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江苏省灌南高级中学2015高二下学期数学期末模拟试卷


江苏省灌南高级中学 2015 高二下学期数学期末模拟试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位 ....... 置上 . .. 1.计算 i ? i ? i
2 2015

的值为





2.复数 z ?
<

br />1? i 在复平面内所对应的点的坐标为 1? i





3. 设复数 z 满足: i( z ? 1) ? 3 ? 2i ,则 z 的虚部是___▲____;

4. 若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为

2

.

5. 曲线 C : y ?

ln x 在点 (1, 0) 处的切线方程为 x



6.设 x 是纯虚数 , y 是实数,且 2 x ? 1 ? i ? y ? (3 ? y)i ,则 | x ? y |? ....





7.观察下列等式 2 =3+5,3 =7+9+11,4 =13+15+17+19,5 =21 +23+25+27+29, ,若类似上 面各式方法将 m 分拆得到的等式右边最后一个数是 131,则正整数 m 等于 1 3 8.若函数 f ( x) ? 5 9 11
3

3

3

3

3

_________ .

x 为奇函数,则 a= (3x ? 1)( x ? a)



; 7 13

15 17 19

9. 将正奇数按如图所示的规律排列:则第 n(n≥4) 行从左向右的第 3 个数为 ▲ .

?? 第 9 题图

9. 二维空间中, 正方形的一维测度 (周长)l ? 4a(其中 a 为正方形的边长) , 二维测度 (面 积)S ? a ; 三维空间中, 正方体的二维测度 (表面积)S ? 6a (其中 a 为正方形的边长) ,
2

2

三维测度(体积)V ? a ;应用合情推理,若四维空间中, “超立方”的三维测度 V ? 4a ,
3 3

则其四维测度 W = ▲ ; 11. 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在区间 (??,0) 上是减函数,则使 f (ln x) ? f (1) 的 x 的取值范围为 ▲ ;

1

12. 直线 y ? t 与函数 f ( x) ? 2x ( x ? 0), g ( x) ? ex 的图像分别交于 A, B 两点, 则线段 AB 的长度的最小值为 ▲ ;

13.如果函数 y ? a2 x ? 2a x ?1(a ? 0, a ? 1) 在区间[-1,1]上的最大值是 14,则实数 a 的值 为 ▲ ;

? x2 ? ? ? 2 14.已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ? x ? ?1 ? x
若函数 f ( x ) 在 (t , t ? 2) 上的值域是 (? , 0] ,则实数 t 的值的集合为

0? x?2


x?2


3 2



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)
2 已知命题 p :关于实数 x 的方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根; 命题 q :关于实数 x

2 的方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根.命题“ p 或 q ”真, “ p 且 q ”假,求实数 m 的取

值范围.

16. (本题满分 14 分) 已知 z 是复数, z (1 ? 2i ) 、 (1)求复数 z (2)若复数 ( z ? a i ) 2 在复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围。

z ?i 均为实数, 2?i

2

17. 【2014-2015 学年辽宁省师大附中高二上学期 10 月模块考试】如图:假设三角形数表 中的第 n+1 行的第二个数为 an (n≥1,n∈N*)

(1)归纳出 a n ?1 与 an 的关系式, 并求出 an 的 通项公式; (2)设 an bn ? 1 ,求证: b1` ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2

18. (本题满分 16 分) 将一个长宽分别为 2 米和 2 k 米( 0 ? k ? 1 )的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折 成一个无盖的长方体的盒子,记切去的正方形边长为 x(0 ? x ? k ) ,

5 ,求这个长方体盒子的容积的最大时的 x 的值; 8 (2)若该长方体的盒子的对角线长有最小值,求 k 的范围。
(1)若 k ?

3

19. 【2015 届湖南省衡阳市高三上学期五校联考】己知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x (1)若 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x ? ?

