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高一数学集合单元测试卷1


高 2013 级高一数学集合单元测试题(2013-9-24)
一、选择题: 分 ? 12=60 分) (5 1.已知 a= 2,集合 A={x|x≤2},则下列表示正确的是( A.a ? A B.a ? A C. {a} ? A ( ). D.a?A ) D.8 ( ) . D.8 个 ( )

2.设集合 A ? ? ,2,3?, A ? B ?

A ,则集合 B 的个数是 1
A.1 3.集合 M ? ? y | y ? A.2 个 B.6 C.7

? ?

8 ? , x ? Z, y ? Z ? 的元素个数是 x?3 ?
B.4 个 C.6 个

4.设集合 A ? {( x, y) | y ? ?4 x ? 6}, B ? {( x, y) | y ? 5x ? 3} ,则 A ? B = A.{1,2} 5.设 M ? {x | x ? m ? B.{(1,2)} C.{x=1,y=2}

D. (1,2)

1 n 1 q 1 , m ? Z}, P ? {x | x ? ? , n ? Z}, Q ? {x | x ? ? ,q ? Z} 那么 2 6 6 2 3
( P=Q C.P=Q M ) D.Q=M P )

集合 M,P,Q 的关系是 A.P Q M B.M

6.已知集合 P ? x | x ? 1 ,集合 Q ? ?x | ax ? 1?,若 Q ? P ,则 a 的值是(
2

?

?

A.1

B. -1

C. 1 或-1

D.

0 或 1 或-1

7.已知集合 A ? x | x ? 2ax ? 1 ? 0 的真子集只有一个,则 a 值的集合是
2

?

?

(
D.{0}

)

A.(﹣1,1)

B.(﹣∞,﹣1)∪[1,+∞]

C.{﹣1,1}

8.设全集 U={(x,y)|x∈R,y∈R},集合 M ? {( x, y ) | 那么 U(M∪P)等于( A. ? ) B.{(2,3)}

y ?3 ? 1}, P ? ?( x, y)|y≠x+1}, x?2

C.(2,3)

D.{(x,y)|y=x+1}

9.设集合 M ? {x | x ? 3k , k ? Z } , P ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z} ,Q ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z} , 若 a ? M , b ? P, c ? Q ,则 a ? b ? c ?( A. M B. P ) C .Q D. M ? P )

10.已知 M ? y y ? x 2 ? 4, x ? R? , P ? x 2 ? x ? 4? 则 M 与P 的关系是( A. M =P B. M ? P C.M∩P= ? D. M

?

?

?P

1

11. 如右图所示,U 为全集,M、P、S 为 U 的子集。 则阴影部分所表示的集合为( A.(M∩P)∪S C.(M∩P)∩( ? S ) U )

B.(M∩P)∩S D.(M∩P)∪( ? S ) U

12.设 U ={1,2,3,4} ,若 A ? B ={2}, (CU A) ? B ? {4} , (CU A) ? (CU B) ? {1,5} , 则下列结论正确的是 A. 3 ? A 且 3 ? B C. 3 ? A 且 3 ? B 二、填空题: 分 ? 4=16 分) (4 13. 给定集合 A、 定义一种新运算:A ? B ? {x | x ? A或x ? B, 但x ? A ? B} .已知 A ? {0,1, 2} , B, B. 3 ? A 且 3 ? B D. 3 ? A 且 3 ? B ( )

B ? {1, 2,3} ,用列举法写出 A ? B ?

.

14.已知集合 M ? x | x ? 6 x ? 16 ? 0 , N ? x | x ? (2k ? 2) x ? k ? 2k ? 0
2 2 2

?

?

?

?

若 M ? N ? ? ,则实数 k 的取值范围是

.

2 15.若已知 A ? x | x ? 2 x ? 2 ? a ? 0 , B ? x | x ? 2 2 x ? a ? 2 ? 0 , A ? B ? ? ,则
2

?

?

?

?

实数 a 的取值范围是



16.如右图图(1)中以阴影部分(含边界)的 点为元素所组成的集合用描述法表示如下:

?( x, y) 0 ? x ? 1, ? y ? 2 ? 0
请写出以右图(2)中以阴影部分 (不含外边界但包含坐标轴)的点 .. .. 为元素所组成的集合 。

2

2013 级高一数学集合单元测试题
班级 一、选择题答案 题号 答案 二、填空题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 姓名 分数

13. 15.

