(精确度为 0.1) 分析: 此题考查的是二分法求方程的近似解的问题. 在解答的时候可以根据题目所给的信息逐一进行计算函数值, 由表格找出正的零点区间,结合数据的特点即可获得问题的解答 解:由于 f(1)=-2<0,f(2)=6>0,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐步计算,列表如下

由上表可知|1.4375﹣1.37 5|=0.0625<0.1.所以函数 f(x)=x +x ﹣2x﹣2 精确度为 0.1 的零点可取为 1.375 3 2 或 1.437 5.即函数 f(x)=x +x ﹣2x﹣2 的一个正的零点取近似值为 1.4 2 13.求证:方程 5x ﹣7x﹣1=0 的根在一个在区间(﹣1,0)上,另一个在区间(1,2)上. 2 2 分析:根据方程 5x ﹣7x﹣1=0 的根在一个在区间(﹣1,0)上,另一个在区间(1,2)上,转化为 f(x)=5x ﹣7x﹣1 的图象有 x 轴在(﹣1,0)上和(1,2)上各有一个交点,根据零点判定定理即可得到 f(-1)>0,f (0)<0,f(1)<0,f(2)>0,而此不等式组显然成立,故可证明结论正确 2 证明:设 f(x)=5x ﹣7x﹣1,∵f(-1)>0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0,即 5+7-1>0,-1<0,5-7-1 <0,20-14-1>0 且 y=f(x)的图象在(﹣1,0)和(1,2)上是连续不断的曲线,∴方程的根在(﹣1,0)上, 另一个根在(1,2)上 2 14.若关于 x 的方程 x +(k﹣2)x+2k﹣1=0 的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数 k 的取值范围. 分析:由条件利用二次函数的性质、函数零点的判定定理,求得实数 k 的取值范围 解:设 f(x)=x +(k﹣2)x+2k﹣1,由题意可得 的范围是(1/2,2/3)
2

3

2

,由此求得 1/2<k<2/3,即 k

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