1 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 [1, a] 上的最大值; 3

(3)在(2)的条件下,是否 存在实数 b,使得函数 g ( x) ? bx 的图象与函数 f ( x) 的图象 恰有 3 个交点,若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由

20. (本题满分 16 分)

1 , g ( x) ? ax . x 1 (1) 若直线 y ? g ( x) 是函数 y ? f ( x) ? 的图象的一条切线,求实数 a 的值; x
已知函数 f ( x) ? ln x ? (2) 若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0,1] 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3) 若 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有两个交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,求证: x1 x2 ? 2e .
2

(取 e 为 2.8 ,取 ln 2 为 0.7 ,取 2 为 1.4 )

4

高二文科数学参考答案
1、 ?1 ;2、 (0, ?1) ;3、 ?3 ;4、2 或 8;5、 ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ;6、
2

29 ; 2

7、 a ? 1 ;8、

1 1 1 1 a4 2 ;9、 n ? n ? 5 ;10、 W ? ;11、 ( , e) ;12、 ;13、 3 或 ; 3 e 2 3 2

14、 {? 3, 3 ? 2}

?? ? m 2 ? 4 ? 0 2 15、解: 若方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两不等的负根,则 ? ?m ? 0
即命题 p : m ? 2 ,????4 分

解得 m ? 2

若方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,则 Δ =16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0
2 2

解得:1<m<3.即命题 q :1<m<3. ????8 分 由题意知,命题 p、q 应一真一假, 即命题 p 为真,命题 q 为假或命题 p 为假,命题 q 为真. ????10 分

?m ? 2 ?m ? 2 ∴? 或? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3

解得:m≥3 或 1<m≤2. ????14 分

16、解: (1)设 z ? x ? yi ( x, y ? R) ,

z(1 ? 2i) ? ( x ? yi)(1 ? 2i) ? x ? 2 y ? (2 x ? y)i ? R ,则 2 x ? y ? 0

①??????3 分

5

z ? i [ x ? ( y ? 1)i ](2 ? i ) 2 x ? y ? 1 ? ( x ? 2 y ? 2)i ? ? ?R, 2?i 5 5
则 x ? 2y ? 2 ? 0 由①②解得: x ? ② ??????????????????6 分

2 4 2 4 , y ? ? ,? z ? ? i ??????8 分 3 3 3 3 2 4 2 8 4 4 4 2 2 (2) ( z ? a i ) ? [ ? ( a ? )i ] ? ? a ? a ? ? (a ? )i ??????11 分 3 3 3 3 3 3
在复平面上对应的点在第一象限,当且仅当:

4 ? 2 8 ?a ? a ? ? 0 ? 4 ? 3 3 解得: ? a ? 2 ??????14 分 ? 3 ?a ? 4 ? 0 ? 3 ?
17、解: (1) A ? {x | ? x2 ? x ? 2 ? 0} ? (?2,1) ,???2 分

B ? [2 6 ? 4,3) ???6 分,∵ 2 6 ?1 ? 1 ∴ A B ? (?2,3) ????7 分
(2)由题意知,方程 x ? bx ? c ? 0 必有两个不等实根,记为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,
2

C ? (??, x1 ] [ x2 , ??) ;????8 分
( A B) C 为空集,则 x1 ? ?2, x2 ? 3 ????10 分 ( A B) C ? R ,则 x1 ? ?2, x2 ? 3 ????12 分
所以 x1 ? ?2, x2 ? 3 ,得 b ? ?1, c ? ?6 ????14 分 18、解: (1) V ? 4(1 ? x)(k ? x) x ? 4[ x ? (1 ? k ) x ? kx] , x ? (0, k ) ,??3 分
3 2

V / ? 4[3x 2 ? 2(1 ? k ) x ? k ] ? 12 x 2 ? 13x ?
得x?