14. 16.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)

A B 已知集合 A ? x | x ? px ? q ? 0 , ? x | x ? x ? r ? 0 ,A ? B ? ?1? , ? B ? ?1, ?2? ,
2 2

?

?

?

?

求 p, q, r 的值.

18. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? x y ? 15 ? 2 x ? x

?

2

?,

B ? y y ? a ? 2 x ? x 2 ,其中 a ? R ,

?

?

如果 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分) 在 2010 年学校召开校运会,设 A={x|x 是参加 100 米跑的同学},B={x|x 是参加 200 米跑的 同学},C={x|x 是参加 4×100 米接力跑的同学}。学校规定:每个同学最多只能参加两个项 目比赛。据统计,高一(8)班共有 13 人参加了此三项比赛,其中共有 8 人参加了 4×100 米接力跑项目, 共有 6 人参加 100 米跑项目, 共有 5 人参加 200 米跑项目; 同时参加 4×100 米接力跑和 100 米跑的同学有 3 人,同时参加参加 4×100 米接力跑和 200 米跑的同学有 2 人。问: (Ⅰ)同时参加 100 米跑和 200 米跑项目的同学有多少个? (Ⅱ)只参加 200 米跑的同学有多少个? (III)只参加 100 米跑的同学有多少个?

3

20. (本小题满分 12 分) 已知集合 A={-1,2,3, a ? 2a ? 3 , | a ? 1| },其中 a∈R.
2

(1)若 5 是 A 中的一个元素,求 a 的值; (2)是否存在实数 a ,使得 A 中的最大元素是 12?若存在,求出对应的 a 值;若不存在, 试说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 设 S 为满足下列两个条件的实数所构成的集合: ① S 内不含 1; 解答下列问题: (Ⅰ)若 2 ? S ,则 S 中必有其他两个元素,求出这时的集合 S ; (Ⅱ)有人断定集合 S 可以是单元素的集合,请你判断他的断言是否正确,说明理由; (III)若集合 S ≠ ? ,试证集合 S 中的元素个数必为 3 的整数倍,并给出除(Ⅰ)中以外的 一个集合 S . ②若 a ? S ,则

1 ?S 1? a

22. (本小题满分 14 分) 设 a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 为自然数, A ={ a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 }, B ={ a1 , a 2 , a 3 ,
2 2

2

a 4 , a 5 },且 a1 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 ,并满足 A ? B ={ a1 , a 4 }, a1 + a 4 =10, A ? B 中各
元素之和为 256,求集合 A

2

2

4

2013 级高一数学集合单元测试题(参考答案)
一、选择题答案 题号 答案 二、填空题答案 1 A 2 D 3 D 4 B 5 C 6 D 7 C 8 B 9 A 10 D 11 C 12 B

13.

?0,3?

14. ? ?8, 0?

15. ? 0,1?

16. ?( x, y ) | 0 ? x ? 3, 0 ? y ? 2? ? ?( x, y ) | ?1 ? x ? 0, ?1 ? y ? 0?
三、解答题答案
2 17.解:∵ 1? B ∴ 1 ? 1 ? r ? 0 ,得 r ? ?2 所以 B ? x | x ? x ? 2 ? 0 ? ?1, ?2?
2

?

?

又∵ A ? B ? ?1? , A ? B ? ?1, ?2? ∴ A ? ?1? 综上得 p ? 2, q ? 1, r ? ?2 .

?12 ? p ? 1 ? q ? 0 ? 所以 ? ? p ? 2, q ? 1 2 ? ? ? p ? 4q ? 0 ?