5 5 ? 0 , x ? (0, ) ??5 分 2 8

5 1 舍去, x ? ;??7 分,列表(略) ,??9 分 6 4

(2)记长方体的盒子的对角线长度为 l 米,

l ? (2 ? 2 x) 2 ? (2k ? 2 x) 2 ? x 2 ? 9 x 2 ? 8(1 ? k ) x ? 4(1 ? k 2 ) x ? (0, k ) ??12 分
l 有最小值,当且仅当
19

4(1 ? k ) 4 ? (0, k ) ??14 分,解得 ? k ? 1 ??16 分 9 5

6

g ( x) ? bx 的图象与函数 f ( x) 的图象恰有 3 个交点,即 x 3 ? 4 x 2 ? 3x ? bx 恰有 3 个不等
实根,注意到 x ? 0 是其中一个根,只需 x 2 ? 4 x ? 3 ? b ? 0 有两个不等零的不等实根. ,可

?? ? 16 ? 4(3 ? b) ? 0 由二次方程得 ? ,从而可求的实数 b 的取值范围. ?3 ? b ? 0 ?

7

20 解: (1) 设切点 ( x0 ,ln x0 ) , 则切线方程为 y ? ln x0 ?

1 1 即 y ? x? n , ? ( x ? x0 ) , lx ? 01 x0 x0

?1 1 ? ?a ??????3 分,由题意知: ? x0 得 a ? ??????5 分, e ?ln x ? 1 ? 0 ? 0
(2) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?

1 1 1 ? ax ? b ,则 h?( x ) ? ? 2 ? a , x x x 1 1 ? ?a ?0 , x x2

∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,∴对 ?x ? 0 ,都有 h?( x) ? 即对 ?x ? 0 ,都有 a ? 此处不得分) ,记

1 1 ? ,??????7 分(仅仅求导而没有指出不等式恒成立, x x2

1 ? t (t ? 1), u(t ) 在 [1, ??) 上递增 u(t )min ? u(1) ? 2 ; x

∴ a ? 2 ,???????10 分 (3)由题意知 ln x1 ?

1 1 ? ax1 , ln x2 ? ? ax2 , x1 x2

两式相加得 ln x1 x2 ?

x1 ? x2 x x ?x ? a( x1 ? x2 ) ,两式相减得 ln 2 ? 1 2 ? a( x2 ? x1 ) , x1 x2 x1 x1 x2

x x2 ln 2 x ?x x1 x1 1 1 即 ? )( x1 ? x2 ) , ? ? a ,∴ ln x1 x2 ? 1 2 ? ( x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 ln
即 ln x1 x2 ?

2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 ? ln , x1 x2 x2 ? x1 x1

????12 分

不妨令 0 ? x1 ? x2 ,记 t ? ∴ F (t ) ? ln t ?

2(t ? 1) x2 (t ?1) 2 (t ? 1) ,则 F ?(t) ? ? 1 ,令 F (t ) ? ln t ? ?0 , t ?1 x1 t (t ?1)

2(t ? 1) 2(t ? 1) ? F (1) ? 0 , 在 (1, ??) 上单调递增,则 F (t ) ? ln t ? t ?1 t ?1

8

∴ ln t ?

2(t ? 1) x 2( x2 ? x1 ) 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 ,则 ln 2 ? ,∴ ln x1 x2 ? ? ln ? 2 , t ?1 x1 x2 x2 ? x1 x1 x1 x1 ? x2

又 ln x1 x2 ?

4 x1 x2 2( x1 ? x2 ) 4 4 ? ln x1 x2 ? ? ln x1 x2 ? ? 2 ln x1 x2 ? , x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

∴ 2ln x1 x2 ? 令 G ( x) ? ln x ? 又 ln 2e ?

4 2 ? 2 ,即 ln x1 x2 ? ? 1, x1 x2 x1 x2
2 1 2 ,则 x ? 0 时, G?( x) ? ? 2 ? 0 ,∴ G ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, x x x

2 1 2 ? ln 2 ? 1 ? ? 0.85 ? 1 , e 2e 2 2 2 ,则 x1 x2 ? 2e ,即 x1 x2 ? 2e2 . ? 1 ? ln 2e ? x1 x2 2e

∴ G( x1 x2 ) ? ln x1 x2 ? ??????16 分

9


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