18.解:化简得 A ? ? x ?5 ? x ? 3? , B ? ? y y ? a ? 1? , ∵ A? B , ∴ a ?1 ? 3 , 即 a ? 2 。

19.解: (1)由题, card ( A ? B ? C ) ? 13 , card ( A) ? 6 , card ( B) ? 5 , card (C ) ? 8 ,

card ( A ? C ) ? 3 , card ( B ? C ) ? 2 ? card ( A ? B ? C ) ? card ( A) + card ( B) ? card (C ) ? card ( A ? B) ? card ( B ? C ) ? card ( A ? C ) ? card ( A ? B ? C )
又∵ card ( A ? B ? C ) =0

?card ( A ? B) ? card ( A) + card ( B) ? card (C ) ? card ( B ? C ) ? card ( A ? C ) ? card ( A ? B ? C ) ? card ( A ? B ? C )
即 card ( A ? B) ? 6+5+8-2-3-13=1 (2) card ( B) ? card ( A ? B) ? card ( B ? C ) =5-1-2=2 (3) card ( A) ? card ( A ? B) ? card ( A ? C ) =6-1-3=2

5

20.解: (1)若 a ? 2a ? 3 =5,则 a ? 2a ? 8 ? 0 ,∴ a ? 2 ,或 a ? ?4 ;
2 2

但此时都有 | a ? 1| =3,与集合中元素的互异性相予盾,∴ a ? 2 ,且 a ? ?4 ; 若 | a ? 1| =5,则 a ? ?6 ,或 a ? 4 ,此时都有 a 2 ? 2a ? 3 ? 21 ,符合题意, ∴所求 a 的值为 ?6 ,或 4; (2)若存在这样的实数 a ,则 a 2 ? 2a ? 3 =12,且 | a ? 1| <12; 或 | a ? 1| =12,且 a 2 ? 2a ? 3 <12; 由于 | a ? 1| =12 时, a ? 2a ? 3 ? (a ? 1) ? 4 =140,∴后一种情况不存在;
2 2

由第一种情况解得 a ? 3 ,或 a ? ?5 ; 即这样的 a 的值存在,且 a ? 3 ,或 a ? ?5 .

21.解: (1)依题意,2∈ S ,∴

1 1 1 ? ∈S , ? ?1 ∈ S ,从而 1 ? (?1) 2 1? 2

此时

1 ? 2 ,∴ S ={-1,2, }; 1 2 1? 2

1

(2) S 不可能是只有一个元素的集合,否则由 x=

1 ,得 x2-x+1=0,这不可能; 1? x

(3)设不等于零的 a∈ S ,则

1 ∈ S ,∴ 1? a

1 1? 1 1? a

?

1? a ∈ S ,故而 ?a

1 ?a, 1? a 1? ?a

由于 S ≠ ? ,且 S 中元素不会为 1 个,∴再只需证得 S 中元素不会为 2 个即可; 事实上,若 a∈ S ,则

1 ∈ S ,∴必有 a= 1? a

1 1? 1 1? a

?

1? a ,此时,a2-a+1=0, ?a

1 a ?1 与 这 3 个, 1? a a 1 b ?1 若 b ? 0 ,且 b ? S ,同样可得 b 、 和 也都在 S 中, 1? b b 当 a ? b 时可知这时 S 中的元素有 6 个,…, 故知 S 中的元素个数必为 3 的整数倍, 2 1 令 a=3,可得 S ={3, ,? }. 3 2
同样不可能;这即证得集合 S 中的元素有 a 、

6

22.解:由 A∩B={ a1 , a 4 },且 a1 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 .
2

所以只可能 a1 = a1 ,即 a1 =1.
2

由 a1 + a 4 =10,得 a 4 =9.

且 a 4 =9= a i ( 2 ? i ? 3 ) a 2 =3 或 a 3 =3. , Ⅰ. a 3 =3 时, a 2 =2,此时 A={1,2,3,9, a 5 },B={1,4,9,81, a 5 }. 因 a 5 ? a 5 ,故 1+2+3+9+4+ a 5 +81+ a 5 =256,从而 a 5 + a 5 -156=0,解得 a 5 =12.
2 2 2 2

略 Ⅱ. a 2 =3 时,此时 A={1,3, a 3 ,9, a 5 },B={1, 9, a 3 , 81, a5 }. 因 1+3+9+ a 3 + a 5 +81+ a 3 + a5 =256,从而 a5 + a 5 + a 3 + a 3 -162=0. 因为 a 2 < a 3 < a 4 ,则 3< a 3 <9. 当 a 3 =4、6、7、8 时, a 5 无整数解. 当 a 3 =5 时, a 5 =11. 略.
2 2 2 2 2 2

7


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